Controle Estatístico da Qualidade para engenharia

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS 
 Ciências Exatas e Tecnológicas 
CEQ – Profª Karla Faccio 
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Material de apoio – Controle Estatístico da Qualidade 
Parte I 
 
Profa. Karla Faccio 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Estuda-se a estatística para aplicar seus conceitos como auxílio na tomada de decisão 
diante de incertezas, justificando cientificamente as decisões. A estatística é uma parte 
da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, 
análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. 
 
A Estatística é a ciência que estuda os fenômenos multicausais, coletivos ou de massa e 
procura inferir as leis que os mesmos obedecem. 
 
Método estatístico é um processo para se obter, apresentar e analisar características ou 
valores numéricos para uma melhor tomada de decisão em situações de incerteza. 
Os passos da metodologia estatística são os seguintes: 
• Definição do problema; 
• Formulação de um planejamento para a coleta das unidades de observação. É 
nessa fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado. Podem 
existir dois tipos de levantamentos: o censitário, quando a contagem for 
completa, abrangendo todo o universo (população) e o levantamento por 
amostragem, quando a contagem for parcial; 
• Coleta, resumo e apresentação das unidades de observação ou de seus valores 
numéricos; 
• Análise dos resultados; 
• Divulgação de um relatório com as conclusões, de tal modo que estas sejam 
facilmente entendidas por quem as for usar na tomada de decisões. 
 
Como as informações provêm de um conjunto menor do que a população, erros são 
cometidos ao se fazer uma inferência. Esses erros podem ser quantificados por um valor 
numérico, denominado de probabilidade. O conhecimento das probabilidades 
associadas a uma situação fornece a base para o desenvolvimento de técnicas para a 
tomada de decisão. 
 
 
 
 
 
 
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 A estatística descritiva e a probabilidade são ferramentas para a inferência estatística, a 
qual interpreta de duas maneiras os resultados obtidos a partir das amostras: ou fazendo 
uma estimação a respeito de uma característica da população cujo valor se desconhece 
ou realizando um teste sobre essa característica, da qual se afirma ter um determinado 
valor. 
 
 
Em geral, a estatística divide-se em dois grupos: estatística descritiva e indutiva. 
 
Descritiva: corresponde aos procedimentos relacionados com a coleta, elaboração, 
tabulação, análise, interpretação e apresentação dos dados, ou seja, inclui técnicas que 
dizem respeito à sintetização e à descrição de dados numéricos. Tais métodos podem ser 
gráficos e envolvem a utilização de recursos computacionais. 
 
Indutiva (ou inferencial): parte de uma ou mais amostras (subconjuntos da população) 
e conclui sobre a população. Utiliza técnicas como a teoria das probabilidades, 
inferência estatística, amostragem. 
 
Frequentemente utiliza-se o estudo da amostra do que da população, uma vez que na 
maioria das vezes não se dispõe de todos os elementos da população, além das 
informações serem menos dispendiosas e consumirem menos tempo no processamento 
dos dados. 
 
 
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Definições e conceitos úteis para o estudo da Estatística: 
 
- População: Conjunto de elementos com pelo menos uma característica em comum, ou 
seja, conjunto de todas as unidades elementares de interesse. Se a população é finita 
dizemos quem tem tamanho N. 
 
- Amostra: Uma amostra é um subconjunto de tamanho n da população em estudo 
usado para obter informação acerca do todo. Obtemos uma amostra para fazer 
inferências de uma população. Nossas inferências são válidas somente se a amostra é 
representativa da população. 
 
Por que tomamos uma amostra e não utilizamos a população toda? 
- Custo alto para obter informação da população toda. 
- Tempo muito longo para obter informação da população toda. 
- Algumas vezes impossível, por exemplo, estudo de poluição atmosférica. 
- Algumas vezes é logicamente impossível, por exemplo, em ensaios destrutivos 
(controle de qualidade de fósforos). 
 
- Parâmetro: É uma constante que caracteriza uma população, isto é, é uma medida que 
descreve uma característica de uma população (Exemplo: média (µ), desvio-padrão (σ), 
variância (σ2), proporção (π), etc). 
 
- Estimador: É uma constante que caracteriza uma amostra, isto é, é uma medida que 
descreve uma característica da amostra (Exemplo: média amostral )(
__
X , desvio-padrão 
amostral (s), variância amostral (s2), proporção amostral (p), etc). 
 
Exemplos de parâmetros e seus respectivos estimadores: 
Parâmetros Estimadores 
Média populacional 
µ 
Média amostral 
X 
Desvio-padrão populacional 
σ 
Desvio-padrão amostral 
s 
Proporção populacional 
π 
Proporção amostral 
p 
 
- Experimento: Tudo aquilo que pode ser repetido sob idênticas condições. Tipos de 
experimento: 
 - Determinístico: o resultado vai ser sempre o mesmo. 
 - Aleatório: em cada repetição feita não tem como garantir o mesmo resultado. 
 
- Variáveis: Uma variável é uma característica de uma população que difere de um 
indivíduo para outro e da qual temos interesse em estudar. Desta forma, é a 
característica de interesse dos elementos da população. Cada unidade (membro) da 
 
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população que é escolhido como parte de uma amostra fornece uma medida de uma ou 
mais variáveis, chamadas observações. As variáveis podem ser classificadas em 
Qualitativas ou Quantitativas. 
 
Variáveis Qualitativas (ou Categóricas): são as características que não possuem 
valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, 
representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais. 
 
Variável Qualitativa Nominal: Consiste em nomes, rótulos ou categorias apenas. Os 
dados não podem ser ordenados. 
 
Exemplos: Tipo de defeito (Arranhão, Trinca, Quebrado, Amassado); Time preferido 
(Grêmio, Internacional, Flamengo); Religião (Católica, Protestante, Evangélica); Estado 
Civil (Casado, Solteiro, Viúvo, Divorciado); Nacionalidade; Sexo; etc. 
 
Variável Qualitativa Ordinal: As variáveis podem ser arranjadas em alguma ordem, 
mas diferenças entre os valores dos dados não podem ser determinadas. 
 
Exemplos: Classe Social (A, B, C, D, E); Grau de Satisfação (Satisfeito, Indiferente, 
Insatisfeito); Imagem da marca (Ótima, Boa, Regular, Ruim, Péssima); Classificação do 
Índice de Massa Corporal - IMC (baixo peso, normal, obesidade leve, obesidade severa, 
obesidade mórbida); Grau de importância (nenhuma, pouca, razoável, muito); 
Escolaridade; etc. 
 
Variáveis Quantitativas: são as características que podem ser medidas em uma escala 
quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos/quantidades. Podem ser contínuas 
ou discretas. 
 
Variável Quantitativa Discreta: Número de valores finitos ou uma quantidade 
enumerável e não assumem valores fracionários. São variáveis expressas por números 
inteiros (0, 1, 2, 3, 4,...). 
Exemplos: Número de peças não-conformes; Número de acidentes em uma rodovia; 
Número de filhos; Númerode produtos defeituosos; Número de assassinatos; Número 
de mensagens enviadas por minutos; etc. 
 
Variável Quantitativa Contínua: Infinitos valores possíveis que correspondem a alguma 
escala contínua que cobre um intervalo de valores sem vazios, interrupções ou saltos. 
Desta forma, seus resultados podem assumir qualquer valor ao longo de uma escala. São 
variáveis expressas por números reais. 
 
Exemplos: Diâmetro de uma peças (mm); Gasto diário de água (l); Peso (Kg); Altura 
(m); Temperatura (Grau Celsius); Tempo (min); etc. 
 
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2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
A Estatística Descritiva pode ser estudada considerando os conjuntos de valores 
analisados como sendo amostras ou populações. Como o caso mais comum é a obtenção 
de amostras a notação apresentada será feita considerando os valores como resultados 
de amostragens. A diferença, considerada do ponto de vista da descrição dos dados, é 
apenas notacional. Assim o tamanho de uma população (quando finita) é representado, 
normalmente por N, enquanto que o tamanho de amostra é representado por n. Afora 
algumas exceções os valores calculados na amostra são representados por letras latinas 
enquanto que os correspondentes na população o são pelas mesmas letras só que gregas. 
 
Para facilitar o estudo da Estatística Descritiva os conjuntos de valores serão 
considerados como pequenos e grandes. Assim se um conjunto tiver 30 ou menos 
valores a análise será feita sem o agrupamento. Caso o conjunto tenha mais do que 30 
valores então primeiramente será feito o agrupamento de acordo com o tipo de variável 
considerada. O valor 30 é apenas um ponto de referência escolhido arbitrariamente e 
dependendo da situação pode-se considerar o agrupamento com mais ou menos valores 
envolvidos. 
 
2.1 Medidas de Tendência Central ou de Posição 
 
As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a 
representar melhor um conjunto de números. As três medidas mais usadas são a média, 
a mediana e a moda. 
 
Um conjunto de valores (amostra) será representada por: x1, x2, ..., xn, onde n é o 
número de elementos do conjunto, isto é, o tamanho da amostra. 
 
2.1.1 A MÉDIA 
(a) MÉDIA ARTIMÉTICA SIMPLES AMOSTRAL ( X ) 
A média aritmética é o resultado da divisão da soma de todos os valores da amostra pela 
quantidade total de valores. A média aritmética simples amostral do conjunto x1, x2, ..., 
xn é representada por X e calculada por: 
( )
n
xxx
n
x
n
n
i
i
X
+++
==
∑
= ...211
___
 
 OBS: 
__
X lê-se x barra e significa Média. ∑
=
n
i
ix
1
lê-se somatório de xi, com i variando de 
1 a n. 
 
Na Estatística, é comum utilizar as letras gregas para representar parâmetros 
populacionais e as letras latinas para representar estimadores amostrais. A média de 
uma população é representada pela letra grega µ, enquanto que na amostra é 
representada por X . 
 
