Manual_de_Geometria_Analitica-1

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UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
1 
 Universidade Eduardo Mondlane 
Faculdade de Ciências 
Departamento de Matemática e Informática 
 
 
 Licenciatura em Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aulas Práticas 
de 
Geometria Analítica 
 
 
- Ano Lectivo de 2016 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ida Alvarinho 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
1 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
Nota Introdutória ............................................................................................................................. 2 
Programa Temático ......................................................................................................................... 3 
Tema 1: Álgebra Vectorial .............................................................................................................. 4 
1.1. Operações elementares entre vectores. Condição de paralelismo e de complanaridade. .. 4 
1.2. Ângulo de dois vectores; Produto Interno ou Escalar de Vectores ..................................... 8 
1.3. Produto Externo ou Vectorial de Vectores ........................................................................ 10 
1.4. Produto Misto de Vectores................................................................................................ 12 
Tema 2: Estudo da Recta no Plano ............................................................................................... 15 
Tema 3: Cónicas - Circunferência e Elipse .................................................................................. 20 
3.1. Circunferência .................................................................................................................... 21 
3.2. Elipse.................................................................................................................................. 22 
Tema 4: Cónicas - Hipérbole e Parábola ...................................................................................... 25 
4.1. Hipérbole............................................................................................................................ 28 
4.2. Parábola.............................................................................................................................. 29 
Tema 5: Transformações dos Sistemas de Coordenadas .............................................................. 31 
Tema 6: Geometria Analítica no Espaço ...................................................................................... 36 
6.1. Estudo do Plano ................................................................................................................. 36 
6.2. Estudo da Recta no Espaço ................................................................................................ 38 
Tema 7: Superfície Esférica .......................................................................................................... 45 
Tema 8: Quádricas: Elipsóide, Hiperbolóides e Parabolóides ..................................................... 47 
Tema 9: Superfícies de Revolução. Superfícies Cilíndricas. Superfícies Cónicas ....................... 51 
9.1. Superfícies de Revolução ................................................................................................... 51 
9.2. Superfícies Cilíndricas (ou Cilindros) ............................................................................... 52 
9.3. Superfícies Cónicas (ou Cones) ......................................................................................... 53 
Referências:................................................................................................................................... 56 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
2 
 
Nota Introdutória 
 
 
Este Manual está orientado especificamente para as aulas práticas da disciplina de 
Geometria Analítica constante do curriculum do curso de Licenciatura em Matemática, 
ministrado no Departamento de Matemática e Informática da Faculdade de Ciências da 
UEM. 
 
O Manual contém uma razoável lista de exercícios para cada tema de estudo. Nas 
referidas aulas práticas serão resolvidos alguns destes exercícios; os restantes servirão 
para trabalho independente do estudante. Obviamente, esta lista não impede (antes 
pelo contrário!) que o estudante procure, para além destes, estudar e resolver outros 
exercícios, de modo a aprofundar os seus conhecimentos. 
 
 
No início de cada tema de estudo, foi incluído um pequeno “Resumo Teórico” que 
não substitui de modo algum, as Aulas Teóricas. Ele contém somente as principais 
fórmulas e resultados que devem ser usados na resolução dos exercícios 
correspondentes. Este “resumo” não contém a dedução das fórmulas e nem a 
demonstração dos Teoremas que são feitas nas aulas teóricas e que é indispensável 
que sejam estudadas com cuidado. Chama-se a atenção para o facto de as fórmulas 
constantes deste “Resumo” não terem qualquer préstimo se o estudante não tiver 
percebido a teoria subjacente a elas. 
 
A escolha e sequência dos temas de estudo está de acordo com o Programa Temático 
da disciplina de Geometria Analítica, constante do curriculum do curso acima referido. 
 
Alguns dos exercícios e figuras seleccionados para esta compilação foram extraídos de 
diferentes publicações ou trabalhos de vários autores, cuja lista se indica em 
“Referências”, na última página deste manual. 
 
 
 
 
 
 
 
 Ida Alvarinho 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
3 
Programa Temático 
 
1. Carga horária: 6 horas/semana 
2. Tempo lectivo: 16 semanas (15.02.2016 - 03.06.2016) 
3. Programa Temático: 
 
 
4. Sistema de Avaliação: 
a. Documentos de Avaliação: 2 Testes (T1 e T2), Avaliação Contínua (AC) e 
Exame (*) 
b. A avaliação contínua: Mini-testes aplicados sem aviso prévio e(ou) 
trabalhos de investigação. 
c. Nota de Frequência (NFrq): 0.35T1 + 0.35T2 + 0.30AC 
d. Nota Final (NF): Média aritmética entre a NFrq. e a do Exame 
 
5. Datas da realização das provas de avaliação: 
Teste 1: Semana de 04 a 08 de Abril de 2016 
Teste 2: Semana de 30 de Maio a 03 de Junho de 2016 
Exame Normal*: A determinar centralmente 
Ex. de Recorrência: A determinar centralmente 
 
(*) - está prevista a dispensa de exame, sob as condições definidas no Regulamento Pedagógico da 
UEM. 
Nº Temas Nº. de 
horas 
1 Introdução à Geometria Analítica. Conceito de vector. Operações sobre vectores. 
Referencial cartesiano no plano e em IR3. 
 
12 
2 Rectas no plano: equação geral, equação paramétrica, equação canónica e 
equação axial. Ângulo entre duas rectas; posição relativa de duas rectas. Distância 
dum ponto a uma recta. Bissectrizes. 
 
12 
 
3 Equação canónica das cónicas: circunferência; elipse; hipérbole e parábola. 6 
 
4 Mudança de bases ortonormais. 6 
5 As cónicas em posição geral. Transformações: translação e rotação em IR2. 6 
6 Redução das linhas de 2ª: ordem para à forma canónica. 6 
7 Introdução às superfícies e linhas no espaço. Plano: equação vectorial, equação 
geral. 
6 
8 Plano: equação passando por três pontos; equação normal; equação axial. Ângulo 
entre dois planos; posição relativa entre dois planos. 
6 
 
9 Distância dum ponto a um plano. Rectas no espaço: equação geral, equação 
canónica, equação paramétrica. Ângulo entre recta e plano; posição relativa entre 
recta e plano. 
6 
10 No espaço: ângulo entre duas rectas, posição relativa entre duas rectas; distância 
dum ponto a uma recta. 
6 
11 Superfícies quadráticas: elipsoide e hiperboloide 6 
12 Superfícies quadráticas: paraboloide. Superfícies cilíndricas. Superfícies cónicas. 6 
13 Transformações: translação e rotação em IR3. Superfícies de revolução. 6 
14. Redução de superfícies de 2ª. Ordem à forma canónica. 6 
 Total 96 
 
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4 
 
 
Tema 1: Álgebra Vectorial 
 
1.1. Operações elementares entre vectores. Condição de paralelismo e de 
complanaridade.Uma grandeza Física pode ser escalar ou vectorial. 
 
A grandeza escalar fica perfeitamente definida quando se conhece o seu valor numérico e a 
correspondente unidade (exemplos: volume, massa, temperatura, energia). 
 
A grandeza vectorial, além do valor numérico e da unidade, necessita de direção e sentido 
para ser definida (exemplos: velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de 
movimento). 
 
A forma para indicar uma grandeza vetorial é a utilização de um ente matemático chamado 
VECTOR. A sua representação gráfica é feita através de um segmento orientado, como na 
figura: 
 
Vector 
• É um ente matemático caracterizado por módulo, direção e sentido. 
• É um segmento de reta geometricamente orientado composto por um módulo, uma direção e 
um sentido. 
 
 
 
 Equação cartesiana de um vector: 
→→→→
++= kzjyixv , sendo )0,0,1(
→
i , )0,1,0(
→
j , )1,0,0(
→
k 
 
 Multiplicação de um vector por um escalar : 
→
vk. 
- Se k>0, 
→
v e 
→
vk. têm a mesma direcção e o mesmo sentido 
- Se k<0, 
→
v e 
→
vk. têm a mesma direcção e sentidos contrários 
- Se K=0, 
→
vk. =
→
0 
Resumo Teórico: 
 
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5 
 
 Adição de Vectores: C 
- 
→→→
=+ ACBCAB 
 (adição de vectores em sequência ) 
 
A B 
 
 - 
→→→
=+ DBDCDA 
 A B 
 
 
 (regra do paralelogramo) 
 (adição de vectores com a mesma origem) 
 
 D C 
 
- Se ),,( 111 zyxu
→
 e ),,( 222 zyxv
→
, então ),,( 212121 zzyyxxvu +++=+
→→
 
 
 Subtracção de Vectores: 





−+=−
→→→→
vuvu 
→
v 
→→
− vu 
 
 
→
u 
 Condição de Paralelismo: 
→→
vu // ⇔ ∃ k : 
→→
= ukv . 
 
 Condição de Complanaridade: 
→
v é complanar a 
→
1u e 
→
2u (não nulos e não 
paralelos entre si) se e somente se 
→→→
+= 21 .. ukukv 
 
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6 
 
 
 
1. Dados os vectores 
→
a e 
→
b , construa os vectores seguintes: 
→
a3 , 
→
− b2 , 
→→
+ ba 3 , 
→→
− ba3 , 
→→
− ba
2
1
 e 
→→
− ab . 
→
a 
→
b 
 
2. Determine a origem A do segmento que representa o vector )1;3;2( −=
→
u , sendo a sua extremidade o 
ponto B(0;4,2). 
 
3. A soma de dois vectores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, um de módulo 12 e outro de 
módulo 16, terá módulo igual a: 
a) 4 
b) um valor compreendido entre 12 e 16 
c) 20 
d) 28 ou 
e) um valor maior que 28? 
4. Seja o vector )4;2(=
→
u 
 
a) Calcule o seu módulo 
b) Indique as coordenadas dum vector que tenha a mesma direcção e sentido do vector 
→
u e 
comprimento igual a 1. 
c) O vector 
→
u será paralelo ao vector 




=
→
2
3,1v ? Justifique. 
 
5. Diga se é verdadeiro ou falso: 
a) Se 
→→
= vu , então 
→→
= vu ; 
b) Se 
→→
= vu , então 
→→
= vu ; 
c) Se 
→→
vu // , então 
→→
= vu ; 
d) Se 
→→
= vu , então 
→→
vu // 
 
6. O ângulo entre os vectores 
→
a e 
→
b é igual a ºα . Ache o valor de I
→→
+ ba I e I
→→
− ba I, sabendo que: 
a) º90=α ; I
→
a I = 5; I
→
b I = 8; b) º60=α ; I
→
a I = 5; I
→
b I = 8. 
 
7. Que condições devem satisfazer os vectores 
→
a e 
→
b para que: 
a) I
→→
+ ba I = I
→→
− ba I; b) I
→→
+ ba I = I
→
a I + I
→
b I; 
c) 
→→
+ ba = K(
→→
− ba ), sendo K um número qualquer. 
 
Exercícios Propostos: 
 
 
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7 
8. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vectores 
→
AB e 
→
AD , sendo M e N os pontos 
médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determine: 
a) 
→→
+ ABAD ; b) 
→→
+ DABA ; c) 
→→
− BCAC ; 
d) 
→→
+ BCAN ; e) 
→→
+ MBMD ; f) 
→→
− CDBM
2
1
 
 
9. Sejam A e B dois pontos quaisquer e I o ponto médio do segmento AB. 
Demonstre que 
→→→
=+ MIMBMA 2 , para qualquer ponto M. 
 
10. Seja G o ponto de gravidade do triângulo ABC. Demonstre que para qualquer ponto M se tem: 
a) 
→→→→
=++ 0GCGBGA ; b) 
→→→→
=++ MGMCMBMA 3 . 
 
11. Sejam AM, BN e CP, as medianas do triângulo ABC. Exprima os vectores 
→
AM , 
→
BN e 
→
CP em 
função dos vectores 
→→
= BCa e 
→→
= CAb . 
 
12. Sejam A,B,C e D, pontos quaisquer; E e F os pontos médios dos segmentos AB e CD. Demonstre 
que: )(
2
1 →→→
+= ADBCEF . 
13. No triângulo ABC temos: 
→→
= CAa , 
→→
= ABb ; I e J são os pontos médios de BC e de AC. Determine 
os seguintes vectores, em função de 
→
a e 
→
b : 
→
AI ; 
→
IB , 
→
IC , 
→
IJ e 
→
BJ . 
 
