Combinatoria e Probabilidade

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i
UFPR – UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PET – PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
Tutor: Eduardo Outeiral Correa Hoefel
Petianos: Bruno Suzuki
Carlos Alberto Rezende de Carvalho Júnior
Carolina de Almeida Santos Pinotti
Duarte Kenyu Murakami
Érika Sathie Takatsuki
Isabella Cordeiro Bruz
Jânio Jesus de Cardoso
Larissa Kovalski
Luana Leal
Lucas de Siqueira
Matheus Augusto Bannack Diniz
Thamara Petroli
Site: http://petmatufpr.wordpress.com/
Telefone: (41) 3361-3672
Data do Curso: 11 a 14 de Julho de 2011
Horários: das 9h às 12h30 (turma da manhã)
das 14h às 17h30 (turma da tarde)
Local de Realização: Centro Politécnico - UFPR
Curitiba, 2011.
ii
Sumário
I Matemática Básica 1
1 Frações 3
1.1 Adição e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Multiplicação e Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Potenciação 9
2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Príncipio da Contagem 11
3.1 Princípio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Princípio Aditivo da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Fatorial 13
4.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II Probabilidade 15
5 História 17
6 Conceito de Probabilidade 19
6.1 Definicões Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.2 Regras “e” e “ou” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2.1 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2.2 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7 Curiosidade 25
8 Exercícios Complementares 27
III Análise Combinatória 35
9 Introdução 37
iii
iv SUMÁRIO
9.1 Princípio da Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.2 Arranjos com repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.3 Arranjos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
10 Permutação simples 45
11 Combinações 47
12 Jogo da Senha 49
12.1 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
12.2 Como funciona o jogo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
12.3 Analisando o jogo matematicamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
IV Matrizes 53
13 Matrizes 55
13.1 Propriedades de Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
13.1.1 Adição e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
13.1.2 Multiplicação por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
13.1.3 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
14 Probabilidades 59
15 Cadeias de Markov 63
16 Exercícios 67
17 Cubo Mágico 71
V Polinômios e suas Aplicações 73
18 Polinômios 75
18.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
18.2 Identidade de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
18.3 Soma e Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
18.4 Valor numérico - Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
18.5 Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
18.5.1 Método 1: Método da Chave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
18.5.2 Método 2: Identidade de Polinômios (Descartes) . . . . . . . . . . 80
18.5.3 Método 3: Algoritmo de Briot-Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . 81
18.6 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
19 Binômio de Newton 85
19.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
19.2 O binômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
19.3 O termo geral de um binômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
SUMÁRIO v
20 Exercícios 89
21 Aplicações 93
21.1 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
21.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Referências Bibliográficas 97
vi SUMÁRIO
Parte I
Matemática Básica
1
Capítulo 1
Frações
Antes de iniciar o estudo de Análise Combinatória e Probabilidade, devemos nos recor-
dar de alguns conteúdos que são a base necessária para o estudo daquelas duas áreas.
Esses conteúdos são: Frações e Fatorial. Nos dois capítulos a seguir iremos tratar desses
dois assuntos da matemática com o intuito de relembrar suas propriedades básicas, que
são primordiais para o pleno aprendizado de combinações, arranjos, probabilidade e per-
mutações.
Muitas pessoas pensam que determinados assuntos da Matemática não são tão im-
portantes quanto outros, como as Frações, por exemplo. Mas as frações são um conteúdo
base da matemática, que será revisto diversas vezes e muitas dessas vezes não será relem-
brado, apenas cobrado. Então faz-se importante o bom aprendizado quando é ensinado,
no Ensino Fundamental. Como esse assunto muitas vezes não é muito bem passado aos
alunos nessas séries, vamos relembrar para que não haja dúvidas quanto a isso nesse curso.
As frações estão sempre presentes no dia-a-dia das pessoas. Muitos acham que não,
mas na realidade estão. É fácil encontrar um problema que precisamos resolver somando
algumas frações de algum produto ou alimento, ou então dividir um chocolate, uma
pizza, entre diversas pessoas, por exemplo. A seguir vamos introduzir as propriedades de
frações, como devemos proceder no caso de querermos somar ou subtrair, multiplicar ou
dividir fração por fração. Mas, antes, vamos introduzir um problema para ver o quanto
sabemos sobre frações.
Problema 1.1. Na classe de Marcos, Josué e Lígia há 30 alunos, dos quais 18 são meni-
nos. Como indicar a quantidade de meninos em relação ao total de alunos da classe?
Podemos responder a essa questão de três maneiras diferentes:1
a) Na forma de fração:
18 em 30→ 18
30
÷2
÷2
=
9
15
÷3
÷3
=
3
5
1Problema tirado da referência [2]
3
4 CAPÍTULO 1. FRAÇÕES
b) Na forma decimal:
18 em 30→ 18
30
÷3
÷3
=
6
10
= 0, 6
c) Na forma de porcentagem:
18 em 30→ 18
30
÷2
÷2
=
6
10
·10
·10
=
60
100
= 60%
1.1 Adição e Subtração
Para somar e subtrair frações devemos utilizar o seguinte algoritmo:
a
b
± c
d
=
mmc(b,d)·a
b
± mmc(b,d)·c
d
mmc(b, d)
Ou seja, para entendermos melhor, vamos resolver alguns exercícios:2
Exercício 1.1.1. Dados x = −1
5
, y = −1
2
e z =
1
3
, calcule:
a) x+ y
b) x+ z
c) x− y
d) x− z
e) −x+ y
f) −x+ z
g) x+ y + z
h) −x− y − z
i) −x− y
j) −y − z
Exercício 1.1.2. Dados x = −1
2
, y = −1
3
e z = −1
4
, calcule:
a) x+ (y + z)
b) x− (y + z)
c) y − (x+ z)
2Exercícios retirados da referência [3]
1.2. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 5
d) (z − x) + y
e) (x+ y)− z
f) z − (−x− y)
Temos então, pelo Exercício 1.1.2 que as propriedades associativas e comutativas que
são válidas para os números inteiros, serão também válidas para os racionais.
1.2 Multiplicação e Divisão
Agora que já pudemos relembrar bem como somar e subtrair frações, vamos relembrar
a multiplicação e divisão. Da mesma forma que somar e dividir, introduziremos um
algoritmo para essas outras duas operações:
- Multiplicação:
a
b
· c
d
=
a · c
b · d
- Divisão:
a
b
:
c
d
=
a
b
· d
c
=
a · d
b · c
Resolva os exercícios a seguir:3
Exercício 1.2.1. Calcule o produto:
a)
1
2
· 1
3
·
(
−8
5
)
b)
(
−2
3
)
·
(
−1
4
)
·
(
−3
7
)
c)
1
5
· 3
7
· 10
9
d)
(
−3
4
)
· 6
16
· 0
e) (−1) ·
(
−8
9
)
·
(
−6
5
)
f) 0 ·
(
−5
7
)
· 1
6
Exercício 1.2.2. Determine o valor das expressões:a)
(
−5 + 1
2
)
· 6
3Exercícios tirados da referência [3]
6 CAPÍTULO 1. FRAÇÕES
b) 8 +
(
−5
4
)
· 1
2
c) 6−
(
−1
2
)
· 8
3
d)
(
− 4
25
)
·
(
− 5
12
)
− 3
4
e)
3
4
−
(
−1
4
)
·
(
−16
3
)
− 5 ·
(
−1
9
)
·
(
−3
5
)
f)
(
1
5
+
1
2
)
· 5
2
−
(
−1
2
− 1
4
)
Exercício 1.2.3. Efetue as seguintes divisões:
a) −5 : 1
30
b)
3
5
:
(
− 9
20
)
c) −4 :
(
−4
7
)
d)
(
−2
5
)
:
(
−5
2
)
e) 1 :
(
−5
8
)
f) (1, 6) :
2
3
g)
5
4
: (−3)
h) (−0, 5) : 1
10
i)
6
5
:
36
45
j)
3
16
: (−1)
Para terminar de relembrar sobre as frações, resolva este desafio:4
Desafio 1.2.1. O gráfico de setores ao lado mostra o faturamento mensal de um pequeno
shopping. Observe:
4Desafio retirado da referência [4]
1.2. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 7
- Alimentação:
1
8
do faturamento
- Eletrodomésticos:
1
4
do faturamento
- Roupas:
7
16
do faturamento
- Brinquedos: (?) do faturamento
Encontre a fração correspondente ao faturamento do setor de brinquedos.
8 CAPÍTULO 1. FRAÇÕES
Capítulo 2
Potenciação
2.1 Definição
Definição 2.1 (Potência de expoente inteiro). Sendo a um número real e n um número
inteiro, tem-se que:
an = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
nfatores
, se n > 1
a1 = a
a0 = 1
a−n =
1
an
Exemplo 2.1. a) (−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8
b) 53 = 5 · 5 · 5
2.2 Propriedade
Propriedade 2.1. Dados os números reais a e b e os números inteiros m e n, obedecidas
as condições de existência, temos:
I. am · an = am+n (conserva-se a base e adicionam-se os expoentes)
II. am : an = am−n (conserva-se a base e subtraem-se os expoentes)
III. (am)n = amn (conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes)
IV. (ab)m = am · bm (distributiva da potenciação em relação à multiplicação)
V.
(a
b
)m
=
am
bm
(distributiva da potenciação em relação à divisão)
Exemplo 2.2. a) 53 · 54 = 53+4 = 57
b) 36 : 34 = 36−4 = 32
9
10 CAPÍTULO 2. POTENCIAÇÃO
Exercício 2.1. Calcule os valores das potências:
a) 62
b) (−6)2
c) −62
d) (−2)3
e) −23
f) 50
g) (−8)0
h)
3
4
4
i) −3
4
4
j) 028
l) 132
m) (−1)20
n) (−1)17
o) 4−2
Capítulo 3
Príncipio da Contagem
3.1 Princípio Fundamental da Contagem
“Se um experimento E apresenta n resultados distintos e um experimento F apresenta
k resultados distintos, então o experimento composto de E e F , nessa ordem, apresenta
n · k resultados distintos”.
De forma geral, podemos dizer:
“Se k experimentos E1, E2, . . . , Ek tem n1, n2, . . . , nk resultados distintos, então o expe-
rimento composto de E1, E2, . . . , Ek, nessa ordem, apresenta n1 · n2 · . . . · nk resultados
distintos”.
Sobre essa parte de contagem, vamos resolver alguns exercícios para fixar bem a ideia.1
Exercício 3.1.1. Um experimento consiste em lançar um dado e uma moeda sobre uma
mesa. Um resultado desse experimento é o par (5, cara), por exemplo, isto é, face 5 no
dado e face cara na moeda. Quantos são os possíveis resultados desse experimento?