 
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Algumas propriedades da média: 
 
• A média é afetada por todos os valores do conjunto, assim, se um número se modifica, 
a média também se modifica. 
• Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma 
constante, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. 
• Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do 
valor constante. Analogamente, extraindo-se um valor constante de cada valor do 
conjunto, a média também ficará diminuída desse valor. 
• A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero. 
 
Exemplo: 20 25 22 24 70 25 
 
31
6
186
6
)257024222520(
6
654321
__
==
+++++
=
+++++
=
XXXXXX
X 
 
Exemplos: 
Calcular as médias dos seguintes conjuntos de dados: 
(a) 1 9 (b) 4 6 7 (c) 0,5 0,8 1,5 1,75 
 
Para o conjunto em (a) tem-se: 
5
2
)91(
2
21
__
=
+
=
+
=
XX
X 
Para o conjunto em (b) tem-se: 
7,5
3
)764(
3
321
__
=
++
=
++
=
XXX
X 
Para o conjunto em (c) tem-se: 
( )
14,1
4
75,15,18,05,0
4
4321
__
=
+++
=
+++
=
XXXX
X 
 
 
Exercício: Considere os seguintes gastos (em reais) que 6 pessoas tiveram com 
compras de supermercado no último mês. 
 
R$612,50 R$608,00 R$640,00 R$624,80 R$920,00 R$631,00 
 
a) Qual é o gasto médio? 
 
 
 
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(b) MÉDIA ARIMÉTICA PONDERADA (map): 
 
A fórmula para calcular a média aritmética supõe que cada observação tenha a mesma 
importância. A média ponderada considera que as informações não têm a mesma 
importância, ou seja, deve ser levado em conta o peso (w) das informações. 
 
A média aritmética ponderada do conjunto x1, x2, ..., xn, com pesos w1, w2, ..., wn, é 
representada por map e calculada por: 
( )
( )n
nn
n
i
i
n
i
ii
p
www
xwxwxw
w
xw
ma
+++
+++
==
∑
∑
=
=
...
...
21
2211
1
1
 
Onde wi é o peso da observação de ordem i. 
 
Exemplo: 
Consideremos que um professor informe a classe de que haverá dois exames parciais, 
valendo cada um 30% da nota e um exame final valendo 40%. Um aluno obtém 
desempenho 70 na primeira avaliação, 65 na segunda e 80 no exame final. Qual é a 
média de desempenho deste aluno? 
( )
( )
50,72
40,030,030,0
40,08030,06530,070
1
1 =
++
×+×+×
==
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
ii
p
w
xw
ma 
 
Exercício: Considere uma mesma pesquisa de satisfação de uma determinada empresa 
prestadora de serviços que foi aplicada durante cinco anos consecutivos. A variável 
avaliada foi a nota (de 0 a 10) atribuída à Qualidade de um serviço por clientes do 
mesmo. As avaliações médias de cada ano estão descritas abaixo: 
 
ANO AVALIAÇÃO MÉDIA N° de respondentes 
2009 8,4 100 
2010 7,2 200 
2011 8,0 150 
2012 8,2 100 
2013 8,5 100 
 
Qual é a avaliação média dos 5 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1.2 MEDIANA (me) 
 
A principal característica da mediana é dividir o conjunto de números ordenados em 
dois grupos iguais: a metade terá valores inferiores ou iguais à mediana e a metade terá 
valores superiores ou iguais à mediana. Assim, a mediana de um conjunto ordenado de 
valores, denotada por me, é definida como sendo o valor que separa o conjunto em dois 
subconjuntos do mesmo tamanho. 
Para calcular a mediana inicia-se ordenando os valores em ordem crescente. 
Para número ímpar de valores a mediana é o valor do meio. Para amostras com número 
par de unidades, a mediana é a média dos dois valores centrais. 
 
Como calcular a Mediana? 
 
- Se o n (tamanho da amostra) é ÍMPAR a mediana é o valor central do conjunto de 
dados ordenado. Tem-se: 
 
( ) 2/1+= ne xm => Representa a posição da mediana no conjunto ordenado 
 
- Se o n (tamanho da amostra) é PAR a mediana é a média dos dois elementos centrais 
do conjunto de dados ordenado. Tem-se: 
 
 
( ) ( )( )
2
12/2/ ++
=
nn
e
xx
m => Representa a posição da mediana no conjunto ordenado 
 
Exemplo1: 
 
Para o conjunto: 15 18 21 32 45 46 49 
A mediana é: 
( ) 3242/17 === + xxme 
Ou seja, a mediana é o quarto valor na sequência ordenada de elementos. 
 
Se o conjuntoacima fosse: 15 18 21 32 45 46 
Então a mediana seria: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 50,26
2
3221
222
4312/62/612/2/ =
+
=
+
=
+
=
+
=
++ xxxxxx
m
nn
e 
 
Exemplo2: 
Amostra Num. de elementos Dados ordenados Mediana 
_______________________________________________________________________________ 
3 4 4 5 3 6 2 5 6 9 elementos -> ÍMPAR 2 3 3 4 4 5 5 6 6 4 
 
2 4 3 1 9 9 3 4 8 elementos -> PAR 1 2 3 3 4 4 9 9 3,5 
 
4 5 3 4 2 6 4 3 
 
7 8 4 2 6 1 3 6 2 1 
_______________________________________________________________________________ 
 
 
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Exercício: Considere os seguintes gastos (em reais) que 6 pessoas tiveram com 
compras de supermercado no último mês. 
R$612,50 R$608,00 R$640,00 R$624,80 R$920,00 R$631,00 
 
b) Qual é o gasto mediano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.3 MODA (mo) 
 
A moda de um conjunto de valores é definida como sendo “o valor (ou os valores) do 
conjunto que mais se repete”, ou seja, é o ponto máximo de uma distribuição. Convém 
lembrar que a moda, ao contrário da mediana e da média, pode não ser única, isto é, 
um conjunto pode ser bimodal, trimodal, etc. ou mesmo amodal (sem moda). Se a moda 
existir será representada por mo. 
 
Exemplo1: 
Seja o conjunto de dados: 1 3 3 6 7 3 8 8 7 4 
A moda deste conjunto de dados é mo = 3. Pois este valor se repete três vezes e qualquer 
outro valor se repete duas vezes ou menos. 
 
Exemplo2: 
Seja o conjunto de dados: 1 2 3 4 5 6 
Este conjunto de dados é amodal, ou seja, não tem moda. 
 
Exemplo3: 
Seja o conjunto de dados: 0 0 0 0 0 200 
A moda deste conjunto de dados é mo = 0. Pois este valor se repete cinco vezes. 
 
Exemplo4: 
Seja o conjunto de dados: 2 3 0 0 1 4 4 
Este conjunto de dados é BIMODAL, ou seja, possui a mo = 0 e mo = 4. 
 
Exercício: Considere os seguintes dados referentes ao número de disciplinas que os 
alunos de CEQ estão matriculados no semestre 2017/2. Identifique a moda do conjunto 
de dados. 
 
 
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2.2 Medidas de Dispersão ou de Variabilidade 
 
2.2.1 AMPLITUDE (r) 
 
A mais simples das medidas de dispersão é a amplitude, denotada por r, e definida 
como sendo a diferença entre os valores extremos do conjunto: 
 r = Xmax - Xmin 
 
Exemplo 1: 
A amplitude do conjunto -5 4 0 3 8 10, vale: r = Xmax - Xmin = 10 – (-5) = 15. 
 
Exemplo 2: 
A amplitude do conjunto 4 8 9 2 8 5 6 3, vale: r = Xmax - Xmin = 9 – (2) = 7. 
 
Exercício: Considere os seguintes gastos (em reais) que 6 pessoas tiveram com 
compras de supermercado no último mês. 
 
R$612,50 R$608,00 R$640,00 R$624,80 R$920,00 R$631,00 
 
d) Qual é a amplitude desses gastos? 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.2 VARIÂNCIA AMOSTRAL (s2) 
 
A medida de dispersão usual é a variância e principalmente sua raiz quadrada que é 
denominada de desvio-padrão. A variância amostral é denotada por s2 e definida como 
sendo a média dos quadrados dos desvios em relação a média aritmética. 
 
( ) ( ) ( ) ( )
1
...
1
22
2
2
11
2
2
−
−++−+−
=
−
−
=
∑
=
n
XXXXXX
n
XX
s n
n
i
i
 
 
OBS: Quando se deseja a variância populacional (σ2), deve-se substituir n-1 por N na 
fórmula. Usualmente iremos utilizar a variância amostral. 
 
Exemplo: 
Calcule a variância para os seguintes dados: 
2 4 6 8 10 
 
Solução: 
Primeiro temos que calcular a média: 
( )
6
5
108642__
=
++++
=X 
Agora vamos aplicar a fórmula da variância: 
 
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10
15
40
15
)610()68()66()64()62(
1
)( 22222
1
2
__
2 =
−
=
−
−+−+−+−+−
=
−
−
=
∑
=
n
XX
s
n
i
i
X 
 
 
2.2.3 DESVIO PADRÃO AMOSTRAL (s) 
 
O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância. 
( ) ( ) ( )
1
...
1
22
2
2
11
2__
−
−++−+−
=
−






−
=
∑
=
n
XXXXXX
n
XX
s n
n
i
i
X 
 
Como anteriormente, a substituição de n-1 por N produz a fórmula para o desvio padrão 
populacional (σ). 
 
Exemplo: 
Calcule o desvio padrão para os seguintes dados: 
-7 4 0 3 8 10 
 
Primeiro temos que calcular a média: 
( )
3
6
1083047__
=
+++++−
=X 
 
Agora vamos aplicar a fórmula do desvio padrão: 
07,6
16
184
16
)310()38()33()30()34()37(
1
222222
1
2__
=
−
=
−
−+−+−+−+−+−−
=
−






−
=
∑
=
n
XX
s
n
i
i
X
 
 
Exercício: Considere os seguintes gastos (em reais) que 6 pessoas tiveram com 
compras de supermercado no último mês. 
 
