Introdução à Mecânica Quântica

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Físico-química III
Prof. Guilherme Arielo
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Introdução à Mecânica Quântica
Equação de Onda
Descrição de fenômenos periódicos, caracterizados por
comportamento oscilatório ou vibracional: cordas, tambores,
ondas acústicas, campos magnéticos (RMN)
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Considerando que a matéria deve ter propriedade de onda, podemos
pensar em descrever a matéria usando as mesmas expressões
matemáticas que são usadas para ondas.
Analisando uma corda ideal que vibra em uma dimensão:
µ (x,t) = amplitude da corda, que varia com a posição e com o 
tempo. É uma função matemática, que deve satisfazer a seguinte 
equação: 
 
 
 
 
 
2
2
2
2
tvx ∂
∂=
∂
∂ µµ 1
v é a velocidade de propagação da onda
Que é uma equação diferencial parcial linear. Eq. Onda Clássica 
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A corda pode vibrar com diferentes frequências. Desde que as
condições de contorno sejam sempre obedecidas teremos como
solução da equação diferencial um conjunto de equações que
descrevem estes movimentos.
2L
L
2L/3
L/2
Comprimento da onda
Nós fixos.
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PRIMEIRO POSTULADO DA MECÂNICA QUÂNTICA
Os estados de um sistema podem ser descritos por expressões
denominadas de FUNÇÕES DE ONDA e representadas pela
letra grega psi ψψψψ ou ΨΨΨΨ. Toda a informação possível sobre as
propriedades do sistema devem ser obtidas a partir da Função
de onda.
y =
Estas funções devem satisfazer algumas condições físicas e
matemáticas (condições de contorno ou de fronteira), que
são:
 Ser unívoca (possuir apenas um valor de F(x) para cada x)
 Ser contínua
 Ser diferenciável (ou ser limitada)
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(a) Descontínua
(b) Descontínua
(c) Não unívoca
(d) Infinita (não limitada)
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Quais das funções abaixo podem ser funções de onda aceitáveis.
Para aquelas que não são, justifique.
(a) f(x) = x2 + 2 , x pode ter qq valor.
(b) .
(c) .
(d) .
22
- ,
2
x
sen
 
 
1/2
ππΨ ≤≤= x
2
1
10
4
1 ≤≤= x0 ,
 x-
 Ψ
3
4
1 ≤≤= x0 ,
 x-
 Ψ
Observáveis e operadores 
Observáveis: Propriedade individual do sistema: massa, volume,
energia, posição....
Para determinar o valor de uma observável deve-se realizar alguma
operação matemática em uma função de onda. Esta operação é
representada por um operador.
SEGUNDO POSTULADO DA MECÂNICA QUÂNTICA
EXEMPLO: 2 X 3 = 6 M� 2,3 = 6
A operação é a multiplicação e o operador é X
Observáveis e operadores 
60
Operadores podem realizar operações tanto em números como em 
funções: 
F(x) = y = 3x3 + 4x2 + 5
dx
)xx(d 543 23 ++
xx)x(F
dx
d
89 2 +=
D� 
 � = 9�
 + 8� 
Observáveis e operadores 
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Exemplo:
*forma mais compacta
*indica que deve-se usar o “grupo” simbolizado por T� e realizar as 
operações na função de onda Ψ
*geralmente a execução da operação gera expressão: numérica ou 
função.
��²
���
�²
��²
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Escreva a operação matemática completa e avalie a expressão para 
cada uma das seguintes combinações de operadores e funções: 
Resolução:
�̑ =
�
��
 �̑ =
�
��
 �̑ = exp( )
Ψ$ = 2� + 4 Ψ
 = −3 Ψ' = ()*4�
�̑Ψ
 �̑Ψ$ �̑Ψ'
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No caso de 
33
2
2
3 4164
ΨΨ
Ψ
KB
xsenxsen
dx
d
B
=
−==
⌢
⌢
Dizemos Ψ3 é uma autofunção e que a constante K é um autovalor, 
no caso -16.
Qual das combinações operador/função fornecem equações de 
autovalor???? Quais são os auto valores????
( ) ( )2442
2
4
xx e
dx
d
e
dx
dx
cos
dx
d −−






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TERCEIRO POSTULADO DA MECÂNICA QUANTICA
Os únicos valores possíveis de observáveis são autovalores de uma
função de onda quando trabalhada pelo operador correspondente.
Duas observáveis: posição e momento linear correspondente. Na
mecânica clássica: x e px.
O operador posição é definido multiplicando a função pela
variável x.
O operador momento é definido multiplicando como:
x
⌢
xp
⌢
x
ipx ∂
∂−= ℏ⌢
.xx =⌢
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Exercício: dada a função de onda:
Qual é o valor da observável momento?
( )xie 4−=Ψ
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• Os autovalores considerados são números reais.
• Todos os operadores que oferecem observáveis na
MQ são Hermitianos, já que para que uma
quantidade seja observada ela deve ser real.
• Operadores Hermitianos são aqueles que sempre
tem números reais (não imaginários) como
autovalores.