Exercício 3.1.2. Um experimento consiste em lançar um dado e uma moeda e reti-
rar uma etiqueta de uma urna que contém quatro etiquetas de cores diferentes: azul,
vermelha, preta e branca. Um resultado desse experimento é, por exemplo, o terno
(5, cara,A), isto é, face 5 no dado, face cara na moeda e cor azul na etiqueta. Quantos
são os possíveis resultados desse experimento?
Exercício 3.1.3. Quantos números naturais pares, de quatro algarismos, podem ser
formados com os algarismos 1,2,3,5,7 e 9?
3.2 Princípio Aditivo da Contagem
Temos que alguns resultados da teoria dos conjuntos são importantes aplicações na análise
combinatória. Vamos então introduzir o cálculo do número de elementos da união de dois
conjuntos finitos, como:
1Exercícios da referência [1]
11
12 CAPÍTULO 3. PRÍNCIPIO DA CONTAGEM
“Sendo A e B conjuntos finitos, o número de elementos da união de A E B é dado
por:
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)
em que o símbolo n(. . .) representa o número de elementos do conjunto indicado entre
parênteses”.2
Observação 3.2.1. Se A e B forem conjuntos disjuntos, ou seja, A ∩ B = φ. Dessa
forma, teremos: n(A ∪B) = n(A) + n(B).
Resolva os exercícios a seguir:3
Exercício 3.2.1. Dois conjuntos, A e B, são tais que n(A) = 25, n(B) = 29 e n(A∩B) =
10. Determine o número de elementos de A ∪B.
Exercício 3.2.2. Quantos números naturais pares, menores que 4.000, com quatro al-
garismos distintos, podem ser formados com os algarismos 0,1,2,3,4,5 e 7?
Exercício 3.2.3. Um jornal terá 12 páginas. O diagramador deve distribuir 6 fotos
diferentes em 6 páginas do jornal, de modo que não apareçam duas dessas fotos em
páginas consecutivas. De quantas maneiras diferentes o diagramador pode distribuir
essas fotos?
2Definição da referência [1]
3Tirados da referência [1]
Capítulo 4
Fatorial
Adotamos o símbolo n! (lê-se: “fatorial de n”) quando queremos indicar o produto dos
números naturais consecutivos n · (n− 1) · (n− 2) . . . 2 · 1, onde n ≥ 2. O fatorial surgiu
quando houve a necessidade de multiplicar diversos números consecutivos de maneira
mais simplificada. A notação auxilia em problemas que envolvem cálculos trabalhosos,
permitindo apresentar soluções mais abreviadas.
4.1 Definição
Seja n um número natural, com n ≥ 2. Define-se o fatorial de n, que indicamos por n!,
como o produto dos números naturais consecutivos:
n, (n− 1), (n− 2), . . . , 1
isto é:
n! = n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · 1
Essa definição1 nos permite entender os seguintes exemplos:
Exemplo 4.1.1. a) 2! = 2 · 1 = 2
b) 3! = 3 · 2 · 1 = 6
c) 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
d) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
4.2 Propriedade
Quando calculamos o fatorial de um número natural, podemos perceber que 10! = 10 ·9!.
Generalizando, temos a seguinte propriedade:
Propriedade 4.2.1.
n! = n · (n− 1)! = n · (n− 1) · (n− 2)! = . . .
para n ∈ N, com n ≥ 3.
1Definição da referência [1]
13
14 CAPÍTULO 4. FATORIAL
Podemos, entretanto, estender a definição de fatorial definindo para n = 0 e n = 1. Dessa
forma, definindo
1! = 1 e 0! = 1,
temos
n! = n · (n− 1)!,∀n ∈ N∗
4.3 Exercícios
Nesta seção temos mais alguns exercícios para resolver:2
Exercício 4.3.1. Simplificar as frações:
a)
8!
7!
b)
8!
6!
c)
3!
5!
d)
7! · 9!
8! · 5!
Exercício 4.3.2. Resolver a equação
(n+ 1)!
(n− 1)!
= 20.
Exercício 4.3.3. Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
I. 3! + 2! = 5!
II. 3! · 2! = 6!
III. 4! + 4! = 2 · 4!
IV. n! = n(n− 1)(n− 2)!, para todo n ∈ N e n ≥ 2
V. n! = n(n− 1)(n− 2)!, para todo n ∈ N∗
Exercício 4.3.4. Resolva as equações:
a)
(n+ 2)!
n!
= 12
b)
(n+ 1)!
(n+ 3)!
=
1
20
c)
(n− 2)!
(n− 1)!
=
1
5
Exercício 4.3.5. Determine o conjunto dos valores de n, tais que
n! + (n+ 1)!
(n− 1)!
= 15.
2Retirados da referência [1]
Parte II
Probabilidade
15
Capítulo 5
História
“No ano de 1654, um jogador da sociedade parisiense, Chevealier de Mére, propôs ao
matemático Blaise Pascal algumas questões sobre possibilidade de vencer em jogos. Uma
das questões foi: “Um jogo de dados entre dois adversários chega ao fim quando um dos
jogadores vence três partidas em primeiro lugar. Se esse jogo for interrompido antes do
final, de que maneira cada um dos jogadores deverá ser indenizado?
As reflexões as respeito dos problemas propostos por De Mére levaram Pascal a
corresponde-se com Pierre de Fermat, o que desencadeou discussões a respeito dos princí-
pios de uma nova teoria que veio ser chamada de Teoria das Probabilidades”.
17
18 CAPÍTULO 5. HISTÓRIA
Capítulo 6
Conceito de Probabilidade
“Um automóvel será sorteado entre os clientes de um shopping center. Paulo de-
positou 50 cupons em uma das urnas espalhadas pelo shopping, e Janete depositou 20
cupons. Hoje, dia de sorteio, os conteúdos de todas as urnas foram juntados, formando
um monte com 10.000 cupons. Um representante do shopping vai sortear um cupom.
É possível medir a possibilidade de cada um ganhar o automóvel. Como Paulo tem
50 cupons dentre os 10.000 que participam do sorteio, indicamos por
50
10.000
a medida
da possibilidade de Paulo ganhar; de maneira análoga,a medida da possibilidade de
Janetee ganhar é
20
10.000
. As frações
50
10.000
e
20
10.000
são chamadas de probabilidade
de Paulo e Janete ganharem, respectivamente.
Esse exemplo ajuda a entender que a probabilidade é um número que mede a possi-
bilidade de ocorrer — ou não — um resultado”.1
Entendendo o problema acima podemos entender o que é de fato probabilidade.
A chance de um evento ocorrer em um certo problema, como “Qual a chance de chover
hoje?” poderia ser trocado por “Qual a probabilidade de chover hoje?”. Então podemos
ver que a probabilidade é mais comum no nosso cotidiano do que parece.
6.1 Definicões Básicas
Definição 6.1.1 (Experiência Aleatória). Consiste em observar uma amostra de uma
variável aleatória. Por exemplo: lançamento de uma moeda — observar a face da moeda,
cara ou coroa. Temos duas condições para que a experiência seja aleatória:
1. Deve ser possível repetir indefinidamente a experiência;
2. Não deve ser possível influenciar no resultado. Os resultados podem apresentar
variações de modo que sejam repetidos em condições uniformes (equiprováveis)
onde se possa ter o controle dos resultados.
1Problema tirado da referência [1]
19
20 CAPÍTULO 6. CONCEITO DE PROBABILIDADE
Definição 6.1.2 (Expaço amostral (Ω)). É o conjunto de todos os resultados possíveis
de uma experiência aleatória. Esses podem ser de natureza QUALITATIVA ou QUAN-
TITATIVA.
Definição 6.1.3 (Evento (E)). É qualquer subconjunto de Ω, isto é, qualquer resultado
possível da experiência aleatória.
Definição 6.1.4 (Clássica de Probabilidade). Dada uma experiência aleatória uniforme
e equiprovável, tem-se
P (E) =
#E
#Ω
onde #E: número de casos favoráveis
e #Ω: número total de casos no experimento.
Definição 6.1.5 (Axiomática). Dado uma experiência aleatória definida em Ω, chama-se
P (E) a probabilidade de ocorrência o evento E desde que sejam satisfeitas as seguintes
condições:
(i) 0 ≤ P (E) ≤ 1
(ii) P (Ω) = 1
(iii) Se E1 e E2 forem mutualmente exclusivos, então P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2)
Propriedade 6.1.1. 1. Sendo ∅ um evento impossível, P (∅) = 0
2. Se E é o complementar de E, então P (E) + P (E) = 1
3. Dado um evento E qualquer, então P(E) = 1.
4. Sejam E1 e E2 eventos quaisquer no mesmo espaço Ω. Se E1 ⊂ E2, então P (E1) ≤
P (E2)
Veja os exemplos a seguir:2
Exemplo 6.1.1. No experimento aleatório “lançamento de uma moeda”, temos com es-
paço amostral o conjunto E = {c, k}, em que c representa a face cara e k a face coroa.
Indicamos o número elemento de E pelo símbolo n(E) assim: n(E) = 2.
O conjunto A = c é um evento de E. Note que n(A) = 1
Exemplo 6.1.2. No experimento “lançamento de um dado” temos como espaço amostral
o conjunto E = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Portanto: n(E) = 6.
O conjunto B = 1, 2 é um evento de E. Note que n(B) = 2.
2Exemplos tirados da referência [1]
6.2. REGRAS “E” E “OU” 21
Exemplo 6.1.3. No experimento “lançamento de dois dados”, temos como espaço amostral
o conjunto:
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), . . . , (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), . . . , (3, 6),
...
(6, 1), (6, 2), (6, 3), . . . , (6, 6)}
Logo: n(E) = 36.
Agora resolva os exercícios a seguir:3
Exercício 6.1.1. No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de se obter a face
cara?
Exercício 6.1.2. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter, na face
voltada para cima, o número de pontos igual a três?
Exercício 6.1.3. Uma urna contém exatamente 1000 etiquetas, numeradas de 1 a 1000.
Retirando uma etiqueta dessa urna qual é a probabilidade de obtermos um número menor
que 51?
Exercício 6.1.4. Um dado é lançado três vezes.
a) O espaço amostral E desse experimento é formado por termos ordenados, que indicam
o número de pontos obtidos em cada lançamento, por exemplo: (6,6,3). Usando
o princípio fundamental de contagem, calcule o número de elementos desse espaço
amostral.
b) Calcule a probabilidade de se obter nos três lançamentos o mesmo número de pontos.
Exercício 6.1.5. Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se um bola dessa urna, a
probabilidade de se obter uma bola vermelha é 0, 64. Qual é a probabilidade de se obter
uma bola que não veja vermelha?
6.2 Regras “e” e “ou”
6.2.1 Propriedade
Propriedade 6.2.1.1. Sejam E1, E2 dois eventos aleatórios.
1. Se queremos que a probabilidade de E1 e E2 ocorrerem é de:
P (E1) · P (E2).
2. Se queremos que a probabilidade de E1 ou E2 ocorrerem é de:
P (E1) + P (E2).