14. Dado o triângulo ABC, sabe-se que 
→→
= CAa , 
→→
= CBb e que os pontos M e N dividem o lado AB em 
três partes iguais. Determine 
→
CM e 
→
NC em função de 
→
a e 
→
b . 
 
15. No triângulo ABC, AM é a bissectriz do ângulo BAC. M pertence ao lado BC. Determine 
→
AM , 
sabendo que 
→→
= ABa e 
→→
= ACb . 
 
16. No paralelepípedo rectângulo A´B´C´D´ABCD temos: 
→→
= mAB ; 
→→
= nAD ; 
→→
= pAÁ . Construa os 
seguintes vectores: 
→→→
++ pnm ; 
→→→
−+ pnm ; 
→→→
++ pnm
2
1 ; 
→→→
++ pnm )(
2
1 ; 
→→→
++− pnm )(3 . 
 
17. Seja SH a altura da pirâmide triangular regular SABC. Sabendo que 
→→
= SAa , 
→→
= SBb e 
→→
= SCc , 
 determine 
→
SH em função de 
→
a ,
→
b e 
→
c 
 
18. Dados os vectores 
→→→
+= baAB 2 ; 
→→→
−−= baBC 4 e 
→→→
−−= baCD 35 , demonstre que ABCD é um 
trapézio. 
 
19. Dados os pontos A(-1;2); B(4;-2) e C(1;3), determine 
a) as coordenadas do ponto M de tal modo que 
→→→→
=−+ 02 MCABMA 
b) as coordenadas do ponto D de modo que ABCD seja um paralelogramo 
c) o comprimento de cada um dos lados do triângulo ABC. 
 
 
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8 
 
20. Ache as coordenadas do centro de gravidade do triângulo ABC, sendo A(1;-2), B(0;7) e C(4;5). 
 
21. Seja ABCD um quadrado e P o ponto de intersecção das diagonais AC e BD. Determine as 
coordenadas dos vértices C e D, sendo A(1;0), B(0;2) e P(3/2;3/2). 
 
22. No sistema ortogonal de coordenadas Oxyz marque os pontos A(2;0;0), B(0;0;-1), C(0;1;1), 
D(2;2;4), E(1;-2;3), F(3;4;-2) e G(3;-2;-4). 
 
23. Sejam os pontos S(1;1;4), A(2;-2;1), B(2;1;0) e C(0;0;3). 
a) Construa o tetraedro SABC; 
b) Calcule o comprimento dos lados deste tetraedro; 
c) Determine o ponto M de tal modo que 
→→→→→
=+++ 0MSMCMBMA . 
 
24. Calcule a sabendo que são complanares os vectores: 
 a) );0,3,1(=
→
u )4,1,2(=
→
v e ),4,3( aw =
→
; 
 b) 
→→→
−= jiau 3 ; 
→→→
+= kjav e 
→→→→
++= kjiw 
 
25. Prove que os pontos A(4,5,1,), B(-4,4,4) , C(0,-1,-1) e D(3,9,4) são complanares. 
 
 
 
 
1.2. Ângulo de dois vectores; Produto Interno ou Escalar de Vectores 
 
 
 
 
 Ângulo de dois vectores 
 
 Produto Interno ou Escalar de Vectores: 
 
- Notação : 
→→
vu . ou ><
→→
vu , 
- Definição: 
→→
vu . é um escalar K tal que: k= 





=
→→→→→→
vuvuvu ,cos... 
 
- Expressão Cartesiana: 332211 .... vuvuvuvu ++=
→→
, sendo ),,( 321 uuuu =
→
 e ),,( 321 vvvv =
→
 
 
 
 
 
27. Designando a e b os comprimentos dos vectores 
→
a e 
→
b , respectivamente, calcule 
→→
ba . nos 
seguintes casos: 
a) a = 2, b = 4, º45),( =
→→
ba ; b) a =1,5; b = 4, º60),( =
→→
ba ; 
c) a = 3, b = 2, 
→
a e 
→
b têm sentidos opostos; 
d) a = 3, b = 2, 
→
a e 
→
b são vectores do mesmo sentido. 
Resumo Teórico: 
Exercícios Propostos: 
 
 
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9 
 
28. Designando a e b os comprimentos dos vectores 
→
a e 
→
b , respectivamente,determine o ângulo 
formado por 
→
a e 
→
b sabendo que: a) 
→→
ba . = a.b; b) 
→→
ba . = -a.b; c) 
→→
ba . = 
2
1 a.b. 
 
29. Sendo 4=
→
u , 5=
→
v e º120, =




 →→
vu , calcule 
→→
+ vu , usando produto escalar de dois vectores. 
 
30. Seja um paralelogramo construído sobre 
→
u e 
→
v . Determine o ângulo entre as diagonais do 
paralelogramo, sabendo que 3=
→
u , 1=
→
v e 
6
),( π=
→→
vu . (Sugestão: As diagonais são 
→
u +
→
v e 
→
u - 
→
v . Utilize o produto interno destes dois vectores). 
 
31. Calcule o ângulo entre os vectores 
→→→
−+ cba 2 e 
→→→
−+− cba 2 , sabendo-se que os vectores 
→→
ba , e 
→
c 
têm todos módulo igual a 1 e que são mutuamente ortogonais. 
 
32. Usando a definição de produto interno de vectores, demonstre que num triângulo rectângulo, a altura 
relativa à hipotenusa é média geométrica entre as projecções dos catetos sobre a hipotenusa. 
 
33. Os vectores 
→
u e 
→
v são paralelos. Calcule o vector 
→
v , sabendo que 
→→→→
++= kjiu 2 e 3. =
→→
vu 
 
34. Seja ABC um triângulo equilátero de lado igual a 2cm. M é o ponto médio de BC. Calcule: 
 a) 
→→
ACAB . ; b) 
→→
BCAB . ; c) 
→→
MAAB . 
 
35. Seja ABCD um rectângulo em que 2=AB e 3=AD . M é o ponto médio de BC. Calcule: 
 a) 
→→
ADAC . ; b) 
→→
ABAM . ; c) 
→→
DCAM . . 
 
36. Calcule 
→→
ba . nos casos: a) )2;5(=
→
a , )6;3(−=
→
b ; b) )8;6( −=
→
a , )9;12(=
→
b ; c) )5;3( −=
→
a , )4;7(=
→
b 
 
37. Determine o ângulo entre 
→
a e 
→
b sabendo que: 
 a) )3;4(=
→
a , )7;1(=
→
b ; b) )8;6( −=
→
a , )9;12(=
→
b c) )6;2( −=
→
a , )9;3(−=
→
b . 
 
38. Sejam os pontos A(1;1), B(4;2) e C(3;y). Determine y de modo a que o triângulo ABC seja 
rectângulo. 
 
39. No triângulo ABC, 
→→
= BCa , 
→→
= CAb e 
→→
= ABc . Demonstre que )(
2
1... 222 cbacbcaba ++−=++
→→→→→→
. 
 
40. Sejam A,B,C e D quatro pontos quaisquer no espaço. 
 a) Demonstre que 0... =++
→→→→→→
BCADDBACCDAB ; 
b) Aplicando o resultado de a), demonstre que as três alturas dum triângulo concorrem num 
ponto. 
 
41. Demonstre que se a = b, então 
→→
+ ba e 
→→
− ba são perpendiculares entre si. 
 
 
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10 
 
42. Sejam A(-1;-2;4), B(1;4;6), C(-4;1;1) e D(-5;-5;3) os vértices dum quadrilátero. Demonstre que 
duas diagonais deste quadrilátero são ortogonais. 
 
43. Determine os ângulos do triângulo ABC, em que A(2;-1;3), B(1;1;1) e C(0;0;5). 
 
44. Determine o vector 
→
v tal que: 9. =
→→
av , 4. −=
→→
bv , )5;1;3( −=
→
a , )3;2;1( −=
→
b e 
→
v é perpendicular ao 
eixo OZ. 
 
45. Sejam 
→→→
nuuu ,...,, 21 vectores perpendiculares ao vector 
→
v . Mostre que qualquer combinação linear dos 
 vectores 
→→→
nuuu ,...,, 21 , ainda é perpendicular a 
→
v . 
 
46. O sistema de vectores (
→→→
nuuu ,...,, 21 ) diz-se ortonormal, se 



≠
=
=
→→
jise
jise
uu ji ..........0
..........1
. . 
Mostre que os seguintes sistemas são ortonormais: 
a) )0,0,1(
→
i , )0,1,0(
→
j e )1,0,0(
→
k ; b) )
5
4,0,
5
3(
→
u , )
5
3,0,
5
4(−
→
v e )0,1,0( −
→
w 
 
47. Sejam ),,(
→→→
wvu uma base ortonormal e 
→
a um vector qualquer de R3. 
Demonstre que 
→→→→→→→→→→
++= wwavvauuaa ).().().( . 
 
 
 
 
 
 
1.3. Produto Externo ou Vectorial de Vectores 
 
 
 
 
 Produto Externo ou Vectorial: 
- Notação : 
→→
vxu ou 
→→
∧ vu 
- Definição: 
→→
vxu é um vector 
→
w tal que: 
1. Quanto à direcção: 
→
w é perpendicular ao plano que contém 
→
u e 
→
v 
2. Quanto ao sentido: 
→
u , 
→
v e 
→
w , nesta ordem, formam um triedro positivo 
3. Quanto ao módulo: 





=
→→→→→→
vusenvuvxu ,.. 
- Expressão Cartesiana: Sendo ),,( 111 zyxu =
→
 e ),,( 222 zyxv =
→
, vem: 
 
→→
vxu = ( ) ( ) ( )
→→→
−+−+− kyxyxjzxzxizyzy 122121121221 ...... = 
222
111
zyx
zyx
kji
→→→
 
Resumo Teórico: 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
11 
Área do paralelogramo ABCD: 
 
 SABCD= 
→→
vxu 
 
 - Sentido Geométrico: 
 
 B C 
 
→
v 
 A 
→
u D 
 
 
 
 
48. Calcule I
→→
bxa I; I )2()2(
→→→→
++ baxba I; I )3()3(
→→→→
−− baxba I; se I
→
a I =1, I
→
b I =2 e º120);( =
→→
ba . 
 
49. Calcule: a) I
→→
bxa I se I
→
a I =10, I
→
b I =2 e 
→→
ba . =12. 
 b) 
→→
ba . se I
→
a I =3, I
→
b I =26 e I
→→
bxa I=72. 
 
50. Sejam )1;3;2( −=
→
a , )2;1;3(−=
→
b e )2;2;1( −−=
→
c . Determine 
→→→
cxbxa )( , )(
→→→
cxbxa e ).(
→→→
cxab . 
 
51. Sejam )2;1;3( −−=
→
a e )1;2;1( −=
→
b . Determine 
→→
bxa , )2()2(
→→→→
−+ baxba e )()2(
→→→→
−−− baxab . 
 
52. Demonstre que 
22
22 .).()(
→→→→→→
=+ bababxa . 
 
53. Se 
→→→→
=++ 0cba , demonstre que 
→→
bxa = 
→→
cxb = 
→→
axc . 
 
54. Se 
→→
⊥ ba e 
→→
⊥ ca , mostre que )(
→→→
cxbxa = 
→
0 . 
 
55. Calcule a área do paralelogramo construído pelos vectores: 
 a) 
→→→→
−+= kjia 236 ; 
→→→→
+−= kjib 623 ; b) 
→→
= ia ; 
→→→
−= kjb . 
 
56. Calcule a área e as alturas do ∆ ABC se: 
a) A(1,-1,2); B(5,-6,2); C(1,3,-1); b) A(1,2,0); B(3,0,-3); C(5,2,6) 
 
57.Determine o ângulo entre 
→
a e 
→
b se: 
→→
ba . = 9; 
→→→→→
+−= kjibxa 663 . 
 