R$612,50 R$608,00 R$640,00 R$624,80 R$920,00 R$631,00 
 
e) Qual é desvio padrão dos gastos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.2.4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) 
 
O coeficiente de variação é uma medida de variação útil para comparar conjuntos de 
dados diferentes. Ele é usualmente expresso em percentual. 
 
O coeficiente de variação é dado pelo quociente entre o desvio padrão e a média dos 
dados. 
 
__
X
s
Média
ãoDesvioPadr
CV == 
 
OBSERVAÇÃO: O conjunto de dados que tiver o maior CV dentre os demais é dito o 
conjunto mais heterogêneo, ou seja, o grupo com maior variabilidade. E, por sua vez, o 
conjunto de dados que tiver o menor CV dentre os demais conjuntos é dito o conjunto 
mais homogêneo. 
 
Exemplo: 
Entre os conjuntos de dados a seguir apresentados, qual apresenta maior variabilidade? 
 
 Conjunto A Conjunto B 
12 3 
25 4 
16 5 
23 2 
 
Solução: 
 
Conjunto A: 
19
4
23162512
4
4321 =
+++
=
+++
=
XXXX
X A 
 
06,6
3
110
3
)1693649(
3
)1923()1916()1925()1912(
14
)()()()(
1
)(
2222
2
__
4
2
__
3
2
__
2
2
__
11
2
__
==
=
+++
=
−+−+−+−
=
=
−
−+−+−+−
=
−
−
=
∑
= XXXXXXXX
n
XX
s
n
i
i
A
 
3187,0
19
06,6
===
A
A
A
X
s
CV 
 
 
Conjunto B: 
5,3
4
2543
4
4321 =
+++
=
+++
=
XXXX
X B 
 
 
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29,167,1
3
5
3
)25,225,225,025,0(
3
)5,32()5,35()5,34()5,33(
14
)()()()(
1
)(
2222
2
__
4
2
__
3
2
__
2
2
__
11
2
__
===
=
+++
=
−+−+−+−
=
=
−
−+−+−+−
=
−
−
=
∑
= XXXXXXXX
n
XX
s
n
i
i
B
 
 
3688,0
5,3
29,1
===
B
B
B
X
s
CV 
 
Conclusão: O conjunto que possui maior variabilidade, ou seja, o conjunto mais 
heterogêneo é o B, pois é o conjunto com o maior CV = 36,88%. 
 
Exercício: 
Considere as seguintes medidas de uma mesma matéria-prima fabricada por dois 
fornecedores distintos: 
 
Fornecedor A: 9,0 8,9 7,1 6,0 
Fornecedor B: 8,5 6,3 8,3 5,6 8,8 
 
Qual fornecedor você escolheria? Justifique. 
 
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2.3 TABELAS OU DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS 
Ao se trabalhar com grandes conjuntos de dados, em geral é útil organizá-los e resumi-
los emuma tabela, chamada de distribuição de frequência. 
 
Uma distribuição de freqüência (ou tabela de freqüência) lista os valores dos dados 
(individualmente ou por grupos de intervalos), juntamente com suas freqüências 
correspondentes (ou contagens). Assim, uma distribuição de freqüência nos ajuda a 
entender a natureza da distribuição do conjunto de dados. 
 
A variável (ou conjunto) discreta (valores que são resultados de contagem) e a variável 
(ou conjunto) contínua (valores que são resultados de uma medida). Em geral variáveis 
discretas são agrupadas em distribuições por ponto ou valores e variáveis contínuas 
em distribuições por classes ou intervalos. A separação não é rígida e depende 
basicamente dos dados considerados. Poderá ser necessário usar uma distribuição por 
classes ou intervalos mesmo quando a variável é discreta. 
 
Distribuições de freqüência: 
 
Tipo de frequência: Símbolo 
Frequência Simples Absoluta fi 
Frequência Simples Relativa fri 
Frequência Acumulada Absoluta Fi 
Frequência Acumulada Relativa Fri 
 
Elementos de uma distribuição de frequências: 
 
a) Frequência simples relativa ou percentual (fri): é definida como o quociente entre 
a frequência simples absoluta (fi) e o total de dados n. 
 fri = fi / n 
b) Frequência acumulada absoluta (Fi): a frequência acumulada absoluta da linha i é 
definida como sendo a soma das freqüências absolutas até a linha i. 
 Fi = f1 + f2 + ... + fi 
c) Frequência acumulada relativa ou percentual (Fri): a frequência acumulada 
relativa da linha i é definida como sendo a soma das freqüências relativas até a linha i. 
 Fri = fr1 + fr2 + ... + fri 
Ou, então, como sendo o quociente da frequência acumulada absoluta pelo total de 
dados. 
 Fri = Fi / n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo de construção de uma Tabela de Frequências genérica: 
 
I X: Variável fi fri (%) Fi Fri (%) 
1 X1 f1 1001 ⋅




n
f f1 1001 ⋅




n
f 
2 X2 f2 1002 ⋅




n
f f1 + f2 




⋅




+



⋅




 100100 21
n
f
n
f 
3 X3 f3 1003 ⋅




n
f f1+ f2+ f3 



⋅




+



⋅




+



⋅




 100100100 321
n
f
n
f
n
f 
... ... ... ... ... ... 
 
K Xk fk 100⋅




n
f k n 100% 
 Total (∑ ) n 100% - - 
 
2.3.1 DISTRIBUIÇÃO POR CLASSES OU INTERVALOS 
 
2.3.1.1 Construção de distribuição de frequência para dados contínuos e para 
dados discretos com muitas categorias 
 
As principais etapas compreendem: 
1. Determinar a amplitude dos dados: 
amplitude (r) = maior valor (Xmax) – menor valor (Xmin). 
 
2. Estabelecer a quantidade de classes (k) ou intervalos de grupamento dos dados. O 
número de classes deve variar entre 5 e 15. Aconselha-se utilizar nk = , onde n é o 
número de observações. 
 
3. Determinar a amplitude “r” de cada classe “i”. Sempre que possível é recomendável 
manter as amplitudes iguais. Aconselha-se dividir a amplitude dos dados (r) pelo 
número de classes (k), ou seja, ri = r / k. 
 
4. Definir a primeira classe (linha) e, consequentemente, as demais, enquadrar os dados 
nas classes mediante contagem e apresentar os resultados em uma tabela ou gráfico. Em 
geral, utiliza-se a simbologia (|---), neste caso, está indicando um intervalo fechado à 
esquerda e aberto à direita. Também poderia ser utilizado o intervalo aberto à esquerda 
e fechado à direita (---|). 
 
Exemplo: 
 
O conjunto de dados abaixo representa o tempo (em minutos) que 45 operadores 
demoraram para realizar uma determinada tarefa. Agrupe os dados em uma distribuição 
de frequências. 
6,5 4,0 7,1 8,3 5,4 7,6 9,0 15,7 16,7 
6,4 5,0 8,5 5,7 7,7 7,2 12,4 7,1 5,5 
9,7 4,4 7,0 6,3 8,3 6,9 5,7 7,6 7,9 
7,9 6,0 8,2 10,4 9,9 3,9 9,8 8,2 5,6 
7,9 6,4 7,4 7,0 13,0 8,7 6,4 6,7 7,4 
 
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1. Amplitude dos dados: r = Xmax – Xmin = 16,7 – 3,9 = 12,8 
 
2. Estabelecer o número de classes → 77,645 ≅=== nk classes. 
 
3. Determinar a amplitude h de cada classe i → a amplitude de cada classe i é ri = r / k 
=12,8 / 7 = 1,83 ≅ 2. 
 
4. Escrever as classes e contar os valores. 
 
Classe Tempo (min.) 
 Freq. 
Simples 
Absoluta (fi) 
 Freq. 
Simples 
Relativa 
(fri) 
Freq. 
Acumulada 
Absoluta 
(Fi) 
Freq. 
Acumulada 
Relativa 
(Fri) 
1 3 ---| 5 4 8,9% 4 8,90% 
2 5 ---| 7 15 33,3% 19 42,2% 
3 7 ---| 9 18 40,0% 37 82,2% 
4 9 ---| 11 4 8,9% 41 91,1% 
5 11 ---| 13 2 4,4% 43 95,5% 
6 13 ---| 15 0 0,0% 43 95,5% 
7 15 ---| 17 2 4,4% 45 100,0% 
TOTAL 45 100,0% - - 
 
n = 45 
por exemplo, 
a fr3: 
 fr3 = f3 / n = 18 / 45 = 0,40 * 100 = 40,0% 
 
Verifica-se que 40,0% dos operadores executaram uma determinada tarefa depois de 7 
minutos e até 9 minutos. 
 
a F5: 
 F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 4 + 15 + 18 + 4 + 2 = 43 
 
Verifica-se que 43 operadores executaram uma determinada tarefa em até 13 minutos. 
 
a Fr4: 
 Fr4 = fr1 + fr2 + fr3 + fr4 = 8,9 + 33,3 + 40,0 + 8,9 = 91,1% 
 
Verifica-se que 91,1% dos operadores executaram uma determinada tarefa em até 11 
minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gráfico da Distribuição de frequência por classes ou intervalos (HISTOGRAMA) 
 
Uma distribuição de frequências por classes ou intervalos é apresentada graficamente 
através de um diagrama denominado de histograma de frequências. 
 
Um histograma é um gráfico de retângulos justapostos onde a base de cada retângulo é a 
amplitude de cada classe e a altura é proporcional a frequência (simples ou relativa) de 
modo que a área de cada retângulo seja igual a frequência considerada. 
 
O gráfico abaixo ilustra o exemplo do tempo (em minutos) que 45 operadores 
demoraram para realizar uma determinada tarefa. Pelo histograma abaixo pode-se 
concluir que 33 operários, ou seja, 73,3% dos operários, executaram uma determinada 
tarefa entre 5 minutos a 9 minutos. 
 