3Exercícios da referência [1]
22 CAPÍTULO 6. CONCEITO DE PROBABILIDADE
Exercício 6.2.1.1. No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de se obterem
uma cara e uma coroa?
Exercício 6.2.1.2. No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter, nas
faces voltadas para cima, a soma dos pontos igual a cinco?
6.2.2 Definições e Exemplos
Definição 6.2.2.1 (Adição de Probabilidades). Sejam A e B eventos de um espaço
amostral E finito e não vazio. A probabilidade de ocorrer um elemento de A ou um
elemento de B, indicada por: P (A ∪B), é:
P (A ∪B) = n(A ∪B)
n(E)
Exemplo 6.2.2.1. Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 4 bolas brancas.
Retira-se ao acaso uma bola da urna. Qual é a probabilidade de sair uma bola vermelha
ou uma bola azul?
Resolução:
E = {x; x é a bola da urna}, n(E) = 12.
Consideremos dois eventos:
A = {y ∈ E; y é bola vermelha}, n(A) = 5 e B = {z ∈ E; z é bola azul}, n(B) = 3.
Observa-se que A e B são mutuamente exclusivos, isto é, A ∩B = ∅. Logo, temos:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)→ P (A ∪B) = 5
12
+
3
12
=
2
3
Definição 6.2.2.2 (Probabilidade Condicional). A probabilidade de ocorrer o evento B,
dado que ocorreu o evento A, é indicada por: P (B/A), lê-se: “probabilidade de B dado
A”, e é calculada por:
P (B/A) =
n(A ∩B)
n(A)
Exemplo 6.2.2.2. Uma moeda é lançada duas vezes. Vamos calcular a probabilidade
de obtermos cara no segundo lançamento sabendo que obtivemos cara no primeiro lança-
mento.
Resolução:
Temos dois eventos a considerar: cara no primeiro lançamento, B = {(C,C)(C,K)} e
cara no segundo lançamento, A = {(C,C)(K,C)}.
Como sabemos que ocorreu o evento B, temos que o evento A só pode ter ocorrido na
interseção de A e B:
P (A/B) =
n(A ∩B)
n(B)
=
1
2
.
6.3. EXERCÍCIOS 23
Definição 6.2.2.3 (Multiplicação de Probabilidade). Se A e B forem eventos indepen-
dentes, então
P (A ∩B) = P (A) · P (B)
Exemplo 6.2.2.3. Uma urna contém exatamente 7 bolas: 4 azuis e 3 vermelhas. Retira-
se ao acaso, uma bola da urna registra-se sua cor e repõe-se a bola na urna. A seguir retira-
se, novamente ao acaso, uma bola da urna registra-se sua cor. Qual é a probabilidade de
sair uma bola azul e depois uma vermelha?
Resolução:
Queremos que a primeira bola retirada seja azul e a segunda vermalha. A probabilidade
da primeira bola ser azul é
4
7
, e a probabilidade de e a segunda bola ser vermelha é
3
7
.
Assim, a probabilidade de obtermos a sequência azul e vermelha é: P =
4
7
· 3
7
=
12
49
.
6.3 Exercícios
Exercício 6.3.1. Na gôndola de um supermercado há somente sabonetes azuis ou da
marca Tux, num total de 140 unidades, sendo 80 azuis e 100 na marca Tux. Retirando-se
ao acaso um sabonete desta góndola, qual a probabilidade de se obter um sabonete azul
da marca Tux?
Exercício 6.3.2. Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se
ao acaso uma bola da urna, qual é a probabilidade de se obter uma bola branca ou uma
bola verde?
Exercício 6.3.3. Uma pesquisa feita com 70 pessoas revelou que 35 já consumiram o
produto A, 50 já consumiram o produto B e 5 ainda não consumiram nem A nem B.
Escolheu-se uma dessas 70 pessoas, ao acaso, constatando-se que ela já havia consumido
o produto A. Qual é a probabilidade que essa pessoa também tenha consumido o produto
B?
Exercício 6.3.4. Uma moeda é lançada 8 vezes. Considera-se como resultado a sequência
formada pelas faces da moeda voltada para cima, cara (C) ou coroa (K), na ordem dos
lançamentos. Qual é a probabilidade de ocorrer uma sequência com 5 caras e 3 coroas?
24 CAPÍTULO 6. CONCEITO DE PROBABILIDADECapítulo 7
Curiosidade1 - O aniversário de alguém
versus um certo aniversário
“As surpreeendentes semelhanças das coincidências são perfeitamente ilustradas com
o seguinte resultado probabilístico, aliás, bastante conhecido: como o ano tem trezentos
e sessenta e seis dias (se contarmos o dia 29 de Fevereiro), teriam de se reunir trezentas
e sessenta e sete pessoas para podermos ter a certeza absoluta de que pelo menos duas
delas partilham a mesma data de aniversário. Por quê?
Suponhamos que nos contentávamos com um grau de certeza de cinquenta por cento.
Quantas pessoas teríamos de ter no grupo para que a probabilidade de haver duas delas
com a mesma data de aniversário se concretizasse? Uma primeira suposição apontaria
para cento e oitenta e três, isto é, perto de metade de trezentos e sessenta e cinco. A
resposta, surpreendente, é de que só precisamos de vinte e três pessoas. Dito de outra
forma, em metade das ocasiões em que se reúnem vinte e três pessoas escolhidas ao acaso,
duas ou mais compartilharão a mesma data de nascimento.
Para os leitores que não quiserem aceitar este fato do pé para a mão, aqui deixo uma
curta derivação. De acordo com o princípio da multiplicação, o número de maneiras em
que cinco datas podem ser escolhidas (permitindo-se repetições) é de (365× 365× 365×
365 × 365). De todas estas 3655 maneiras, contudo, só (365 × 364 × 363 × 362 × 361)
podem coexistir de modo a que não haja duas datas iguais; qualquer dos trezentos e
sessenta e cinco dias pode ser escolhido em primeiro lugar, o mesmo sucedendo com os
retantes trezentos e sessenta e quatro para o segundo lugar, e assim por diante. Deste
modo, se dividirmos este último produto (365×364×363×362×361) por 3655, obtemos
a probabilidade de cinco pessoas escolhidas ao acaso não terem em comum a data de
nascimento. Ora bem, se subtrairmos esta probabilidade a umn (ou a cem por cento,
se estivermos a trabalhar com percentagens), obtemos uma probabilidade complementar
em que pelo menos duas das cinco pessoas têm a mesma data de nascimento. Um cálculo
semelhante, mas usando vinte e três pessoas no lugar de cinco, dá-nos
1
2
, ou cinquenta
por cento, como probabilidade para que pelo menos duas das vinte e três pessoas tenham
a mesma data aniversária.
1Texto tirado integralmente da referência [5]
25
26 CAPÍTULO 7. CURIOSIDADE
Aqui há dois anos atrás, um convidado do programa de Johnny Carson tentou explicar
estes fatos. Johnny Carson não acreditou no que o convidado disse; no entanto, depois
de observar que havia cerca de cento e vinte pessoas no estúdio a assistirem ao programa,
perguntou quantas delas faziam anos num dia qualquer, neste caso em 19 de Março.
Ninguém levantou o braço, e o convidado, que não era um matemático, disse qualquer
coisa incompreensível em sua defesa. Aquilo que devia ter dito é que são necessárias
vinte e três pessoas para termos cinquenta por cento de certeza em como há algum dia
de nascimento em comum, e não um certo aniversário específico em comum, como o dia
19 de Março proposto por Carson. Para termos cinquenta por cento de certeza de que
alguém no grupo compartilha o dia 19 de Março como data de nascimento, precisamos
de um número maior de pessoas, duzentos e cinquenta e três para sermos exatos.
Uma breve derivação deste último aspecto: como a probabilidade do aniversário de
uma dada pessoa não cair no dia 19 de Março é de
364
365
, e como as datas de nascimento
são independentes, a probabilidade de duas pessoas não terem ambas nascido a 19 de
Março é de
364
365
× 364
365
. Assim, a probabilidade de N pessoas não compartilharem o dia
19 de Março como data de nascimento é igual a
(
364
365
)N
, o que, quando N = 253, nos
dá um valor muito próximo do
1
2
. Portanto, a probabilidade complementar de que pelo
menos uma dessas duzentas e cinquenta e três pessoas tenha nascido a 19 de Março é
também de
1
2
, ou cinquenta por cento”.
Capítulo 8
Exercícios Complementares
Exercício 8.1. Uma moeda é lançada três vezes.
a) Indicando por C e K as faces cara e coroa, respectivamente, contrua o espaço
amostral E desse experimento
b) Qual é a probabilidade de se obterem pelo menos duas caras?
c) Qual é a probabilidade de se obterem no máximo duas caras?
Exercício 8.2. Formam-se todos os números naturais de cinco algarismos distintos com
os algarismos, 1, 2, 3, 4, e 5. Sorteando-se um desses números, qual é a probabilidade de
se obter um número par?
Exercício 8.3. Uma urna contém precisamente nove bolas: 3 brancas, 2 pretas e 4 azuis.
Retirando-se três bolas da urna, uma de cada vez e com reposição, calcule a probabilidade
de saírem:
a) A primeira bola branca, a segunda bola preta e a terceira bola azul;
b) Três bolas de cores diferentes;
c) Três bolas azuis.
Exercício 8.4. Considerando todas as retas determinadas pelos oitos vértices do cubo
ABCDEFGH abaixo. Sorteando-se uma dessas retas, qual é a probabilidade de que ela
passe pelo vértice G?
27
28 CAPÍTULO 8. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Exercício 8.5. No lançamento de cinco dados, calcule a probabilidade de que a soma
dos pontos obtidos nas faces voltadas para cima não ultrapasse o valor 30.
Exercício 8.6. O segmento AB é o diâmetro da circunferência ao lado. Sorteando-se um
triângulo com vértices em três dos pontos, A, B, C, D, E, F e G, calcule a probabilidade
de que esse triângulo não seja retângulo.
Exercício 8.7. Um dado é lançado três vezes. O resultado do experimento é o terno
ordenado (x, y, z) em que x, y e z são os números de pontos obtidos no primeiro, segundo
e terceiro lançamento, respectivamente.
a) Qual é a probabilidade de se obter um termo em que o produto de três números
seja ímpar?
b) Qual é a probabilidade de se obter um termo em que o produto de três números
seja par?
Exercício 8.8. A probabilidade de um piloto vencer uma corrida é o triplo da probabi-
lidade de perder. Qual é a probabilidade de que esse piloto vença a corrida?
Exercício 8.9. (UFPE) Uma prova de Matemática é constituída de 16 questões do tipo
múltipla escolha, tendo cada questão 5 alternativas, das quais deve ser assinalada como
resposta apenas uma. Respondendo ao acaso todasas questões, o número de maneiras
diferentes que se pode preencher o cartão de resposta é?