 
 
Exercícios Propostos: 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
12 
 
 
 
1.4. Produto Misto de Vectores 
 
 
 
 
 
 Produto Misto: 
- Notação : 




 →→→ wvu ,, 
- Definição: 




 →→→ wvu ,, é um escalar K tal que: k= 




 →→→ wvu ,, = 
→→→





 wvxu . 
- Expressão Cartesiana: 




 →→→ wvu ,, = 
321
321
321
www
vvv
uuu
 
sendo ),,( 321 uuuu =
→
 , ),,( 321 vvvv =
→
 e ),,( 321 wwww =
→
 
 
 - Sentido Geométrico: 
 B´ C´ 
 
 A´ 
 
 
 
 
→
w 
 B C 
 
→
v 
 A 
→
u D 
 
 
 
 
 
 
58. O vector 
→
c é perpendicular aos vectores 
→
a e 
→
b ; (
→
a ;
→
b ) = 30º; I
→
a I = 6, I
→
b I = 3, I
→
c I = 3. 
 Calcule ),,(
→→→
cba . 
 
59. 
→→→
cba ,, são perpendiculares dois a dois e formam um terno direito; I
→
a I = 4, I
→
b I = 2, I
→
c I = 3. 
 Calcule ),,(
→→→
cba . 
 
Resumo Teórico: 
Exercícios Propostos: 
 
- Volume do prisma ABCDA´B´C´D: 
 VABCDA´B´C´D= 




 →→→ wvu ,, 
 
- Volume do tetraedro A´ABD: 
 
 VA´ABD= 




 →→→ wvu ,,
6
1 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
13 
60. Sejam )3;1;1( −=
→
a , )1;2;2(−=
→
b e )5;2;3( −=
→
c . Calcule: a) ),,(
→→→
cba ; b) ),,(
→→→→→
−+ acbaa . 
 
61. Prove que: a) ),,(
→→→
cba = - ),,(
→→→
bca = ),,(
→→→
bac ; b) ),,(
→→→→→→
+++ accbba = ),,.(2
→→→
cba . 
 
62. Calcule o volume do paralelepípedo cujos lados são os vectores: 
a) )1;3;1( −=
→
a , )3;1;2( −=
→
b e )1;2;1(=
→
c ; b) 
→
a , 
→→
+ ba e 
→→
+ ca . 
 
63.Calcule o volume do tetraedro ABCD onde: 
 a) A(2,3,1); B(4,1,-2), C(6,3,7); D(-5,-4,8); b) A(2,-1,1); B(5,5,4); C(3,2,-1); D(4,1,3). 
 
64. Determine as alturas do tetraedro ABCD onde: 
 a) A(3,-2,3); B(1,0,0); C(1,0,3); D(1,-2,5); b) A(0,0,1); B(2,3,5); C(6,2,3); D(3,7,2). 
 
65. O volume do tetraedro ABCD é igual a 5. Três dos seus vértices são: A(2,1,-1); B(3,0,1) e C(2,-1,3). 
O vértice D está situado no eixo OY. Acha as coordenadas do vértice D. 
 
66. Verifique a complanaridade dos seguintes ternos: 
 a) )1;3;2( −=
→
a , )3;1;1( −=
→
b e )11;9;1( −=
→
c ; 
b) )1;2;3( −=
→
a , )2;1;2(=
→
b e )1;2;3( −−=
→
c . 
 c) )2;1;2( −=
→
a , )3;2;1( −=
→
b e )7;4;3( −=
→
c . 
 
67. Mostre que os pontos seguintes pertencema um plano: 
 a) A(1,2,-1); B(0,1,5); C(-1,2,1); D(2,1,3); 
b) A(1,1,1,); B(3,4,0); C(2,0,4); D(2,10,-10); E(4,18,-18). 
 
68. Determine o(s) valor(es) de y para que os pontos A(5,y,2), B(3,1,-1), C(9,4,-4) e D(1,5,0) sejam 
complanares. 
 
 
Respostas: 
2. A(-2;1;3); 3. c ) 4. a) 52 ; b) 






5
52,
5
5
; c) Não; 5. a) V; b) F; c) F; d) V; 
6.a) 89 ; b) 129 ; 7 ; 7. a) Perpendiculares; b) Colineares e do mesmo sentido; c) Colineares ; 
8. a) 
→
AC ; b) 
→
CA ; c) 
→
AB ; d) 
→
AM ; e) 
→
MN ; f) 
→
BD 
9.a) 
→
0 ; b) 
→
BA ; c)
→
0 ; 12. 
→→→
−−= baAM
2
1 ; 
→→→
+= baBN
2
1 ; )(
2
1 →→→
−= abCP ; 14. )(
2
1 →→→
+−= baAI ; 
)(
2
1 →→→
+= baIB ; )(
2
1 →→→
+−= baIC ; 
→→
−= bIJ
2
1 ; 
→→→
−−= baBJ
2
1 ; 15. 
→→→
+= baCM
3
1
3
2 ; 
→→→
−−= baNC
3
2
3
1 ; 
16. ).(
→→
→→
→
→→
−
+
+= ab
ba
a
aAM ; 18. )(
3
1 →→→→
++= cbaSH ; 20. a) M(2,-3); b) D(-4;7); c) 41 ; 5 ; 34 ; 
21. G(5/3; 10/3); 22. C(2,3); D(3,1); 24. b) 19 ; 10 ; 14 ; 3 ; c) (5/4; 0; 2); 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
14 
25. a) 4; b) 
2
131±
; 27. a) 24 ; b) 3; c) –6; d) 6; 28. a) 0; b) π ; c) 
3
π ; 29. 21 ; 
30. 
7
72arccos=α ; 31. 
3
π ; 33. 
→→→→
++= kjiv
2
1
2
1 ; 34. a)2; b)-2; c) –3; 
35. a) 9; b) 4; c) 4; 36. a) –3; b) 0; c)1; 37. a) 
4
π ; b) 
2
π ; c) π ; 
38. y=0, y=3, y=5 ou y=-5; 43. 90º, 45º, 45º; 44. )0,3,2( −=
→
v ; 48. 3 ; 3 3 ; 8 3 ; 
49.a) 16; b) 30± ; 50. (-28,21,7); (-25,-8,26); -7; 51. (5,1,7); (-20,-4,-28); (15,3,21); 
55.a) 49; b) 2 ; 56.a) 25/2; b)14; 57. 
4
π ; 58. 27± ; 59. 24; 
60.a) –7; b) –7; 62. a) 25; b) 25; 63.a) 154/3; b) 3; 
64. a) 2=Ah ; 3=Bh ; 11
332=Ch ; 2=Dh ; b) 17
5104
=Ah ; 10=Bh ; 5
304=Ch ; 62=Dh ; 
65. (0,8,0) ou (0,-7,0); 66.a) Sim; b) Não; c) Sim. 68. Não existe nenhum valor de y que 
satisfaça a condição. 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
15 
 
 
Tema 2: Estudo da Recta no Plano 
 
 
 
 - Vector director da recta: qualquer vector 
→→
≠ 0a , paralelo à recta 
 - Vector normal da recta: qualquer vector 
→→
≠ 0n , perpendicular à recta 
 
 - Equação paramétrica da recta r que passa pelo ponto M0(x0,y0) e é paralela a um 
 vector dado ),( bav =
→
: r: 



+=
+=
btyy
atxx
0
0 , sendo t parâmetro 
 
- Equação canónica da recta r que passa pelo ponto M0(x0,y0) e é paralela a um 
 vector dado ),( bav =
→
: r: 
b
yy
a
xx 00 −=− 
 
- Equação da recta r que passa por dois pontos dados ),( 111 yxM e ),( 222 yxM : 
r: 
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
− ou r: 
1212
11
yyxx
yyxx
−−
−− = 0 
 
- Equação axial ou segmentária da recta r: 
 r: 1=+
b
y
a
x 
 
(a e b: intersecção com os respectivos eixos coordenados) 
 
- Equação duma recta r que passa por um ponto M0(x0,y0) e é perpendicular a um 
 vector dado ),( BAn =
→
: r: 0)()( 00 =−+− yyBxxA 
 
- Equação geral da recta: r: 0=++ CByAx ( ),( BAn =
→
 - vector normal da recta) 
 
 - Ângulo entre duas rectas r1 : 0111 =++ CyBxA e r2: 0222 =++ CyBxA : 
 
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
.
cos
BABA
BBAA
++
+
=ϕ sendo ),( 21 rr=ϕ 
 
 - Distância dum ponto P0(x0,y0) a uma recta r: Ax+By+C=0: 
 
22
00
0 ),(
BA
CByAx
rPd
+
++
= 
 - Bissectrizes b1 e b2 dos ângulos formados por duas rectas r1 : 0111 =++ CyBxA 
 e r2: 0222 =++ CyBxA : b1,2 : 2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+
++
±=
+
++ 
 
Resumo Teórico: 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
16 
 
 
 
1. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é perpendicular ao vector 
→
n , onde: 
a) P(3,-1); 
→
n =(1,2); b) P(1,-1); 
→
n =(1,-1); c) P(3,1); 
→
n =(0,2); d) P(-1,2); 
→
n = (1,0). 
 
2. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é paralela ao vector 
→
v , onde: 
a) P(3,-1); 
→
v =(1,2); b) P(1,-1); 
→
v =(1,-1); c) P(3,1); 
→
v =(0,2); d) P(-1,2); 
→
v =(1,0) 
 
3. Escreva a equação da recta que passa por dois pontos P e Q onde: 
a) P(-1,5); Q(2,0); b) P(1,0); Q(0,3); c) P(0,1); Q(0,-5); d) P(2,3); Q(-5,3) 
 
4. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é paralela à recta r: 
a) P(1,-5); r: 2x - y =3; b) P(2,3); 



−=
+=
ty
tx
r
3
21
: ; c) P(0,1); 
3
3
2
1: +=− yxr ; d) P(2,-1); r: x= 3 
 
5. Determine a equação da recta que passa pelo ponto P e é perpendicular à recta r, onde P e r 
são dados no exercício anterior. 
 
6. Complete: 
a) A recta 
0
1
3
1 +
=
+ yx é paralela ao eixo .........; b) A recta 



+=
=
ty
x
32
2 é paralela ao eixo .........; 
c) A recta 
2
3
0
1 −
=
− yx é paralela ao eixo ......... 
7. Determine o ponto da recta r : 



+=
+=
ty
tx
1
3 que: a) tem de ordenada 5; b) tem de abcissa –8. 
8. O ponto A(0;y) pertence à recta determinada pelos pontos P(1;2) e Q(2;3). Determine o ponto A. 
 
9. Determine o vector direcção, o vector normal, a equação geral, a equação paramétrica, a 
equação canónica e a equação axial da recta que passa por dois pontos A e B sendo: 
a) A(-6,8); B(-1,2); b) A(4,0); B(0,3). 
 
10. Sejam dadas quatro rectas: 2x + 5y –1 = 0; 2x + 3 = 0; 3y – 2 = 0; x – y + 3 = 0. 
a) Construa estas rectas num mesmo sistema de coordenadas; 
b) Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção destas rectas, duas a duas. 
 
11. Os lados dum triângulo são dados pelas equações: 4x + 3y – 5 = 0; x = 2 e x – 3y + 10 = 0. 
 a) Determine as coordenadas dos seus vértices; b) Calcule as medidas das suas alturas 
 
12. Determine as coordenadas do ortocentro do triângulo ABC, sendo: A(-8,3); B(8,5) e C(8,-5). 
 
13. Sejam A(-2,1) e B(3,-4), dois vértices do triângulo ABC. O ponto H(5,-1) é o ortocentro deste 
triângulo. Determine as coordenadas do vértice C. 
 
14. Determine as coordenadas do centro de gravidade do triângulo ABC se: 
 a) A(-2,0); B(0,2) e C(2,0); b) A(-8,3); B(8,5) e C(8,-5) 
 
15. Calcule a área do paralelogramo ABCD sabendo que: D(6,4); a equação dum lado é: x – 2 y = 0 
e a equação do lado BC é x – y – 1 = 0. 
 
Exercícios Propostos: 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
17 
16. Ache as coordenadas dos vértices do losango ABCD sabendo que: a equação do lado AB é 
x + 2y = 4; a equação do lado CD é x + 2y = 10 e que a equação de uma diagonal é y = x + 2. 
 