8,9%
33,3%
40,0%
8,9%
4,4%
0,0%
4,4%
0,0%
10,0%
20,0%
30,0%
40,0%
50,0%
3 ---| 5 5 ---| 7 7 ---| 9 9 ---| 11 11 ---| 13 13 ---| 15 15 ---| 17
Tempo de execução de uma tarefa
 
 
 
Também pode ser construído um histograma utilizando-se as frequências acumuladas. 
Neste caso o diagrama resultante é denominado de ogiva. As figuras abaixo são 
exemplos de histogramas de frequências relativas acumuladas. 
 
 
 
 
 
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Exercício: O conjunto de dados amostrais a seguir lista o número de minutos que 50 
usuários de Internet gastam na rede durante sua mais recente sessão. 
 
7 7 11 17 17 18 19 20 21 22 23 28 29 29 30 30 31 
31 33 34 36 37 39 39 39 40 41 41 42 44 44 46 50 51 
53 54 54 56 56 56 59 62 67 69 72 73 77 78 80 83 
 
a) Construa uma tabela de frequência por Classes para estes dados. 
 fi fri Fi Fri 
 
 
 
 
 
 
 
 
Total 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Construa o Histograma para estes dados e conclua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Identifique e interprete as seguintes frequências: f6, fr4, F4, Fr3. 
 
 
 
 
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2.3.2 DISTRIBUIÇÃO POR PONTOS OU VALORES 
 
2.3.2.1 Construção de distribuição de frequência para dados discretos 
 
Na construção de uma distribuição de freqüência utilizando dados contínuos perde-se 
certa quantidade de informação porque os valores individuais perdem sua identidade 
quando são agrupados em classes. Isso pode ou não ocorrer com dados discretos, 
dependendo da natureza dos dados e os objetivos do analista. 
 
Considere um conjunto de valores resultados de uma contagem. Poderia ser, por 
exemplo, o número de irmãos dos alunos da disciplina de Controle Estatístico da 
Qualidade (CEQ). 
Número de irmãos dos alunos da disciplina de CEQ: 
 
0 1 1 6 3 1 3 1 1 0 
4 5 1 1 1 0 2 2 4 1 
3 1 2 1 1 1 1 5 5 6 
4 1 1 0 2 1 4 3 2 2 
1 0 2 1 1 2 3 0 1 0 
 
Esta coleção de valores não constitui informação, mas pode ser transformada em 
informação mediante sua representação em uma distribuição de freqüências por pontos 
ou valores. Para tal, coloca-se o conjunto em uma tabela em que a coluna da esquerda é 
representada pelos diferentes números ordenados (os pontos ou valores) e a coluna da 
direita pelo número de vezes que cada valor se repetiu (as freqüências simples ou 
absolutas). Para o exemplo, tem-se: 
 
Número de 
irmãos 
Frequência 
de alunos 
0 7 
1 21 
2 8 
3 5 
4 4 
5 3 
6 2 
TOTAL 50 
 
Na tabela abaixo, estão ilustrados os cálculos das frequências relativas e acumuladas. 
Classe 
Número de 
irmãos 
fi fri Fi Fri 
1 0 7 14,0% 7 14,0% 
2 1 21 42,0% 28 56,0% 
3 2 8 16,0% 36 72,0% 
4 3 5 10,0% 41 82,0% 
5 4 4 8,0% 45 90,0% 
6 5 3 6,0% 48 96,0% 
7 6 2 4,0% 50 100,0% 
TOTAL 50 100,0% - - 
 
 
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n = 50 
por exemplo, 
a fr3: 
 fr3 = f3 / n = 8 / 50 = 0,16 * 100 = 16,0% 
 
Verifica-se que 16,0% dos alunos da disciplina de CEQ possuem 2 irmãos. 
 
a F5: 
 F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 7 + 21 + 8 + 5 + 4 = 45 
 
Verifica-se que 45 alunos da disciplina de CEQ possuem no máximo 4 irmãos. 
 
a Fr4: 
 Fr4 = fr1 + fr2 + fr3 + fr4 = 14,0 + 42,0 + 16,0 + 10,0 = 82,0% 
 
Verifica-se que 82,0% dos alunos da disciplina de CEQ possuem no máximo 3 irmãos. 
 
 
Gráfico da Distribuição de frequência por pontos ou por valores 
 
Uma distribuição de frequências por pontos ou valores é apresentada graficamente 
através de um diagrama de linhas ou colunas, onde a variável Xi é representada no 
eixo das abcissas (horizontal) e as frequências no eixo das ordenadas (vertical). Abaixo 
veja o diagrama de colunas simples da variável número de irmãos dos alunos da 
disciplina de CEQ. 
Pelo gráfico de colunas abaixo pode-se concluir que 36 alunos, ou seja, 72,0% dos 
alunos, possuem até 2 irmãos. Sendo que destes, 42,0% possuem 1 irmão, 14,0% 
nenhum irmão e os restantes (16,0%) possuem 2 irmãos. 
 
14,0%
42,0%
16,0%
10,0%
8,0%
6,0%
4,0%
0,0%
10,0%
20,0%
30,0%
40,0%
50,0%
0 1 2 3 4 5 6
Número de irmãos
 
 
 
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3.2.3 Medida de posição ou tendência central de uma distribuição de frequências 
 
3.2.3.1 Média Aritmética para uma distribuição de freqüência 
A média aritmética de uma distribuição de frequências por pontos ou valores (dados 
discretos) ou por classes ou intervalos (dados contínuos) é dada por: 
( )
n
xfxfxf
n
xf
X nn
i
n
i
i ⋅++⋅+⋅
=
⋅
=
∑
= ...22111__ 
 
Exemplo1: 
Cálculo da média do número de irmãos dos alunos da disciplina de CEQ. 
Classe Número de 
irmãos (xi) 
fi fixi 
1 0 7 0 
2 1 21 21 
3 2 8 16 
4 3 5 15 
5 4 4 16 
6 5 3 15 
7 6 2 12 
TOTAL 50 95 
90,1
50
951__ ==
⋅
=
∑
=
n
xf
X
n
i
ii
 irmãos 
Ou seja, o número médio de irmãos dos alunos da disciplina de CEQ é 1,90. 
 
Exemplo2: 
Cálculo da média de tempo que os operadores executam uma determinada tarefa. 
Classe Tempo (min.) fi 
 Ponto médio da 
classe (xi) 
 fixi 
1 3 ---| 5 4 4 16 
2 5 ---| 7 15 6 90 
3 7 ---| 9 18 8 144 
4 9 ---| 11 4 10 40 
5 11 ---| 13 2 12 24 
6 13 ---| 15 0 14 0 
7 15 ---| 17 2 16 32 
TOTAL 45 346 
7,7
45
3461__ ==
⋅
=
∑
=
n
xf
X
n
i
ii
minutos 
Ou seja, o tempo médio que os operadores executam uma determinada tarefa é 7,7 
minutos. 
 
3.2.4 Medidas de variabilidade ou dispersão de uma distribuição de frequências 
 
3.2.4.1 Variância 
 
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2__
1
2
2
1
X
n
xf
s
n
i
ii
−
−
⋅
=
∑
= 
 
3.2.4.2 Desvio padrão 
O desvio padrão é determinado extraindo-se a raiz quadrada da variância. 
 
2__
1
2
1
X
n
xf
s
n
i
ii
−
−
⋅
=
∑
= 
 
Exemplo1: 
Para o exemplo do número de irmãos dos alunos da disciplina de CEQ. 
 
Classe 
Número de 
irmãos (xi) 
xi
2 fixi
2 
1 0 0 0 
2 1 1 21 
3 2 4 32 
4 3 9 45 
5 4 16 64 
6 5 25 75 
7 6 36 72 
TOTAL 309 
 
64,190,1
150
309
1
2
2__
1
2
=−
−
=−
−
⋅
=
∑
= X
n
xf
s
n
i
ii
 
 
Exemplo2: 
No caso do tempo de execução de uma determinada tarefa pelos operadores. 
 
Classe Tempo (min.) fi 
Ponto médio da 
classe (xi) 
xi
2 fixi
2 
1 3 ---| 5 4 4 16 64 
2 5 ---| 7 15 6 36 540 
3 7 ---| 9 18 8 64 1152 
4 9 ---| 11 4 10 100 400 
5 11 ---| 13 2 12 144 288 
6 13 ---| 15 0 14 196 0 
7 15 ---| 17 2 16 256 512 
TOTAL 45 2956 
 
81,27,7
145
2956
1
2
2__
1
2
=−
−
=−
−
⋅
=
∑
= X
n
xf
s
n
i
ii
 
 
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 23 
 
EXERCÍCIOS (ESTATÍSTICA DESCRITIVA): 
 
1. (2015/2) Os tempos de espera (em minutos) de clientes do Banco A (onde os clientes 
esperam em fila única) e do Banco B (onde os clientes esperam em filas individuais 
para três caixas diferentes) estão listados abaixo. 
 
Tempo de espera (em minutos) por Banco 
Banco A 6,1 6,4 6,4 7,3 7,6 6,4 
Banco B 5,2 5,2 6,5 5,5 6,4 5,4 
 
a) Calcule o tempo de espera médio para os clientes do Banco A e do Banco B. 
b) Calcule o desvio padrão do tempo de espera para os clientes do Banco A e do Banco 
B. 
c) Calcule o tempo de espera mediano para os clientes do Banco A e do Banco B. 
d) Qual banco apresenta o tempo de espera com maior variabilidade? Justifique com 
cálculo. 
 
2. Um concurso realizado simultaneamente nos locais A, B e C, apresentou as médias: 
70, 65 e 45, obtidos por 30, 40 e 30 candidatos, nessa ordem. Qual foi a média geral do 
concurso? 
 
