Equação do 2o grau + Função

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Módulo 2 - Aula 5: Equação do 2o grau 
 
 
1 André Luiz Arruda Marques 
1. Forma geral da equação do 2o grau: 0cbxax2 =++
 
2. Solução da equação: 
a2
ac4bb
x
2 −±−
= 
Observações: 
i - Equações incompletas na forma podem ser resolvidas diretamente por fatoração. 0bxax2 =+
ii - Equações incompletas na forma podem ser resolvidas diretamente isolando o x. 0cax2 =+
 
3. Discriminante (delta) : Δ
De acordo com o valor do discriminante , têm-se os seguintes casos quanto à natureza das raízes da 
equação . 
ac4b2 −=Δ
0cbxax2 =++
3.1. ⇒>Δ 0 Existem duas raízes reais e distintas. 
3.2. ⇒=Δ 0 Existem duas raízes reais e iguais (raiz dupla). 
3.3. ⇒<Δ 0 Existem duas raízes reais e imaginárias. 
 
4. Coeficientes e raízes: 
4.1. Soma das raízes: 
a
b
xxS 21 −=+= 
4.2. Produto das raízes: 
a
c
xxP 21 =⋅= 
4.3. Equação a partir das raízes: 0PSxx2 =+−
 
4.4. Decomposição da equação: )xx)(xx(acbxax 21
2 −−=++
5. Equações biquadradas: 0cbxax 24 =++
 
5.1. Solução da biquadrada: 
Através da substituição a equação se transforma em . Que será resolvida 
através do método tradicional. 
yx2 = 0cbxax 24 =++ 0cbyay2 =++
 
6. Ponto de máximo ou mínimo (vértices) 
6.1. Para calcular a abscissa do ponto V faremos: xv = 2
xx 21 + = 
2
a/b−
 = 
a2
b−
, logo: xv = a2
b−
 
6.2. Para calcular a ordenada do ponto V faremos: yv = f(xv), logo: yv = a4
Δ−
 
 
7. Análise gráfica: 
 
7.1. Raízes: 
As raízes ou soluções da equação são os pontos onde o gráfico corta o eixo x e assume valor zero, por isso também 
chamados de zeros da equação. 
 
Ex: y = x2 - 4x + 3 
O gráfico corta o eixo do x nos pontos onde x = 1 e x = 3, como na figura ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 André Luiz Arruda Marques 
7.2. Discriminante e coeficiente do termo em 2o grau (a): 
 
 
 
⇒>Δ 0 
 
 
 
 
 
 
 
⇒=Δ 0 
 
 
 
 
 
 
 
⇒<Δ 0 
 
 
 
7.3. Interseção com o eixo Y: 
Em todo eixo y, x = 0. Logo para descobrir o ponto onde a função corta o eixo y basta substituir em y = ax2 + bx + c, o 
valor de x por zero. Desta forma teremos: y = a.0 + b.0 + c → y = c 
 
 
7.4. Vértice. 
 
xv = a2
b− ; yv = a4
Δ−
 
 
 
 
 
7.5. Imagem da parábola 
i - (a > 0) O menor valor de Y é dada no vértice da parábola. Logo, a imagem da função é: ⎢⎣
⎡
⎢⎣
⎡
+∞
Δ−
;
a4
 
Neste caso Yv recebe o nome de mínimo e Xv o de minimante. 
 
ii - (a < 0) O maior valor de Y é dado no vértice da parábola. Logo, a imagem da função é: ⎥⎦
⎤
⎥⎦
⎤ Δ−
∞−
a4
, 
Neste caso Yv recebe o nome de máximo e Xv o de maximante. 
 
EXERCÍCIOS: 
1. Resolver as equações numéricas: 
a) 5x2 = 0 
b) x2 + x = 0 
c) 4x2 - x = 0 
d) x2 + 1 = 0 
e) 5x2 - 3(x2 - 1) = 2x + 3 
f) 9x2 - 5(x - x2) = 2x 
g) 0
3
x
2
1x 622
=−
+ +
 
h) 
3
xx
x
2
xx 22 −
−=
−
 
i) m2 - 6m + 9 = 0 
j) z2 - z - 12 = 0 
k) (x + 2)2 + x = 0 
l) 3x2 - 2(x - 1)2 = 3 
m) 
2
1
 1
3
1x
2
2x2
=
−
−
+
 
n) x2
2
12x
2
x2
=
+
− 
o) 0
2
2x
3
4x2
=
−
−
−
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2. Resolver as equações literais: 
a) ax2 = 0 
b) mx2 - x = 0 
c) mx2 - ax - bx = 0 
d) x2 - 3mx + 2m2 = 0 
e) mkx2 - (m + k)x + 1 = 0 
f) (x - a)2 = a(x + 5a)
 
3. Calcule a menor raiz da equação px2 + px + 2 = 0, sabendo que, se subtrairmos uma unidade do valor de p 
obteremos uma nova equação do 2o grau, cujas raízes são iguais. 
 
4. Que valores de deverão atribuir a m, na equação x2 + mx + 8 = 0, para que uma das raízes seja o dobro da outra? 
 
5. Qual a resposta que você aceitaria de seu professor para a expressão 
b
1
a
1
+ , sendo a e b as raízes da equação 
x2 - 4x + 12 = 0? 
(a) 3 (b) -3 (c) 
3
1
 (d) 
3
1
− (e) impossível calcular 
6. Determine os zeros das funções: 
a) y = x2 - 3x + 2 b) y = x2 - 2x - 1 
c) y = x2 - 2 x + 1/2 d) y = x2 + (1 - 3 )x - 3 
 
7. Determinar os valores de m para que a função quadrática tenha dois zeros reais e distintos: 
f(x) = (m - 1)x2 + (2m + 3)x + m 
 
8. Determinar os valores de m para que a função do 2o grau possua raízes reais: 
(m + 2)x2 + (3 - 2m)x + (m - 1) = 0 
 
9. Determinar os valores de m para que a função do 2o grau possua duas raízes reais e iguais: 
x2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) = 0 
 
10. Determinar os valores de m para que a função não tenha zeros reais: 
f(x) = (m + 1)x2 + (2m + 3)x + (m - 1) 
 
11. Na equação do 2o grau 2x2 - 5x - 1 = 0, de raízes x1 e x2, calcular: 
a) x1 + x2 b) x1x2
c) 
21 x
1
x
1
+ d) (x1)2 + (x2)2
e) 
1
2
2
1
x
x
x
x
+ f) (x1)3 + (x2)3
 
12. Se a equação do 2o grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, admite as raízes reais não nulas x1 e x2, obter a equação de 
raízes: 
a) (x1)2 e (x2)2 b) 
21 x
1
 e 
x
1
 
c) 
1
2
2
1
x
x
 e 
x
x
 d) (x1)3 e (x2)3
 
13. Determinar o valor de m na função real f(x) = -3x2 + 2(m - 1)x + (m + 1) para que o valor máximo seja 2. 
 
14. Determinar o valor de m na função real f(x) = (m - 1)x2 + (m + 1)x - m para que o valor mínimo seja 1. 
 
15. Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo. 
 
16. Dentre todos os números reais x e z, tais que 2x + z = 8, determine aqueles cujo produto é máximo. 
 
17. Determinar a imagem das funções quadráticas definidas nos reais: 
a) y = x2 - 3x 
b) y = -x2 + 4 
c) y = -3x2 - 9x + 6 
d) y = -4x2 + 8x + 12