17. Determine os valores de m e n para os quais as rectas r: mx + 8y + n = 0 e s: 2x + my – 1 = 0 
são: a) Paralelas; b) Perpendiculares; c) Secantes no ponto A(1,-2); d) Coincidentes. 
 
18. Determine a distância do ponto A(2,3) às rectas seguintes: a) 3x + 4y = -2; b) y = 2x – 4; 
c) x = 3; d) y = 4; e) 



+−=
−=
ty
tx
33
2 ; f) 
4
3
2
1 +
=
− yx . 
 
19. Determine a distância entre duas rectas paralelas r e s, onde: 
a) r : 2x – y = 0; s: 2x – y = 5; b) r: y = x + 3; s: 3x – 3y + 4 = 0; c) r: x = 1; s: x = -5; 
d) r : y = 0; s: 2y = 8; e) r: 



−=
=
ty
tx
1
2 ; s: 



−−=
+=
ty
tx
2
21 ; f) r: 



−=
=
ty
tx
1
2 ; s : x + 2y = 3 
 
20. Determine as coordenadas do ponto Q que é simétrico ao ponto P(-8,12), em relação: 
a) ao eixo Ox; b) ao eixo Oy; c) à recta x – y = 0; d) à recta 2x + y –1 = 0. 
 
21. Ache as coordenadas do ponto P(-8,12) sobre: a) o eixo OX; b) o eixo OY; c) a recta que 
passa pelos pontos A(2,-3) eB(-5,1); d) a recta que passa pelo ponto A(-3,4) e é paralela à 
recta 4x – 3y + 1 = 0; e) a recta que passa pelo ponto A(-3,4) e é perpendicular à recta 
4x – 3y + 1= 0. 
 
22. Ache as equações das bissectrizes de duas rectas : 
a) x – 2y + 1 = 0 e -2x + y = 0; b) –x –2y + 3 = 0 e 2x +3y – 5 = 0. 
 
23. Ache as equações das bissectrizes e as coordenadas do centro da circunferência inscrita no 
triângulo ABC se: a ) A(1,-2); B(-2,-2) e C(-2,2); b) A(1,1); B(1,4) e C(4,1) 
 
24. Escreva a equação axial: a) da recta r : 06
3
2
=−+ xy ; b) da recta s que é simétrica à recta 
r (dada na alínea anterior) em relação ao eixo OY. 
 
25. Sejam A(-6,-2), B(6,7), C(9,3) e D(1,-3), vértices consecutivos de um quadrilátero convexo. 
Determine o ponto de intersecção das suas diagonais. 
 
26. Determine a área do triângulo limitado pela recta 04085 =−+ yx e pelos eixos coordenados. 
27. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto F e é perpendicular ao vector )5;2(=
→
n . O 
ponto F é simétrico ao ponto K(3,-4) em relação ao eixo OX. 
 
28. Determine o valor de b para o qual as rectas 
5
4
3
2 +
=
− yx e 
30
61 −
=
+ y
b
x são paralelas. 
 
29. Determine o valor de a para o qual as rectas 
a
yx 3
2
3 −
=
+ e 
24
4
3
+
=
−
yx são 
perpendiculares. 
 
30. Pelo ponto de intersecção das rectas 01323 =−+ yx e 093 =−+ yx foi traçada uma recta r 
paralela à recta 1
54
=+
yx . Escreva a equação de r. Ache a distância de r à recta 1
54
=+
yx . 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
18 
31. Considere a recta r representada pela equação geral 0623 =−− yx . Represente a mesma 
recta usando a expressão segmentária e indique as coordenadas dos pontos em que ela 
intersecta os eixos cartesianos ortogonais. 
32. Determine um vector normal da reta cujas equações paramétricas são: 



−=
−=
ty
tx
1
38
 
 
33. Determine uma equação paramétrica da reta r de equação geral 0152 =−− yx . 
 
34. Ache uma equação canónica da reta r que passa por (5,-2) e é paralela à recta s: 32 =+ yx . 
 
35. Ache uma equação paramétrica da reta r que passa (5,1) e é perpendicular à recta s: y+3 = 4x. 
 
36. Determine a equação geral da mediatriz do segmento AB, onde A(7,4) e B (-1,-2). 
 
37. Seja o triângulo ABC, com A(1,1), B(5,2) e C(3,5). Escreva a equação geral: 
a) das três rectas que contêm os lados do triângulo 
b) das três rectas que contêm as linhas médias do triângulo 
c) das três rectas que contêm as alturas do triângulo 
d) das três mediatrizes do triângulo. 
 
38. Determine a equação geral da reta t que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r, onde: 
a) r: 2=x ; A(5,3) 
b) r: 54 += xy ; A(4,1) 
 
39. Seja a recta r: 
0
2
2
5 +
=
−
− yx
. Construa a recta s que passa pelo ponto P(3,2) e é: 
a) paralela à recta r b) perpendicular à recta r. 
 
 40. Determine a intersecção das seguintes rectas: 
 a) r: 



+−=
+=
ty
tx
21
7
 e s: 32 =+ yx ; b) r: 
4
1
3
5
−
−
=
+ yx
 e s: 




+−=
−=
ty
tx
4
3
2
31
 
 
 
Respostas: 
 
1. a) x+2y-1=0; b) –x+y+2=0; c) y=1; d) x+1=0; 2.a) 2x-y-7=0; b) x+y=0; c) x=3, d) y=2; 
3. a) 5x+3y-10=0; b) 3x+y-3=0; c) x=0; d) y=3; 4.a) 2x-y-7=0; b) x+2y-8=0; c) 3x+2y-2=0; d) x=2; 
5. a) x+2y+9=0; b) 2x-y-1=0; c) 2x-3y+3=0; d) y=-1; 6. a) OX; b) OY; c) OY; 7. a) P(7;5); 
b) Q(-8;-10); 8. A(0;1); 9. a) )6,5( −=
→
v ; )5,6(=
→
n ; 6x+5y-4=0; 



−=
+−=
ty
tx
68
56 ; 
6
8
5
6
−
−
=
+ yx ; 
1
5
4
3
2
=+
yx ; b) )3,4( −=
→
v ; )4,3(=
→
n ; 3x+4y-12=0; 



−=
+=
ty
tx
3
44 ; 
34
4
−
=
− yx ; 1
34
=+
yx ; 
10. b) )
5
4,
2
3()032()0152( −==+∩=−+ xyx ; )
3
2,
6
7()023()0152( −==−∩=−+ yyx ; 
)1,2()03()0152( −==+−∩=−+ yxyx ; )
3
2,
2
3()023()032( −==−∩=+ yx ; )
2
3,
2
3()03()032( −==+−∩=+ yxx ; 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
19 
)
3
2,
3
7()03()023( −==+−∩=− yxy ; 11. a) A(-1,3); B(2, -1); C(2; 4); b) ;3=ah 102
3
=bh ; 
3=ch ; 12. H(7; 3); 13. C(17/5; -13/5); 14. a) G(0; 2/3); b) G(8/3; 1); 15. 
2; 
16. A(0,2); B(2,4); C(4,0); D(-2,6) 17. a) 4=m e 2−≠n ; 4−=m e 2≠n ; b) nm ∀= ,0 ; 
c) m = 1/2; n = 31/2; d) m = 4 e n = -2; m = -4 e n =2; 18. a) 4; b) 
5
53 ; c) 1; d) 1; e) 
5
103 ; 
f) 
5
54 ; 19. a) 5 ; b) 
6
25 ; c) 6; d) 4; e) 5 ; f) 
5
5 ; 20. a) (-8,-12); b) (8,12); 
c) (12,-8); d) (-4,14); 21. a) (-8,0); b) (0,12); c) (-12,5); d) )
25
168,
25
24(− , e) )
5
8,
5
1( , 
22. a) 3x-3y+1=0 e x+y-1=0; b) 013355)13253()1352( =−−+++ yx e 
013355)13253()1352( =+−−+− yx ; 
23. a) x+2y+3=0; 3x+y+4=0; x-y=0; C(-1,-1) ; b) x – y = 0; 025)21( =−−++ yx 24 ; 
025)21( =−−++ yx ; 







+
+
+
+
22
25,
22
25C ; 24. a) 1
69
=+
yx ; b) 1
69
=+
−
yx ; 25. I =( 3;1); 26. 20; 
27. 2x+5y-26=0; 28.18; 29. 
4
1 ; 30. 5x+4y-23=0; 
41
3 . 
 31. 1
32
=−
yx
; pontos P(2,0) e Q(0,-3); 32. )3,1( −=
→
n ; 33. 




+−=
+=
ty
tx
1
2
17 ; 
34. r: 
2/1
2
1
5
−
+
=
− yx ; 35. 



−=
+=
ty
tx
1
45
 ; 36. 01534 =−+ yx ; 
37. a) 034 =+− yx ; 012 =−− yx ; 01923 =−+ yx ; b) 052
2
1
=+− yx ; 06
2
3
=−+ yx ; 0
2
92 =−− yx ; 
c) 0174 =−+ yx ; 092 =−+ yx ; 0132 =+− yx ; d) 0
2
274 =−+ yx ; 082 =−+ yx ; 0
2
532 =+− yx . 
38. a) t: 3=y ; b) 084 =−+ yx . 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
20 
Tema 3: Cónicas - Circunferência e Elipse 
 
 
 
 
 Expressão geral de Linhas de 2ª Ordem (no plano): 
022 =++++ EDyCxByAx 
 
 Expressão cartesiana da Circunferência de Centro ),( 00 yxC e raio R: 
 ( ) ( ) 22020 Ryyxx =−+− 
 
 Equação da Circunferência que passa por 3 pontos ),( 111 yxP , ),( 222 yxP e 
),( 333 yxP : ( ) 032122 =∆−∆−∆−+∆ yxyx , sendo: 
 
 
1
1
1
33
22
11
yx
yx
yx
=∆ ; 
1
1
1
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
yyx
yyx
yyx
+
+
+
=∆ ; 
1
1
1
2
3
2
33
2
2
2
22
2
1
2
11
2
yxx
yxx
yxx
+
+
+
=∆ ; 
2
3
2
333
2
2
2
222
2
1
2
111
3
yxyx
yxyx
yxyx
+
+
+
=∆ 
 
 
 - Definição de Elipse: 
 Lugar geométrico dos pontos P(x,y) do plano 
 tal que aPFPF 221 =+ , sendo: 
F1 e F2 dois pontos fixos quaisquer do 
mesmo plano e 
 d(F1,F2)=2c, IRa∈ , a>c>0. 
 
 aPFPF 221 =+ 
 
 aQFQF 221 =+ 
 
 
 
F1 e F2 : Focos da Elipse 
 
Recta F1 F2 : Recta Focal 
 
O: Centro da Elipse 
 
A1, A2, B1, B2: Vértices da Elipse 
 
A1A2: Eixo Maior da elipse 
 
B1B2: Eixo Menor da elipse 
 
 
Resumo Teórico: 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
21 
 Equação canónica da elipse: 12
2
2
2
=+
b
y
a
x 
 
 Excentricidade da elipse: 
a
ce = 
 
 Directrizes 1δ e 2δ da elipse: 
. Se a>b, 2,1δ são rectas verticais: e
ax ±= , ou, o que é o mesmo, 
c
ax
2
±= 
 
. Se a<b, 2,1δ são rectas horizontais: e
by ±= , ou, o que é o mesmo, 
c
by
2
±= 
 
 
 Gráfico da elipse: 
 
O eixo maior coincide com o eixo O eixo maior coincide com o eixo 
dos XX´: dos YY´: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1. Circunferência 
 
1. Escreva a equação da circunferência de centro em C e de raio r, onde: a) C está situado na 
origem das coordenadas e r =7 ; b) C(-2,1); r = 3; c) C(4,2); r = 6; d) C(4,2); r = m 
arbitrário; e) C(2,-1); r = 2 . 
 