3. Uma pesquisa levantou os dados sobre o mercado imobiliário de determinado centro 
urbano, do ano 1990 a 1997, e os valores obtidos sobre o número de lançamentos (em 
mil unidades) e o total em vendas (em milhões de Reais) estão dispostos abaixo: 
 
Ano 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 
Lançamentos 14,6 12,8 10,2 21,7 24,9 26,6 31,0 38,8 
Vendas 5,1 4,0 4,5 10,1 12,6 9,7 10,2 11,7 
 
a) Quem são as variáveis desse estudo? Quem é a amostra estudada? 
b) Calcule e interprete a média a mediana e a moda. 
 
4. Os dados abaixo representam o número de crianças nascidas vivas, no 1º semestre do 
ano de 1994, segundo os dados colhidos pelo IBGE: 
 
Mês/1994 Jan Fev Mar Abr Mai Jun 
Nº de Nascidos Vivos 222779210667 249204 234322 242449 224171 
 Fonte: IBGE 
 
a) Calcule o valor da média e interprete. 
b) Calcule o valor da mediana e da moda e interprete. 
 
5. Uma coleta de dados realizada com 15 empresas do setor têxtil foi realizada com o 
objetivo de verificar o número de funcionários existentes em cada uma delas, resultando 
nos seguintes dados: 
 
1000 3600 110 820 232 850 320 200 120 2500 130 156 210 1500 112 
 
 
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a) Calcule e interprete a média, mediana e moda para estes dados. 
b) Neste caso o valor da média é uma boa medida para representar este conjunto de 
informações? Por quê? 
 
6. Uma pesquisa foi realizada com 12 empresas do ramo alimentício, com o objetivo de 
verificar o número de funcionários que estas possuem, os dados obtidos estão abaixo: 
 
32 35 45 50 30 22 15 25 10 15 30 21 
 
Calcule e interprete a média, mediana e moda. 
 
7. Duas turmas de Estatística apresentam as seguintes estatísticas para as notas na prova 
G1: 
Turma A: média = 7,8 pontos e desvio-padrão = 1,4 pontos 
Turma B: média = 8,2 pontos e desvio-padrão = 2,5 pontos. 
 
Qual das duas turmas teve um desempenho mais homogêneo na prova G1? Justifique. 
 
8. Os dados abaixo se referem o número de compras realizadas via Internet de uma 
amostra de 7 indivíduos do sexo feminino: 
 
10 15 22 10 16 10 25 
 
Calcule e interprete: 
a) Média b) Desvio-padrão c) Coeficiente de Variação 
 
9. Um grupo de 100 estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm e um coeficiente de 
variação de 3,3%. Qual o desvio – padrão para as estaturas desse grupo? 
 
10. Abaixo, estão as rendas mensais (em Reais) de 10 empresários do setor calçadista 
do RS: 
7500 3600 3300 5000 4100 5500 4000 3500 5600 10400 
 
Calcule e interprete a renda média mensal e o desvio-padrão da renda mensal desses 
empresários. 
 
11. João deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das quatro matérias a 
seguir. Calcule a média ponderada de suas notas, sendo que as duas primeiras provas 
valem 2 pontos e as outras duas valem 3 pontos: 
 
Inglês 
1ª prova 6,5 
2ª prova 7,8 
3ª prova 8,0 
4ª prova 7,1 
 
 
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Português 
1ª prova 7,5 
2ª prova 6,9 
3ª prova 7,0 
4ª prova 8,2 
 
História 
1ª prova 5,4 
2ª prova 8,3 
3ª prova 7,9 
4ª prova 7,0 
 
Matemática 
1ª prova 8,5 
2ª prova 9,2 
3ª prova 9,6 
4ª prova 10,0 
 
12. Determinar a moda dos seguintes conjuntos: 
a) 6, 5, 5, 7, 5, 6, 5, 6, 3, 4 e 5 
b) 23, 28, 35, 17, 28, 35, 18, 18, 17, 18, 18, 18, 28, 28 e 18 
 
13. Calcule a média e o desvio padrão para as vendas diárias. 
R$ 8100 R$ 9000 R$ 4580 R$ 5600 R$ 7680 R$ 4800 R$ 10640 
 
14. Os dados abaixo são referentes às taxas de desemprego de 16 países separados em 
dois grupos: 
 
Grupo 1: Países da América do Sul e América do Norte: 
 
 Brasil Uruguai Chile Argentina México Canadá EUA Venezuela 
11.4 12.1 5.6 7.3 21.0 4.8 5.3 7.3 
 
Grupo 2: Países da Europa: 
 
Espanha Portugal Itália Alemanha Suécia Inglaterra Holanda França 
4.8 5.2 4.3 3.8 2.5 5.8 4.6 3.6 
 
 
COMPARAÇÃO DAS TAXAS DE DESEMPREGO 
Grupo 
Taxa Média de 
desemprego 
Desvio-padrão do 
desemprego 
Coeficiente 
de Variação 
Grupo1: América do Sul e do Norte 
Grupo2: Europa 
 
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Qual dos dois grupos possui maior variabilidade, ou seja, qual é o grupo mais 
heterogêneo em relação à taxa de desemprego? Que medida você utilizou para chegar 
nesta conclusão? 
 
15. (2015/2) Um feirante possuía 50 Kg de maçã para vender numa manhã. Começou a 
vender as frutas por R$ 2,50 ao quilo e, com o passar das horas, reduziu o preço em 
duas ocasiões para não haver sobrar. A tabela seguinte informar a quantidade de maçãs 
vendidas em cada período, bem como os diferentes preços cobrados pelo feirante. 
 
Período Preço por Kg 
Número de Kg 
de maçã vendido 
Até as 10hs 2,50 32 
Das 10hs às 11hs 2,00 13 
Das 11hs às 12hs 1,40 5 
 
Naquela manhã, por quanto foi vendido, em média, o quilo da maçã? 
 
16. (2015/1) Para comparar dois métodos de ensino, J e K, um professor tomou um 
conjunto de alunos, dividiu-os ao acaso em dois grupos e utilizou o método de ensino J 
para um grupo, e utilizou o método de ensino K para o outro grupo. Terminado o 
período de aula, o professor submeteu os dois grupos de alunos à mesma prova. Os 
alunos obtiveram, nessa prova, as notas apresentadas na tabela a seguir. 
 
Notas dos alunos segundo os dois métodos de ensino 
J 6 7,3 4 4,5 5 4 4 6 
K 7,2 8 5 7 6,2 7,5 9 6,1 
 
Nessas condições, julgue os itens a seguir (os itens devem ser comprovados 
matematicamente): 
a) As médias das notas dos métodos J e K são, respectivamente, 5,1 e 7,0. 
b) Na amostra observada, as notas dos alunos que foram ensinados pelo método de 
ensino J são mais homogêneas do que as notas dos alunos que foram ensinados pelo 
método de ensino K. 
 
Calcule os seguintes itens: 
c) A nota mediana dos alunos que foram ensinados pelo método J e pelo método K. 
d) A moda das notas dos alunos que foram ensinados pelo método J e pelo método K. 
 
17. (2015/2) Em um estudo sobre consumo de combustível de automóveis do mesmo 
ano e modelo tiveram seu consumo observado. 
Quilômetros por litro 8 9 10 11 12 
Quantidade de automóveis 19 21 5 3 2 
Nessas condições, um automóvel desse ano e modelo faz quantos quilômetros a cada 
litro de combustível? 
 
 
 
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18. Uma pessoa comprou 4 lâmpadas diferentes e observou que, na média, o preço de 
uma lâmpada saía por R$ 8,00. Antes de efetuar o pagamento, aproveitou uma oferta e 
comprou mais duas lâmpadas, ambas de mesmo preço. Considerando-se as 6 lâmpadas 
compradas, o preço médio de cada uma ficou em R$ 7,50. Portanto, o valor de uma 
lâmpada da oferta era de quanto? 
 
19. (2016/2) A nota final para uma disciplina de uma instituição de ensino superior é a 
média ponderada das notas A, B, e C, cujos pesos são 3, 1, e 2, respectivamente. Paulo 
obteve A = 6,0 e B = 3,0. Quanto ele deve obter em C para que sua nota final seja 6,0? 
 
20. O tempo que uma máquina leva, em segundos, para executar certa operação em cada 
unidade produzida é sujeito a variações. Para verificar se as condições de 
funcionamento estão dentro das normas, registrou-se 12 vezes o referido tempo. Os 
resultados, em segundos, foram os seguintes: 
29, 33, 36, 35, 36, 35, 40, 32, 37, 31, 30, 36 
Calcule e interprete: 
a) Média b) Mediana c) Moda d) Desvio padrão 
 
21. (2015/2) A seguir, lista-se uma amostra das notas de seis alunos nas disciplinas de 
Química e Biologia de uma determinada escola. 
 
Química: 6,6 5 5 7 6 4 
Biologia: 7 8 6 7 5,6 9 
 
Complete a seguinte tabela com as informações para cada disciplina: 
 
Disciplinas Moda Mediana Média Desvio-padrão Coeficiente de Variação (CV) 
Química 
 
Biologia 
 
 
Indique qual disciplina (Química ou Biologia) apresenta notas mais heterogêneas. 
Justifique matematicamente. 
 
22. Uma coleta de dados realizada com 15 empresas do setor calçadista de Novo 
Hamburgo foi realizada com o objetivo de verificaro número de funcionários existentes 
em cada uma delas, resultando nos seguintes dados: 
 
1500 3600 110 820 232 850 320 200 120 2500 130 156 210 1500 112 
 
a) Calcule a média, mediana e moda para estes dados. 
b) Neste caso o valor da média é uma boa medida para representar este conjunto de 
informações? Qual seria a medida mais adequada e Por quê? 
 
