Apostila - Ráciocínio Lógico

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Raciocínio Lógico 
Apresentação 
 
Este material é parte integrante da Disciplina Raciocínio Lógico. Você acessa o ambiente virtual de 
aprendizagem: estuda, realiza as atividades, esclarece as dúvidas com seu professor-tutor! Aqui, você 
reforça o seu estudo, ainda tem a possibilidade de realizar mais atividades, aprimorando, assim, o 
seu aprendizado. 
 
Para ajudá-lo a consolidar seus conhecimentos, ao longo do material, você encontrará ícones com 
funções e objetivos distintos. Observe: 
 
Fique atento: destaca alguma informação importante que não deve ser esquecida por 
você. Também pode acrescentar um conhecimento novo ou uma experiência ao tema 
tratado. 
 
Dica: traz novos conhecimentos em relação ao tema tratado ou pode indicar alguma fonte 
de pesquisa para que você aprofunde ainda mais seus conhecimentos no futuro. 
 
Leitura complementar: indicação de um artigo com o objetivo de você se aprofundar no 
assunto a ser tratado. 
 
Consolidando a aprendizagem: são listas de perguntas cujo objetivo é você confirmar, 
negar ou criar um novo conhecimento ou opinião acerca do assunto que foi tratado no 
material. 
 
Objetivos da unidade: informa o que você precisa aprender em cada unidade.. 
 
 
Aproveite! Você tem em mão a chance de desenvolver ou aprofundar seus conhecimentos na área 
de Raciocínio Lógico. 
 
Objetivo Geral 
 
Estudar o raciocínio em seus diferentes paradigmas e suas ligações com o afeto. Analisar o processo 
de simbolização e abstração, naturalmente realizado por todos, na linguagem e na interpretação da 
realidade. 
 
 
 
 
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Sumário 
Unidade I - Introdução – Razão, princípios da razão e atividade racional .............................................. 5 
1.1 – A razão ao longo da história ....................................................................................................... 6 
1.2 - Os princípios gerais da razão: identidade, não-contradição, terceiro excluído, causalidade 
(razão suficiente) ................................................................................................................................. 8 
1.3 - A atividade racional: a intuição e a razão discursiva (indução, dedução, abdução) ................... 9 
1.4 - Origens da razão: inatismo ou empirismo? .............................................................................. 16 
1.5 - As bases fisiológicas da razão: sensação, percepção, memória e categorização ..................... 20 
1.6 - Razão e emoção ........................................................................................................................ 20 
Unidade II Categorização e teoria dos conjuntos ................................................................................. 25 
2.1 - A necessidade de numeração na humanidade ......................................................................... 26 
2.2- Conjuntos numéricos ................................................................................................................. 33 
2.3 – Subconjuntos ............................................................................................................................ 44 
2.4 - Operações com conjuntos ........................................................................................................ 46 
2.6 - Diagrama de Venn ..................................................................................................................... 49 
Unidade III – Teorias da Verdade .......................................................................................................... 55 
3.1 - Ignorância, incerteza, dogma .................................................................................................... 56 
3.3 - Dados, raciocínios e conclusões / Operações lógicas ............................................................... 65 
Unidade IV - A realidade e seus modelos abstratos e as Teoria das Funções ...................................... 71 
4.1 - Conceito de Função ................................................................................................................... 72 
4.2 - Função Composta ...................................................................................................................... 78 
4.3 - Tipos de função: Função Constante e Função Afim .................................................................. 82 
4.4 - Função Quadrática .................................................................................................................... 87 
4.5 - Logaritmos ................................................................................................................................. 93 
 
 
 
 
 
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Unidade I - Introdução – Razão, princípios da razão e atividade racional 
 
 
 
Nesta unidade você irá: 
 Conceituar juízo e raciocínio. 
 Definir razão. 
 Identificar os princípios gerais da razão. 
 Conceituar atividade racional. 
 
 
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1.1 – A razão ao longo da história 
 
1.1.1. Juízo e Raciocínio 
Nos dicionários encontramos o significado de juízo como bom senso, ou como a capacidade 
de distinguir o verdadeiro do falso. No entanto, filosoficamente a inteligência não é só a capacidade 
de conceber ideias, mas sim de estabelecer relações, e é exatamente isso que chamamos de julgar. 
 O juízo se encontra em quase todas as operações cognitivas da mente o que torna difícil determinar 
uma definição exata, no entanto Aristóteles, diz que juízo é o ato do espírito pelo qual este afirma ou 
nega uma coisa de outra. 
O juízo é o ato essencial da inteligência. Supõe a abstração e a generalização, uma vez que se 
baseia em uma noção comum para estabelecer confrontos entre ideias, e assim estabelecer novas 
construções. 
A natureza do juízo está ligada diretamente à origem do conhecimento, de como é alcançada 
a relação de conveniência ou não-conveniência entre as ideias, pela sensação e reflexão. E esta 
relação está ligada à “crença”. 
A “crença” é a persuasão da verdade, é o elemento essencial do juízo, ou seja, aquilo que se 
traduz na atitude pela reflexão da relação de conveniência ou não-conveniência entre duas ideias, 
resultante de uma operação intelectual. 
 
 
O raciocínio é o processo mental que consiste em coordenar dois ou mais juízos 
antecedentes, em busca de um juízo novo, denominado conclusão. O raciocínio ocorre no último 
É costumeiro associarmos as práticas religiosas a crenças, esta associação está correta, 
mas não é única. Ao observarmos duas cédulas do nosso sistema monetário, temos outro 
exemplo prático. Compare, por exemplo, uma cédula de cinquenta reais e outra de dois reais, o 
que difere as difere? O tipo de tinta que é utilizada em ambas é o mesmo, o tipo de material que 
forma todas as cédulas são iguais, o que realmente faz uma cédula valer mais que outra é a 
“crença” estipulada pela sociedade de que aqueles símbolos fazem com que os valores sejam 
diferentes. 
 
 
 
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avanço da mente, o qual, por meio de reflexões calculadas atinge conclusões distantes da ideia 
inicial. O raciocínio se aproveita das conveniências (ou conexões) havidas entre os juízos, para dali 
calcular conclusões, as quais ficam apoiadas na validade das referidas conexões, ou seja, em sua 
evidência que é uma verdade e uma certeza. 
Para expressarmos um raciocínio é necessário fazer uso de argumentos (verbais ou escritos). 
Argumentar é expressar verbalmente um raciocínio. 
“Todo homem é um ser racional” e “Eu sou um homem” são exemplos de argumentações 
que justificam a conclusão de que “Eu sou um ser racional”. Ao associarmos estas argumentações 
temos respaldo para uma conclusão. 
A principal diferença entre a “crença” e o raciocínio é que na primeira não há a necessidade 
de prova, é uma questão de aceitaçãoou não; na segunda há necessidade de prova, a aceitação 
depende necessariamente da argumentação. 
 
1.1.2. Razão 
A ordenação da argumentação, o raciocínio propriamente dito traz sentido para a palavra 
razão, mas este não é único. Se fizermos uso de um dicionário encontraremos razão como: modo de 
pensar próprio ao Homem; faculdade de raciocinar ou de estabelecer conceitos e proposições 
(argumentos) de modo discursivo (não intuitivo), segundo as regras lógicas do raciocínio; faculdade 
dos princípios; faculdade de distinguir o verdadeiro do falso, o bem do mal; bom senso; justiça; 
dever; retidão de espírito; prova por argumento; causa; motivo; ideia justificada. 
Estas tantas definições de razão podem ser organizadas em quatro grupos. 
1. Quando dizemos: “eu tenho certeza, eu estou com a razão”, identificamos razão e certeza, 
uma vez que a verdade é racional. 
2. Quando dizemos: “ela recuperou a razão, estava fora de si”, identificamos razão e lucidez, 
considerado o ato de estar ou não são, bom senso. 
3. Quando dizemos: “João tem as suas razões”, identificamos razão e motivo, considerando que 
nossas atitudes, ações estão sempre pautadas em motivos, nossa vontade é racional. 
4. Quando dizemos: “qual é a razão disso?”, identificamos razão e causa, uma vez que a 
realidade opera segundo as relações causais. 
 
 
Todos estes sentidos formam a nossa ideia de razão. A razão não é apenas uma capacidade 
moral ou intelectual, mas também está ligada à realidade. A razão ligada à capacidade moral ou 
 
 
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intelectual dos seres humanos é chamada de razão subjetiva, e a razão ligada à realidade, sabendo 
que a realidade é racional em si mesma é chamada de razão objetiva. 
A razão de modo geral é regida por regras, por leis fundamentais. Estas leis fundamentais são 
quatro e chamadas de Princípios Racionais. Todos nós obedecemos estes princípios, já que somos 
seres racionais. 
1.2 - Os princípios gerais da razão: identidade, não-contradição, terceiro excluído, 
causalidade (razão suficiente) 
 
1.2.1. Princípio da identidade 
Uma coisa, seja qual for, só pode ser conhecida e pensada se for percebida e conservada. 
Para entender melhor este princípio pegue duas canetas de marcas distintas. Observe ao máximo a 
aparência delas, mesmo que você encontre muitas diferenças elas ainda são canetas. Existe algo 
mais relevante que cor, marca, escrita, que fez você reconhecê-las como canetas, estas propriedades 
são conhecidas, pensadas e percebidas, o ato de conservá-las faz com que reconheça qualquer tipo 
de caneta. 
Observe o seguinte desenho abaixo. 
 
Nele podemos observar dois retângulos, um triângulo e um paralelogramo. Esta observação 
pode ser feita, pois reconhecemos como triângulo, por exemplo, toda linha poligonal fechada 
formada por três lados. 
 Estas formas nos foram apresentadas em algum momento da vida (conhecidas), ao observá-
las guardamos determinadas propriedades (pensadas, percebidas e conservadas). 
O princípio da identidade se refere ao ato de definir determinada coisa ou ideia. 
 