2. Dadas as seguintes equações, verifique se elas representam circunferências. Em caso 
afirmativo,indique o valor do seu raio e as coordenadas do seu centro: 
a) 0422 =−−−+ yxyx ; b) 0318444 22 =−+−+ yxyx ; c) 644 22 =+ yx ; 
d) 12222 =+−+ yxyx ; e) 0822 =−+−− yxyx ; f) 08222 =+++ xyyx 
 
3. Escreva a equação da circunferência que passa por três pontos A,B e C onde: 
a) A(1,1); B(1,-1); C(2,2) b) A(0,0); B(2,2); C(1,-1) c) A(-1,5); B(-2,-2); C(5,5,) 
 
Exercícios Propostos: 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
22 
4. Escreva a equação da circunferência de centro P e que passa pelo ponto A: 
a) P(-1,2); A(0,2); b) P(0,0); A(3,4); c) P(0,-2); A(1,4) 
 
5. Determine a equação da circunferência que é simétrica à circunferência 1)2()1( 22 =−+− yx em 
relação à recta 3−= xy . 
 
6. Escreva a equação da circunferência de centro em C e que é tangente à recta r: 
a) C(1,-1); r: 09125 =+− yx ; b) C(0,0); r: 02043 =++ yx : 
c) C(-1,-1); r passa por A(2,-1); B(-1,3). 
 
7. Escreva a equação da circunferência que passa por dois pontos A e B e cujo centro está situado 
na recta r: a) A(3,1); B(1,-1); r: ;32 =+ yx b) A(3,1); B(3,5); r: 02 =+ yx 
 
8. Escreva a equação do diâmetro da circunferência 2522 =+ yx , o qual é perpendicular à recta 
4x+3y-25=0. 
 
9. Escreva a equação da circunferência inscrita no triângulo ABC, sendo: A(0,-3); B(0,3) e C(4,0). 
 
10. Escreva a equação da recta r que passa pelo ponto P e é tangente à circunferência ( C ), sendo: 
a) P(0,-3); ( C ): 0222 =+−+ yxyx ; b) P(-4,0); ( C ): 044222 =−−−+ yxyx . 
 
11. Determine a posição relativa entre o ponto P(1,-2) e a circunferência ( C ): 
a) ( C ) : 922 =+ yx ; b) ( C ) : 054822 =−−−+ yxyx ; c) ( C ) : 081022 =+−+ yxyx . 
 
12. Determine a posição relativa entre a recta r e a circunferência ( C ). Nos casos em que r e 
( C ) se intersectam, determine as coordenadas do(s) ponto(s) de intersecção: 
a) r: 0127 =+− yx ; ( C ): 25)1()2( 22 =−+− yx ; b) r: 32 −= xy ; ( C ) : 032322 =−+−+ yxyx ; 
c) r: 
2
1
2
1
−= xy ; ( C ) : 0122822 =++−+ yxyx ; d) r: 10+= xy ; ( C ) : 0122 =−+ yx . 
 
13. Ache a distância mais curta do ponto A até à circunferência ( C ): 
 a) A(5,-6); ( C ) : 0314222 =−−++ yxyx ; b) A(6,-4); ( C ) : 0118422 =++−+ yxyx . 
 
14. Construa as linhas determinadas pelas equações: 
a) 29 xy −= ; b) 26415 xy −−= ; c) 24 yx −−= ; d) 292 yx −+−= . 
 
 
3.2. Elipse 
 
 
15. Mostre que as equações seguintes são equações de elipses. Para cada caso, 
determine as coordenadas dos focos e a distância focal: a) 0360010036 22 =−+ yx ; 
b) 0112167 22 =−+ yx . 
 
16. Escreva a equação da elipse com focos )0,2(± e cujo diâmetro principal maior é igual 
a 5. Calcule as coordenadas dos vértices, os diâmetros principais, a excentricidade e 
as directrizes desta elipse. 
 
17. Sabendo que a excentricidade da elipse (E) é igual a 1/3 e que os eus focos são 
)3,0( ± , dê a equação de (E) e das suas directrizes. 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
23 
18. Escreva a equação canónica da elipse de excentricidade 3/5 , recta focal OY e 
directrizes 5±=y . 
 
19. Escreva a equação canónica da elipse sabendo que: a) a distância focal é igual a 8 
e a elipse passa pelo ponto )1,15( −A ; b) a elipse passa por dois pontos )3,4( −A e 
)3,22(B ; c) a elipse passa pelo ponto )
3
5,2( −A e a sua excentricidade é igual a 
3
2 . 
 
20. Ache os semieixos, os focos, a excentricidade e as equações das directrizes da 
elipse dada pela equação: a) 225259 22 =+ yx ; b) 4559 22 =+ yx 
 
21. Determine a posição relativamente à elipse 7758 22 =+ yx , dos pontos seguintes: 
A(-2,3); B(2,-2); C(2,-4); D(-1,3); E(-4,-3); F(3,-1); G(3,-2). 
 
22. Seja e a excentricidade de uma elipse. Mostre que : a) e = 0 se e somente se a 
elipse se reduzir a uma circunferência; b) e = 1 se a elipse s reduzir a um segmento. 
 
23. Ache os pontos de intersecção da recta x+y = 1 com a elipse de centro na origem, 
de recta focal OY e de diâmetros principais iguais a 6 e 8, respectivamente. 
 
24. Ache os pontos de intersecção da recta 2x – y – 9 = 0 com a elipse de focos 
)0,62(± e de excentricidade 
3
6
=e . 
 
25. Ache os pontos de intersecção da elipse de vértices )0,5(± e )1,0( ± , com a 
circunferência de raio 2 e de centro na origem. 
 
26. Mostre que uma elipse é simétrica em relação ao seu centro e aos seus eixos. 
 
27. Calcule a área dum quadrilátero em que dois dos seus vértices se encontram nos 
focos da elipse 225259 22 =+ yx e os outros dois coincidem com os extremos do 
seu eixo menor. 
 
28. Desenhe as linhas determinadas pelas seguintes equações: 
a) 216
4
3 xy −= ; b) 29
3
5 xy −−= ; c) 29
3
2 yx −= ; d) 249
7
1 yx −= . 
 
29. Determine a parte do plano determinada por: a) 



≥
≤+
xy
yx 1
94
22
; b) 






≤+
≥+
1
916
1
39
22
22
yx
yx
 
 
30. A Lua descreve em torno da Terra uma órbita elíptica, com a Terra situada num dos 
seus focos. O eixo maior e o eixo menor da órbita medem 768.800 Km e 767.640 Km 
respectivamente. Determine a maior e a menor distância ( o “apogeu” e o “perigeu” ) do 
centro da Terra ao centro da Lua. 
 
31. O conhecido cometa Halley tem uma órbita elíptica, com o Sol situado num dos seus 
focos. A sua distância máxima ao Sol é de aproximadamente 35,29 UA (Unidade 
Astronómica) e a distância mínima é de aproximadamente 0,59 UA. Ache a 
excentricidade da órbita deste cometa. 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
24 
 
 
32. A figura ao lado representa um pórtico, 
com a forma dum rectângulo encimado por um arco. 
Este arco é uma semi-elipse. O seu eixo maior 
é o vão do arco. 
Se o vão medir 40m e a “flecha” do arco medir 10m, 
determine a altura do ponto P, em relação ao solo. 
 
33. Mostre que a equação duma elipse pode ser escrita como 1
)1( 22
2
2
2
=
−
+
ea
y
a
x , sendo e a sua 
 Excentricidade. 
34. Considere a elipse 1
)1(44 2
22
=
−
+
e
yx , sendo e a sua excentricidade. 
a. Faça o esboço da elipse para e = 0,5, e = 0,25 e e = 0; 
b. Usando os resultados da alínea anterior, faça uma conjectura sobre a mudança da forma 
da elipse, conforme e se aproxima de 0. 
 
 
Respostas: 
1. a) 4922 =+ yx ; b) 9)1()2( 22 =−++ yx ; c) 36)2()4( 22 =−+− yx ; d) 222 )2()4( myx =−+− ; 
e) 2)1()2( 22 =++− yx ; 2.a) 





2
1,
2
1C , 
2
23
=r ; b) 




 −1,
2
1C , r = 3; c) ( )0,0C , 
2
6
=r ; 
d) )1,1( −C , 3=r ; e) f) Não é circunferência 
3. a) 04622 =+−+ xyx ; b) 0322 =−−+ yxyx ; c) 044364277 22 =−−++ yxyx ; 4.a) 1)2()1( 22 =−++ yx ; b) 
2522 =+ yx ; c) 37)2( 22 =++ yx ; 5. 1)2()5( 22 =++− yx ; 6. a) 4)1()1( 22 =++− yx ; b) 
1622 =+ yx ; 7. a) 4)1()1( 22 =−+− yx b) 85)3()6( 22 =−++ yx ; 8. 3x- 4y=0; 9. 
4
9)
2
3( 22 =+− yx ; 10. a) 3)12010( −±−= xy ; b) 4
5
)5610(
−
±−
= yx ; 
11. a) O ponto está no interior do círculo; b) O ponto está na circunferência; c) O ponto está no 
interior do círculo; 
12. a) b) Intersectam-se em dois pontos; c) A recta é tangente a (C); d) Não se intersectam; 
13. a) 4; b) 1; 15. a) F1=(8;0), F2=(-8;0) , d = 16; b) F1=(3;0), F2=(-3;0) , d = 6; 
16. 1
4
9
4
25
22
=+
yx , 




= 0;
2
5
1V , 




−= 0;
2
5
2V , 




=
2
3;03V , 




 −=
2
3;04V , d1 =5, d 2= 3, 5
4
=e , 
8
25
±=x ; 
17. 1
8172
22
=+
yx , 27±=y ; 18. 1
9
5
12
2
2
2
=+






yx ; 19. a) 1
420
22
=+
yx ; b) 1
1520
22
=+
yx ; c) 1
59
22
=+
yx; 
20. a) a = 5, b = 3, F1=(4;0), F2=(-4;0) , 
5
4
=e , 
4
25
±=x ; b) 5=a , b = 3, F1=(0;2), F2=(0,-2) ; 
21. A e F são pontos da elipse; B e D estão no interior da elipse, C, E e G estão no exterior da elipse. 
23. 






 ±±
=
25
345616;
25
34569I ; 24. )3;3(1 −I , 





13
21;
13
69
2I ; 
25. 






4
14;2
4
5
1I , 







−−
4
14;2
4
5
2I , 







−
4
14;2
4
5
3I , 







−
4
14;2
4
5
4I ; 
27. 24. 30. 508.405≈A Km; 292.363≈P Km; 31. 9672,0≈e ; 32. 3510 + m 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
25 
Tema 4: Cónicas - Hipérbole e Parábola 
 
 
 
 
 Definição de Hipérbole: 
 
 Lugar geométrico dos pontos P(x,y) do plano tal que aPFPF 221 =− , sendo: 
F1 e F2 dois pontos quaisquer do plano ( )α , d(F1,F2)=2c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IRa∈ , 0>> ac e 222 cba =+ 
F1 e F2 chamam-se Focos da Hipérbole 
e a recta F1 F2 , é o eixo real da hipérbole, que contém o segmento A1 A2 
O eixo imaginário contém o segmento B1 B2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação canónica da Hipérbole: 
 A hipérbole é dada pela equação 12
2
2
2
=−
b
y
a
x ou 12
2
2
2
=+−
b
y
a
x , conforme o 
 eixo real seja o eixo dos XX´ ou o eixo dos YY´, respectivamente. 
Resumo Teórico: 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
26 
 
 Excentricidade da Hipérbole: 
a
ce = ou, o que é o mesmo, 
2
1 




+=
a
be 
 Assimptotas da Hipérbole: rectas de equação x
a
by ±= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico da Hipérbole: 
 12
2
2
2
=−
b
y
a
x 12
2
2
2
=+−
b
y
a
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 δ 
 
 Definição de Parábola: 
Lugar geométrico dos pontos P(x,y) do plano 
tal que ),(),( δPdFPd = , sendo: 
 F um ponto dado 
e δ uma recta dada, no mesmo plano 
 δ∉F ; F chama-se Foco da Parábola 
e δ a directriz da Parábola 
pFd =),( δ ; logo, p>0 
p: distância focal ou parâmetro da parábola 
 
 
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27 
 
 
 
 Equação Canónica da Parábola: 
 . Com eixo focal OX: pxy 22 = ou pxy 22 −= 
 
 . Com eixo focal OY: pyx 22 = ou pyx 22 −= 
 
 Directriz da Parábola: recta de equação 
 δ 
2
: px −=δ ou 
2
: px =δ ou 
2
: py −=δ ou 
2
: py =δ 
 conforme o tipo de parábola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico da Parábola: 
 
 pxy 22 = pxy 22 −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pyx 22 = pyx 22 −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
28 
 
 
 
 
4.1. Hipérbole 
 
 
1. Mostre que as seguintes equações são equações de hipérboles. Ache as coordenadas dos seus 
focos: a) 5802920 22 =− yx ; b) 02752511 22 =−− yx ; c) 0144169 22 =−− yx 
 
2. Escreva a equação da hipérbole cujos focos estão situados no eixo OX simetricamente em 
relação à origem do sistema de coordenadas e satisfazem às seguintes condições: 
a) o eixo real e o eixo imaginário são iguais a 10 e a 8, respectivamente; 
b) a distância focal é igual a 10 e o eixo imaginário a 4; 
c) a distância focal é igual a 6 e a excentricidade é igual a 1,5; 
d) a distância focal é igual a 20, e as equações das assimptotas são : xy
3
4
±= ; 
e) a distância focal é igual a 14 e a distância entre dois vértices é de 12; 
f) o eixo imaginário é igual a 15 e a hipérbole passa pelo ponto A(5;-2); 
g) a hipérbole passa pelo ponto )33;10( −A e as equações das assimptotas são : xy
5
3
±= ; 
 
3. Dê a equação da hipérbole de focos )3;0( ± e distância entre os vértices igual a 2. Determine os 
vértices, a excentricidade e as assimptotas desta hipérbole. 
 
4. Determine os focos, os vértices e as assimptotas da hipérbole dada pelas seguintes equações: 
 a) 144916 22 =− yx ; b) 144916 22 −=− yx ; c) 432 22 =− yx ; d) 54 22 =− xy . 
Construa cada uma destas hipérboles. 
 
5. As seguintes hipérboles: (H) : 12
2
2
2
=−
b
y
a
x e :)(H 12
2
2
2
−=−
b
y
a
x dizem-se conjugadas entre si. 
Construa estas duas hipérboles no mesmo sistema de coordenadas e compare os seus gráficos. 
 
6. Ache os pontos de intersecção da recta x-y+2=0 com a hipérbole 1
84
22
=−
yx . 
7. Calcule a área do triângulo cujos lados estão situados nas assimptotas da hipérbole 
164 22 =− yx e na recta 124 −= xy . 
 
8. Escreva a equação canónica da hipérbole, sabendo que o seu foco se encontra no ponto 
)0;25(− e que ela corta o eixo das abcissas no ponto (6;0). 
 
9. Determine os pontos de intersecção das linhas 1
49
22
=+
yx e 1
94
22
=−
yx . 
 
10. Os focos duma hipérbole coincidem com os focos da elipse 0225259 22 =−+ yx . Escreva a 
equação da hipérbole sabendo que a sua excentricidade é igual a 2. 
 
11. Construa as linhas representadas pelas equações: 
a) 9
3
2 2 += xy ; b) 16
3
4 2 +−= xy ; c) 13 2 +−= yx , d) 25
3
4 2 += yx 
 
12. Numa figura, indique a parte do plano XOY determinada por: 
Exercícios Propostos: 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
29 
a) 1
169
22
<−
yx ; b) 1
169
22
≥−
yx ; c) 




≤+
≤−
9
44
22
22
yx
xy ; d) 





≤≤−
≤−
22
1
99
22
y
yx
 
 
4.2. Parábola 
 
 
13. Escreva a equação da parábola cuja directriz é a recta r, cujo foco é o ponto F e cujo vértice é a 
origem: a) r : x = -5; b) r : x = 5; c) F(2;0); d) F(-2;0); e) r: y = -3; f) r : y = 3; 
g) F(0;2); h) F(0, -2). 
 
14. Escreva a equação da parábola com vértice na origem, simétrica ao eixo dado e que passa pelo 
ponto dado: a) OX, A(9;6); b) OX, B(-1;3); c) OY, C(1;1); d) OY, D(4;-8). 
 
15. Construa as parábolas seguintes e determine os seus focos e as equações das suas directrizes: 
a) 04 2 =− yx ; b) xy 132 2 = ; c) 042 =+ xy ; d) 052 2 =+ yx 
 
16. Determine o foco e a equação da directriz da parábola dada pela equação: 
a) 04 2 =− xy ; b) 06 2 =+ xy ; c) 0132 2 =+ xy ; d) 0164 2 =− xy 
 
17. Determine os pontos de intersecção das linhas: a) xy 162 = e x = 8; b) yx 22 = e 
12 22 =+ yx . 
 
18. A recta perpendicular à recta focal que passa pelo foco da parábola, intersecta esta em dois 
pontos P1 e P2. O segmento P1P2 é conhecido como “latus rectum” da parábola. Mostre que na 
parábola pxy 22 = , P1P2 =2IpI. 
 
19. Numa figura, indique a parte do plano OXY determinada por : a) 




≤−−
≤
042
42
yx
xy ; b) 





≤+
≤
1
69
2
22
2
yx
xy
 
 
20. Escreva a equação da parábola e da sua directriz, sabendo que a parábola passa pelo ponto de 
intersecção da recta y = x com a circunferência 01022 =−+ yyx e é simétrica em relação ao 
eixo das ordenadas. Construa a circunferência, a recta e a parábola. 
 
21. Esboce os gráficos de pyx 42 = para 
4
1
=p , 
2
1
=p , 1=p e 
2
3
=p no mesmo sistema de 
coordenadas. Discuta as mudanças nos gráficos, conforme o valor de p cresce. 
 
22. Determine os focos, os vértices e esboce o gráfico das cónicas: a) 1
4
2
2 =−
xy ; b) .62 xy −= 
 
23. Ache uma equação da hipérbole tal que para qualquer ponto da hipérbole, a diferença entre as 
suas distâncias aos pontos (4,0) e (-4,0) seja igual a 6. 
 
24. Determine a área do quadrado inscrito na elipse 625169 22 =+ yx . 
 
25. Relacione cada uma das seguintes equações com o gráfico correspondente:1) 44 22 =+ yx ; 2) 44 22 =− yx ; 3) .42 xy −= 4) 44 22 =+− yx ; 5) 44 22 =+ yx ; 
6) yx 42 = 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
30 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1. a) F1( -7;0), F2(7;0); b) F1( -6;0), F2(6;0); c) F1( -5;0), F2(5;0); 
2. a) 1
1625
22
=−
yx ; b) 1
421
22
=−
yx ; c) 1
54
22
=−
yx ; d) 1
6436
22
=−
yx ; e) 1
1336
22
=−
yx ; f) 1
15
4
375
31 22
=−
yx ; 
g) 1
925
22
=−
yx ; 3. 1
8
2
2
=+− yx ; )1;0( ± ; 3; yx 8±= ; 
4. a) 1
169
22
=−
yx , )0;5(± , )0;3(± , xy
3
4
±= ; b) 1
916
22
=−
xy , )5;0( ± , )4;0( ± , xy
3
4
±= ; 
c) 1
3
42
22
=−
yx , 







± 0;
3
10 , )0;2(± , xy
3
4
±= ; d) 1
4
55
22
=−
xy , )
2
5;0( ± , )5;0( ± , xy 2±= ; 
6. (6;8) e (-2;0) ; 7 . 24. 8. 1
1436
22
=−
yx ; 9. 







±±
97
180;
97
468 e 







±
97
180;
97
468 m ; 
10. 1
124
22
=−
yx ; 13. a) xy 202 = ; b) xy 202 −= ; c) xy 82 = ; d) xy 82 −= ; e) yx 122 = ; f) 
yx 122 −= ; g) yx 82 = ; h) yx 82 −= ; 14. a) xy 42 = ; b) xy 92 −= ; c) yx =2 ; d) yx 22 −= ; 
15. a) )
16
1;0(F ; 
16
1: −=yδ ; b) 




 0;
8
13F ; 
8
13: −=xδ ; c) )0;1(−F , 1: =xδ ; d) 




 −
8
5;0F , 
8
5: =yδ ; 
16. a) 





16
1;0F ; 
16
1: −=yδ ; b) 




 −
24
1;0F , 
24
1: =yδ ; c) 




− 0;
8
13F , 
8
13: +=xδ ; d) F(1;0) , x = -1; 
17. a) )28;8( ± ; b) )25;)25(2( −−± ; 20. yx 52 = , 
4
5
−=y ; 22. a) F ( )5,0 ± ; 
V ( )1,0 ± ; b) F 




− 0,
2
3 , V(0,0) ; 23. 1
79
22
=−
yx ; 24 100. 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
31 
Fórmulas da Translação: 
 
Tema 5: Transformações dos Sistemas de Coordenadas 
 
 
 
 
 
 
 
 




+=
+=
0
´
0
´
yYy
xXx ; 




−=
−=
0
´
0
´
yyY
xxX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As Cónicas em posição geral 
 
1. No sistema de coordenadas Oxy, a elipse (E) tem a equação 14 22 =+ yx ; o ponto O’ tem 
coordenadas O’ (1,-3). Escreva a equação da elipse (E) nos seguintes sistemas de 
coordenadas: 
a) O’XY que é obtido de Oxy pela translação de vector 
→
'OO ; 
b) OX’Y’ que é obtido de Oxy pela rotação de ângulo 
3
π
α = ; 
c) O’X’Y’ que é obtido de O’XY pela rotação de ângulo 
3
π
α = . 
 
2. No sistema de coordenadas Oxy, a recta r tem a equação x+y+1=0; o ponto O’ tem 
coordenadas O’(1,1) . O sistema O’X’Y’ é obtido do sistema Oxy pelo produto da translação de 
vector 
→
'OO e da rotação de 
4
πα = . Escreva a equação da recta r no sistema O’X’Y’. 
 
3. Dada a recta r de equação -3x+4y-12=0 no sistema Oxy, encontre o sistema OX´Y´ no qual a 
equação de r seja Y´ = constante. 
 
4. Escreva a equação da parábola (P) cujo foco é F(3;0) e cuja directriz é a recta x = 12. 
 
5. Escreva a equação da elipse (E) sabendo que: os eixos são 9 e 6, recta focal tem de equação 
2y-x = 0 e o centro é a origem do sistema de coordenadas. 
 
6. Escreva a equação da hipérbole sabendo que: a recta focal é y = 2x, o centro é O(0;0), o eixo 
real é igual a 8 e a excentricidade é igual a 2. 
Resumo Teórico: 
Exercícios Propostos: 
 
Fórmulas da Rotação: 
 



+=
−=
aYbXy
bYaXx ; 



+−=
+=
aybxY
byaxX 
Fórmulas do Produto de Translação e Rotação: 
 



−+−−=
−+−=
)()(
)()(
00
00
yyaxxbY
yybxxaX
 ; 



++=
+−=
0
0
yaYbXy
xbYaXx 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
32 
7. Escreva a equação da elipse (E) e das suas directrizes sabendo que os focos são 
)2;2(1 −−=F e )2;2(2 =F e o eixo maior é igual a 6. 
 
8. Escreva a equação da parábola de directriz x + y + 1 = 0 e de foco F(3,3). 
 
9. Escreva a equação da hipérbole sabendo que: a recta focal é dada pela equação y = 3x , o 
centro é o ponto O´(1;3), o eixo real é igual a 4 e a distância focal é igual a 6. 
 
10. Escreva a equação da elipse sabendo que: os focos são os pontos de intersecção da recta 
r : 3y – x – 3= 0 com os eixos de coordenadas e que esta elipse passa pela origem O(0;0). 
 
11. Escreva a equação da hipérbole sabendo que: os focos são F1(-6;1) e F2( 4;1) e uma 
assimptota tem de equação 3x – 4y + 7= 0. 
 
12. Escreva a equação do conjunto dos pontos P(x,y), cuja soma das distâncias a F1(1,0) e F2(3,0) é 
igual a 5. 
 
13. Determine a equação da elipse de centro em (4,2) e tangente aos eixos coordenados, sabendo 
que os eixos da elipse são paralelos aos respectivos eixos cartesianos. 
 