29
Exercício 8.10. Cada linha telefônica de uma cidade é identificada por uma sequência
de sete algarismos, com os três primeiros não nulos e distintos entre si, podendo haver
repetições dentre os demais algarismos. A partis do próximo mês, cada linha será identi-
ficada por uma sequência de oito algarismos, com os três primeiros não nulos e distintos
entre si, podendo haver repetição dentre os demais algarismos. Com essa mudança, o
acréscimo no número de linhas telefônicas dessa cidad será?
Exercício 8.11. Uma urna contém quatro bolas azuis, numeradas de 1 a 4, e cinco bolas
amarelas, numeradas de 1 a 5. Sorteando-se um bola dessa urna, qual é a probabilidade
de que seja azul ou tenha número ímpar?
Dica: Resolva esse problema de dois modos diferentes: primeiro aplicando o teorema da
adição de probabilidade; depois, aplicando apenas a definição de probabilidade.
Exercício 8.12. Um número será sorteando dentre os números naturais de 1 a 1.000. A
probabilidade de que saia um número par ou um número de dois algorismos é . . .?
Exercício 8.13. Dentre os automóveis estocados o pátio de uma montadora, escolhe-se
um, ao acaso. A probabilidade de que o automóvel escolhido tenha freio ABS é
5
8
, a
probabilidade de que ele tenha direção hidráulica é
2
3
e a probabilidade de que ele tenha
freio ABS e direção hidráulica é
11
24
. A probabilidade de que esse automóvel tenha freio
ABS ou direção hidráulica é?
Exercício 8.14. Dois eventos, A e B, de um espaço amostral E são mutuamente exclu-
sivos. Sabendo que P (A ∪B) = 2
3
e que P (A) =
P (B)
4
, calcule P (B).
Exercício 8.15. Um dado foi lançado sobre uma mesa, considerando-se como resultado
o número de pontos de face voltada para cima. Considere E o espaço amostral desse
experimento, e os eventos A = {x∈ E|x < 5} e B = {y ∈ E|y > 2}
a) Represente em um diagrama os conjuntos E, A e B.
b) Calcule a probabilidade de, nesse lançamento, ter ocorrido um número maior que
2, sabendo que ocorreu um número menor que 5.
Exercício 8.16. Calcule:
a) 7!
b) 3! · 2!
c) 4!− 2!
30 CAPÍTULO 8. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
d)
0!
3!
Exercício 8.17. Dois eventos, A e B, de um espaço amostral equiprovável E, finito, são
tais que P (A ∪B) = 3
5
e P (A) =
2
3
. Calcule P (B/A).
Exercício 8.18. De uma urna com exatamente 5 bolas de cores diferentes, azul, ver-
melha, verde, marrom e preta são sorteadas 2 bolas, uma de cada vez.
a) Sabendo que na primeira retirada saiu uma bola vermelha e que esta foi reposta na
urna, calcule a probabilidade de a segunda bola retirada se vermelha.
b) Sabendo que na primeira retirada saiu uma bola vermelha e que esta não foi reposta
na urna, calcule a probabilidade de a segunda bola retirada ser vermelha.
Exercício 8.19. Uma urna contém exatamente 7 bolas: três brancas, e quatro pretas.
Retirando-se sucessivamente e sem reposição três bolas; qual é a probabilidade de:
a) Saírem as duas primeiras bolas pretas e terceira branca?
b) Saírem duas bolas pretas e uma branca?
c) Sair pelo menos uma bola branca?
Exercício 8.20. Uma urna contém 6 bolas de cores diferentes entre si, sendo que uma
delas é vermelha. Retiram-se 4 bolas dessa urna, uma de cada vez e sem reposição.
Considerando a ordem de retirada, quantas sequências de cores são possíveis de modo
que a primeira bola retirada não seja vermelha?
Exercício 8.21. (UFC - CE) Considere os números inteiros ímpares maiores que 64.000
que possuem cinco algarismos, todos distintos, e que não contêm os dígitos 3 e 8. A
quantidade desses números é?
Exercício 8.22. Dispõe-se de 6 cores de tinta, sendo uma delas amarela. De quantas
maneiras diferentes pode-se pintar um painel composto de quatro quadradinhos consecu-
tivos, de modo que cada quadradinho tenha uma só cor, não haja dois quadradinhos adja-
centes com a mesma cor e o primeiro quadradinho da esquerda seja amarelo, podendo-se
repetir uma ou mais cores tantas vezes quantas forem possíveis?
Exercício 8.23. (UEL - PR) Devido à ameaça de uma epidemia de sarampo e rubéola,
os 400 alunos de uma escola foram consultados sobre as vacinas que já haviam tomado.
Do total, 240 haviam sido vacinados contra sarampo e 100 contra rubéola, sendo que 80
não haviam tomado nenhuma dessas vacinas. Tomando - se ao acaso um aluno dessa
escola, a probabilidade de ele ter tomado as duas vacinas e?
31
Exercício 8.24. (Cesgranrio) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma
joalheria apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0, 1, 2, 3, 4)
e quatro letras (X, Y, Z, W). O segredo do cofre é uma sequência de três algarismos
seguidos de duas letras. Qual é a probabilidade de uma pessoa, numa única tentativa,
ao acso abrir o cofre?
Exercício 8.25. (Enem - Mec) Um município de 628 km2 é atendido por duas emissoras
de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostra
a figura abaixo. Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a pro-
babilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se
na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproxi-
madamente?
Exercício 8.26. (Unopar - PR) Cada uma das dez questões de uma prova apresenta
uma única afirmação, que deve ser classificada com V (verdadeira) ou F (falsa). Um
aluno. que nada sabe sobre a matéria, vai responder a todas as questões ao acaso. A
probabilidade que ele tem de não tirar zero é?
Exercício 8.27. Em uma conferência estão reunidos cinco mulheres e sete homens,
matemáticos; quatro mulheres e oito homens, físicos; seis mulheres e quarto homens,
químicos. Uma pessoa é escolhida, ao acaso, para presidir a conferência. Qual é a
probabilidade de que essa pessa seja mulher ou matemático(a)?
Exercício 8.28. Uma pesquisa é realizada entre 50 leitores de jornais. Conclui-se que
35 pessoas lêem o jornal A, 34 lêem o jornal B e 3 lêem outro jornal. Escolhida ao acaso
uma dessas 50 pessoas, qual é a probabilidade de que ela seja leitora dos jornais A e B?
Exercício 8.29. Ums pesquisa realizadaa em dois bancos A e B, revelou que 40% dos
funcionários do banco A e 30% dos funcionários do banco B têm nível universitário.
Escolhendo-se, aleatoriamente, um funcionário de cada banco, a probabilidade de que
pelo menos um dos escolhidos tenha nível universitário é?
32 CAPÍTULO 8. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Exercício 8.30. Duas linhas de ônibus ligam duas cidades A e B, e três linhas de ônibus
ligam as cidades B e C, conforme mostra o esquema abaixo
a) De quantas modos diferentes um usuário pode escolher uma sequência dessas linhas,
indo de A para C, passando por B?
Dica: Esse experimento é composto de dois outros: primeiro ir de A para B, e
depois de B para C.
b) De quantos modos diferentes um usuário pode escolher uma sequência dessas linhas,
fazendo o trajeto de ida e volta de A para C, passando por B, na ida e na volta, de
moso que na volta ele não possa usar a mesma linha que usou na ida?
Exercício 8.31. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com
os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6?
Exercício 8.32. Um hacker sabe que a senha de acesso a um arquivo secreto é um
número natural de cinco algarismos distintos e não-nulos. Com o objetivo de acessar
esse arquivo o hacker programou o computador para testar esses números um a um,
demorando 5 segundos em cada tentativa. O tempo máximo para que o arquivo seja
aberto é . . .?
Exercício 8.33. Considere placas de automóvel formadas por três letras seguidas de
quatro algarismos.
a) Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A,B, C, D, e com os
algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
b) Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A, B, C, D, e com os
algarismos 1, 2, 3, 4, e 5 sem repetir as letras e os números?
c) Quantas placas diferentes podem ser formadas, com pelo menos um algarismo não
nulo, dispondo-se das 26 letras do alfabeto e dos 10 algarismos do sistema decimal
(incluímos Y, W e K)?
Exercício 8.34. (Uespi)Em um prédio, o número de apartamentos habitados é o triplo do
número de apartamentos desabitados. Escolhendo-se, aleatoriamente, um apartamento
desse prédio, a probabilidade de que ele esteja desabitado é . . .?
Exercício 8.35. Dois conjuntos, A e B são tais que n(A) = 25, n(B) = 29 e n(A∩B) = 10.
Determine o número de elementos de A ∪B?
33
Exercício 8.36. Calcule a quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e
3.000 que podemos representar utilizando somente os algarismos 1, 2, 3, 5, 7, e 8, de
modo que não figurem algarismos repetitivos.
Exercício 8.37. Quantos números naturais maiores que 4.50 e de quatro algarismos
distintos podemos representar com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, e 7?
Exercício 8.38. Simplifique as frações:
a)
6!
3!
b)
4!
6!
c)
5! · 8!
4! · 7!
d)
n!
(n− 1)!
e)
n!
(n+ 2)!
f)
(n− 3)!
(n− 5)!
Exercício 8.39. Em um programa de audiório, o apresentador explica a um participante
que três etiquetas, numeradas de 1 a 3, foram distribuídas em três envelopaes, sendo que
cada envelope está lacrado e contém uma única etiqueta. O participante deve colocar
os envelopes sobre uma mesa, tentando formar, da esquerda para a direita, a sequência
crescente: 1, 2 e 3.
a) Calcule a probabilidade de que os três envelopes sejam colocadas nas posições
corretas, isto é, o primeiro da esquerda com o algarismo 1, o segundo 2, e o terceiro
com o 3.
b) Calcule a probabilidade de que sejam colocados apenas dois envelopes nas posições
corretas.
Exercício 8.40. (UnB - DF) Um fazendeiro dispõe de um terreno dividido em regiões,
como na figura ao lado, e pretende cultivá-las de forma que as regiões com uma fronteira
comun tenham plantios diferentes. De quantas formas ele pode fazer o plantio, se pode
optar entre milho, feijão, arroz e trigo para cultivar?
Exercício 8.41. Quantos números de 7 dígitos,maiores que 6.000.000 podem ser for-
mados com os algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7 e 9, sem repeti-los?
34 CAPÍTULO 8. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Exercício 8.42. Ao atirar num alvo, a probabilidade de um pessoa acertá-lo é
3
5
. Qual
a probabilidade de ela errar?
Exercício 8.43. Quantos números naturais pares e múltiplos de 5, com 4 algarismos
distintos, podem ser formados com os algarismos 0, 2, 3, 5, e 9?