1.2.2. Princípio da não-contradição 
É impossível que uma coisa ou uma ideia seja e não seja alguma coisa, ao mesmo tempo. 
A blusa é toda azul e não é toda azul. A segunda frase entra em conflito com a primeira uma 
vez que o conectivo ‘e’ faz com que as duas ideias sejam adicionadas, e estas ideias juntas se 
contradizem. 
 O princípio da não-contradição afirma que uma coisa ou uma ideia que se negam a si mesmas se 
autodestroem, desaparecem, deixam de existir. 
 
 
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1.2.3. Princípio do Terceiro-Excluído 
 Ou uma coisa ou ideias possui determinada propriedade ou não possui. Partindo do exemplo 
anterior - “A blusa é toda azul ou a blusa não é toda azul”. 
 
 
 
Ao associarmos o primeiro elemento com o segundo, ou seja, tomando como verdade “A 
blusa é toda azul”, necessariamente o terceiro elemento é excluído, é tomado como falso. Da mesma 
forma, ao associarmos o primeiro elemento com o terceiro, tomando como verdade “A blusa não é 
toda azul”, necessariamente o segundo elemento é tomado como falso. 
O princípio do terceiro-excluído complementa o anterior, exige uma escolha entre duas 
alternativas, considera uma verdadeira e outra falsa. 
 
1.2.4. Princípio da razão suficiente ou princípio da causalidade 
 Através da razão as conexões entre coisas ou ideias são estabelecidas. Se há um evento, então 
outro acontece. 
Pense em um número. Se este número pensado terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8, então este 
número é par. A conclusão é dita verdadeira, considerando a ideia inicial como verdadeira. 
Os princípios racionais são propriedades universais, fazem parte do nosso cotidiano 
considerando que somos seres racionais. 
 
1.3 - A atividade racional: a intuição e a razão discursiva (indução, dedução, abdução) 
 
A Filosofia distingue duas grandes modalidades da atividade racional, realizadas pela razão 
subjetiva ou pelo sujeito do conhecimento: a intuição (ou razão intuitiva) e o raciocínio (ou razão 
discursiva). 
 
 
A atividade racional discursiva, como a própria palavra indica, discorre, percorre uma 
realidade ou um objeto para chegar a conhecê-lo, isto é, realiza vários atos de conhecimento até 
conseguir captá-lo. A razão discursiva ou o pensamento discursivo chega ao objeto passando por 
 
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etapas sucessivas de conhecimento, realizando esforços sucessivos de aproximação para chegar ao 
conceito ou à definição do objeto. 
 A razão intuitiva ou intuição, ao contrário, consiste num único ato do espírito, que, de uma só 
vez, capta por inteiro e completamente o objeto. Em latim, “intuitos” significa ver. 
A intuição é uma visão direta e imediata do objeto do conhecimento, um contato direto e 
imediato com ele, sem necessidade de provas ou demonstrações para saber o que conhece. 
A intuição é uma compreensão global e instantânea de uma verdade, de um objeto, de um 
fato. Nela, de uma só vez, a razão capta todas as relações que constituem a realidade e a verdade da 
coisa intuída. É um ato intelectual de discernimento e compreensão, como, por exemplo, quando um 
médico faz um diagnóstico e apreende de uma só vez a doença, a sua causa e o modo de tratá-la. Os 
psicólogos se referem à intuição usando o termo insight, para referirem-se ao momento em que 
temos uma compreensão total, direta e imediata de alguma coisa, ou o momento em que 
percebemos, num só lance, um caminho para a solução de um problema científico, filosófico ou vital. 
 Um exemplo de intuição pode ser encontrado no romance de Guimarães Rosa, Grande Sertão: 
Veredas. Riobaldo e Diadorim são dois jagunços ligados pela mais profunda amizade e lealdade, 
companheiros de lutas e cumpridores de uma vingança de sangue contra os assassinos da família de 
Diadorim. Riobaldo, porém, sente-se cheio de angústia e atormentado, pois seus sentimentos por 
Diadorim são confusos, como se entre eles houvesse muito mais do que a amizade. Diadorim é 
assassinado. Quando o corpo é trazido para ser preparado para o funeral, Riobaldo descobre que 
Diadorim era mulher. De uma só vez, num só lance, Riobaldo compreende tudo o que sentia, todos 
os fatos acontecidos entre eles, todas as conversas que haviam tido, todos os gestos estranhos de 
Diadorim e compreende, instantaneamente, a verdade: estivera apaixonado por Diadorim. A razão 
intuitiva pode ser de dois tipos: intuição sensível ou empírica e intuição intelectual. 
 
1. A intuição sensível ou empírica é o conhecimento que temos a todo o momento de nossa vida. 
Assim, com um só olhar ou num só ato de visão percebemos uma casa, um homem, uma mulher, 
uma flor, uma mesa. Num só ato, por exemplo, capto que isto é uma flor: vejo sua cor e suas pétalas, 
sinto a maciez de sua textura, aspiro seu perfume, tenho-a por inteiro e de uma só vez diante de 
mim. 
 
A intuição empírica é o conhecimento direto e imediato das qualidades sensíveisdo objeto 
externo: cores, sabores, odores, paladares, texturas, dimensões, distâncias. É também o 
conhecimento direto e imediato de estados internos ou mentais: lembranças, desejos, sentimentos, 
imagens. 
 
 
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A intuição sensível ou empírica é psicológica, isto é, refere-se aos estados do sujeito do 
conhecimento sendo um ser corporal e psíquico individual - sensações, lembranças, imagens, 
sentimentos, desejos e percepções são exclusivamente pessoais. 
Assim, a marca da intuição empírica é sua singularidade: por um lado, está ligada à 
singularidade do objeto intuído (ao “isto” oferecido à sensação e à percepção) e, por outro, está 
ligada à singularidade do sujeito que intui (aos “meus” estados psíquicos, às “minhas” experiências). 
A intuição empírica não capta o objeto em sua universalidade e a experiência intuitiva não é 
transferível para um outro objeto. Riobaldo teve uma intuição empírica. 
 
2. A intuição intelectual difere da sensível justamente por sua universalidade e necessidade. Quando 
penso: “uma coisa não pode ser e não ser ao mesmo tempo”, sei, sem necessidade de provas ou 
demonstrações, que isto é verdade. Ou seja, tenho conhecimento intuitivo do princípio da 
contradição. Quando digo: “o amarelo é diferente do azul”, sei, sem necessidade de provas e 
demonstrações, que há diferenças. Vejo, na intuição sensível, a cor amarela e a cor azul, mas vejo, na 
intuição intelectual, a diferença entre cores. Quando afirmo: “o todo é maior do que as partes”, sei, 
sem necessidade de provas e demonstrações, que isto é verdade, porque intuo uma forma 
necessária de relação entre as coisas. 
A intuição intelectual é o conhecimento direto e imediato dos princípios da razão 
(identidade, contradição, terceiro excluído, razão suficiente), das relações necessárias entre os seres 
ou entre as ideias, da verdade de uma ideia ou de um ser. 
Na história da Filosofia, o exemplo mais célebre de intuição intelectual é conhecido como o 
cogito cartesiano, isto é, a afirmação de Descartes: “penso (cogito), logo existo”. De fato, quando 
penso, sei que estou pensando e não é preciso provar ou demonstrar isso, mesmo porque provar e 
demonstrar é pensar e para demonstrar e provar é preciso, primeiro, pensar e saber que se pensa. 
Quando digo: “penso, logo existo”, estou simplesmente afirmando racionalmente que sei 
que sou um ser pensante ou que existo pensando, sem necessidade de provas e demonstrações. A 
intuição capta, num único ato intelectual, a verdade do pensamento pensando em si mesmo. 
A intuição da essência é a apreensão intelectual imediata e direta de uma significação, 
deixando de lado as particularidades dos representantes que indicam empiricamente a significação. É 
assim que tenho intuição intelectual da essência ou significação: “triângulo”, “imaginação”, 
“memória”, “natureza”, “cor”, “diferença”, “Europa”, “pintura”, “literatura”, “tempo”, “espaço”, 
“coisa”, “quantidade”, “qualidade” etc. Intuímos ideias. 
Fala-se também de uma intuição emotiva ou valorativa. Trata-se daquela intuição na qual, 
juntamente com o sentido ou significação de alguma coisa, captamos também seu valor, isto é, com 
 
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a ideia intuímos também se a coisa ou essência é verdadeira ou falsa, bela ou feia, boa ou má, justa 
ou injusta, possível ou impossível/,/ etc. Ou seja, a intuição intelectual capta a essência do objeto (o 
que ele é) e a intuição emotiva ou valorativa capta essa essência pelo que o objeto vale. 
 
1.3.1. A razão discursiva: dedução, indução e abdução 
A intuição pode ser o ponto de chegada, a conclusão de um processo de conhecimento, e 
pode também ser o ponto de partida de um processo cognitivo. 
 O processo de conhecimento, seja o que chega a uma intuição, seja o que parte dela, 
constitui a razão discursiva ou o raciocínio. 
Ao contrário da intuição, o raciocínio é o conhecimento que exige provas e demonstrações e 
se realiza igualmente por meio de provas e demonstrações das verdades que estão sendo conhecidas 
ou investigadas. Não é um ato intelectual, mas são vários atos intelectuais internamente ligados ou 
conectados, formando um processo de conhecimento. 
Um caçador sai pela manhã em busca da caça. Entra no mato e vê rastros: choveu na véspera 
e há pegadas no chão; pequenos galhos rasteiros estão quebrados; o capim está amassado em vários 
pontos; a carcaça de um bicho está à mostra, indicando que foi devorado há poucas horas; há um 
grande silêncio no ar, não há canto de pássaros, não há ruídos de pequenos animais. 
O caçador supõe que haja uma onça por perto. Ele pode, então, tomar duas atitudes. Se, por 
todas as experiências anteriores, tiver certeza de que a onça está nas imediações, pode preparar-se 
para enfrentá-la: sabe que caminhos evitar, se não estiver em condições de caçá-la; sabe que 
armadilhas armar, se estiver pronto para capturá-la; sabe como atraí-la, se quiser conservá-la viva e 
preservar a espécie. 
O caçador pode ainda estar sem muita certeza se há ou não uma onça nos arredores e, nesse 
caso, tomará uma série de atitudes para verificar a presença ou ausência do felino: pode percorrer 
trilhas que sabe serem próprias de onças; pode examinar melhor as pegadas e o tipo de animal que 
foi devorado; pode comparar, em sua memória, outras situações nas quais esteve presente uma 
onça etc. 
 