Redução das Equações de 2a. ordem 
 
14. Encontre os focos e as equações das directrizes da cónicas seguintes: 
a) 014362092 22 =++−+ yxyx ; b) 095325489 22 =−−−− yxyx ; c) 842 2 +−= xxy ; 
d) 012282 =+−+ xyy . 
 
15. Reduza as seguintes equações e construa as linhas representadas: 
a) 01242 22 =−+− xyyx ; b) 036525 22 =−+− yxyx ; 
c) 01472142145245 22 =−−+++ yxyxyx , 
d) 023332 22 =−+−++ yxyxyx ; e) 061031021062 22 =−−++− yxyxyx ; 
f ) 0444323 22 =++++− yxyxyx ; g) 06
10
28
10
4467 22 =+−+−− yxyxyx ; 
h) 044244 22 =−−−++ yxxyyx ; i) 01326142421 22 =−−++− yxyxyx ; 
 
 
Respostas: 1. a) 0362424 22 =+−++ YXYX ; b) 04´´36´7´13 22 =−++ yxyx 
c) 0144´)123(4´)3121(4´´36´7´13 22 =++−−+++ YXYXYX ; 2 . 03´2 =+X ; 3. OXY é obtido de 
Oxy pela rotação de ângulo α tal que: 
5
4cos =α e 
5
3
=αsen . 4 . 135182 +−= xy ; 
5. 081845 22 =−+− yxyx ; 6. 02401116 22 =−++− yxyx ; 7. 045477 22 =−−+ xyyx ; 0
2
29
=±+ yx ; 
8 . 03514142 22 =+−−+− yxyxyx ; 9. 0300300100415431 22 =+−−++− yxyxyx ; 
10. 0120120307535 22 =−+−+ yxxyyx ; 11. 01513218169 22 =−++− yxyx ; 
12. 018933610084 22 =−−+ xyx ; 13. 0161684 22 =+−−+ yxyx 14. a) )2;285(2,1 −±=F ; 
28
365±=x ; b) )2;343(2,1 −±=F ; 
34
163±=x ; c) )
8
49;1(F ; 
8
47
=y ; d) 




 −− 4;
2
3F ; 
2
5
−=x ; 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
33 
15. a) Hipérbole : 1
46
22
=−
YX ; 







−=
+=
)2(
5
1
)2(
5
1
xyY
yxX
; b) Elipse: 1
69
22
=+
YX ; 







−=
+=
)(
2
1
)(
2
1
yxY
yxX
; 
c) Hipérbole : 1
17
´
7
´ 22
=−
YX ; 







+−=
+=
2)(
2
1´
)(
2
1´
xyY
yxX
; d) Parábola : ´
2
3´2 YX −= ; 







−−=
+=
1)(
2
1´
)(
2
1´
xyY
yxX
 ; 
e) Elipse: 1´
11
´ 22 =+YX ; 







−−=
++=
2
1)3(
10
1´
2
3)3(
10
1´
xyY
yxX
; f) Um ponto: 0´2´ 22 =+ YX ; 







−=
++=
)(
2
1´
2)(
2
1´
xyY
yxX
; 
g) Duas rectas concorrentes : ´2´ YX ±= ; 







−−=
++=
1)3(
10
1´
1)3(
10
1´
xyY
yxX
; 
h) Duas rectas paralelas: 0
5
4
5
22 =−− XX ; 







−=
+=
)2(
5
1
)2(
5
1´
xyY
yxX
; i) Elipse: 1´
6
´ 22 =+YX ; 






−−=
−+=
)243(
5
1´
)1143(
5
1´
xyY
yxX
; 
 
15.a) 15.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15.c) 15.d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
34 
 
 
15.e) 15.f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15.g) 15.h)15.i) 15.j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
35 
 
15.l) 15.m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
36 
 
Tema 6: Geometria Analítica no Espaço 
 
6.1. Estudo do Plano 
 
 
 
 
 Equação do Plano ( )α que passa por um ponto dado ( )0000 ,, zyxM e é 
 perpendicular a um vector dado ( )CBAn ,,
→
: 
( ) 0)()()(: 000 =−+−+− zzCyyBxxAα 
 
 
 Equação geral do Plano: ( )α : 0=+++ DCzByAx ; ( )CBAn ,,
→
: vector normal do plano 
 
 
 Equação do Plano ( )α que passa por 3 pontos ),,( 1111 zyxM , ),,( 2222 zyxM e 
 ),,( 3333 zyxM : ( )α : 
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
−−−
−−−
−−−
 
 
 Equação Axial do Plano: 1=++
c
z
b
y
a
x 
 
 
(a, b e c : intersecção com os eixos XX´,YY´, e ZZ´ , respectivamente) 
 
 
 Ângulo entre dois planos ( )α : 0=+++ DCzByAx e ( )β : 0´´´´ =+++ DzCyBxA : 
 
• 
( ) ( ) ( )222222 ´´´.
´´´
cos
CBACBA
CCBBAA
++++
++
=ϕ 
 
• ( ) ( )βα ⊥ ⇒ →→ ⊥ ´nn ⇒ 0´´´ =++ CCBBAA 
 
(condição de perpendicularidade de dois planos) 
 
• ( ) ( )βα // ⇒ →→ ´// nn ⇒ 
´´´´ D
D
C
C
B
B
A
A
≠== 
 
 (condição de paralelismo de dois planos) 
 
 Distância de um ponto ),,( 0000 zyxP a um plano ( )α : 0=+++ DCzByAx : 
 
 ( )
222
000
0 )(,
CBA
DCzByAx
Pd
++
+++
=α 
Resumo Teórico: 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
37 
 
 
 
1. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M e é perpendicular ao vector 
→
n : 
a) M(-3,4,7); 
→
n =(1,-2,6); b) M(1,-2,3); 
→
n = (4,2,-1); c) M(-3,0,4); 
→
n =(3,1,0); 
d) M(1,0,-3); 
→
n = (0,2,0); e) M(0,0,0); 
→
n =(1,2,.3) 
 
2. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto B(4,5,0) e é perpendicular ao vector 
→
AB , 
sendo A(2,-1,3). 
 
3. Determine o vector normal e construa o plano P dado por: a) 3x+2y+6z-12=0; b) x+y-3z+6=0; 
c) 3x+2y+6=0; d) 4x-3z –12=0; e) 2y+3=0; f) 3z-4=0. 
 
4. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto A e é perpendicular ao segmento AB onde: 
a) A(2,-1,-2); B(8,-7,5); b) A(-1,2,4); B(3,1,2,) 
 
5. No triângulo de vértices P(-5,2,7), Q(5,0,6) e R(0,-1,2), traçou-se a mediana PM (M está situado 
no lado QR). Escreva a equação do plano que passa por M e é perpendicular à mediana PM. 
 
6. Escreva a equação do plano mediador (mediatriz) do segmento AB sendo: 
a) A(1,-2,4); B(3,-6,0); b) A(0,1,3); B(2,3,7) 
 
7. Escreva a equação do plano que passa por três pontos A,B e C: 
a) A(1,2,-3); B(4,0,1); C(2,1,1); b) A(1,1,0); B(2,-1,0); C(3,2,0). 
 
8. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto A e é paralelo ao plano P: 
a) A(1,2,3); P: 3x-y+2z-1=0; b) A(0,1,1,); P passa por B(7,0,0); C(-1,0,-2) e D(9,2,0); 
c) A(1,1,1,); P é o plano XOY d) A(-2,1,4); P é o plano XOZ 
 
9. Escreva a equação do plano que passa por dois pontos A e B e é perpendicular ao plano )(α : 
a) A(1,1,1); B(2,2,2); )(α : 2x-y+4z+1=0; b) A(1,1,1); B(2,2,2); )(α é o plano YOZ; 
c) A(1,1,1); B(2,2,2); )(α é o plano que passa por M(1,0,1), N(2,1,1) e P(-1,-1,1). 
 
10. Escreva a equação do plano P que passa pelo ponto A , é paralelo ao vector 
→
v e é 
perpendicular ao plano )(α : 
a) A(1,2,1); 
→
v =(1,2,4); )(α : x-y+3=0; b) A(2,-1,3); 
→
v =(1,0,2); )(α : 2x-y+z=0. 
 
11. Escreva a equação do plano P que passa pelo ponto A e é perpendicular a dois planos )(α e 
)(β : a) A(1,2,-1); )(α : 3x-4y+z-1=0 e )(β : x+2=0; 
 b)A(0,0,0); )(α : x+y-3z+3=0 e )(β : 2x-y+z-1=0 
 
12. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M(1,2,4) e pelo eixo das abcissas. 
 
13. Ache os valores de m e n para que dois planos )(α e )(β sejam paralelos entre si: 
a) )(α : 2x+my+3z-5=0 e )(β : nx-6y-6z+2=0; b) )(α : mx+2y+z-1=0 e )(β : 2x+my+nz+1=0 
 
14. Ache o valor de m para que dois planos )(α e )(β sejam perpendiculares entre si: 
a) )(α : mx+2y-3z+1=0 e )(β : mx-my+z-7=0; b) )(α : x+m2y-z+3=0 e )(β : mx+y+20z+3=0 
 
15. Determine o ângulo entre dois planos )(α e )(β : 
Exercícios Propostos: 
 
A_Muxlhanga
Highlight
A_Muxlhanga
Highlight
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
38 
a) )(α : 012 =−+− zyx e )(β : 032 =+−+ zyx ; b) )(α : 03 =− zy e )(β : 02 =+ zy ; 
c) 0322:)( =−++ zyxα e 04151216:)( =+−+ zyxβ 
 
16. Ache a distância do ponto A ao plano )(α : 
a) A(3,1,-1); )(α : 22x+4y-20z-45=0; b) A(1,1,1); )(α : 4x+3y-12=0; 
c) A(2,-2,3); )(α é o plano XOZ 
 
17. Determine a distância entre dois planos paralelos: 
a) x –2y-2z-12=0 e x-2y-2z-6=0; b) 2x-3y+6z-14=0 e 4x-6y+12z+21=0 
 
18. No eixo OY ache os pontos cuja distância até ao plano x+2y-2z=2 seja igual a 4. 
 
19. Escreva as equações dos planos que são paralelos ao plano )(α : 2x-2y-z-3=0 e cuja distância 
até ao plano )(α é igual a 5. 
 
20. Seja o plano )(α dado. Determine as coordenadas de três pontos P, Q e R que pertençam a 
este plano. Determine os vectores 
→
PQ e 
→
PR e calcule o seu produto vectorial. Qual é a relação 
que existe entre as componentes do produto vectorial e os coeficientes da equação geral do 
plano dado? Justifique:. 
a) )(α : 6634 =−− zyx ; b) )(α : 2x+3y+4z=4 
 
21. Determine uma equação do plano que contenha todos os pontos equidistantes aos dois pontos 
dados: A(2,2,0) e B(0,2,2). 
 
22. Determine a posição relativa dos seguintes planos. Se não forem paralelos nem ortogonais entre 
si, determine o ângulo de intersecção: a) 5x-3y+z=4 e x+4y+7z=1; b) x-3y+6z=4 e 
5x+y-z=4; c) x-5y-z=1 e 5x-25y-5z=-3. 
 