Exercício 8.44. (Enem - MEC) Um fabricante de cosméticos decide produzir três dife-
rentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos
estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer
uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1,
C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada
catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas
em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais também estarão em C1. Efe-
tuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três
catálogos, necessitará de um total de originais de impressão iguais a . . .?
Exercício 8.45. Simplifique as frações:
a)
8!
10!
b)
3! · 9!
5! · 7!
c)
(n+ 4)!
(n+ 2)!
d)
(n− 5)!
(n− 7)!
e)
(n− 5)!
(n− 3)!
Exercício 8.46. O conjunto solução da equação
(x+ 2)!
3! · x!
=
x!
(x− 1)!
é?
Exercício 8.47. Sabendo que 8n! =
(n+ 2)! + (n+ 1)!
n+ 1
, o valor de n é . . .?
Exercício 8.48. Um congresso sobre doenças psicossomáticas reúne 48 psiquiatras, dos
quais 18 são mulheres; 72 psicólogos, dos quais 53 são mulheres; e 27 neurologistas,
dos quais 10 são mulheres. Um dos participantes foi sorteado para coordenar os traba-
lhos. Sabendo-se que a pessoa sorteada é mulher, qual é a probabilidade de que ela seja
psiquiatra?
Exercício 8.49. Em uma classe de vinte alunos, apenas dois são irmãos. Sorteando-se
dois alunos nessa classe, qual é a probabilidade de os sorteados serem irmãos?
Parte III
Análise Combinatória
35
Capítulo 9
Introdução
A análise combinatória é a parte da matemática onde estudamos as técnicas de con-
tagem de agrupamentos que podem ser feitos com elementos de um dado conjunto. São
basicamente dois tipos de agrupamentos que podemos formar: um em que se leva em
conta a ordem dos elementos dentro do agrupamento e outro onde a ordem dos elementos
é irrelevante.
Por exemplo, se desejamos contar quantas placas de licença de automóveis podem ser
feitas, constituídas por três letras seguidas de quatro algarismos, devemos levar em conta
a ordem das letras e dos algarismos:
Figura 9.1: São placas diferentes
Já se nosso problema for contar quantas quinas são possíveis de serem sorteadas na
loteria de números (loto), observamos que a ordem dos números que compõem a quina
não importa:
01 11 13 91 00 e 91 11 01 00 13 são quinas iguais
Suponhamos a seguinte situação: “Uma pessoa pode beber água, refrigerante ou
cerveja; em qualquer caso pode escolher entre gelo e sem gelo. Quais as possibilidades
que tem pra beber algo?”
Árvore de Possibilidade ou Diagrama de Árvore:
37
38 CAPÍTULO 9. INTRODUÇÃO
Água
com gelo
sem gelo
Refrigerante
com gelo
sem gelo
Chá
com gelo
sem gelo
No primeiro evento, são três possibilidades; no segundo evento, são duas possibili-
dades. O número de possibilidades do evento composto tomar uma bebida e com gelo ou
sem gelo será dado pelo produto do número de possibilidades do primeiro evento pelo
número de possibilidades do segundo evento.
Se A é o primeiro evento, n(A) = 3 e B é o segundo evento, n(B) = 2. O evento
composto por A e B será n(A)× n(B) ou 3× 2 = 6 Afinal, posso beber:
1. Água sem gelo
2. Água com gelo
3. Refrigerante sem gelo
4. Refrigerante com gelo
5. Chá sem gelo
6. Chá com gelo
Se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes de tal
modo que a seja o número de possibilidades da primeira etapa e b seja o número de
possibilidades da segunda etapa, então a× b é o número total de possibilidades do evento
ocorrer.
Exemplo 9.1. Quantos são os números de cinco algarismos que podemos formar com os
símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
9.1 Princípio da Multiplicação
Suponha que você está se arrumando para sair, mas você está em dúvida sobre qual par
de meia e qual par de tênis você vai calçar dentre quatro pares de meia (branca, verde,
amarela e roxa) e dois pares de tênis (preto e cinza). De quantas maneiras diferentes
9.2. ARRANJOS COM REPETIÇÃO 39
você poderá se vestir usando um par de meia e um par de tênis?
Há quatro possibilidades de você escolher um par de meia e para cada uma delas há
duas para escolher um par de tênis. Então, você pode se vestir de 4 · 2 = 8 maneiras
diferentes.
De modo geral, o princípio multiplicativo diz que se um acontecimento ocorrer por
várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que
p1 é o número de possibilidades da etapa 1
p2 é o número de possibilidades da etapa 2
...
pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa
então o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer é p1 · p2 · . . . · pk.
Observação 9.1. Isso não é nada mais do que uma aplicação do princípio fundamental
da contagem.
9.2 Arranjos com repetição
Imaginem uma caixa com uma bola vermelha, uma branca e outra azul, que chamaremos
de V , B e A respectivamente. Tiramos uma bola da caixa, observamos a sua cor, e
então a colocamos de volta na caixa. Daí, de novo, tiramos uma bola e observamos sua
cor. Quantas possíveis sequências de cores poderíamos ter observado, levando em conta
a ordem?
Resposta: VV, VB, VA, BB, BV, BA, AA, AV, AB = 9 sequências
Nesse caso tínhamos um conjunto C = {V,B,A} de três elementos, e duas ocasiões
em que poderiam ser retirados qualquer um dos três elementos, isto é, em cada um dos
eventos que tiramos uma bola temos a mesma chance de tirar qualquer uma delas. Logo,
pelo princípio da multiplicação, o número possível de sequências é 3 · 3 = 32 = 9.
De modo geral, se temos um conjunto C = {a1, a2, a3, . . . , an} de n elementos (n ∈ N)
e fazemos um arranjo com r repetições temos que o número possível de sequências é
An,r = n · n · n · . . . n = nr
Note que esse caso resolve apenas aquelas ocasiões em que todos os eventos tem o
mesmo número de possibilidades.
Veja outros exemplos a seguir:
Exemplo 9.2.1. Se jogamos um dado três vezes, quantas combinações possíveis podemos
ter?
Solução: Lembre que um dado tem seis faces, cada uma com um número diferente.
O dado é jogado três vezes e em cada um desses eventos podemos obter seis números
diferentes. Então o número de combinações possíveis é:
6 · 6 · 6· = 63 = 216.
40 CAPÍTULO 9. INTRODUÇÃO
Exercícios 9.2.1. Suponha que uma senha de e-mail seja formada por oito dígitos sendo
todos eles números de 0 a 9. Quantas senhas diferentes podemos ter?
Exercícios 9.2.2. Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O segredo do cofre é formado por uma sequência de quatro dígitos. Se uma pessoa tentar
abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer, no máximo, para conseguir abrí-lo?
Exercícios 9.2.3. Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, não
sendo necessário que as listras sejam todas de cores distintas. De quantas formas isso
pode ser feito?
9.3 Arranjos simples
Suponha que você esteja assistindo uma corrida de tartarugas. O nome das tartarugas
são Walter, Josh, Carter e Billy. Vamos representá-los porW , J , C e B respectivamente.
Queremos saber quantos possíveis três primeiros lugares podemos ter. Podemos fazer
uma árvore de possibilidades:
9.3. ARRANJOS SIMPLES 41
Contando, o resultado é 24, que é o mesmo que 4 · 3 · 2 e logo veremos o porquê.
Antes vamos generalizar esse caso. Note que no exemplo anterior tínhamos um con-
junto C = {W,J,C,R} de quatro tartarugas disputando os três primeiros lugares.
A isso chamamos de um arranjo simples de 4 elementos 3 a 3, e pode ser indicado por
A4,3 ou A34 que, como já vimos, deu 24 possibilidades. Para primeiro lugar podíamoster
quatro tartarugas diferentes. Supondo que um desses fosse o primeiro colocado, teríamos
outros três para ser o segundo colocado. Ainda supondo que um desses fosse o segundo,
teríamos outros dois para ser o terceiro. Pelo princípio fundamental da contagem, temos
que A4,3 = 4 · 3 · 2 = 24.
Agora, então, suponha que tenhamos um conjunto C = {a1, a2, a3, . . . , an} de n ele-
mentos, n ∈ N. Chamamos de um arranjo simples dos n elementos de C, p a p, isto é,
An,p com p ∈ N e p ≤ n, toda sequência ou agrupamento de p elementos distintos de C.
Pergunta: como calculamos esse arranjo de n elementos p a p, isto é, An,p?
Resposta: seguindo o mesmo princípio usado com as tartarugas:
Se nós temos uma combinação de p elementos distintos dentre n elementos distintos,
usaremos o seguinte raciocínio para calcular as combinações possíveis:
• Na primeira escolha, isto é, no primeiro evento, podemos escolher dentre n elemen-
tos. No segundo evento podemos escolher n elementos menos o que foi escolhido no
42 CAPÍTULO 9. INTRODUÇÃO
primeiro evento, ou seja, n − 1 elementos. No terceiro evento podemos escolher n
elementos menos os que foram escolhidos no primeiro e no segundo evento, ou seja,
n− 2 elementos. Seguindo esse processo até completarmos os p elementos, teremos
que o p-ésimo elemento será n− (p− 1) ou n− p+ 1
Então, pelo princípio fundamental da contagem, temos
An,p = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− p+ 1)
Se multiplicarmos e dividirmos o lado direito da igualdade por (n− p)! obteremos
An,p = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− p+ 1)
(n− p)!
(n− p)!
=
n!
(n− p)!
E finalmente, usando as propriedades de fatorial obtemos
An,p =
n!
(n− p)!
.
Exemplo 9.3.1. Calcule:
a) A7,3
b)
A5,4 + A3,2
A4,2 − A2,1
Solução: Pela fórmula dada An,p =
n!
(n− p)!
temos
a)
A7,3 =
7!
(7− 3)!
=
7!
4!
=
7 · 6 · 5 · 4!
4!
= 7 · 6 · 5· = 240
b)
A5,4 + A3,2
A4,2 − A2,1
=
5 · 4 · 3 · 2 + 3 · 2
4 · 3− 2
=
126
10
=
63
5
Exemplo 9.3.2. Um anagrama é um código formado pela transposição (troca) de todas
as letras de uma palavra, podendo ou não ter significado na língua de origem. Por
exemplo, LOBO e OLOB são anagramas da palavra BOLO. Agora considere a palavra
LISTA.
a) Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra?
b) Quantos deles começam por P e terminam por A?
c) Quantos contêm as letras ST juntas e nessa ordem?