 
Assim, partindo de indícios, o caçador raciocina para chegar a uma conclusão e tomar uma 
decisão. Temos aí um exercício de raciocínio empírico e prático (isto é, um pensamento que visa a 
uma ação) e que se assemelha à intuição sensível ou empírica, isto é, caracteriza-se pela 
singularidade ou pela individualidade do sujeito e do objeto do conhecimento. 
 
 
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Quando, porém, um raciocínio se realiza em condições tais que a individualidade psicológica 
do sujeito e a singularidade do objeto são substituídas por critérios de generalidade e universalidade, 
temos a dedução, a indução e a abdução. 
 
1.3.2. A dedução 
A dedução e indução são procedimentos racionais que nos levam do já conhecido ao ainda 
não conhecido, isto é, permitem que adquiramos conhecimentos novos graças a conhecimentos já 
adquiridos. Por isso, se costuma dizer que, no raciocínio, o intelecto opera seguindo cadeias de 
razões ou os nexos e conexões internos e necessários entre as ideias ou entre os fatos. 
A dedução consiste em partir de uma verdade já conhecida (seja por intuição, seja por uma 
demonstração anterior) e que funciona como um princípio geral ao qual se subordinam todos os 
casos que serão demonstrados a partir dela. 
Em outras palavras, na dedução parte-se de uma verdade já conhecida para demonstrar que 
ela se aplica a todos os casos particulares iguais. 
Por isso também se diz que a dedução vai do geral ao particular ou do universal ao individual. 
O ponto de partida de uma dedução é: ou uma ideia verdadeira ou uma teoria verdadeira. 
Por exemplo, se definirmos o triângulo como uma figura geométrica cujos lados somados são 
iguais à soma de dois ângulos retos, dela deduziremos todas as propriedades de todos os triângulos 
possíveis. Se tomarmos como ponto de partida as definições geométricas do ponto, da linha, da 
superfície e da figura, deduziremos todas as figuras geométricas possíveis. 
No caso de uma teoria, a dedução permitirá que cada caso particular encontrado seja 
conhecido, demonstrando que a ele se aplicam todas as leis, regras e verdades da teoria. Por 
exemplo, estabelecida a verdade da teoria física de Newton, sabemos que: 
1. as leis da física são relações dinâmicas de tipo mecânico, isto é, se referem a relações de 
força (ação e reação) entre corpos dotados de figura, massa e grandeza; 
2. os fenômenos físicos ocorrem no espaço e no tempo; 
3. conhecidas as leis iniciais de um conjunto ou de um sistema de fenômenos, poderemos 
prever os atos que ocorrerão nesse conjunto e nesse sistema. 
 
Assim, se eu quiser conhecer um ato físico particular- por exemplo, o que acontecerá com o 
corpo lançado no espaço por uma nave espacial, ou qual a velocidade de um projétil lançado de um 
submarino para atingir um alvo num tempo determinado, ou qual é o tempo e a velocidade para um 
certo astro realizar um movimento de rotação em torno de seu eixo -, aplicarei a esses casos 
particulares as leis gerais da física newtoniana e saberei com certeza a resposta verdadeira. 
 
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A dedução é um procedimento pelo qual um fato ou objeto particulares são conhecidos por 
inclusão numa teoria geral. 
Costuma-se representar a dedução pela seguinte fórmula: 
 todos os x são y (definição ou teoria geral); 
 A é x (caso particular); 
 Portanto, A é y (dedução). 
 
Exemplos 
1. Todos os homens (x) são mortais (y); Sócrates (A) é homem (x); portanto, Sócrates (A) é mortal (y). 
 
2. Todos os metais (x) são bons condutores de eletricidade (y); o mercúrio (A) é um metal (x); 
portanto, o mercúrio (A) é bom condutor de eletricidade (y). 
 
A razão oferece regras especiais para realizar uma dedução e, se tais regras não forem 
respeitadas, a dedução será considerada falsa. 
 
1.3.3. A indução 
A indução realiza um caminho exatamente contrário ao da dedução. 
Com a indução, partimos de casos particulares iguais ou semelhantes e procuramos a lei 
geral, a definição geral ou a teoria geral que explica e subordina todos esses casos particulares. 
 A definição ou a teoria são obtidas no ponto final do percurso. E a razão também oferece um 
conjunto de regras precisas para guiar a indução; se tais regras não forem respeitadas, a indução será 
considerada falsa. 
Por exemplo, colocamos água no fogo e observamos que ela ferve e se transforma em vapor; 
colocamos leite no fogo e vemos também que ele se transforma em vapor; colocamos vários tipos de 
líquidos no fogo e vemos sempre sua transformação em vapor. Induzimos desses casos particulares 
que o fogo possui uma propriedade que produz a evaporação dos líquidos. Essa propriedade é o 
calor. 
Verificamos, porém, que os diferentes líquidos não evaporam sempre na mesma velocidade; 
cada um deles, portanto, deve ter propriedades específicas que os fazem evaporar em velocidades 
diferentes. Descobrimos, porém, que a velocidade da evaporação não é o fato a ser observado e sim 
quanto de calor cada líquido precisa para começar a evaporar. Se considerarmos a água nosso 
padrão de medida, diremos que ela ferve e começa a evaporar a partir de uma certa quantidade de 
calor e que é essa quantidade de calor que precisa ser conhecida. Podemos, a seguir, verificar um 
 
 
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fenômeno diferente. Vemos que água e outros líquidos, colocados num refrigerador, endurecem e se 
congelam, mas que, como no caso do vapor, cada líquido se congela ou se solidifica em velocidades 
diferentes. 
Procuramos, novamente, a causa dessa diferença de velocidade e descobrimos que depende 
tanto de certas propriedades de cada líquido quanto da quantidade de frio que há no refrigerador. 
Percebemos, finalmente, que é essa quantidade que devemos procurar. 
Com essas duas séries de fatos (vapor e congelamento), descobrimos que os estados dos 
líquidos variam (evaporação e solidificação) em decorrência da temperatura ambiente (calor e frio) e 
que cada líquido atinge o ponto de evaporação ou de solidificação em temperaturas diferentes. Com 
esses dados podemos formular uma teoria da relação entre os estados da matéria - sólido, líquido e 
gasoso - e as variações de temperatura, estabelecendo uma relação necessária entre o estado de um 
corpo e a temperatura ambiente. Chegamos, por indução, a uma teoria. 
A dedução e a indução são conhecidas com o nome de inferência, isto é, concluir alguma 
coisa a partir de outra já conhecida. Na dedução, dado X, infiro (concluo) a, b, c, d. Na indução, dados 
a, b, c, d, infiro (concluo) X. 
 
1.3.4. A abdução 
O filósofo inglês Peirce considera que, além da dedução e da indução, a razão discursiva ou 
raciocínio também se realiza numa terceira modalidade de inferência, embora esta não seja 
propriamente demonstrativa. Essa terceira modalidade é chamada por ele de abdução. 
A abdução é uma espécie de intuição, mas que não se dá de uma só vez, indo passo a passo para 
chegar a uma conclusão. A abdução é a busca de uma conclusão pela interpretação racional de 
sinais, de indícios, de signos. 
O exemplo mais simples oferecido por Peirce para explicar o que seja a abdução são os 
contos policiais, o modo como os detetives vão coletando indícios ou sinais e formando uma teoria 
para o caso que investigam. 
Segundo Peirce, a abdução é a forma que a razão possui quando inicia o estudo de um novo 
campo científico que ainda não havia sido abordado. Ela se aproxima da intuição do artista e da 
adivinhação do detetive, que, antes de iniciarem seus trabalhos, só contam com alguns sinais que 
indicam pistas a seguir. Os historiadores costumam usar a abdução. 
De modo geral, diz-se que a indução e a abdução são procedimentos racionais que 
empregamos para a aquisição de conhecimentos, enquanto a dedução é o procedimento racional 
que empregamos para verificar ou comprovar a verdade de um conhecimento já adquirido. 
 
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1.3.5. Realismo e idealismo 
Vimos anteriormente que muitos filósofos distinguem razão objetiva e razão subjetiva, 
considerando a Filosofia o encontro e o acordo entre ambas. 
Falar numa razão objetiva significa afirmar que a realidade externa ao nosso pensamento é 
racional em si e por si mesma e que podemos conhecê-la justamente por ser racional. Significa dizer, 
por exemplo, que o espaço e o tempo existem em si e por si mesmos, que as relações matemáticas e 
de causa-efeito existem nas próprias coisas, que o acaso existe na própria realidade etc. 
Chama-se realismo a posição filosófica que afirma a existência objetiva ou em si da realidade 
externa como uma realidade racional em si e por si mesma e, portanto, que afirma a existência da 
razão objetiva. 
Há filósofos, porém, que estabelecem uma diferença entre a realidade e o conhecimento 
racional que dela temos. Dizem eles que, embora a realidade externa exista em si e por si mesma, só 
podemos conhecê-la tal como nossas ideias a formulam e a organizam e não tal como ela seria em si 
mesma. Não podemos saber nem dizer se a realidade exterior é racional em si, pois só podemos 
saber e dizer que ela é racional para nós, isto é, por meio de nossas ideias. 
Essa posição filosófica é conhecida com o nome de idealismo e afirma apenas a existência da 
razão subjetiva. 
A razão subjetiva possui princípios e modalidades de conhecimento que são universais e 
necessários, isto é, válidos para todos os seres humanos em todos os tempos e lugares. O que 
chamamos realidade, portanto, é apenas o que podemos conhecer por meio das ideias de nossa 
razão. 
 
1.4 - Origens da razão: inatismo ou empirismo? 
De onde vieram os princípios racionais (identidade, não-contradição, terceiro-excluído e 
razão suficiente)? De onde veio a capacidade para a intuição (razão intuitiva) e para o raciocínio 
(razão discursiva)? Nascemos com eles? Ou nos seriam dados pela educação e pelo costume? Seriam 
algo próprio dos seres humanos, constituindo a natureza deles, ou seriam adquiridos através da 
experiência? 
Durante séculos, a Filosofia ofereceu duas respostas a essas perguntas. A primeira ficou 
conhecida como inatismo e a segunda, como empirismo. 
O inatismo afirma que nascemos trazendo em nossa inteligência não só os princípios 
racionais, mas também algumas ideias verdadeiras, que, por isso, são ideias inatas. 
 
 
17 
 
O empirismo, ao contrário, afirma que a razão, com seus princípios, seus procedimentos e 
suas ideias, é adquirida por nós através da experiência. 
Em grego, experiência se diz: empeiria – donde, empirismo, conhecimento empírico, isto é, 
conhecimento adquirido por meio da experiência. 
 
1.4.1. O inatismo 
Vamos falar do inatismotomando dois filósofos como exemplo: o filósofo grego Platão 
(século IV a.C.) e o filósofo francês Descartes (século XVII). 
 
Inatismo platônico 
Platão defende a tese do inatismo da razão ou das ideias verdadeiras em várias de suas 
obras, mas as passagens mais conhecidas se encontram nos diálogos Mênon e A República. Nelas 
Platão explicita que as verdades vão surgindo no espírito de um indivíduo à medida que o Mestre vai 
lhe fazendo as perguntas certas e assim raciocinando com ele. Expõe que nascemos com a razão e as 
ideias verdadeiras, e a Filosofia nada mais faz do que nos relembrar essas ideias. 
 
Inatismo cartesiano 
Descartes discute a teoria das ideias inatas em várias de suas obras, mas as exposições mais 
conhecidas encontram-se em duas delas: no Discurso do método e nas Meditações metafísicas. 
Nelas, Descartes mostra que nosso espírito possui três tipos de ideias que se diferenciam segundo 
sua origem e qualidade: 
1. ideias adventícias (isto é, vindas de fora): são aquelas que se originam de nossas sensações, 
percepções, lembranças; Por exemplo, a ideia de árvore, de pássaro, de instrumentos 
musicais etc. São nossas ideias cotidianas e costumeiras, e que podem ser enganosas ou 
falsas. 
2. ideias fictícias: são aquelas que criamos em nossa fantasia e imaginação, compondo seres 
inexistentes com pedaços ou partes de ideias adventícias que estão em nossa memória. Por 
exemplo, cavalo-alado, fadas, elfos, duendes, dragões, Super-homem etc. 
3. ideias inatas: são aquelas que não poderiam vir de nossa experiência sensorial porque não há 
objetos sensoriais ou sensíveis para elas, nem poderiam vir de nossa fantasia, pois não 
tivemos experiência sensorial para compô-las a partir de nossa memória. 
4. A tese central dos inatistas é a seguinte: se não possuirmos em nosso espírito a razão e a 
verdade, nunca teremos como saber se um conhecimento é verdadeiro ou falso, isto é, 
 
18 
 
nunca saberemos se uma ideia corresponde ou não à realidade a que ela se refere. Não 
teremos um critério seguro para avaliar nossos conhecimentos. 
 
1.4.2. O empirismo 
Contrariamente aos defensores do inatismo, os defensores do empirismo afirmam que a 
razão, a verdade e as ideias racionais são adquiridos por nós através da experiência. 
Antes da experiência, dizem eles, nossa razão é como uma “folha em branco”, onde nada foi 
escrito; uma “tábula rasa”, onde nada foi gravado. Somos como uma cera sem forma e sem nada 
impresso nela, até que a experiência venha escrever na folha, gravar na tábula, dar forma à cera. 
 
Os empiristas ingleses 
No decorrer da história da Filosofia muitos filósofos defenderam a tese empirista, mas os 
mais famosos e conhecidos são os filósofos ingleses dos séculos XVI ao XVIII, chamados, por isso, de 
empiristas ingleses: Francis Bacon, John Locke, George Berkeley e David Hume. 
Os empiristas defendem que nossos conhecimentos começam com a experiência dos 
sentidos, isto é, com as sensações. Os objetos exteriores excitam nossos órgãos dos sentidos e vemos 
cores, sentimos sabores e odores, ouvimos sons, sentimos a diferença entre o áspero e o liso, o 
quente e o frio etc. 
As sensações se reúnem e formam uma percepção; ou seja, percebemos uma única coisa ou 
um único objeto que nos chegou por meio de várias e diferentes sensações. 
As percepções, por sua vez, se combinam ou se associam. A associação pode dar-se por três 
motivos: por semelhança, por proximidade ou contiguidade espacial e por sucessão temporal. A 
causa da associação das percepções é a repetição. Ou seja, de tanto algumas sensações se repetirem 
por semelhança, ou de tanto se repetirem no mesmo espaço ou próximas umas das outras, ou, 
enfim, de tanto se repetirem sucessivamente no tempo, criamos o hábito de associá-las. Essas 
associações são as ideias. 
As ideias, trazidas pela experiência são levadas à memória e, de lá, a razão as apanha para 
formar os pensamentos. 
A experiência escreve e grava em nosso espírito as ideias, e a razão irá associá-las, combiná-
las ou separá-las, formando todos os nossos pensamentos. Segundo Hume a razão é o hábito de 
associar ideias, seja por semelhança, seja por diferença. 
 
1.4.3. Problemas do inatismo 
 
 
19 
 
1. A própria razão pode mudar o conteúdo de ideias que eram consideradas universais e 
verdadeiras. 
2. A própria razão pode provar que ideias racionais também podem ser falsas. 
 
Se as ideias são racionais e verdadeiras, é porque correspondem à realidade. Ora, a realidade 
permanece a mesma e, no entanto, as ideias que a explicam perderam a validade. Ou seja, o 
inatismo se depara com o problema da mudança das ideias, feita pela própria razão, e com o 
problema da falsidade das ideias, demonstrada pela própria razão. 
 
1.4.4. Problemas do empirismo 
O empirismo, por sua vez, se defronta com um problema insolúvel. Se as ciências são apenas 
hábitos psicológicos de associar percepções e ideias por semelhança e diferença, bem como por 
contiguidade espacial ou sucessão temporal, então, as ciências não possuem verdade alguma, não 
explicam realidade alguma, não alcançam os objetos e não possuem nenhuma objetividade. 
A ciência, mero hábito psicológico ou subjetivo, torna-se afinal uma ilusão, e a realidade tal 
como é em si jamais poderá ser conhecida por nossa razão. Basta, por exemplo, que um belo dia eu 
ponha um líquido no fogo e, em lugar de vê-lo ferver e aumentar de volume, eu o veja gelar e 
diminuir de volume, para que toda a ciência desapareça, já que ela depende da repetição, da 
frequência, do hábito de sempre percebermos uma certa sucessão de fatos à qual, também por 
hábito, demos o nome de princípio da causalidade. 
Assim, do lado do empirismo, o problema colocado é o da impossibilidade do conhecimento 
objetivo da realidade. 
 
 
Resumindo… 
 Do lado do inatismo, o problema pode ser formulado da seguinte maneira: como são inatos, 
as ideias e os princípios da razão são verdades intemporais que nenhuma experiência nova poderá 
modificar. Ora, a História (social, política, científica e filosófica) mostra que ideias tidas como 
verdadeiras e universais não possuíam essa validade e foram substituídas por outras. Mas, por 
definição, uma ideia inata é sempre verdadeira e não pode ser substituída por outra. Se for 
substituída, então não era uma ideia verdadeira e, não sendo uma ideia verdadeira, não era inata. 
Do lado do empirismo, o problema pode ser formulado da seguinte maneira: a racionalidade 
ocidental só foi possível porque a Filosofia e as ciências demonstraram que a razão é capaz de 
 
20 
 
alcançar a universalidade e a necessidade que governam a própria realidade, isto é, as leis racionais 
que governam a Natureza, a sociedade, a moral, a política. 
Ora, a marca própria da experiência é a de ser sempre individual, particular e subjetiva. Se o 
conhecimento racional for apenas a generalização e a repetição para todos os seres humanos de seus 
estados psicológicos, derivados de suas experiências, então o que chamamos de Filosofia, de ciência, 
de ética etc. são nomes gerais para hábitos psíquicos e não um conhecimento racional verdadeiro de 
toda a realidade, tanto a realidade natural quanto a humana. 
Problemas dessa natureza, frequentes na história da Filosofia, suscitam, periodicamente, o 
aparecimento de uma corrente filosófica conhecida como ceticismo, para o qual a razão humana é 
incapaz de conhecer a realidade e por isso deve renunciar à verdade. O cético sempre manifesta 
explicitamente dúvidas toda vez que a razão tenha pretensão ao conhecimento verdadeiro do real. 
 
1.5 - As bases fisiológicas da razão: sensação, percepção, memória e categorização 
 SENSAÇÃO: é a reação física do corpo ao mundo físico, sendo regida pelas leis da física, da 
química, da biologia etc., que resulta na ativação das áreas primárias do córtex do cérebro. 
 PERCEPÇÃO: é o processo através do qual o ser humano conheceo mundo à sua volta de 
forma total e complexa. 
 MEMÓRIA: é o processo de retenção de informações no qual nossas experiências são 
arquivadas e recuperadas quando as chamamos. 
 CATEGORIZAÇÃO: é o processo pelo qual ideias e objetos são reconhecidos, diferenciados e 
classificados. Em linhas gerais, a categorização consiste em organizar os objetos de um dado 
universo em grupos ou categorias, com um propósito específico. 
1.6 - Razão e emoção 
A Filosofia se realiza como conhecimento racional da realidade natural e cultural, das coisas e 
dos seres humanos. Dissemos que ela confia na razão e que, hoje, ela também desconfia da razão. 
Mas, até agora, não dissemos o que é a razão, apesar de ser ela tão antiga quanto a Filosofia. 
Em nossa vida cotidiana usamos a palavra razão em muitos sentidos. Dizemos, por exemplo, “eu 
estou com a razão”, ou “ele não tem razão”, para significar que nos sentimos seguros de alguma 
coisa ou que sabemos com certeza alguma coisa. 
Também dizemos que, num momento de fúria ou de desespero, “alguém perde a razão”, 
como se a razão fosse alguma coisa que se pode ter ou não ter, possuir e perder, ou recuperar, como 
na frase: “Agora ela está lúcida, recuperou a razão”. 
 
 
21 
 
Assim, usamos “razão” para nos referirmos a “motivos” de alguém, e também para nos 
referirmos a “causas” de alguma coisa, de modo que tanto nós quanto as coisas parecemos dotados 
de “razão”, mas em sentido diferente. 
 Esses poucos exemplos já nos mostram quantos sentidos diferentes a palavra razão possui: 
certeza, lucidez, motivo, causa. E todos esses sentidos encontram-se presentes na Filosofia. 
Por identificar razão e certeza, a Filosofia afirma que a verdade é racional; por identificar razão e 
lucidez (não ficar ou não estar louco), a Filosofia chama nossa razão de luz e luz natural; por 
identificar razão e motivo, por considerar que sempre agimos e falamos movidos por motivos, a 
Filosofia afirma que somos seres racionais e que nossa vontade é racional; por identificar razão e 
causa e por julgar que a realidade opera de acordo com relações causais, a Filosofia afirma que a 
realidade é racional. 
É muito conhecida a célebre frase de Pascal, filósofo francês do século XVII: “O coração tem 
razões que a razão desconhece”. Nessa frase, as palavras razões e razão não têm o mesmo 
significado, indicando coisas diversas. Razões são os motivos do coração, enquanto razão é algo 
diferente de coração; este é o nome que damos para as emoções e paixões, enquanto “razão” é o 
nome que damos à consciência intelectual e moral. 
Falamos também frases como: “Se você me disser suas razões, sou capaz de fazer o que você 
me pede”, querendo dizer com isso que queremos ouvir os motivos que alguém tem para querer ou 
fazer alguma coisa. Fazemos perguntas como: “qual a razão disso?”, querendo saber qual a causa de 
alguma coisa e, nesse caso, a razão parece ser alguma propriedade que as próprias coisas teriam, já 
que teriam uma causa. 
Assim, usamos “razão” para nos referirmos a “motivos” de alguém, e também para nos 
referirmos a “causas” de alguma coisa, de modo que tanto nós quanto as coisas parecemos dotados 
de “razão”, mas em sentido diferente. 
 Esses poucos exemplos já nos mostram quantos sentidos diferentes a palavra razão possui: 
certeza, lucidez, motivo, causa. E todos esses sentidos encontram-se presentes na Filosofia. 
Ao dizer que o coração tem suas próprias razões, Pascal está afirmando que as emoções, os 
sentimentos ou as paixões são causas de muito do que fazemos, dizemos, queremos e pensamos. Ao 
dizer que a razão desconhece “as razões do coração”, Pascal está afirmando que a consciência 
intelectual e moral é diferente das paixões e dos sentimentos e que ela é capaz de uma atividade 
própria não motivada e causada pelas emoções, mas possuindo seus motivos ou suas próprias 
razões. 
 
22 
 
Assim, a frase de Pascal pode ser traduzida da seguinte maneira: Nossa vida emocional 
possui causas e motivos (as “razões do coração”), que são as paixões ou os sentimentos, e é 
diferente de nossa atividade consciente, seja como atividade intelectual, seja como atividade moral. 
A consciência é a razão. Coração e razão, paixão e consciência intelectual ou moral são 
diferentes. Se alguém “perde a razão” é porque está sendo arrastado pelas “razões do coração”. Se 
alguém “recupera a razão” é porque o conhecimento intelectual e a consciência moral se tornaram 
mais fortes do que as paixões. A razão considerada como consciência moral, é a vontade racional 
livre que não se deixa dominar pelos impulsos passionais, mas realiza as ações morais como atos de 
virtude e de dever, ditados pela inteligência ou pelo intelecto. 
Além da frase de Pascal, também ouvimos outras que elogiam as ciências, dizendo que elas 
manifestam o “progresso da razão”. Aqui, a razão é colocada como capacidade puramente 
intelectual para conseguir o conhecimento verdadeiro da Natureza, da sociedade, da História e isto é 
considerado algo bom, positivo, um “progresso”. 
Por ser considerado um “progresso”, o conhecimento científico é visto como se realizando no 
tempo e como dotado de continuidade, de tal modo que a razão é concebida como temporal 
também, isto é, como capaz de aumentar seus conteúdos e suas capacidades através dos tempos. 
Algumas vezes ouvimos um professor dizer a outro: “Fulano trouxe um trabalho irracional; 
era um caos, uma confusão. Incompreensível. Já o trabalho de Beltrano era uma beleza: claro, 
compreensível, racional”. Aqui, a razão, ou racional, significa clareza das ideias, ordem, resultado de 
esforço intelectual ou da inteligência, seguindo normas e regras de pensamento e de linguagem. 
Todos esses sentidos constituem a nossa ideia de razão. Nós a consideramos a consciência 
moral que observa as paixões, orienta a vontade e oferece finalidades éticas para a ação. Nós a 
vemos como atividade intelectual de conhecimento da realidade natural, social, psicológica, 
histórica. 
Nós a concebemos segundo o ideal da clareza, da ordenação e do rigor e precisão dos 
pensamentos e das palavras. 
Para muitos filósofos, porém, a razão não é apenas a capacidade moral e intelectual dos 
seres humanos, mas também uma propriedade ou qualidade primordial das próprias coisas, 
existindo na própria realidade. Para esses filósofos, nossa razão pode conhecer a realidade (natureza, 
sociedade, história) porque ela é racional em si mesma. 
Fala-se, portanto, em razão objetiva (a realidade é racional em si mesma) e em razão 
subjetiva (a razão é uma capacidade intelectual e moral dos seres humanos). A razão objetiva é a 
afirmação de que o objeto do conhecimento ou a realidade é racional; a razão subjetiva é a 
afirmação de que o sujeito do conhecimento e da ação é racional. 
 
 
23 
 
Para muitos filósofos, a Filosofia é o momento do encontro, do acordo e da harmonia entre as duas 
razões ou racionalidades. 
 
 
 
 
 
 
Leia o artigo “Razão e Emoção - O imaginário humano, suas interligações e 
implicações nas organizações sociais” da Prof ª Maria Cláudia Tardin Pinheiro - Mestra e 
Doutoranda em Psicologia; Professora Assistente do Curso de Administração da FMJ, cujo link 
está disponível no ambiente virtual de aprendizagem para refletir um pouco mais sobre os 
assuntos tratados na Unidade I. 
 
1. O que é razão? 
2. Quais os sentidos da palavra razão? Dê exemplos. 
3. Quais são os princípios gerais da razão (racionais)? 
4. A razão subjetiva divide-se em razão intuitiva e razão discursiva, 
qual a diferença entre elas? Exemplifique. 
5. Qual a diferença entre dedução e indução? 
6. Dê exemplos de dedução. 
7. O que é abdução? Dê um exemplo. 
8. O que é inatismo? 
9. O que é empirismo? 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Unidade II - Categorização e teoria dos conjuntos 
 
 
 
 
 
Nesta unidade você irá: 
 Compreendera necessidade da numeração. 
 Conceituar conjuntos. 
 Identificar os diferentes tipos de conjuntos. 
 Estabelecer as relações entre conjuntos. 
 Conhecer as propriedades dos conjuntos. 
 
26 
 
2.1 - A necessidade de numeração na humanidade 
Conta a história que a Matemática surgiu com a necessidade dos homens de contar. Na 
época em que os agrupamentos humanos retiravam tudo de que necessitavam diretamente da 
natureza por meio da caça, da pesca e da coleta não havia necessidade de contar, fato este que se 
alterou quando o homem passou a fixar-se em territórios, dedicando-se à agricultura, à produção de 
alimentos, à construção de abrigos, à domesticação de animais etc. 
Datam de cerca de dez mil anos, na região que hoje leva o nome de Oriente Médio, as 
primeiras formas de agricultura, que passaram a exigir o conhecimento sobre o clima, as estações, as 
fases da Lua, ensejando a criação dos primeiros calendários. 
Um dos primeiros processos de contagem foi aplicado no pastoreio. Os pastores precisavam 
conferir seus rebanhos quando do recolhimento, após a soltura na pastagem. Então desenvolveram 
um método, utilizando uma correspondência entre pequenas pedras colocadas num saco e cada rês. 
Quando do retorno, para cada rês uma pedra era retirada do saco, podendo o pastor constatar se 
faltavam cabeças ou se alguma rês de outro rebanho se agregara ao seu. Por isso é que a palavra 
com a qual designamos operações matemáticas é “cálculo”, derivada do latim calculus, que significa 
“pedrinha”. Mas, a correspondência de unidades não era feita somente por meio de pedras. 
Também eram utilizados “nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas 
cavernas e outros tipos de marcação”. 
Esse embrião primitivo da Matemática surgido da necessidade humana da contagem pode 
ser um ponto de partida para o questionamento que permeia este trabalho. Afinal, a Matemática, os 
números, as contagens, tudo isso e o que mais se seguiu nessa fértil área do conhecimento, 
constituem uma descoberta ou uma criação da humanidade? 
Aqueles que se debruçaram sobre o tema enfocado chegaram a duas conclusões básicas 
divergentes: 
 para alguns a Matemática é “obra da humanidade”, uma vez que se assenta na intuição do 
homem. Portanto, não passa de uma nossa “construção” ou “invenção”. A esse pensamento 
tem-se dado os nomes de “intuicionismo, construtivismo ou convencionalismo”. 
 para outros a Matemática “é um campo objetivo existente por si mesmo”. Trata-se de uma 
área infinitamente prenhe de “verdades objetivas que não criamos, mas que nos confrontam 
objetivamente”, podendo ser descobertas. A essa concepção da Matemática tem-se 
conferido a nomenclatura de “platonismo”. 
 
 
 
27 
 
O debate sobre a questão vem tendendo a apresentar as duas concepções acima 
mencionadas como antagônicas e inconciliáveis. Não obstante, Karl Popper apresenta uma 
interpretação conciliadora ou eclética que nos parece bastante adequada. 
O autor em destaque aponta, por exemplo, a “sequência infinita dos números naturais”. Ela é 
realmente uma nossa “invenção linguística; nossa convenção; nossa construção”. Mas, isso não é 
inconciliável com o fato de que ela reflita uma realidade que passou pelo intelecto humano para ser 
manifestada. Observe-se que o processo de “contagem” é produto exclusivo humano, mas o 
chamado “senso numérico”, ou seja, a percepção de falta ou acréscimo de elementos em um 
conjunto, está presente mesmo entre os chamados “seres irracionais”, conforme demonstram 
fartamente os estudos de etologia. 
Assim sendo, os números não são criados sem assento em uma realidade, ou seja, sem 
correspondência com fatos. Tanto isso é verdade que no desenvolvimento da Matemática surgem 
inúmeros problemas que emergem em um “mundo objetivo”, sem nem mesmo precisarem do 
concurso da vontade humana. Eles não são criados, mas efetivamente descobertos no seio de “um 
mundo objetivo, que, de fato, inventamos ou criamos, mas que (como toda invenção) se objetiva, se 
liberta de seus criadores e se torna independente de sua vontade”. 
Retomando a série infinita de números naturais, podemos com Popper constatar que ela é 
“um produto da linguagem e do pensamento humano”. Mas, ao mesmo tempo é fato que existe um 
infinito de números inteiros que supera em muito, muitíssimo, aquilo que um dia poderia ser sequer 
pronunciado por um homem ou mesmo utilizado através dos recursos da informática mais avançada. 
Também há um infinito de equações e relações verdadeiras e falsas entre esses números e elas são 
muito mais do que podemos ou poderemos “designar como verdadeiro ou falso”. Surgem, 
independentemente do concurso da criação humana, “problemas novos e inesperados, como, por 
exemplo, os problemas sem solução da Teoria dos Números Primos”. São problemas “autônomos”, 
independentes da criação humana, mas descobertos pelos homens. Esses problemas existem ocultos 
antes que os matemáticos os descubram e podem ser não somente “não - solucionados”, mas até 
mesmo “insolúveis”. 
Euclides, por meio de seu conhecido Teorema, demonstrou que “existe uma quantidade 
infinita de números primos”. Por outro lado, a chamada “Conjectura de Goldbach” permanece não 
comprovada, não demonstrada de forma cabal. 
 
 
 
 
28 
 
Em 7 de julho de 1742, Christian Goldbach enviou uma carta ao matemático suíço Leonard 
Eüler, onde propunha a seguinte questão: “qualquer número inteiro maior do que seis é a soma de 
três números primos”? Eüler, por seu turno, verificou que tal afirmação deveria ser decomposta em 
outras duas: “todo número par, maior que dois, é a soma de dois primos” e “todo número ímpar é a 
soma de três primos” Embora em meados dos anos 1930 Vinogradov tenha conseguido comprovar a 
segunda afirmativa para números ímpares suficientemente grandes, a primeira segue ainda por 
demonstrar. 
 
 
 
Outro problema refere-se ao “zero”, “número que precede o inteiro positivo um, e todos os 
números positivos, e sucessor do um negativo (-1), e todos os números negativos”, sendo “definido 
como a cardinalidade de um conjunto vazio”. A descoberta do “zero” tem sua ancestralidade nos 
povos babilônicos, hindus e maias. Sua incorporação na Europa, na Idade Média, se deu pela 
introdução dos algarismos arábicos, desenvolvidos pelos matemáticos árabes. 
A descoberta do “zero” representou “o maior avanço no sistema de numeração decimal”, 
mas trazia consigo uma perplexidade, pois “era difícil imaginar a quantificação e a representação do 
nada, do inexistente”. 
 
 
O melhor resultado até hoje obtido ocorreu em 1995 por Olivier Ramaré, que conseguiu 
demonstrar que “todo número par é a soma de até 6 números primos”. Portanto, a primeira questão, 
formulada no decorrer do século XVIII, permanece indemonstrada, embora sua procedência tenha 
sido verificada para números da ordem de 4 x 1014. Também se indaga se seriam infinitos os números 
primos que terminam com o dígito 7 e se há infinitos pares de números chamados “primos gêmeos”, 
ou seja, números primos que se distanciam uns dos outros por apenas duas unidades, como, por 
exemplo, (3; 5), (71;73) ou (1000000007; 1000000009). Nenhum desses problemas foi solucionado. 
 
 
 
29 
 
Será que isso tornaria o “zero” mero produto de uma convenção? 
Uma criação do gênio humano apartada da realidade, mera abstração? 
Na verdade o “zero” se impôs na Matemática, assim como o “nada” não pôde passar 
despercebido na Filosofia. Como aduz Sartre, citando Hegel, “não há nada no céu e na terra que não 
contenha em si o ser e o nada”. 
Mas, o “nada” tem sido um problema filosófico, chegando a ser negada sua existência como 
uma grande contradição. Dentre os chamados “naturalistas” ou “filósofos da phisis”, Parmênides, 
por exemplo, afirmava que “o ser existe e não pode não ser e o não – ser não existe e não pode ser”. 
Por seu turno o existencialista Sartre concebe o “nada” em indissolúvelconjunção com o “ser”. Para 
ele “o nada, não sustentado pelo ser, dissipa-se enquanto nada, e recaímos no ser. O nada não pode 
nadificar-se a não ser sobre um fundo de ser: se um nada pode existir, não é antes ou depois do ser, 
mas no bojo do ser, em seu coração, como um verme”. 
Note-se que por controversa que seja a existência do “nada”, assumindo que ele exista, de 
qualquer forma a razão assiste à afirmação de que “o homem é o ser pelo qual o nada vem ao 
mundo”. E vem com ele a sua representação matemática, o “zero”, descoberto pelo homem no bojo 
do “ser” da Matemática. 
O fato de que o homem descobre o “zero” em um “ser” que é em parte produto de sua 
formulação linguística, não torna o “nada” inexistente e nem o “zero” um mero símbolo matemático 
sem correspondência com a realidade. 
O homem não é um espectador passivo que se deixa levar pelas regras da natureza, apenas 
observando-as e compilando-as. Deve-se ter em mente que o homem se apercebe sensorial e 
intelectualmente das coisas e suas relações, impondo a elas uma ordem e uma normatização de 
acordo com o seu próprio entendimento, pois “nosso cosmos traz o selo de nosso intelecto”. 
Se pretendermos considerar como “realidade objetiva existente por si mesma” somente 
aquilo que independa de qualquer interferência humana, chegaremos à conclusão de que nada pode 
satisfazer a essa condição. No ato do conhecimento o homem fatalmente se apropria da realidade, a 
interpreta, a traduz e a molda de acordo com sua percepção. 
Por isso Heisenberg alegava que não há nada que se possa, por exemplo, designar como 
“ciência da natureza”. Há sim “uma ciência do conhecimento do homem sobre a natureza”, pois “não 
vivemos numa realidade, vivemos numa série de descrições de realidade”. 
O homem descobre a Matemática, se apropria dela, a traduz e a expressa em sua linguagem 
e, nessa medida também a cria, mas ela não perde sua característica de autonomia, a qual se 
apresenta claramente nos desenvolvimentos subsequentes de novas descobertas de problemas, 
soluções e de problemas não -solucionados e até mesmo insolúveis. 
 
30 
 
2.1.1. Conjuntos como categorias 
 
Conjuntos e elementos 
Os conceitos de conjunto, elementos e relação de pertinência são considerados conceitos 
primitivos, isto é, não aceitam definição. 
Intuitivamente, entendemos por conjunto toda coleção (agrupamento, classe, sistema) bem 
definida de objetos. 
Cada um dos membros que entra na formação do conjunto é denominado elemento do 
conjunto. 
Vejamos alguns exemplos: 
 o conjunto dos livros de uma biblioteca. 
 o conjunto das vogais do alfabeto português. 
 o conjunto dos múltiplos de 2 entre 9 e 21. 
 
Notação dos Conjuntos 
Representamos um conjunto por uma letra maiúscula do alfabeto, os elementos ficam entre 
chaves e separados por vírgulas. 
Exemplos: 
 conjunto das vogais do alfabeto português 
 conjunto dos múltiplos de 2 entre 9 e 21 
 
Relação de Pertinência 
 O fato de um elemento fazer parte de um conjunto estabelece uma relação de pertinência. 
Sendo, assim, podemos dizer que a pertence ao conjunto A e que b não pertence ao conjunto A. 
 Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A escreve-se: 
 x pertence a A ou x é um elemento de A. 
 y não pertence a A ou y não é um elemento de A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
2.1.2. Tipos de Conjuntos 
 
Conjunto Universo 
 Para resolver uma equação, um problema ou desenvolver determinado tema em Matemática, 
devemos retirar os elementos de que necessitamos de um conjunto que os contenha. Esse conjunto 
é chamado de Conjunto Universo e representado por U. 
 
Conjunto Unitário 
Todo conjunto constituído de um único elemento é chamado de Conjunto Unitário. 
Exemplo: 
 
Conjunto Vazio 
 O conjunto que não tem elementos é chamado de Conjunto Vazio e é representado por { }. 
Exemplo: M é o conjunto formado pela capital de Brasília. Como não existe a capital de 
Brasília, o conjunto é vazio. 
 
2.1.3. Determinação de um Conjunto 
Diz-se que um conjunto A é definido num universo quando se conhece um critério que 
permita sempre saber se há um elemento ou, devendo verificar-se apenas uma destas duas 
hipóteses. 
Um conjunto pode ser definido de duas maneiras: 
I – Por enumeração 
A = {janeiro, fevereiro, março, ...} 
B = {5, 10, 15, 20} 
 
II – Por compreensão, isto é, através de um critério de pertinência que satisfeito por todos os 
elementos do conjunto e somente por esses elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Conjuntos finitos e infinitos 
Diz-se que um conjunto A é finito e contém n elementos quando existe um número natural n 
tal que se pode estabelecer uma correspondência entre os elementos do conjunto A e 
 
Um conjunto não finito diz-se infinito. 
O número de elementos de um conjunto finito A designa-se por n(A). 
Exemplos: 
 Conjunto finito com 0 elemento 
 
Igualdade de Conjuntos 
Dois conjuntos A e B são iguais se e somente se 
 
Notação 
 
Exemplos: 
 
 
Propriedades 
 
Relação de inclusão 
Diz-se que um conjunto A está contido num conjunto B se e somente se todo elemento de A 
também é elemento de B. 
 
   BxAxxBA  
       AyeByyouBxeAxxBA  
1)    5,7,67,6,5  
2)    b,d,ab,c,a  
3)    3,2,02,1,0  
4)    v,r,t,v,tr,v,t  
1) Reflexiva: AA  
2) Simétrica: ABBA  
3) Transitiva: CACBeBA  
 
Notação: BA  : A está contido em B. 
 ABBA  , isto é, B contém A. 
 BA  : A não está contido em B. 
 
 
33 
 
Exemplos: 
 
 
Propriedades 
1) Reflexiva: 
 
2) Transitiva: 
 
3) Antissimétrica 
 
4) O conteúdo vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é, 
 
 
5) Qualquer que seja o conjunto A num universo U 
 
 
Exemplos: 
 
 
2.2- Conjuntos numéricos 
 
Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem 
características semelhantes. A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua 
construção com Georg Cantor, que pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou diversos 
estudos sobre os conjuntos numéricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos. 
1)    5,2,12,1  
2)    b,ab,a  
3)    3,2,14,2  
A está contido em U, isto é, UA,A  
Obs.:   relação entre elemento e conjunto. 
   relação entre conjuntos. 
 
   3,2,11
3,2,11


AA  ,
 
34 
 
Temos os seguintes conjuntos numéricos: 
 Conjunto dos números Naturais ( ); 
 Conjunto dos números Inteiros ( ); 
 Conjunto dos números Racionais ( ); 
 Conjunto dos números Irracionais ( ); 
 Conjunto dos números Reais ( ); 
 Conjunto dos números Complexos ( ); 
 
Conjunto dos Números Naturais ( ) 
O conjunto numérico mais simples, e o primeiro ao qual temos contato é conjunto dos 
números naturais, que é representado por , existem algumas variações para esta notação, no 
entanto a letra N sempre está presente. 
O conjunto dos números naturais é constituído por números inteiros positivos mais o zero. 
 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...} 
 
 
 
Quanto à construção do conjunto dos números naturais, temos que: 
a) todo número natural dado tem um sucessor (número que vem logo depois do número dado), 
considerando também o zero. Seja n um número natural, o sucessor de n é n+1. 
Exemplos: o sucessor de 
 0 é 1. 
 1 é 2. 
 99 é 100. 
Nas primeiras construções do conjunto dos números Naturais o zero não fazia 
parte do conjunto, atualmente para denotarmos a ausência do elemento zero 
neste conjunto adotamos a notação ∗. 
 ∗ = {1,2,3,4,5,6,7,8...} 
 
 
 
35 
 
b) se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números 
consecutivos. 
Exemplos: 
 0 e 1 são números consecutivos. 
 7 e 8 são números consecutivos. 
 
c) vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor 
do primeiro,o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim 
sucessivamente. 
Exemplos: 
 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são consecutivos. 
 1, 2 e 3 são consecutivos. 
 25, 26, 27 e 28 são consecutivos. 
 
d) todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do 
número dado). Seja n um número natural diferente de zero, o antecessor de n é n-1. 
Exemplos: 
 O antecessor de 2 é 1. 
 O antecessor de 6 é 5. 
 O antecessor de 1514 é 1513. 
 
Conjunto dos Números Inteiros ( ) 
Os números inteiros estão presentes até hoje em diversas situações do cotidiano da 
humanidade, como, por exemplo, para medir temperaturas, contar dinheiro, marcar as horas etc. 
O conjunto dos números inteiros é constituído por números inteiros positivos, o zero e 
números inteiros negativos. Logo, o conjunto dos números naturais é parte do conjunto dos números 
inteiros. 
 = {..., -4, -3, -2, -1 , 0 ,1, 2, 3, 4, 5...} 
A notação para o conjunto dos números inteiros sem o zero é análoga a do conjunto dos 
números Naturais, fazendo uso assim do asterisco. 
 ∗ = {..., -4, -3, -2, -1 ,1, 2, 3, 4, 5...} 
 
 
36 
 
Também há uma notação específica para o conjunto formado pelos elementos não negativos 
(equivalente ao conjunto dos Números Naturais). 
 = {0,1, 2, 3, 4, 5...} 
E de forma análoga, há uma notação para o conjunto formado pelos elementos não 
positivos. 
 = {..., -4, -3, -2, -1, 0} 
 
O conceito de sucessor e consecutivo para o conjunto dos números inteiros são exatamente 
equivalentes ao do conjunto dos números naturais. O conceito de antecessor que é mais amplo, já 
que no conjunto dos números inteiros é valido para qualquer elemento pertencente ao conjunto. 
Seja n um número inteiro, então dizemos o antecessor de n é n-1. 
Exemplos: 
(a) 3 é sucessor de 2 (e) 0 é antecessor de 1 
(b) 2 é antecessor de 3 (f) 1 é sucessor de 0 
(c) -5 é antecessor de -4 (g) -1 é sucessor de -2 
(d) -4 é sucessor de -5 (h) -2 é antecessor de -1 
 
Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -n 
e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto n como -n estão à mesma distância da origem 
do conjunto que é 0. 
 
Exemplos: o oposto de 
(a) +3 é -3. 
(b) -2 é +2. 
(c) -1 é 1. 
 
Conceitos como desigualdade e valor absoluto também são válidos para os números inteiros, 
no entanto serão abordados mais à frente nesta aula. 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Conjunto dos Números Racionais ( ) 
Imagine que colocou para ferver um litro de água que originalmente estava a 30° C, quando a 
água começar a evaporar isso significa que a água atingiu 100° C, no entanto a temperatura não 
subiu abruptamente, e tão pouco de 1° em um 1°. Se durante o processo de fervura parássemos em 
um momento específico para efetuarmos a medição da temperatura, provavelmente não 
encontraríamos um número inteiro. Desta forma, no nosso cotidiano os números não inteiros 
também estão presentes. 
 Números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração. O 
numerador e o denominador desta fração devem pertencer ao conjunto dos números inteiros e 
obviamente o denominador não poderá ser igual a zero, pois não há divisão por zero. 
 
 
 
 ∗ 
Observe que o conjunto dos números racionais pode ser representado de formas diferentes. 
Decimal Exata: 
 
 
 
Dízimas Periódicas: 
 
 
 ̅ 
Nesta dízima periódica dizemos que o período é igual a 6 (número que se repete 
infinitamente) 
Exemplos: Dízimas periódicas 
a) ̅ 
b) ̅ 
c) ̅̅̅̅ 
d) ̅ 
 
Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns 
exemplos são: 
a) ̅ 
b) ̅̅̅̅ 
 
Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte 
inteira e o período. Por exemplo: 
a) ̅ 
b) ̅̅̅̅ 
 
 
38 
 
Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos: 
 
 
 
 
Para representarmos uma fração em um número decimal, basta efetuarmos a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
Dado um número decimal exato ou uma dízima periódica, podemos representar esse número 
na forma fracionária. A fração que dá origem a uma dízima é dita geratriz da dízima periódica. 
Números decimais exatos: 
(a) 
 
 
, observe que este número possui apenas uma casa decimal, logo sua representação 
fracionária é o número sem a vírgula, sobre 10. 
(b) 
 
 
, observe que este número possui duas casas decimais, logo sua representação 
fracionária é o número sem a vírgula, sobre 100. 
(c) 
 
 
, observe que este número possui três casas decimais, logo sua representação 
fracionária é o número sem a vírgula, sobre 1.000. 
(d) 
 
 
 
 
 
, sempre que possível a fração deve ser simplificada, neste caso foi simplificada por 
 
Dízimas periódicas 
No caso das dízimas periódicas, precisamos primeiro identificar o período e identificarmos 
quantos algarismos formam este período e para cada algarismo representarmos no denominador um 
nove. 
(a) ̅ 
 
 
, observe que o período (número que se repete infinitamente) é igual a 2, e 
este número é formado por um algarismo, logo temos no denominador um nove. 
Mas por que devemos usar o nove? 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Podemos observar que: 
 
 
Para que o método de conversão fique mais claro, veja a seguinte construção: 
1°) desejamos encontrar a razão entre dois números inteiros, logo queremos encontrar 
 
Desta forma, se , então 
 
 
Substituindo por , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Simplifique a fração sempre que possível. 
(b) ̅̅̅̅ 
 
 
, observe que o período é igual a 14, e este número é formado por dois 
algarismos, logo temos no denominador dois ‘noves’. 
 
Observe a seguinte construção: 
1°) desejamos encontrar a razão entre dois números inteiros, logo queremos encontrar 
 
Desta forma, se , então 
 
Observe que o período neste caso foi alterado e não faz correlação com o período original, 
no entanto se adotarmos 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Substituindo por , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Veja mais alguns exemplos. 
(c) ̅ 
 
 
 
(d) ̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 
(e) ̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
Às vezes algumas manipulações numéricas são necessárias. 
Exemplo 1: 
 
 
 
 , pois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma: 
(a) 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
(d) 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
 
O número é dito número misto, pois possui uma parte exata e outra infinita 
(dízima periódica) . Existem algum métodos que podem converter o decimal 
em uma fração, observe um deles: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Dessa forma: 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjunto dos Números Irracionais ( ) 
A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de 
Metaponto, um seguidor de Pitágoras. Ele teria produzido uma demonstração (provavelmente 
geométrica) de que a raiz de 2 (ou talvez que o número de ouro) é irracional. 
Existem dois tipos de númerosirracionais: 
1. Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. 
Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, 
subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é 
um número algébrico. 
2. Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. 
Várias constantes matemáticas são transcendentes, como e o número de Euler (e). 
 
 
Conjunto dos Números Reais ( ) 
 O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o 
conjunto dos números irracionais. 
 
Os números reais podem ser representados graficamente por pontos sobre uma reta 
horizontal chamada eixo numérico ou reto numérico. 
 
 
Exemplo: 1415926,3;41421,12   
 
42 
 
Vemos que a < b se e somente se o ponto que representa o número a está à esquerda do 
ponto que representa o número b. 
N conjunto dos números Reais conceitos como antecessor, sucessor e consecutivos, por 
exemplo, são desconsiderados, permanecendo conceitos como “maior que”, “menor que” e suas 
variações. 
 
Lembrete: 
 
 
Desigualdades 
Uma expressão da forma a < b é uma desigualdade 
 
Desigualdades estritas 
a > b se, e somente se, a – b é positivo 
a < b se, e somente se, b – a é positivo 
 
Desigualdades não estritas 
se, e somente se, a < b ou a = b 
se, e somente se, a > b ou a = b 
 
 
 
LEMBRETE: 
 
(1) Regra de Sinais 
 Soma ou Subtração: 
o Sinais iguais: soma e repete o sinal; 
o Sinais diferentes: subtraí e dá o sinal do maior; 
 Multiplicação ou Divisão: 
o Sinais iguais: positivo; 
o Sinais diferentes: negativos; 
 
(2) Operações Básicas com Frações: 
Sejam d c, b, a, : 
 Soma ou subtração, onde b  0 e d  0; 
bd
cbad
d
c
b
a 
 
 Multiplicação, onde b  0 e d  0; 
d.b
c.a
d
c
.
b
a
 
 Divisão, onde b  0, d  0 e c  0; 
c.b
d.a
c
d
.
b
a
d
c
:
b
a
 
 
Obs.: Sempre que possível simplifique as frações. 
 
 
43 
 
Propriedades 
1) Se a > b e b > c, então a > c 
2) Se a < b, então c em IR, a + c < b + c 
3) Se a > b e c > d, então a + c > b + d 
4) Se a > b e c > 0, então a.c > b.c 
5) Se a > b e c < 0, então a.c < b.c 
6) Se a > b > 0 e c > d > 0 então a.c > b.d 
 
Valor Absoluto 
 Chama-se valor absoluto (módulo) de um número real x ao número real não negativo, que satisfaz 
as seguintes condições: 
 
 
 
 
Teorema 
 
Intervalos 
Intervalo Aberto 
 Se a < b, o conjunto de todos os números entre a e b é chamado intervalo aberto e é denotado por 
ou 
 
Ou seja, 
 
 
Intervalo Fechado 
Se juntarmos ao intervalo aberto (a, b) os pontos extremos a e b, temos um intervalo 
fechado denotado por [a, b]. 
Ou seja, 
 . 
 
 
axouaxax
eaxaaxentão0aSe


 
 
Exemplo: 55;22  
)b,a( 
 
44 
 
Outros intervalos 
Semiaberto à esquerda: 
 
Semiaberto à direita: 
 
Ilimitado fechado à esquerda: 
 
Ilimitado aberto à esquerda: 
 
Ilimitado fechado à direita: 
 
Ilimitado aberto à direita: 
 
 
2.3 – Subconjuntos 
Todo conjunto A que está contido num conjunto B , diz-se subconjunto ou parte de B. 
Se e , então diz-se que A é subconjunto próprio de B. 
 
Exemplos: 
1) {1,2,3} é subconjunto próprio de {1,2,3,5,7} 
2) {x | x = 2k, k 𝚴} é subconjunto N 
3) N é subconjunto Z 
4) Z é subconjunto de Q 
 
Teorema: Todo conjunto finito com n elementos tem subconjuntos. 
 
 
 
 
 
45 
 
Conjunto das partes de um conjunto 
Chama-se conjunto das partes de um conjunto E, o conjunto cujos elementos são todas as 
partes de C, inclusive a parte cheia E e a parte vazia Ø. 
Representação: P(E) = {X | X E 
 
Propriedades 
 
Observação: Se E é um conjunto finito com n elementos, então P(E) também é um conjunto finito 
com elementos. 
Exemplos: 
P({a}) = {Ø, {a}} 
P({a,b}) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}} 
P (Ø) = {Ø} 
 
Complementar de um conjunto 
Seja A uma parte (subconjunto) de D. 
Chama-se complementar (complemento) de A em relação a D, o conjunto de todos os 
elementos de D que não pertencem a A. 
Representação: 
 
Num dado universo U, pode-se falar simplesmente em complementar de um conjunto A, 
ficando subentendido que se trata do complementar em relação a U, e representa-lo por A’ ou . 
Exemplo: Sejam os conjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Propriedades do Complementar 
Sejam A e B partes de um conjunto E 
 
 
 
 
 
 
Observação: Sejam A e B conjuntos quaisquer num universo U, então: 
 
 
 
 
2.4 - Operações com conjuntos 
 
2.4.1. Álgebra dos conjuntos 
 
Interseção de dois conjuntos 
Chama-se interseção de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que 
pertencem simultaneamente a A e a B. 
Representação: 
 
Exemplos: 
(a) {1,2,3,4}∩{2,4,6,8}={2, 4} 
 Os elementos 2 e 4 pertencem simultaneamente aos conjuntos. 
(b) {1,2,3,4}∩{5,6,7,8,9}={ }= 
 Não há elementos comuns aos conjuntos. 
 
 
 
 
 
 
47 
 
Conjuntos disjuntos 
Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se e somente se não têm elementos comuns. 
A e B disjuntos 
 
Exemplo: 
 
são disjuntos, porque 
 
 
Propriedades da Interseção 
Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U. 
 
 
 
 
 
 
União de conjunto 
Chama-se união de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertençam a 
A ou a B. 
Representação: 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
Propriedades da União 
Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U. 
 
 
 
 
48 
 
 
 
 
 
Diferença de dois conjuntos 
Chama-se diferença entre dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos de A que 
não pertencem a B. 
Representação: 
 
Se A e B são conjuntos num universo U temos 
Exemplos: 
 
 
Sejam os conjuntos: 
 
 
 
 
 
Note que 
 
Isto é, a diferença não é comutativa. 
 
Propriedades da diferença 
Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U. 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
2.6 - Diagrama de Venn 
Os diagramas de Venn que se devem ao filósofo inglês John Venn (1834-
1883) servem para representar conjuntos de maneira gráfica mediante desenhos ou diagramas que 
podem ser círculos, retângulos, triângulos ou qualquer curva fechada. 
 
 
O diagrama é habitualmente usado para a solução de problemas que envolvem até três 
conjuntos. Ele ajuda a esmiuçar o problema. 
Observe os seguintes diagramas: 
 
Todo o retângulo representa o conjunto universo, a região cinza representa 
o conjunto e a região branca representa ′ (complementar de em 
relação ao universo). 
 
A região cinza com listras horizontais representa o conjunto A. A região cinza com listras 
verticais representa o conjunto B, observe que há uma região que pertence aos dois conjuntos. Esta 
região é a interseção. 
Exemplo: Em um conjunto A há 56 elementos em um universo de 100 elementos, neste 
universo há mais um outro conjunto B e na interseção entre A e B há 16 elementos. Determine 
quantos elementos há no conjunto B, sabendo que há 10 elementos que não pertencem ao 
conjuntos A e B: 
 
Se há 56 elementos no conjunto A então há 44 elementos no complementar de A. 
 
50 
 
 
Ao inserirmos o conjunto B no diagrama podemos observar que o conjunto A foi dividido em 
duas regiões: uma dos elementos exclusivos de A e dos elementos que fazem parte da interseção. 
 
Observe que 10 elementos não pertencem aos conjuntos A e B, logo, foram representados 
fora desses conjuntos. Apenas uma região não está com a sua quantidade de elementos 
representada, a referente aos elementos exclusivos de B. 
No entanto, sabemos que o conjunto universo possui 100 elementos, e para que tal 
afirmação seja verdadeira é necessário que a quantidade de elementos exclusivas de B seja igual a 
34. 
 
Logo o conjunto B possui 50 elementos.