23. Determine as intersecções do plano dado com os eixos coordenados e faça o esboço do plano: 
a) 4x+2y+6z=12; b)2x-y+3z=4; c) y+z=5; d) x=5 
 
24. Calcule a distância entre o ponto e o plano dados: a) O(0,0,0); 2x+3y+z=12; 
b) O(0,0,0); 8x-4y+z=8. 
 
 
 
6.2. Estudo da Recta no Espaço 
 
 
 
 
 Equação Geral da Recta no Espaço: 
 
 ( ) ( )βα ∩=r , ou seja, 
 
 



=+++
=+++
0´´´´
0
:
DzCyBxA
DCzByAx
r , sendo ( )( ) 0´´´´:
0:
=+++
=+++
DzCyBxA
DCzByAx
β
α 
 
 
 
Resumo Teórico: 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
39 
 Equação Paramétrica da Recta no Espaço:: 
 





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
r
0
0
0
: 
→
v r 
 P0 
 ( )cbav ,,
→
 é o vector director da recta; rzyxP ∈),,( 0000 
 
 
 Equação Canónica da Recta no Espaço: 
 






−
=
−
−
=
−
c
zz
a
xx
b
yy
a
xx
r
00
00
: ⇔ ( )( )


=
=
0,,
0,,
2
1
zyxF
zyxF (equação geral da recta) 
 
 
 Distância de um ponto M à recta que passa por ),,( 0000 zyxM e é paralela ao 
 vector ( )cbav ,,
→
: ( )
→
→→
=
v
vxMM
rMd
0
, 
 
 Posição Relativa de duas rectas r e s: 
Sejam ( )cbaur ,,
→
 e ( )´´,´, cbavs
→
, os vectores directores das rectas r e s : 
. r e s paralelas : 
( )
( )
{ }







=
=∩
⊂
⊂
→→
sr vku
sr
s
r
.
α
α
 r s 
 
. r e s concorrentes : 
( )
( )
{ }



=∩
⊂
⊂
Psr
s
r
α
α
 P s 
 r 
 
 
. r e s cruzadas (ou reversas): 
( )
( )
( )
( )
{ }







=∩
⊄
⊄
⊂
⊂
sr
s
r
s
r
α
β
β
α
 
 
 
 
 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
40 
 
 Condições de paralelismo e de perpendicularidade de duas rectas no espaço: 
o Ângulo θ de duas rectas re s: 
→→
→→
=
sr
sr
vu
vu
.
.
cosθ 
 
o Condição de paralelismo de duas rectas r e s: 
 sr // ⇒ 
→→
sr vu // ⇒ ´´´ c
c
b
b
a
a
== 
 
o Condição de perpendicularidade de duas rectas r e s: 
sr ⊥ ⇒ 
→→
⊥ sr vu ⇒ 0´´´ =++ ccbbaa 
 
 
 Condição de Complanaridade de duas rectas r e s: 
 
 Seja : rzyxP ∈),,( 1111 ; szyxP ∈),,( 2222 ; 
 ( )cbaur ,,
→
 e ( )´´,´, cbavs
→
, os vectores directores das rectas r e s; 
 r e s são complanares se e só se os vectores 
→
ru , 
→
sv e 
→
21PP forem 
complanares, ou seja: 0
´´´
121212
=
−−−
cba
cba
zzyyxx
 
 
 Distância entre duas rectas r e s: 
 
 ( )
→→
→→→






=
,
,,
,
21
sr
sr
vxu
PPvu
srd 
 
 
 
 
 
25. Escreva as equações paramétricas da recta que passa pelo ponto M(-3,2,4) e cujo vector 
director é )3,5,2( −=
→
v . 
 
26. Escreva a equação da recta de intersecção de dois planos )(α e )(β : 
a) )(α : 2x+y+z=0 e )(β : 4x-5y+1=0; 
b) )(α : 3x+y-z+1=0 e )(β é o plano que passa pelo ponto A(1,1,1) e é perpendicular ao vector 
 
→
n =(2,1,-3) 
c) )(α é o plano que passa pelo eixo OX e pelo ponto B(4,-3,-1); )(β é o plano que passa pelo 
ponto C(3,2,-7) e é paralelo ao plano XOZ. 
Exercícios Propostos: 
 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
41 
 
27. Escreva a equação da recta r que: 
a) passa por M(2,0,-3) e é paralela ao vector (2,-3,5); 
b) passa por N(2,1,4) e é paralela ao eixo OY; 
c) passa por P(2,1,1) e é paralela à recta zyx −=+=− 5
4
3
2
1 ; 
d) passa por A(1,2,3) e B(2,1,5); 
e) passa por P(2,-3,5) e é perpendicular ao plano 2x-y+z-1=0. 
 
28. Escreva a equação da recta que passa pelos pontos P(-4,1,-3) e Q(-5,0,3). 
 
29. Sejam dados A(3,6,-7) , B(-5,2,3) e C(4,-7,-2). Escreva : 
a) a equação da mediana partindo de A, do triângulo ABC; b) a equação da linha média que é 
 paralela ao lado BC. 
 
30. Escreva a equação da recta r que passa pelo ponto A e é paralela à recta δ , onde: 
a) A (2,3,-5) e δ : 



=+−+
=−+−
0323
0723
zyx
zyx ; 
b) A(1,1,1) e δ : 



=−−+
=−+−
04523
0432
zyx
zyx ; c) A(0,1,4) e δ : 



=++−
=−−+
01253
0532
zyx
zyx ; 
 
31. Verifique se as duas rectas r e s são paralelas: 
a) r: zyx =
−
−
=
+
2
1
3
2 e s: 



=−−−
=−+
085
0
zyx
zyx ; b) r: 





+−=
−=
+=
tz
ty
tx
7
2
25
 e s: 



=−−−
=+++
023
023
zyx
zyx ; 
 
32. Ache m para que a recta 



=−+−
=+−+
0153
0732
mzyx
zyx seja perpendicular à recta 



=++−
=−−+
012
062
zyx
zyx 
 
33. Demonstre que as rectas r e s se intersectam e ache o seu ponto de intersecção: 
a) r: 





+−=
−=
−=
64
23
32
tz
ty
tx
; s: 





−=
−−=
+=
4
41
5
tz
ty
tx
; b) r: 



=++−
=+−+
026754
0721135
zyx
zyx ; s: 



=+−+
=++
0663116
010
zyx
yx 
 
34. Determine o ângulo entre as duas rectas seguintes: 
a) 
2
)2(3 zyx =+−=− e 
2
532 +=−=+ zyx ; b) 



=−−+
=−−−
0422
054
zyx
zyx e 



=−++
=+−−
01922
0266
zyx
zyx 
 
35. Na pirâmide triangular MABC, as arestas MA, MB e MC são perpendiculares entre si e medem, 
respectivamente, 4, 3 e 6. O ponto D é o ponto médio de MA. Determine o ângulo entre as rectas 
CA e DB. 
 
36. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto A(-1,2,-3) , é perpendicular ao vector 
)3,2,6( −−=
→
a e intersecta a recta 
5
3
2
1
3
1
−
−
=
+
=
− zyx . 
 
37. a) Demonstre que as rectas 
4
5
3
2
2
1 −
=
−
+
=
− zyx e 





−=
+=
+=
tz
ty
tx
21
22
73
 estão situadas num mesmo 
plano. 
b) Escreva a equação do plano referido na alínea a). 
A_Muxlhanga
Highlight
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
42 
 
38. Escreva a equação do plano que passa pelas duas rectas paralelas: 
2
3
2
1
3
2
−
−
=
+
=
− zyx e 
2
3
2
2
3
1
−
+
=
−
=
− zyx . 
 
39. Demonstre que a recta 



=−−−
=−+−
012
05235
zyx
zyx está contida no plano 4x-3y+7z-7=0. 
 
40. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M(1,-2,1) e é perpendicular à recta 



=+−+
=−+−
02
032
zyx
zyx . 
41. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M(1,-2,1) e pela recta 



=+−+
=−+−
02
032
zyx
zyx . 
 
42. Escreva a equação do plano que contém a recta 
2
2
3
2
2
1 −
=
−
+
=
− zyx e é perpendicular ao 
plano 3x+2y-z=0. 
 
43. Escreva a equação do plano que passa por dois pontos A e B e é paralelo à recta r: 
a) A(3,5,1); B(3,3,3); r: 
31
2
4
4 zyx
=
−
=
−
− ; b) A(2,2,2); B(0,2,4); r: 



=+−+
=−++
0443
0122
zyx
zyx 
 
44. Ache o ponto de intersecção da recta r com o plano (P): 
a) r: 
62
11 zyx =
−
+
=− ; (P): 2x+3y+z-1=0; b) 
4
12
2
1 +
=−=
− zyx ; (P) é o plano OYZ; 
c) r: 



=++−
=+−+
026754
0721135
zyx
zyx ; (P): 6x+11y-3z+66=0 
 
45. Ache a projecção e a distância do ponto P à recta r: 
a) P(2,-1,3); r: 





+=
−=
=
22
75
3
tz
ty
tx
; b) P(1,-1,2); r: 



=−−+
=−++
01043
0122
zyx
zyx 
 
46. Ache o ponto simétrico do ponto P(1,3,-4) em relação ao plano )(α : 
a) )(α : 3x+y-2z=0 b) )(α : x+y+z+3=0; c) )(α é o plano x=0. 
 
 
47. Mostre que as rectas r e s são cruzadas e ache a distância entre elas: 
a) r: 
2
3
4
4
3
7
−
+
=
+
=
+ zyx ; s: 
1
2
4
5
6
21
−
−
=
−
+
=
− zyx ; b) r: 





−−=
+−=
−=
12
4
42
tz
ty
tx
; s: 





−=
+−=
−=
5
53
54
z
ty
tx
 
 
48. Analise as seguintes rectas, quanto à sua posição recíproca: 
a) r: 
1
4
3
4
2
2 −
=
−
=
− zyx e s: 
3
3
2
1
1
3 −
=
+
=
−
− zyx ; b) r: 





+=
−=
+=
tz
ty
tx
47
83
23
 e s: 





+=
+=
−=
tz
ty
tx
7
5
2
; 
c) r: 



=+−+
=−++
0175
01
zyx
zyx
 e s: 
2
8
3
2
1
4 −
=
−
−
=
− zyx . 
A_Muxlhanga
Highlight
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
43 
 
Respostas: 
 
1. a) x-2y+6z-31=0; b) 4x+2y-z+3=0; c) 3x+y+9=0; d ) y=0; e) x+2y+3z=0; 
2. 2x+6y-3z-38=0; 3 .a) 
→
n = (3,2,6) ; b)
→
n =(1,1,-3); c) 
→
n =(3,2,0); d) 
→
n =(4,0,-3); e) 
→
n =(0,2,0); 
f) 
→
n =(0,0,3); 4. a) 6x-6y+7z-4=0; b)4x-y-2z+14=0; 5. 15x-5y-6z-16 =0; 6. a) x-2y-2z-6=0; 
b) x+y+2z-13=0; 7 . a) 4x+8y+z-17=0; b) z=0; 8 . a) 3x-y+2z-7=0; b) –x+y+4z-5=0; c) z=1; 
d) y=1; 9. a) 5x-2y-3z=0; b) y-z=0; c) x-y=0; 10. a) 4x+4y-3z-9=0; b) 2x+3y-z+2=0; 
11. a) y+4z+2=0; b) 2x+7y+3z=0; 12. 2y-z=0; 13. a) m=3; n=-4; b) m=2; n=1; 14. a) m=-1 
e m=3; b) m=-5 e m=4; 15. a) 60º ou 120º; b) 45º ou 135º; c) 
15
2arccos ou 
15
2arccos−π ; 
16. a) 3/2; b) 1; c) 2; 17.a) 2; b) 3,5; 18. (0,-5,0) e (0,7,0); 19. 2x-2y-z-18=0 e 2x-2y-z+12=0; 
21. x-z=0; 22. a) Ortogonais; b) 83,5º; c) Paralelos; 
23. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. a) 
7
146
; b) 
9
8
. 25. 





+=
−=
+−=
tz
ty
tx
34
52
23
; 26 . a) 



=+−
=++
0154
02
yx
zyx
; b) 



=−+
=+−+
032
013
zyx
zyx
; 
c) 



=−
=−
02
03
y
zy
; 27. a) 
5
3
32
2 +
=−=
− zyx
; b) 



=
=
4
2
z
x
; c) zyx −=−=− 1
4
1
2
2
; 
d) 
2
321 −=−=− zyx ; e) 5
1
3
2
2
−=
−
+
=
− zyx ; 
 
UEM. DMI. Geometria Analítica.2016. Ida Alvarinho 
44 
28. 
6
3
1
1
1
4 +
=
−
−
=
−
+ zyx
; 29 . a) 
15
7
17
6
7
3 +
−=
−
=
− zyx
; b) )2(
5
941 +−=−=+ zyx ; 
30. a) 
5
5
4
3
2
2 +
−=
−
=
− zyx
; b) 
4
1
7
1
2
1 −
=
−
=
− zyx
; c) 
19
4
7
1 zyx −=−= ; 32. m = -11; 
33. a) I(3,7,-6); b) I(-10,0,2); 34. a) 60º;