 
 
 
 
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23. Abaixo estão relacionados os saldos médios de 48 contas de clientes do BB Novo 
S/A (em reais): 
 
450 500 150 1000 250 275 550 500 225 475 150 450 
800 275 600 750 375 650 150 500 1150 700 475 900 
600 750 375 650 150 500 225 150 150 360 230 250 
375 470 600 1150 270 250 300 275 350 950 800 500 
a) Quem é a variável de estudo? Classifique-a. 
b) Construa uma tabela para estes dados considerando 5 faixas de valores. 
 
 
24. (2015/2) O histograma abaixo ilustra o teor de nicotina (em miligramas) em 40 
cigarros de certa marca: 
2 2
5
18
8
5
0
5
10
15
20
0,7 -| 1,0 1,0 -| 1,3 1,3 -| 1,6 1,6 -| 1,9 1,9 -| 2,2 2,2 -| 2,5
Teor de nicotina (mg) em cigarros
 
 
Construa a distribuição de frequências para o histograma acima e conclua. 
 fi fri Fi Fri 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOTAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25. (2016/1) Foi feito um levantamento dos salários dos funcionários de uma empresa 
e, em seguida, foi elaborada uma tabela de frequências com os valores da variável 
salário (R$) em classes. Complete a tabela de frequências abaixo. 
 
Salário (R$) fi fri Fi Fri 
|- 10,0% 
|- 20 
|- 40 50,0% 
|- 8 
3350 |- 3950 
 3950 |- 4550 2,5% 
TOTAL - - 
 
26. (2015/2) O histograma abaixo descreve as notas de 60 alunos no exame final de um 
curso elementar de estatística: 
 
5,0% 5,0%
8,3%
6,7%
16,7%
21,7%
28,3%
8,3%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
1,0 |- 2,1 2,1 |- 3,2 3,2 |- 4,3 4,3 |- 5,4 5,4 |- 6,5 6,5 |- 7,6 7,6 |- 8,7 8,7 |- 9,8
Notas em uma disciplina de Estatística
 
 
Construa a distribuição de frequências para o histograma acima e conclua. 
 fi fri Fi Fri 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOTAL 
 
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RESPOSTAS: 
 
1. a) Banco A = 6,7 Banco B = 5,7 
b) Banco A = 0,60 Banco B = 0,5933 
c) Banco A = 6,4 Banco B = 5,45 
d) CVA = 8,96% e CVB = 10,41% 
Logo, o banco que apresenta tempo de espera com maior variabilidade é o Banco B, 
pois CVB > CVA. 
 
2. 60,5 
3. a) Variáveis: Lançamentos e Total em vendas Amostra: 8 anos 
 
b) Lançamentos: Em média foram lançadas 22,6 mil unidades neste período por ano. 
 Metade do período foi lançada menos que 23,3 mil unidades e metade 
mais que 23,3 mil unidades 
 Não tem moda. 
 
Total em vendas: Em média foram vendidos 8,5 milhões de reais neste período por ano. 
 Metade do período foi vendido menos que 9,9 milhões de reais e metade 
mais que 9,9 milhões de reais 
 Não tem moda. 
 
4. a) O nº médio de crianças nascidas vivas por ano é de 230.598,7 crianças. 
b) Metade do período nasceu menos que 229.246,5 crianças vivas e metade mais que 229.246,5 
crianças vivas. Não tem moda. 
 
5. a) Em média estas empresas possuem 790,7 funcionários 
Metade das empresas possui menos que 232 funcionários e metade mais que 232 
funcionários. 
Não tem moda 
 
b) “A média não é uma boa medida, pois é muito influenciada por valores extremos, a 
mediana seria uma medida mais representativa para este caso”. 
 
6. Em média estas empresas possuem 27,5 funcionários 
Metade das empresas possui menos que 27,5 funcionários e metade mais que 27,5 
funcionários. 
Os números de funcionários que ocorrem com maior frequência são 15 e 30 
funcionários 
 
7. CVA = 17,9% CVB = 30,5% CVA < CVB 
A turma A teve um desempenho mais homogêneo na prova G1, comparada com a turma 
B. 
 
8. a) 4,15=X 
O Número médio de compras realizadas via Internet é de 15,4 compras. 
b) s = 6,1 
 
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O Número médio de compras realizadas via Internet é de 15,4 compras com uma 
variação de 6,1 em torno da média. 
c) CV = 39,6¨% 
Existe uma variação de 39,6% ao redor do Número médio de compras realizadas via 
Internet. 
 
9. s = 5,4 cm. 
10. a) 00,5250$RX = 
A renda média doe empresários do setor calçadista do RS é de R$ 5250,00. 
b) s = R$ 2218,7 
A renda média doe empresários do setor calçadista do RS é de R$ 5250,00 com uma 
variabilidade em torno da média de R$ 2218,70. 
 
11. Média nota inglês = 7,4 
Média nota português = 7,4 
Média nota história = 7,2 
Média nota matemática = 9,4 
 
12. a) 5 b) 18 
 
13. Média = R$7200,00 e Desvio Padrão = R$ 2283,94 
 
14. COMPARAÇÃO DAS TAXAS DE DESEMPREGO 
Grupo 
Taxa Média de 
desemprego 
Desvio-padrão do 
desemprego 
Coeficiente de 
Variação 
Grupo1: América do Sul e do Norte 9,35 5,44 58,2% 
Grupo2: Europa 4,33 1,03 23,7% 
O grupo mais heterogêneo é o grupo 1, pois possui o maior CV (coeficiente de variação). 
E a medida utilizada foi o CV. 
 
15. R$ 2,26 ao quilo. 
16. a) Correto, pois 1,5=JX e 0,7=KX 
b) Errado, pois CVJ = 24,0% e CVK = 17,7%, logo as notas dos alunos que foram 
ensinados pelo método de ensino K são mais homogêneas, pois CVK < CVJ. 
c) meJ = 4,75 e meK = 7,1 
d) moJ = 5,0 e moK = Amodal 
17. 8,96 Km/l. 
18. R$ 6,50. 
19. 7,5 
20. a) O tempo médio que a máquina leva, em segundos, para executar a operação é de 
34,2 segundos. 
 
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b) Metade das máquinas levou para executar a operação menos de 35 segundos e 
metade mais de 35 segundos 
c) O tempo de execução da operação que ocorreu com maior freqüência foi de 36 
segundos. 
d) Existe uma variação em torno da média de 3,2 segundos 
 
21. 
 
Disciplinas Moda Mediana Média Desvio-padrão CV 
Química 5,0 5,5 5,6 1,1314 20,2% 
Biologia 7,0 7,0 7,1 1,257 17,7% 
 
A disciplina que apresenta notas mais heterogêneas é Química, pois CVQ > CVB. 
 
22. 
a) Média: 824 Mediana: 232 Moda: 1500 
b) Devido a grande variação dos dados a melhor medida seria a Mediana, pois esta 
não é influenciada por valores extremos. 
 
23. 
a) Saldos médios das contas do cliente – Quantitativa contínua 
b) 
Saldos Médios Nº Contas % 
150 ├ 350 17 35,4 
350 ├ 550 15 31,3 
550 ├ 750 7 14,6 
750 ├ 950 5 10,4 
950 ├| 1150 4 8,3 
Total 48 100 
 
24. 
Teor de Nicotina fi fri Fi Fri 
0,7 ├ 1,0 2 5,0% 2 5,0% 
1,0 ├ 1,3 2 5,0% 4 10,0% 
1,3 ├ 1,6 5 12,5% 9 22,5% 
1,6 ├ 1,9 18 45,0% 27 67,5% 
1,9 ├ 2,2 8 20,0% 35 87,5% 
2,2 ├ 2,5 5 12,5% 40 100,0% 
TOTAL 40 100,0% - - 
 
Conclusão: Verifica-se que 65,0% dos cigarros possuem entre 1,6 mg a 2,2 mg de 
nicotina. Apenas 10,0% possuem menos de 1,3 mg de nicotina. 
 
 
 
 
 
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25. 
Salário (R$) fi fri Fi Fri 
950 |- 1550 8 10,0% 8 10,0% 
1550 |- 2150 20 25,0% 28 35,0% 
2150 |- 2750 40 50,0% 68 85,0% 
 2750 |- 3350 8 10,0% 76 95,0% 
3350 |- 3950 2 2,5% 78 97,5% 
 3950 |- 4550 2 2,5% 80 100,0% 
TOTAL 80 100,0% - - 
 
 
26. 
Notas fi fri Fi Fri 
1,0 ├ 2,1 3 5,0% 3 5,0% 
2,1 ├ 3,2 3 5,0% 6 10,0% 
3,2 ├ 4,3 5 8,3% 11 18,3% 
4,3 ├ 5,4 4 6,7% 15 25,0% 
5,4 ├ 6,5 10 16,7% 25 41,7% 
6,5 ├ 7,6 13 21,7% 38 63,4% 
7,6 ├ 8,7 17 28,3% 55 91,7% 
8,7 ├ 9,8 5 8,3% 60 100,0% 
TOTAL 60 100,0% - - 
 
Conclusão: Verifica-se que 66,7% dos alunos tiraran com notas entre 5,4 até 8,7. 
Apenas 8,3% dos alunos tiraram notas acima de 8,7. E nota-se que 10,0% dos alunos 
tiraram notas entre 1,0 e menos de 3,2. 
 
 
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3. PROBABILIDADE 
O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática. Sua inclusão nesse 
estudo, cujo objetivo é essencialmente a Estatística, encontra explicação no fato de que 
a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística é de natureza aleatória ou 
probabilística. Consequentemente, o conhecimento dos aspectos mais fundamentais do 
cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística. 
 
3.1 Experimento Aleatório (E) 
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições 
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. 
 
Características dos experimentos aleatórios: 
1. Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições. 
2. Não se pode adiantar um resultado particular, mas pode-se descrever todos os 
resultados possíveis. 
3. Se repetidos muitas vezes apresentarão uma regularidade em termos de 
freqüência de resultados. 
 
Exemplos: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, aposta na loteria, 
disputa de par ou ímpar etc. 
 
Exemplos: Ao descrever um experimento aleatório deve-se especificar não somente que 
operação ou procedimento deva ser realizado, mas também o que deverá ser observado. 
(Note a diferença entre o E2 e o E3). 
E1: Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. 
E2: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido. 
E3: Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas. 
E4: Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem 
reposição) até que a última defeituosa seja encontrada. Conta-se o número de peças 
retiradas. 
E5: Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar. 
E6: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de 
lançamentos necessários. 
E7: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos. 
E8: Lançam-se dois dados e anota-se o par obtido. 
 
3.2 Espaço amostral (S) 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Anota-se 
por S ou Ω. 
n(S) é o número de elementos do conjunto S, ou o número de resultados possíveis. 
 
Exemplo1: Seja o experimento: Efetivar 3 lançamentos de uma moeda (cara: c ou 
coroa: k) e observar a fase resultante. Qual o espaço amostral? 
 
Espaço amostral: S = {ccc,cck,ckc,kcc,ckk,kck,kkc,kkk} e n(S) = 8. 
 
 
 
 
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Exemplo2: Determinar o espaço amostral dos experimentos anteriores. 
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
S2 = {0, 1, 2, 3, 4} 
S3 = {cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckck, kckc, kcck, ckkc, ckkk, kckk, kkck, 
kkkc, kkkk} 
S4 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10} 
S5 = { t ℜ∈ / t ≥ 0 } 
S6 = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 
S7 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 
S8 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) 
 (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) 
 (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) 
 (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) 
 (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) 
 (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 
 
Exemplo3: No lançamento de um dado, o espaço amostral é S = {1,2,3,4,5,6} e o 
número de elementos de S é n(S) = 6. 
 
Exemplo4: Na jogada de uma moeda, o espaço amostral é S = {Ca, Co} e o número de 
elementos de S é: n(S) = 2. 
 
Exemplo5: Um experimento é o lançamento de uma moeda. Os possíveis resultados são 
cara ou coroa, então, S={cara, coroa}. 
Em dois lançamentos de uma moeda, sendo interessante observar a ordem dos 
resultados, os possíveis resultados são: 1) cara e cara, 2) cara e coroa, 3) coroa e cara e 
4) coroa e coroa. O espaço amostral é S={(c,c), (c,k), (k,c) e (k,k)} e n(S)=4. 
 
3.3 Eventos 
Chama-se de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento 
aleatório, ou seja, qualquer resultado do espaço amostral. 
n(A) é o número de resultados associados ao evento A. 
 
Seja A um evento. A probabilidade deste evento ocorrer é dada por P(A), que é um 
número entre 0 e 1. Quanto mais próxima a probabilidade estiver de 1, maior será sua 
chance de ocorrência. A um evento impossível atribui-se probabilidade 0, enquanto que 
um evento certo tem probabilidade 1. 
 
Exemplo1: no lançamento de uma moeda S = {cara, coroa}. Um evento de interesse A 
pode ser “obter cara no lançamento de uma moeda” e n(A)=1. 
No lançamento de um dado, o evento de interesse (A) pode ser obter face par e n(A)=3. 
 
Exemplo2: No lançamento de um dado, onde S = {1,2,3,4,5,6}, temos, por exemplo: 
- Evento A: Apareçam números pares, ou seja, A = {2,4,6} e n(A) = 3; 
- Evento B: Apareçam números ímpares, ou seja, B = {1,3,5} e n(B) = 3; 
- Evento C: Apareçam números maiores que 6, ou seja, C = ∅ e n(C) = 0; 
- Evento D: Apareça o número 4. ou seja, D = {4} e n(D) = 1. 
 
 
 
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3.4 Conceitos de Probabilidade 
 
Existem três formas de se definir probabilidade. A definição clássica, a frequencial e a 
axiomática. 
 
3.4.1 Definição Clássica 
Seja S um espaço amostral formado por n(S) resultados igualmente prováveis. Seja A 
⊆ S (A está contido em S) um evento com n(A) elementos. A probabilidade de A, 
denotada por P(A), é definida como sendo: 
 
)(
)(
)(
Sn
An
AP = , 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 
Isto é, a probabilidade do evento A é o quociente entre o número de casos favoráveis e o 
número de casos possíveis. 
 
Exemplo: 
Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado equilibrado obter-se: 
S = {1,2,3,4,5,6} 
n(S) = 6 
 
a) Um resultado igual a 4. 
A = {4} n(A) = 1 então P(A) = n(A) / n(S) = 1 / 6 = 16,67% 
 
b) Um resultado ímpar. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6 
B = {1, 3, 5} n(B) = 3 então P(B) = n(B) / n(S) = 3 / 6 = 50% 
 
 
3.4.2 Definição Frequencial 
Seja E um experimento e A um evento de um espaço amostral S. Suponha-se que E seja 
repetido n vezes e seja fA o número de vezes que A ocorre nas n repetições de E. 
Então a freqüência relativa do evento A, anotada por frA, é o quociente: 
 
frA = fA / n = (número de vezes que A ocorre) / (número de vezes que E é repetido) 
 
Exemplo1: Uma moeda foi lançada 200 vezes e forneceu 102 caras. Então a freqüência 
relativa de “caras” é: 
frA = 102 / 200 = 0,51 = 51% 
 
Exemplo2: Um dado foi lançado 100 vezes e a face 6 apareceu 18 vezes. Então a 
freqüência relativa do evento A = {face 6} é: 
frA = 18 / 100 = 0,18 = 18% 
 
 
 
 
 
 
 
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3.4.3 Definição Axiomática 
Seja E um experimento aleatório com um espaço amostra associado S. A cada evento 
A ⊆ S associa-se um número real, representado por P(A) e denominado “probabilidade 
de A”, que satisfaz as seguintes propriedades (axiomas): 
(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1; 
(ii) P(S) = 1; 
(iii) P(AUB) = P(A) + P(B) se A e B forem eventos mutuamente excludentes*. 
 
* Eventos Mutuamente Excludentes (ou Disjuntos ou Exclusivos): Dois eventos A e B 
são denominados mutuamente exclusivos ou excludentes ou disjuntos, se eles não 
puderem ocorrer juntos, isto é, se A ∩ B = ∅ . 
 
 
 
Como A ∩ B = ∅ , então, substituindo na fórmula da adição, que será apresentada na 
sequencia, temos: 
 ∅ 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
Então, 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) quando os eventos forem disjuntos ou mutuamente 
excludentes. 
 
3.5 Operação com Eventos 
 
Pode-se realizar operações entre eventos da mesma forma que elas são realizadas entre 
conjuntos. Para apresentar os eventos utilizam-se os Diagramas de Venn, que 
representam os espaços amostrais e os eventos como círculos, quadrados, ou outra 
figura geométrica conveniente. 
 
Seja E um experimento com um espaço amostral associado S. Seja A um evento de S. É 
dito que o evento A ocorre se realizada a experiência, isto é, se executado E, o resultado 
for um elemento de A. 
 
Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral S. Diz-se que ocorre o evento: 
 
1. A união B ou A soma B, anotado por A ∪ B, se e somente se A ocorre ou B ocorre. 
 
 
2. A produto B ou A interseção B, anotado por A ∩ B ou AB, se e somente A ocorre e B 
ocorre. 
 
 
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3. A menos B ou A diferença B, anota-se A - B, se e somente se A ocorre e B não ocorre. 
 
 
 
4. Probabilidade Complementar: 
O complementar de A, anotado por 
__
A , AC ou ainda A’ se e somente se A não ocorre. Ou 
seja, a probabilidade complementar de A é o evento formado por todos os resultados do 
espaço amostral que não pertencem à A. A probabilidade de não ocorrência de A é 
descrita como P(
__
A ) e é expressa da forma: 
P(
__
A ) = 1 – P(A) 
 
 
 
5. Eventos Independentes: 
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S. A e B são ditos independentes se a 
probabilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer, isto é, se: 
 
P(A/B) = P(A) ou 
P(B/A) = P(B) ou ainda se 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) 
 
Qualquer uma das três relações acima pode ser usada como definição de independência. 
 
 
3.6 TEOREMAS 
 
3.6.1 Teorema da adição 
 
O teorema da adição leva em conta a ocorrência do evento A ou do evento B ou de 
ambos os eventos e é denotada por P(A ∪ B) e dada por: 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
 
 
 
 
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Quando os eventos são mutuamente excludentes (não tem elementos em comum), então 
a probabilidade de ambos é nula e o termo P(A ∩ B) será zero. 
Se A e B são mutuamente excludentes → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
 
 
A extensão para três eventos será: 
 
O teorema da adição leva em conta a ocorrência do evento A ou do evento B ou do 
evento C ou de todos os três eventos e é denotada por P(A ∪ B ∪ C) e dada por: 
 
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) 
 
 
 
Se A e B e C são mutuamente excludentes → P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) 
 
Exemplo 1: Ao retirar uma carta do baralho considere os eventos: A – retirar um Ás e B 
– retirar uma carta do naipe Espadas. Qual a probabilidade de selecionar aleatoriamente 
uma carta deste baralho e ela ser um Ás ou uma carta do naipe de espadas? 
 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
4/52 + 13/52 – 1/52 = 
 16/52 = 0,3077 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2: Ao retirar uma carta do baralho considere os eventos: A – retirar um Ás e B 
– retirar um Rei. Qual a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma carta deste 
baralho e ela ser um Ás ou um Rei? 
 
Como A e B são mutuamente excludentes: 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 0,1538 
 
Exercício 1: Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Uma bola é retirada ao 
acaso. Determine a probabilidade: 
a) De um número ser par ou maior do que 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) De um número ser primo ou maior do que 8. 
 