9.3. ARRANJOS SIMPLES 43
Solução:
a) Queremos saber quantas palvras diferentes de cinco letras podemos formar com as
letras L, I, S, T, A. Note que para a primeira letra de cada palavra existem cinco
possibilidades, para a segundda existem cinco menos a que foi escolhida na primeira,
para a terceira existem cinco menos as que foram escolhidas na primeira e na segunda,
e assim por diante. Logo temos que o número de anagramas é
A5,5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
b) Como a primeira e a última letra já estão fixas, temos uma variação com apenas três
letras (I, S, T). Agora, seguindo o mesmo raciocínio do exercício anterior temos que
o número de anagramas possíveis para esse caso é
A3,3 = 3! = 3 · 2 · 1· = 6.
c) Se as letras ST ficarem juntas, nessa ordem, então as letras ST podem ser consideradas
como uma só letra e, junto com as três letras restantes, teremos um total de quatro
letras para serem agrupadas 4 a 4. Portanto, o número de anagramas possíveis para
esse caso é
A4,4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1· = 24.
Exercícios 9.3.1. Calcule
a) A6,3
b) A10,4
c) A20,1
d) A12,2
Exercícios 9.3.2. Calcule:
a)
A6,2 + A4,3 − A5,2
A9,2 + A8,1
b)
A5,2 + A6,1 − A5,3
A10,2 − A7,3
Exercícios 9.3.3. Quantos números de 5 algarismos distintos formamos com os algaris-
mos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Exercícios 9.3.4. Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resul-
tados são possíveis para os três primeiros lugares?
44 CAPÍTULO 9. INTRODUÇÃO
Exercícios 9.3.5. Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras,
cada listra com uma cor diferente. De quantas formas isso pode ser feito?
Exercícios 9.3.6. Considere a palavra FELINO.
a) Quantos são os anagramas dessa palavra?
b) Quantos começam com a letra N?
c) Quantos terminam por vogal?
d) Quantos apresentam as letras ELI juntas e nessa ordem?
e) Quantos apresentam as letras ELI juntas e em qualquer ordem?
Capítulo 10
Permutação simples
Lembre-se do caso dos anagramas. Se tomamos a palavra MITO, por exmplo, vimos
que podemos calcular o número de anagramas da seguinte forma:
Para a primeira letra há quatro possibilidades, na segunda há três (as quatro letras
menos a que foi escolhida na primeira), na terceira há duas (as quatro letras menos as
que foram escolhidas na primeira e na segunda) e na quarta há uma (a que restou).
Veremos que esse caso é uma permutação simples.
Seja E um conjunto com n elementos.
Chama-se permutação simples dos n elementos, qualquer agrupamento (sequência)
de n elementos distintos de E. Podemos, também, interpretar cada permutação de n
elementos como um arranjo simples de n elementos tomados n a n, ou seja, p = n
obtendo An,n.
O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn.
Pn = An,n ⇒ Pn =
n!
(n− n)!
⇒ Pn =
n!
0!
=
n!
0!
então
Pn = n!
As permutações simples de n elementos distintos diferem entre si somente pela ordem
dos elementos.
Exemplo 10.1. Quantos anagramas tem a palavra BANCO?
Solução: Como a palvra BANCO tem 5 letras, vamos formar anagramas de 5 letras
com B, A, N, C, O.
P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1· = 120
A palavra BANCO tem 120 anagramas.
45
46 CAPÍTULO 10. PERMUTAÇÃO SIMPLES
Exemplo 10.2. Considere os números obtidos do número 12345, efetuando-se todas as
permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o
lugar ocupado pelo número 43521?
Solução:
Exercício 10.1. Quantos são os anagramas da palavra CAFÉ?
Exercício 10.2. Quantos anagramas da palavra EDITORA:
a) Começam com a letra A?
b) Começam com A e terminam com E?
Exercício 10.3. Calcule o número de anagramas da palvra CLARA em que as letras
AR aparecem juntas e nessa ordem?
Exercício 10.4. De quantos modos difeentes podem sentar-se nove pessoas:
a) Se todas ficarem em fila?
b) Se ficarem todas em fila, mas os lugares extremos forem ocupados pelo mais velho e
pelo mais novo?
Capítulo 11
Combinações
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos
antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas
pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em
ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala
casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a
necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para
evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos,
introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma
combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem
os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de
elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição
do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m, p) arranjos com p elementos, existem p! desses
arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos
tomados p a p, deveremos dividir o número A(m, p) por m! para obter apenas o número
de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m, p) =
A(m, p)
p!
Como:
A(m, p) = m · (m− 1) · (m− 2) · (m− p+ 1)
Então:
C(m, p) =
m · (m− 1) · (m− 2) · . . . · (m− p+ 1)
p!
Que pode ser reescrito:
C(m, p) =
m · (m− 1) · (m− 2) · (m− p+ 1)
1 · 2 · 3 · 4 . . . (p− 1)·
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por:
(m− p)(m− p− 1)(m− p− 2) . . . 3 · 2 · 1
47
48 CAPÍTULO 11. COMBINAÇÕES
Que, como já sabemos, é o mesmo que multiplicar por (m− p)!, o numerador da fração
ficará:
m · (m− 1) · (m−2) · . . . · (m− p+ 1) · (m− p) · (m− p− 1) · . . . · 3 · 2 · 1 = m!
E o denominador ficará: p!(m− p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p,
será uma das seguintes:
C(m, p) =
(
m
p
)
=
m!
p!(m− p)!
Exemplo: M = a, b, c, d. As combinações dos 4 elementos, tomados dois a dois, são
os conjuntos: (a, b); (a, c); (a, d); (b, c); (b, d); (c, d)
Note que a, b = b, a, pois combinação é um conjunto, portanto não depende da ordem
dos elementos.
Logo, aplicando a fórmula ao exemplo, teríamos que as combinações simples desses
4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer
elemento nem podem aparecer na ordem trocada.
Exemplo 11.1. Sobre uma reta marcam-se 8 pontos e sobre outra reta, paralela à
primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 pontos quaisquer
do total desses pontos?
Solução: Três desses pontos vão determinar um triângulo se dois deles pertencem a r1
e um pertencer a r2, ou dois deles pertencerem a r2 e um a r1. Assim, podemos escolher
dois pontos em r1 e um ponto em r2 de C8,2 ·C5,1 maneiras, e dois pontos em r2 e um em
r1 de C5,2 · C8,1 maneiras. Logo, o número total de triângulos será:
C8,2 · C5,1 + C5,2 · C8,1 = 28 · 5 + 10 · 8 = 140 + 80 = 220
Serão obtidos 220 triângulos.
Exercício 11.1. De quantas maneiras diferentes é possível escalar um time de futebol
de salão dispondo de 8 jogadores?
Exercício 11.2. Com 10 espécies de fruta, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies
diferentes, podem ser feitas?
Exercício 11.3. Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos de 2 rapazes e
3 moças podemos formar?
Exercício 11.4. Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes,
jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram jogadas 272 partidas, determine
o número de equipes participantes.
Capítulo 12
Jogo da Senha
12.1 Material
- 1un. Foam paper (podendo ser substituído por isopor);
- 7un. Papel ColorSet (cores diferentes);
- Estilete, lápis e régua para a montagem do tabuleiro;
- Plástico para plastificação.
12.2 Como funciona o jogo?
O jogo foi desenvolvido para duplas, mas pode ser feito em trios também. Inicialmente
consideremos o jogo para uma dupla:
Um dos jogadores recebe uma senha, o outro jogador tem que tentar acertar a senha
num número máximo de jogadas. Neste jogo de senha em especial, temos 5 cores diferen-
tes para uma senha de 3 cores (diferentes sempre) sendo 8 o número máximo de jogadas.
Assim sendo, começamos com um tabuleiro da seguinte forma:
49
50 CAPÍTULO 12. JOGO DA SENHA
As três primeiras casas de cada linha serão preenchidas por que está tentando acertar
a senha (jogador 1). As outras três por quem está com a senha (jogador 2). Para melhor
entender o funcionamento do jogo, vamos supor que a senha seja:
Se na primeira tentativa o jogador 1 escolheu a seqüência:
O que o jogador 2 deverá marcar em suas três casa?
O jogador 2 terá que se perguntar duas coisas:
- Quantas cores o jogador 1 escolheu que estão certas e no lugar certo? (Neste caso
foi 1 cor só, a laranja.)
12.3. ANALISANDO O JOGO MATEMATICAMENTE 51
- Quantas cores o jogador 1 escolheu que estão certas mas no lugar errado? (Neste
caso foi só uma também, a verde.)
Para cada peça naquela linha que tem a cor certa no lugar certo, o jogador 2 marcará
uma peça marrom. Para cada peça naquela linha que tem a cor certa mas no lugar
errado, o jogador 2 marcará uma peça cinza.
IMPORTANTE: Na hora de marcar, sempre se começa da esquerda, não marcando
no lugar que está a cor correta, por exemplo:
Não marcar assim:
(Pensando em colocar o marrom no segundo, pois o jogador 1 acertou o laranja na segunda
e o marrom na terceira pois é o verde que está na terceira que está certo no lugar errado.)
Mas marcar assim:
Sempre começando da esquerda a marcação.
Agora o jogador 1 deve fazer sua segunda jogada, usando as informações que ele
recebeu. Ou seja, por tentativa, tentar descobrir qual é a cor que está certa no lugar
certo, ou tentar colocar a que estava no lugar errado agora no lugar certo, ou ainda tentar
descobrir qual a cor que está totalmente errada pra daí mudar as peças de lugar.
12.3 Analisando o jogo matematicamente
- Quantas senhas diferentes são possíveis formar no jogo?
Como a ordem das cores da senha altera a senha, ou seja, há senhas diferentes com
as mesmas cores, logo a contagem de senhas recaí em um problema de arranjo. Assim
temos o número total de senhas dado por: Arranjo de 3 em 5
5!
(5− 3)!
=
5!
2!
=
5 · 4 · 3 · 2 · 1
2 · 1
= 5 · 4 · 3 = 60 senhas diferentes
52 CAPÍTULO 12. JOGO DA SENHA
Parte IV
Matrizes
53
Capítulo 13
Matrizes
Com frequência encontramos em jornais e revistas por exemplo, informações numéricas
organizadas na forma de tabelas, com linhas e colunas, como segue no exemplo a seguir:
Tabela 1: Produção de grãos (em milhares de toneladas) de um determinado estado
durante o ano de 2007:
soja feijão arroz milho
Região A 2900 200 420 680
Região B 720 350 720 90
Região C 1030 120 550 800
Tabela 2: Produção de grãos (em milhares de toneladas) de um determinado estado
durante o ano de 2008:
soja feijão arroz milho
Região A 4800 100 220 20
Região B 2100 150 300 300
Região C 2000 120 550 700
Se quisermos então uma tabela que dê a produção por produto e por região nos dois
anos conjuntamente, teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas.
