Exercícios de Números Complexos

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Cálculo Avançado A - Números Complexos 
 
 1 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
1) Efetue as operações: 
a) ( ) ( ) ( )j1j2j1 −−+ b) 
j13
j1352
j32
j812 +
+
−
+
 c) 
( )2j1
j1
−
+
 
d) 
( )
( )jzIm
zRej
 e) ( )( )
2
j35j41
34






+−
 f) ( )16j1 − 
2) Calcule as seguintes expressões: 
a) ( )( )( )3j2j6j43 −++ 
b) 
( )( )
j64
j73j1
+
++
 c) 
( )( )
j67
1
j24
j24j76
+
−
+
−+
 
3) Calcule as seguintes expressões usando a forma polar: 
a) ( ) ( )j333j232 −+ b) 
j232
j388
+
+
 
c) )j33(
12
sinj
12
cos2 +










 π+
π
 d) 
2
j22
j344








+
+
 
e) ( )jj − f) 




 −−




 +− j3
6
1
6
1
3
2
3
j
2
3
 g) 
2
3
2
1 j
1
+−
−
 
4) Calcule: 
a) ( )53j44 + b) ( )6j232 + 
c) 
6
j10310
j55








+
+
 d) 
3
j66
j636
−








+
+
 
5) Calcule as seguintes expressões: 
a) 3 8z −= b) 3 jz −= 
6) Encontre todas as raízes de 0192z3 6 =+ . 
7) Encontre todos os valores reais de x de forma que ωseja um número imaginário puro, onde 
( ) ( ) ).j43x(jx −+−=ω 
8) Se 0a ≠ , b e c são números complexos, mostre, por substituição direta, que a equação 
quadrática 0cbzaz 2 =++ é verificada por: .
a2
ac4bb
z
2 −+−
= 
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 2 
9) Usando a fórmula acima, resolva a equação: 
a) 03zj2z 2 =++ , b) 0j10z3jz2 =+− , 
c) 016z17z 48 =+− , d) 03z2jz2 =+− . 
10) Encontre o valor de z tal que 
( )
( ) ( ) ( )
.
j3j2j1
j22j5
z
−−−
+
= 
11) Sendo 2
2
2
2 j+ uma das raízes quartas de um número, determine as outras três. 
12) Encontre todas as soluções complexas possíveis para as equações abaixo: 
a) 0je5 jz =+ b) ( ) 0jzzj1z 35 =−−− 
c) ( ) 03jzhsen =+ d) 0z8z7z 47 =−− 
e) ( ) ( ) 0z2cosh3z2senh =+ f) 0j64z3 =+ 
g) 0jee zz3 =+ − h) 08z7z 36 =−+ 
i) 0zsenh2zcosh =+ j) ( ) 064ze 62z =+− 
k) 01e 3z =−− l) 0z729z 7 =+ 
m) 02z3z 24 =+− n) 0eje zz5 =+ − 
o) ( )( )( ) 08zjzj2z 32 =−−−+ p) 081z 4 =+ 
q) 0e2)zcosh( z =+ r) 01e3 1z2 =−− 
13) Determine o módulo e o argumento de jzz4
2
e − . 
14) Encontre ( ).zsenhRe 
15) Encontre .eIm
2z 




 
16) Encontre Re(cosh z). 
17) Encontre ( ).eIm z/1 : 
18) Seja x um número real e w um número complexo. Encontre os valores reais de x e os valores 
correspondentes de w de forma que ( ) ( )[ ]j43xjxw −+−= seja um número real. 
 
Respostas: 
Exercício 1: a) j24 − ; b) 1; c) j
2
1
2
1
+− ; d) j e) j2 ; f) 256 . 
Exercício 2: a) 35; b) 2 ; c) 1. 
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 3 
Exercício 3: a) j12312 − ; b) j232 + ; c) ( )3j123 + ; d) j434 + ; e) 1; f) 1; g) 3j
2
1
2
1
+ . 
Exercício 4: a) 3j1638416384 − ; b) –4096; c) j
512
1
; d) j
4
1
4
1
+ . 
Exercício 5: a) ;3j1z,2z,3j1z 210 −=−=+= b) .2
j
2
3
z,
2
3
z,jz 22
j
10 −=−−== 
Exercício 6: j3z,j2z,j3z,j3z,j2z,j3z 543210 −=−=−−=+−==+= . 
Exercício 7: .4xou1x −== 
Exercício 9: a) A solução é: j3zejz −== ; b) A solução é: j5zej2z −== ; c) A solução 
é: jz,1z,j2z,2z ±=±=±=±= ; d) j1
2
6
2
2
z,j1
2
6
2
2
z 







+−
−
=







−+= . 
Exercício 10: j1z −−= . 
Exercício 11: 
2
2
j
2
2
z,
2
2
j
2
2
z,
2
2
j
2
2
z −=−−=+−= . 
Exercício 12: a) 5lnjk2
2
3
z +π+
π
= ; b) 1z,
2
2
j
2
2
z,0z ±=





−±== ; c) j3kz +π= ; 
d) 
2
3
j
2
1
z,1z,j31z,2z,0z ±=−=±−=== ; e) 




 π
+
π
+−=
2
k
4
j2ln
4
1
z ; 
f) j232z,j4z −±== ; g) 




 π+
π
=
2
k
8
3
jz ; h) 3j1z,2z,
2
3
j
2
1
z,1z ±=−=±−== ; 
i) jk3nl
2
1
z π+−= ; j) j2z,j3z,j3z ±=±−=±= ; k) π+= k2j3z ; 
l) ( ) ( ) j3z,j3
2
3
z,j3
2
3
z,0z ±=±−=±== ; m) 1z,2z ±=±= ; n) 




 π+
π
=
3
k
4
jz ; 
o) 
2
3
2
j
1z,j31z,2z ±+−=±−== ; p) ( )j1
2
23
z ±±= ; q) π




 ++−=
2
1k2
j5lnz ; 
r) π+
−
= jk
2
3ln1
z . 
Exercício 13: yy4x4jzz4
222
ee +−− = ; xxy8earg jzz4
2
−=




 − . 
Exercício 14: ycosxsenh . 
Exercício 15: ( )xy2sene
22 yx − . 
Exercício 16: ycosxcosh . 
Exercício 17: 








+
−+
22 yx
y
sene
2y2x
x
. 
Exercício 18: 
25
136
,
5
3
x −=ω−= .