 
 
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Exercício 2: De 100 pessoas que solicitaram emprego de programador de computador, 
durante o ano passado, 65 possuíam experiência anterior, 30 pessoas possuíam um 
certificado profissional. Vinte candidatos possuíam tanto experiência anterior como 
certificado profissional. Qual a probabilidade de um candidato selecionado ao acaso 
deste grupo tenha experiência anterior ou certificado profissional? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6.2 Teorema da multiplicação: 
Considerando-se dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de 
A e B ocorrerem P(A ∩ B) é dada por: 
Se A e B são dois eventos dependentes então: 
 P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) 
Onde a probabilidade condicional P(A/B) lê-se a probabilidade de B ocorrer dado que A 
já ocorreu. 
E quando A e B forem independentes → P(A ∩ B) = P(A) . P(B) 
 
A extensão para três eventos será: 
 
Se A e B e C são três eventos dependentes então: 
 P(A ∩ B ∩ C) = P(A) . P(B/A) . P(C/ A ∩ B) 
 
E quando A e B e C forem independentes → P(A ∩ B ∩ C) = P(A) . P(B) . P(C) 
 
OBS: Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou não de um evento não 
tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Dois eventos são 
dependentes quando a ocorrência ou não-ocorrência de um evento afeta a 
probabilidade de ocorrência do outro. 
 
Exemplo 1: Em uma linha de produção a probabilidade de uma peça fabricada estar 
fora das especificações em relação a sua largura é 2%, em relação ao seu comprimento 
é 5%. Considere que a ocorrência de defeito na largura ou comprimento acontece de 
forma independente. Uma peça foi aleatoriamente selecionada desta linha de produção e 
seu comprimento e largura verificados pelo controle de qualidade, qual a probabilidade 
desta peça: 
Vamos considerar: 
 A: defeito na largura A : largura perfeita 
B: defeito no comprimento B : comprimento perfeito 
 
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P(A) = 0,02 P( A ) = 0,98 
P(B) = 0,05 P( B ) = 0,95 
 
a) Apresentar defeito na largura e no comprimento. 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 0,02 x 0,05 = 0,001 
 
b) Apresentar defeito apenas na largura. 
P(A ∩ B ) = P(A) . P( B ) = 0,02 x 0,95 = 0,019 
 
c) A peça ser perfeita na largura e no comprimento. 
P( A ∩ B ) = P( A ) . P( B ) = 0,98 x 0,95 = 0,931 
 
d) A peça apresentar pelo menos um destes defeitos. 
P(A ∩ B ) ou P( A ∩ B ) ou P(A ∩ B) = 
(0,02x 0,95) + (0,98 x 0,05) + (0,02 x 0,05) = 
 0,019 + 0,049 + 0,001 = 0,069 
ou 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,02 + 0,05 – (0,02x0,05) = 0,069 
 
Exemplo 2: Um lote de 10 peças produzidas por uma fábrica contém 8 peças boas e 2 
defeituosas. Duas peças são retiradas aleatoriamente, sem reposição, pelo comprador do 
lote. Qual é a probabilidade de: 
 
a) As duas peças serem boas. 
P(B1 ∩ B2) = P(B1) . P(B2/B1) = 8/10 x 7/9 = 56/90 = 0,6222 
 
b) A primeira peça ser boa e a segunda defeituosa. 
P(B1 ∩ D2) = P(B1) . P(D2/B1) = 8/10 x 2/9 = 16/90 = 0,1777 
 
c) As duas peças serem defeituosas. 
P(D1 ∩ D2) = P(D1) . P(D2/D1) = 2/10 x 1/9 = 2/90 = 0, 0222 
 
Exemplo 3: Uma urna contém 10 bolas, sendo 7 amarelas e 3 verdes. Se uma amostra 
de 2 bolas for selecionada ao acaso, sem reposição, qual é a probabilidade de que: 
 
a) Ambas sejam verdes. 
 
P(V1 e V2) = P(V1 ∩ V2) = P(V1 ∩ V2) = P(V1) . P(V2/V1) = 3/10 . 2/9 = 6/90 
 
b) Ocorra uma de cada cor. 
 
P[(V1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ V2)] = P(V1) . P(A2/V1) + P(A1) . P(V2/A1) = 
 = 3/10 . 7/9 + 7/10 . 3/9 = 42/90 
 
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Exercício 1: Considere uma urna que contem 15 bolas, das quais 9 são azuis e 6 são 
verdes. 
a) Duas bolas são retiradas, sem reposição, qual a probabilidade de retirar a primeira 
bola azul e a segunda verde. 
 
 
 
 
 
b) Duas bolas são retiradas, com reposição, qual a probabilidade de retirar a primeira 
bola azul e a segunda verde. 
 
 
 
 
 
c) Três bolas são retiradas, sem reposição, qual a probabilidade de retirar as duas 
primeiras bolas verdes e a terceira ser azul. 
 
 
 
 
 
d) Duas bolas são retiradas, sem reposição, qual a probabilidade de ocorrer uma bola de 
cada cor. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2: João tem dois velhos automóveis. Nas manhãs frias, há 20% de 
probabilidade de um deles não pegar, e 30% de outro não pegar. Em uma manhã fria, 
qual a probabilidade de: 
a) Nenhum dos automóveis pegar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Os dois automóveis pegarem. 
 
 
 
 
 
 
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c) Apenas um automóvel pegar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Ao menos um dos automóveis pegar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3: As falhas de diferentes equipamentos são independentes uma das outras. 
Se há três equipamentos e suas respectivas falhas são: 2,5%, 3% e 4%. Em um 
determinado dia, calcule a probabilidade de: 
 
a) Todos falharem. (R: 0,00003) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Nenhum falhar. (R: 0,90762) 
 
 
 
 
 
 
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3.7 Probabilidade Condicional 
 
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S, associado a um experimento E, 
onde P(A) > 0. A probabilidade de B ocorrer condicionada a A ter ocorrido, será 
representada por P(B/A), e lida como: “probabilidade de B dado A” ou “probabilidade 
de B condicionada a A” ou “probabilidade de ocorrer o evento B, dado que tenha 
ocorrido o evento A”, e calculada por: 
 
)(
)(
)/(
AP
BAP
ABP
∩
= ou 
 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) 
 
 
 
Exemplo: A probabilidade de um voo regular partir no horário é 0,83; a probabilidade 
deste voo chegar no horário é 0,82, e a probabilidade de que parta e chegue no horário é 
0,78. Calcule: 
a) A probabilidade de o voo chegar no horário tendo partido no horário. 
b) A probabilidade de o voo ter partido o no horário dado que chegou no horário. 
 
Resolução: 
A: Voo partir no horário P(A) = 0,83 
B: Voo chegar no horário P(B) = 0,82 
A e B: Ambos (partir e chegar no horário) P(A ∩ B) = 0,78 
 
a) 94,0
83,0
78,0
)(
)(
)/( ==
∩
=
AP
BAP
ABP 
 
a) 95,0
82,0
78,0
)(
)(
)/( ==
∩
=
BP
BAP
BAP 
 
Exercício. De 100 pessoas que solicitaram emprego de programador de computador, 
durante o ano passado, 65 possuíam experiência anterior, 30 pessoas possuíam um 
certificado profissional. Vinte candidatos possuíam tanto experiência anterior como 
certificado profissional. Calcule a probabilidade de um candidato que possui certificado 
profissional, selecionado aleatoriamente deste grupo, possuir também experiência 
anterior? 
 
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3.8 Teoremas da Probabilidade Total e de Bayes 
 
O conceito de probabilidade condicional pode ser utilizado para calcular a probabilidade 
de um evento simples A ao invés da probabilidade da interseção de dois eventos A e B. 
Para tanto é necessário o conceito de partição de um espaço amostral. 
 
Definição: Dizemos que os eventos B1, B2, ... , Bk formam uma partição do espaço 
amostral S se e somente se: 
 
i) Bi ∩ Bj =∅ , para todo i ≠ j; 
 
ii) B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bk = S; 
 
iii) P (Bi) > 0, para todo i. 
 
OBS: Na figura abaixo verifica-se que o B9 não traz informação para o evento A, logo 
B9 não é uma partição de A. 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Considere o espaço amostra obtido pelos números das faces no lançamento de um dado 
equilibrado e sejam os eventos: 
B1 = {1, 2, 3}, B2 = {4, 5} e B3 = {6} 
 
Então, pode-se verificar facilmente que os eventos acima formam um partição do 
espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
 
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3.8.1 Teorema da Probabilidade Total 
 
Seja S um espaço amostral e B1, B2, ... , Bk uma partição de S e A um evento qualquer. 
 
Então, A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ ... ∪ (A ∩ Bk) 
 
Alguns destes conjuntos (A ∩ Bi) poderão ser vazios, mas isto não representa nenhum 
problema na decomposição de A. O importante é que todos os conjuntos (A ∩ B1), 
(A ∩ B2), .... , (A ∩ Bk) são dois a dois mutuamente excludentes ou disjuntos. Por isto, 
pode-se aplicar a propriedade da adição de eventos mutuamente excludentes ou 
disjuntos e escrever: 
 
P(A) = P [(A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ ... ∪ (A ∩ Bk)] = 
 
 = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + ... + P(A ∩ Bk) = 
 
Mas cada um dos termos P(A ∩ Bi) pode ser escrito na forma: 
 
P(A ∩ Bi) = P(Bi) . P(A/Bi), pela definição de probabilidade condicional, obtém-se então 
o denominado teorema da probabilidade total: 
 
P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) + ... + P(Bk) . P(A/Bk) 
 
 
 P(B1 ∩ A) P(Bk ∩ A) P(Bk ∩ A) 
 
Logo, P(A) = ∑
=
⋅
k
i
BiAPBiP
1
)/()( 
 
Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 
bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se ao acaso uma urna e dela retira-se também ao 
acaso, uma bola. Qual é a probabilidade de que seja branca? 
 
Solução: 
Evento A = Bola Branca 
Evento B1 = Urna 1 
Evento B2 = Urna 2 
 
P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) = 
 1/2 . 3/5 + 1/2 . 4/6 = 19/30 
 
 
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Exercício: Uma determinada peça