Então, a tabela resultante será:
Tabela 3: Produção de grãos (em milhares de toneladas) de um determinado estado
durante os anos de 2007 e 2008 conjuntamente:
soja feijão arroz milho
Região A 7700 300 640 700
Região B 2820 500 1020 390
Região C 3030 240 1100 1500
Essa terceira tabela foi obtida através de:
55
56 CAPÍTULO 13. MATRIZES
 2900 200 420 680720 350 720 90
1030 120 550 800
+
 4800 100 220 202100 150 300 300
2000 120 550 700
 =
 7700 300 640 7002820 500 1020 390
3030 240 1100 1500

Ou seja, somamos os elementos correspondentes de cada tabela (dos anos de 2007 e
2008).
Podemos considerar agora que devido a pesquisas climáticas, estima-se que a produção
do ano de 2009 seja o dobro da produção da resultante dos dois anos anteriores. Assim:
2
 7700 300 640 7002820 500 1020 390
3030 240 1100 1500
 =
 15400 600 1280 14005640 1000 2040 780
6060 480 2200 3000

Esse tipo de tabela que foi construído para obter os resultados da produção dos anos
de 2007 e 2008 conjuntamente e a estimativa da produção de 2009 é chamado de matriz.
Diremos que uma matriz é i× j se ela apresenta i linhas e j colunas.
13.1 Propriedades de Operações com Matrizes
13.1.1 Adição e Subtração
Como já visto, para somar duas matrizes, basta somar os elementos correspondentes,
como já visto no primeiro exemplo. Porém, essa soma só será válida se as duas (ou mais)
matrizes em questão tenham o mesmo número de linhas e colunas. Assim, não é possível
somar a matriz A com a matriz B, se
A =
 1 3 72 5 0
0 2 1
 e B =
 2 8 0 51 4 0 3
2 2 4 1

Já no caso de C e D duas matrizes 3x3 conforme a seguir, existe a matriz C +D, que
também é uma matriz 3x3
C =
 0 2 1−1 3 0
2 −2 0
 e D =
 1 3 −4−2 1 0
0 −1 0

Assim, sendo M e N duas matrizes quaisquer de mesmo “tamanho”, ou seja, mesmo
número de linhas e colunas, M +N e M −N terão o mesmo “tamanho” também.
Observação 13.1. O processo para realizar a subtração de matrizes é o mesmo para a
soma. Segue um exemplo: 3 −1 √27 −2 0
−1 π 5
√
3
−
 −3 1 20 −1 1/3
7
√
π 2
√
3
 =
 6 −2 √2− 27 −1 −1/3
−8 π −
√
π 3
√
3

13.1. PROPRIEDADES DE OPERAÇÕES COM MATRIZES 57
13.1.2 Multiplicação por Escalar
Para multiplicar uma matriz por um escalar, multiplicamos cada elemento da matriz pelo
escalar em questão como o exemplo da estimativa da produção de 2009.
13.1.3 Produto de Matrizes
Seja A uma matriz m × n e B uma matriz p × q. Existirá o produto entre essas duas
matrizes se n = p. A nova matriz A · B será da forma m × q, ou seja, apresentará m
linhas e q colunas. Apresentaremosagora o método para a multiplicação de duas matizes
A e B através de um exemplo. Sejam
A =
 1 3−2 2
0 4
 e B = [ −2 1 0 3−1 5 −4 4
]
Dessa maneira,
A ·B =
 1 · (−2) + 3 · (−1) 1 · 1 + 3 · 5 1 · 0 + 3 · (−4) 1 · 3 + 3 · 4(−2) · (−2) + 2 · (−1) (−2) · 1 + 2 · 5 (−2) · 0 + 2 · (−4) (−2) · 3 + 2 · 4
0 · (−2) + 4 · (−1) 0 · 1 + 4 · 5 0 · 0 + 4 · (−4) 0 · 3 + 4 · 4

A ·B =
 −5 16 −12 152 8 −8 −4
−4 20 −16 16

Observação 13.2. Perceba que, apesar de existir a matriz A ·B, como mostrado acima,
a matriz B ·A não existe. Porém, sempre que duas matrizes tiverem o mesmo número de
colunas e linhas, existirá tanto A ·B quanto B ·A, mas isso não significa que A ·B = B ·A.
Observação 13.3. Dadas duas matrizes A e B, diremos que A = B se cada elemento
da matriz A for igual ao seu correspondente na matriz B.
58 CAPÍTULO 13. MATRIZES
Capítulo 14
Probabilidades
A teoria de probabilidades passou a ser mais estudada na história com o surgimento
dos jogos de azar. Hoje é um ramo da Matemática muito importante e é usado em vários
ramos, como Economia, Genética, Marketing, entre outros. Vamos ver as propriedades
principais das probabilidades através de exemplos.
Exemplo 14.1. Uma roleta de cassino tem 37 números (de 0 a 36). Se você apostou no
número 28, qual é a chance de você ganhar?
Intuitivamente, sabemos que essa probabilidade é de 1/37. Vamos ver como escreve-
mos isso matematicamente.
Chamamos o conjunto Ω = {0, 1, 2, 3, . . . , 35, 36} dos possíveis resultados de espaço
amostral e qualquer subconjunto E de Ω de evento. Então a probabilidade de ocorrer
o evento E é o número de elementos do evento (casos favoráveis) dividido pelo número
de elementos do espaço amostral Ω (casos possíveis). Escrevemos isso como:
p(E) =
n(E)
n(Ω)
Qual é a probabilidade de você ganhar na roleta, se você apostou:
• em todos os números pares (a regra da roleta não considera 0 como número par ou
ímpar)?
• em todos os números primos?
• em todos os números que não são múltiplos de 3?
Exemplo 14.2. Em uma classe há 30 alunos, todos nascidos em 1993. Se forem sorteados
dois deles ao acaso, qual a probabilidade desses alunos terem nascido:
• no mesmo mês?
• em meses de número par?
• no mesmo dia da semana?
• no mesmo dia?
59
60 CAPÍTULO 14. PROBABILIDADES
Exemplo 14.3. Num programa de auditório, há uma caixa com três bolas, uma com a
letra S, outra com a letra I e a outra com a letra M. Sorteando as bolas, sem reposição,
deseja-se formar a palavra SIM. Para cada letra na posição correta da palavra, o parti-
cipante ganha R$ 200,00. No caso de as bolas terem sido sorteadas na ordem ISM, por
exemplo, ganha-se R$ 200,00 Qual é a chance do participante ganhar:
• R$600,00?
• R$400,00?
• R$200,00?
• R$0,00?
Se fizermos o sorteio das bolas com reposição, a chance de ganhar o prêmio máximo é
maior?
Um evento que tem 100% de chance de ocorrer chama-se evento certo. Um evento
que tem 0% de chance de ocorrer chama-se evento impossível.
Exemplo 14.4. Para jogar na Mega-Sena, marca-se pelo menos seis números na cartela
numerada de 00 a 59. Para ganhar algum prêmio, é necessário que entre os seis números
sorteados, pelo menos quatro deles sejam iguais aos que foram escolhidos pelo apostador.
O prêmio máximo vai para quem acertar os seis números. Qual é a chance de ganhar o
prêmio máximo apostando em
• seis números?
• sete números?
• oito números?
O valor da aposta em seis números é de R$2,00 e em sete número esse valor vai
para R$14,00. Você sabe como é calculado esse valor? Apostando em sete números,
paga-se o valor de quantos jogos de seis números podem ser feitos. Assim, com sete
números podemos fazer C67 = 7, ou seja, pagamos por sete apostas em seis núemros
(7×R$2, 00 = R$14, 00).
Quanto custaria uma aposta na Mega-Sena em que foi apostado em todos os números?
Quantos números têm uma aposta em que há 50% de chance de acertar:
• quatro números?
• seis números?
Quanto custariam essas apostas?
Exemplo 14.5. Num grupo de 12 alunos , 4 usam óculos. Sorteando-se 5 deles, sem
reposição, qual é a chance de no grupo haver:
61
• exatamente duas pessoas que usam óculos?
• pelo menos duas pessoas que usam óculos?
Se o primeiro aluno sorteado usa óculos, qual é a chance de que no grupo final de 5
alunos
• exatamente duas pessoas que usam óculos?
• pelo menos duas pessoas que usam óculos?
62 CAPÍTULO 14. PROBABILIDADES
Capítulo 15
Cadeias de Markov1
Muitos processos naturais são estudados a partir de aproximações em que a passagem
de um estado para outro ocorre segundo uma probabilidade. Se a probabilidade de
transição para o próximo estado depende apenas da situação corrente do fenômeno, o
processo de chama de processo de Markov e uma sequência de estados envolvendo
estes processos é chamada de cadeia de Markov. As probabilidades calculadas com
este processo fornecem, a longo prazo, apenas aproximações, visto que é muito comum
que nos processos estudados as probabilidades mudem ao longo do tempo. Vamos ver
um exemplo de aplicação deste processo:
Suponha que, numa determinada região, observa-se que se chover bastante durante
o ano, a probabilidade de que chova bastante no ano seguinte é de 0,25, e que a proba-
bilidade que de faça seca é de 0,75. Ainda, se houver seca em um ano, no ano seguinte
a probabilidade de haver seca ou chuva suficiente será a mesma, de 0,50. Vamos supor
também que estas probabilidades não mudem no decorrer do tempo.
Veja que
p
(2)
C =
1
4
p
(1)
C +
1
2
p
(1)
S
p
(2)
S =
3
4
p
(1)
C +
1
2
p
(1)
S
que é o mesmo que [
p
(2)
C
p
(2)
S
]
=
 14p(1)C + 12p(1)S3
4
p
(1)
C +
1
2
p
(1)
S

Note que  14p(1)C + 12p(1)S3
4
p
(1)
C +
1
2
p
(1)
S
 =

1
4
1
2
3
4
1
2
 .
[
p
(1)
C
p
(1)
S
]
1Mais detalhes em Álgebra Linear, Boldrini/Costa, referência [6].
63
64 CAPÍTULO 15. CADEIAS DE MARKOV
Chamando de T a matriz

1
4
1
2
3
4
1
2
, temos que:
[
p
(2)
C
p
(2)
S
]
= T
[
p
(1)
C
p
(1)
S
]
Da mesma forma, vemos que as probabilidades para o terceiro ano são:[
p
(3)
C
p
(3)
S
]
= T
[
p
(2)
C
p
(2)
S
]
= T 2.
[
p
(1)
C
p
(1)
S
]
Após n anos, então:[
p
(n)
C
p
(n)
S
]
= T
[
p
(n−1)
C
p
(n−1)
S
]
= T n−1.
[
p
(1)
C
p
(1)
S
]
Se as potências da matriz T (T , T 2, T 3, . . ., T n, . . . ), se aproximam de uma matriz
fixa P , podemos prever as probabilidades para o clima dessa região a longo prazo:
[
pC
pS
]
= P.
[
p
(1)
C
p
(1)
S
]
.
Chamamos a matriz T de matriz de probabilidades de transição ou matriz
estocástica. Se a matriz de probabilidades de um processo de Markov possui alguma
potência com todos os termos não nulos, então ela é chamada de regular. Uma matriz
do tipo [
p
(n)
C
p
(n)
S
]
onde cada linha possui uma probabilidade é chamada de vetor de probabilidades. A
importância de haver uma matriz regular num processo de Markov está no teorema a
seguir:
Teorema 15.1. Se a matriz Tr×r de probabilidades de transição é regular, então:
i) Para valores cada vez maiores de n, a matriz T n se aproxima de uma matriz P .
ii) Para valores cada vez maiores de n e um vetor de probabilidades inicial V1, o vetor
de proabilidades T nV1 se aproxima de um vetor de probabilidades V .
iii) O vetor de probabilidades V dado no item anterior é o único que satisfaz V = TV
Voltando ao exemplo, temos que a primeira potência de T tem todos os termos não
nulos, logo T é uma matriz regular. O vetor de probabilidades V descrito no teorema é o
65
vetor que nos diz sobre as probabilidades a longo prazo. Podemos encontrá-lo resolvendo
a equação: [
pC
pS
]
=

1
4
1
2
3
4
1
2

[
pC
pS
]
que é equivalente a: 
pC =
1
4
pC +
1
2
pS
pS =
3
4
pC +
1
2
pS
Resolvendo esse sistema, chegamos à equação:
pS =
3
2
pC
Lembrando que
pC + pS = 1,
chegamos que pC =
2
5
e pS =
3
5
. Assim, a longo prazo, a probabilidade de um ano com
muita chuva é de
2
5
= 40% e de um ano com seca é
2
5
= 60% e, portanto, a região tende
a uma ligeira aridez.
Veja como estãoarranjados os termos da matriz T :
Chuva Seca
Chuva 1
4
1
2
Seca 3
4
1
4
66 CAPÍTULO 15. CADEIAS DE MARKOV
Capítulo 16
Exercícios1
Exercício 16.1. Um dado comum é lançado duas vezes sucessivamente. Qual é a pro-
babilidade de:
1. Ocorrer 5 no primeiro lançamento e um número par no segundo?
a) 4,16%
b) 8,33%
c) 10,50%
d) 16,66%
e) 91,66%
2. O produtos obtidos ser maior que 12?
a) 12%
b) 24%
c) 36,11%
d) 41,66%
e) 63,89%
Exercício 16.2. Na tabela seguinte está representada a distribuição por turno de todos
os alunos do curso de Matemática de uma faculdade:
Manhã Noite
Homens 20 23
Mulheres 25 12
Escolhendo ao acaso um aluno desse grupo, qual é a probabilidade de que seja:
1. Homem?
1Os exercícios 16.1 a 16.6 foram tirados da referência [13]. Os exercícios 16.7 a 16.9 são de vestibular.
67
68 CAPÍTULO 16. EXERCÍCIOS
a) 15,00%
b) 31,25%
c) 43,00%
d) 46,25%
e) 53,75%
2. Do curso diurno?
a) 37,00%
b) 43,75%
c) 45,00%
d) 56,25%
e) 63,00%
3. Mulher do Noturno?
a) 15,00%
b) 31,25%
c) 43,75%
d) 56,25%
e) 85,00%
Exercício 16.3. Em um grupo de 80 pessoas, todas de Minas Gerais, 53 conhecem o
Rio de Janeiro, 38 conhecem São Paulo e 21 já estiveram nas duas cidades. Uma pessoa
do grupo é escolhida ao acaso. Quantas pessoas não conhecem nenhuma cidade? Qual é
a probabilidade de que ela tenha visitado exatamente uma dessas cidades?
Exercício 16.4. Uma moeda é viciada de tal modo que, com ela, obter cara (H) é três
vezes mais provável que obter coroa (T). Qual é a probabilidade de se conseguir cara em
um único lançamento dessa moeda?
Exercício 16.5. Oito pessoas, incluindo um casal e seu filho, são colocadas aleatoria-
mente em fila. Qual é a probabilidade de que a família fique junta?
Exercício 16.6. Os dados da tabela seguinte referem-se a uma pesquisa realizada com
155 moradores de um bairro e revelam seus hábitos quanto ao uso de TV e internet pagas.
Só TV aberta TV paga
Internet Gratuita 76 44
Internet Paga 14 21
Um dos entrevistados é selecionado ao acaso. Qual é a probabilidade (aproximada)
de que ele use TV ou Internet pagas?
69
a) 21%
b) 44%
c) 51%
d) 63%
e) 79%
Exercício 16.7 (UFPR-2010). Em uma população de aves, a probabilidade de um ani-
mal estar doente é 1
25
. Quando uma ave está doente, a probabiliade de ser devorada por
predadores é 1
4
e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores
é 1
40
. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatóriamente,
ser devorada por predadores é de:
a) 1,0%
b) 2,4%
c) 2,5%
d) 3,4%
e) 4,0%
Exercício 16.8 (UFPR-2009). A linha de produção de uma fábrica produz milhares
de peças por dia e apresenta, em média, quatro peças defeituosas a cada cem peças
produzidas. Um inspetor de qualidade sorteia cinco peças de modo aleatório e verifica
a quantidade de peças defeituosas. De acordo com as informações acima, considere as
seguintes afirmativas:
1. A probabilidade de o inspetor encontrar no máximo uma peça defeituosa é (0, 040×
0, 965) + (5× 0, 041 × 0, 964)
2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma peça defeituosa é 1 −
(0, 040 × 0, 965)
3. É impossível o inspetor encontrar 5 peças defeituosas.
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas a afirmativa 1 é verdadeira.
b) Apenas as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
c) Apenas as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Apenas as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
70 CAPÍTULO 16. EXERCÍCIOS
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Exercício 16.9 (PUC/SP-2010). Um aluno prestou vestibular em duas Universidades.
Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto
na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe
para 40%. Nessas condições, a probabilidade de que esse aluno seja aprovado em pelo
menos uma dessas universidades é de:
a) 58%
b) 60%
c) 52%
d) 68%
e) 70%
Capítulo 17
Cubo Mágico
A história
O Cubo Mágico é um dos símbolos dos anos 80. Foi inventado pelo arquiteto e profes-
sor Ernõ Rubik na tentativa de criar um modelo para explicar geometria tridimensional.
Seu primeiro protótipo foi feito em 1974. Já foram vendidas mais de 300 milhões de
unidades do cubo mágico. Nos anos 80 foi estimado que aproximadamente um quinto da
população tenha brincado com o cubo. Ainda hoje ele é muito vendido e inspirou vários
outros brinquedos.
As combinações
Podemos calcular quantas são as posições possíveis para o Cubo Mágico. A conta
não é fácil porque temos que lidar com números grandes. O raciocínio não é difícil, mas
é necessário que saibamos algumas propriedades do cubo. O resultado é um número
difícil até de se falar: 43.252.003.274.489.856.000. Como você acha que foi calculado esse
número? Que raciocínio foi feito? Uma dica: esse número é igual a 8!.12!.37.212.
O “número de Deus”
Uma pergunta sempre instigou quem já brincou com o cubo: para uma combinação
qualquer, qual o número mínimo de movimentos para resolvê-lo? Esse número é chamado
de “número de Deus”, pois se Deus fosse resolver o cubo, o faria da maneira mais sim-
ples possível. Foi calculado em 2010 que esse número é 20, ou seja, a combinação mais
complicada do Cubo Mágico pode ser resolvida com 20 movimentos. Tendo em vista a
quantidade de combinações possíveis, foi necessário usar programas de computador para
verificar todos os casos. Um computador comum demoraria cerca de 1,1 bilhão de segun-
dos para fazer todas essas contas.
Resolvendo o Cubo
O criador do quebra-cabeça, Ernõ Rubik, demorou cerca de um mês para resolvê-lo
pela primeira vez. Existem vários métodos para resolver o cubo; os mais rápidos são os
que exigem mais memorização e treino, pois dividem a resolução em muitas partes. O
atual recorde é de 6,24 segundos.
71
72 CAPÍTULO 17. CUBO MÁGICO
Parte V
Polinômios e suas Aplicações
73
Capítulo 18
Polinômios
18.1 Introdução
A palavra “polinômios” vem do grego — poli=muitos e nômios=termos, ou seja muitos
termos ou vários monômios (mono=um, um termo)—. Já na matemática, podemos
encontrar várias definições para polinômios, desde as mais simples até as mais complexas.
Por exemplo:
Definição 18.1.1. Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes
reduzidos.
Mas a definição que usaremos aqui é a seguinte:
Definição 18.1.2. Seja p : R→ R. p é dito um polinômio de grau n se:
i) p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0;
ii) an, an−1, · · · , a1, a0 ∈ R, an 6= 0 e
iii) n ∈ N.
Exemplo 18.1.1. Diga se as expressões abaixos são polinômios e, se afirmativo, qual é
o grau (denotamos gr(p) como grau de p).
a) x2 + 3x+ 43 é um polinômio de grau 2
b) x27 − x45 + 37 + x10 + x15 + x é um polinômio de grau 45
c) x2 −
√
2 é um polinômio de grau 2
d) x2 + ix, onde i =
√
−1, não é um polinômio, pois i /∈ R
Observação 18.1.
i) O grau de um polinômio constante é zero;
ii) Por convenção1, dizemos que o grau do polinômio nulo (p(x) = 0,∀x ∈ R) é menos
infinito (−∞)
1Ver referência [10]
75
76 CAPÍTULO 18. POLINÔMIOS
18.2 Identidade de Polinômios
Sejam p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0
e q(x) = bmxm+ bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ b0, polinômios com graus n e m respectivamente.
p(x) = q(x) se, e somente se, n = m e a0 = b0, a1 = b1, · · · , am = bm.
18.3 Soma e Multiplicação
Vamos agora definir a soma e a multiplicação de dois polinômios.
Definição 18.3.1. (Soma) Sejam p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 e
q(x) = bmx
m + bm−1x
m−1 + · · ·+ b1x+ b0 com n ≥ m. Então,
p(x) + q(x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ am+1xm+1 + (am + bm)xm
+(am−1 + bm−1)x
m−1 + · · ·+ (a1 + b1)x+ a0 + b0
Ou seja,
Ao somarmos dois polinômios, agrupamos seus termos semelhantes.
Em termos de somatório, temos:
p(x) =
n∑
k=0
akx
k
q(x) =
m∑
k=0
bkx
k
para n > m, p(x) + q(x) =
n∑
k=0
akx
k +
m∑
k=0
bkx
k
=
n∑
k=m+1
akx
k +
m∑
k=0
akx
k +
m∑
k=0
bkx
k
=
n∑
k=m+1
akx
k +
m∑
k=0
(ak + bk)x
k.
para n = m, p(x) + q(x) =
m∑
k=0
akx
k +
m∑
k=0
bkx
k
=
m∑
k=0
(ak + bk)x
k.
Exemplo 18.3.1. Some os polinômios a seguir: