Gabarito Exercicios Matemática Univesp27-28

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MateMática
exercícios das aulas 27-28
aula 27
ExErcício 1
Há infinitas possibilidades de dividirmos o número 4 em 
duas partes. Algumas delas são bem óbvias como, por 
exemplo, 2 e 2 ou 1 e 3, e outras, nem tanto, como 2,5 
e 1,5 ou 1 + 2  e 3 – 2 .
Qual é, entre todas as infinitas possibilidades, aquela 
em o produto das partes é igual a 5?
ExErcício 2 
Resolva as equações considerando o conjunto dos nú-
meros complexos.
a. x2 – 6x + 10 = 0
b. x2 + 16 = 0
c. x2 + x + 1 = 0
Matemática / Exercícios das aulas 27–28 2
ExErcício 3 
Quais das seguintes afirmativas são verdadeiras?
a. Todo número complexo é também um número real.
b. Um número inteiro qualquer, positivo ou negativo, é também um 
número complexo.
c. Há números racionais que não pertencem ao conjunto dos números 
complexos.
d. Os números irracionais não podem ser obtidos a partir da divisão de 
dois números racionais.
e. Há números complexos que não são reais.
f. Não há número real que não seja complexo.
ExErcício 4
Em quais condições o número complexo z = (m + 2) + (8 – 2n)i, onde i é a 
unidade imaginária, e m e n são reais, é um número:
a. Real?
b. Imaginário puro?
aula 28
ExErcício 1
Represente no plano de Argand-Gauss os afixos dos seguintes números 
complexos, desenhando, inclusive, o vetor que podemos traçar para re-
presentar cada um deles.
v1  =  - 4i      v2  =  - 2 + i      v3  =  -1 - 2i      v4  =  3 - i 
ExErcício 2
Considere o número complexo w = 3 – 2i. Verifique que na multiplicação 
desse número pela unidade imaginária, i, o vetor que representa o núme-
ro resultante pode ser compreendido como uma rotação de 90º do vetor 
que representa w.
Matemática / Exercícios das aulas 27–28 3
ExErcício 3
No plano complexo representamos o afixo do número v = – 2 + 2i e o 
vetor que podemos associar a esse número. 
eixo real
ei
xo
 im
ag
in
ár
io
v
2
1
-2 -1
a. Qual é a medida do ângulo que esse vetor forma com a orientação 
positiva do eixo real?
b. Qual é o comprimento desse vetor?
c. Escreva o número w tal que w = i . v .
d. Qual a medida do ângulo que w forma com a orientação positiva do 
eixo real?
ExErcício 4
Escreva na forma trigonométrica o número z = –1 + 1.
ExErcício 5
Qual é o número complexo, escrito na forma algébrica, que se obtém 
após elevar o número v, representado ao lado no plano de Argand-Gauss, 
à 5ª potência?
eixo real
ei
xo
 im
ag
in
ár
io
v
|v| = 2
60o
Matemática / Exercícios das aulas 27–28 4
ExErcício 6
Observe o desenho representando 3 números complexos z, u e w, e os 
valores de seus respectivos módulos. 
eixo real
ei
xo
 im
ag
in
ár
io
u
60o
α
|z| = 2
|u| = 4
|w| = 6
z30o
v
a. Por qual número complexo x devemos multiplicar z a fim de obter u?
b. Por qual número complexo x1 devemos multiplicar z para obter w?
c. Por qual número complexo x2 devemos multiplicar u para obter w?
5Matemática / Exercícios das aulas 27–28
gabarito
aula 27
ExErcício 1
Para responder a essa questão denominaremos uma das partes de a e a 
outra de b. Com isso escreveremos o sistema:
 a + b = 4 ( I )
 a . b = 5 ( II )
Isolando a na equação ( I ) e substituindo na equação ( II ), teremos:
(4 - b) . b  =  5  ⇒   - b2 + 4b - 5  =  0
Aplicando a fórmula de Báskara para equações do segundo grau:
b  =   - 4 ± 
42 - 4 . (-1) . (-5)
- 2
  =   - 4 ± 
-4
- 2
  =   - 4 ± 
(4) . (-1)
- 2
b  =   - 4 ± 2 
-1
- 2
  =  2 ±  -1
Para b = 2 – -1 , teremos para a:
a  =  4 - (2 -  -1 )   =  2 +  -1
Assim, uma das possibilidades de resposta para o sistema é:
a   =  2 +  -1   e  b  =  2 -  -1 ,
Para b = 2 + -1 , teremos outro valor para a:
a  =  4 - (2 +  -1 )  =  2 -  -1
Portanto, a outra possibilidade de resposta para o sistema é:
a  =  2 - -1   e  b  =  2 +  -1 ,
Os pares de números que formam a resposta, nesse caso, são núme-
ros complexos, pois envolvem a raiz quadrada de um número negativo. 
6Matemática / Exercícios das aulas 27–28
Esses números respeitam as condições do problema, isto é, a + b = 4 e 
a . b = 5. Observe:
a + b  =  2 -  -1  + 2 +  -1   =  4
a . b  =  (2 - -1 ) . (2 +  -1 )  =  4 + 2 -1  - 2 -1  - ( -1 )2  =  4 - (-1)  =  5
Adotando a notação criada por Leonard Euler, i2 = –1, temos que os nú-
meros procurados são: 2 + i e 2 – i.
ExErcício 2 
a. Vamos resolver essa equação por fatoração, completando o quadra-
do perfeito.
x2 - 6x + 10  =  0
x2 - 6x   =  - 10
x2 - 6x + 9  =  - 10 + 9
(x - 3)2  =  - 1
   x - 3  =  ±  -1   ⇒  x  =  3 ± i
Resposta: S = { 3 + i, 3 – i}.
b. Temos uma equação incompleta que resolveremos isolando a incóg-
nita.
x2 + 16  =  0
x2  =  - 16
  x  =  ±  -16  ⇒  x  =  ±  16  .  -1   ⇒  x  =  ± 4i
Resposta: S = {– 4i, + 4i}.
c. Aplicaremos a fórmula de Bháskara: 
 
x2 + x + 1  =  0
a  =  1, b  =  1, c  =  1
x  =  
- 1 ±  12 - 4 . 1 . 1
2 . 1
x  =  
- 1 ±  -3
2
  ⇒  -  1
2  
±
 
3
2  
i
7Matemática / Exercícios das aulas 27–28
Resposta: S =  - 1
2
 +
 
3
2  
i, - 1
2
 -
 
3
2  
i 
 
.
ExErcício 3
a. Afirmativa falsa, porque existem números complexos que não são 
reais como, por exemplo, 2 + 3i.
b. Afirmativa verdadeira, uma vez que o conjunto dos números reais 
está contido no conjunto dos números complexos. Logo, todo núme-
ro real é também um número complexo com parte imaginária nula. 
Isto é, z = a + bi com b = 0 é um número real e também complexo.
c. Afirmativa falsa, pois todo número racional é um número real e, 
também, é um número complexo.
d. Afirmativa verdadeira, pois os números que podem ser obtidos por 
divisões entre dois racionais, desde que o divisor não seja nulo, se-
rão números racionais e, portanto, não serão irracionais.
e. Afirmativa verdadeira, pois há complexos que não são reais como, 
por exemplo, 3 + 2i. 
f. Afirmativa verdadeira, pois todo número real é também complexo, 
conforme assinalado na afirmativa b.
ExErcício 4
a. Para que esse número seja real é preciso que sua parte imaginária 
seja nula. Neste caso, teremos:
8 - 2n  =  0  ⇒  n  =  4
Para n = 4 o número z fica:
z  =  m + 2
que é real para qualquer valor real de m.
b. Para que esse número seja imaginário puro é preciso que sua parte 
real seja nula e sua parte imaginária não seja nula. Assim, teremos:
m + 2  =  0  e  8 - 2n ≠ 0
m  =  - 2  e  n ≠ 4
8Matemática / Exercícios das aulas 27–28
Portanto, z será imaginário puro quando m = – 2 e n ≠ 4.
aula 28
ExErcício 1
Os afixos e os vetores foram representados no plano seguinte:
2
3
2
-1
-3
-4
v3: (-1,-2)
v1: (0,-4)
v4: (3,-1)
1
-2
-2
-1
3
-3 eixo real
v2: (-2,1)
ei
xo
 im
ag
in
ár
io
ExErcício 2
Denominaremos w1 o número resultante do produto w . i .
w1  =  w.i
w1  =  (3 - 2i).i  =  3i - 2i
2
 w1  =  3i - 2.(-1)  =  3i + 2
w1  =  2 + 3i
Representamos w e w1 no plano complexo.
9Matemática / Exercícios das aulas 27–28
β-1
-2
3
2
1
eixo real
ei
xo
 im
ag
in
ár
io
(2,3)
(3,-2)
1 2 3
α
β
α
Observe pelo desenho que os triângulos assinalados são congruentes 
pois possuem lados correspondentemente congruentes. 
Assinalamos os ângulos α e β nos dois triângulos e podemos perceber 
que α + β = 90º e que, portanto, o vetor correspondente a w = 3 – 2i, 
em rotação de 90º no sentido anti-horário, coincidirá com o vetor corres-
pondente a w1 = 2 + 3i. 
Portanto, ao multiplicarmos o número w pela unidade imaginária (i), o 
vetor que o representa sofre uma rotação de 90º em torno da origem, no 
sentido anti-horário, vindo a coincidir com o vetor que representa w.i.
ExErcício 3 
a. O vetor que representa o número v = – 2 + 2i forma com o eixo 
horizontal a orientação positiva do eixo real um ângulo de 135°, re-
sultado da adição entre 90° e 45°.
b. O comprimento do vetor ou, em outras palavras, o módulo do vetor, 
pode ser obtido pela aplicação do teorema de Pitágoras, fazendo 
22 + 22 = |v|2, de onde resulta |v| = 2 2 .
c. O número w tal que w = iv é i(–2 + 2i) = –2 – 2i. 
Portanto, w = –1 – 2i.
d. O vetor que representa o número w pode ser obtido a partir de uma 
rotação de 90° do vetor que representa v.Isto porque w = iv e a 
multiplicação pela unidade imaginária produz uma rotação de 90° 
no sentido anti-horário. Logo, o ângulo que o vetor que representa 
w forma com a orientação positiva do eixo real é 135° + 90° = 225°.
ExErcício 4
O vetor associado ao número complexo coincide com a bissetriz do tercei-
ro quadrante. Logo, θ = 45o + 90o = 135o.
10Matemática / Exercícios das aulas 27–28
ei
xo
 im
ag
in
ár
io
eixo real
90o
45o
|z|
1
1
-1
1
O valor de |z| é:
|z|  =  12 + 12   =   2
Substituindo os valores encontrados para o argumento principal e módu-
lo na forma trigonométrica, temos:
z  =   2  ( cos 135o + i sen 135o)
ExErcício 5
O número v, escrito na forma trigonométrica é:
  v  =  2 ( cos 60º + i sen 60º)
Calcular v5 significa multiplicar v por ele mesmo, 5 vezes. Nesse caso, o 
módulo de v será elevado a 5 e o argumento, 60º, será adicionado a ele 
mesmo 5 vezes, resultando em 300º. Assim, 
v5  =  25.[(cos (5.60º) + i sen (5.60º)]  =  32(cos 300º + i sen 300º)
Sabendo que:
  cos 300º  =  cos 60º  =   1
2
      sen 300º  =  - sen 60º  =  -  3
2
, 
temos:
v5  =  32 (cos 300º + i sen 300º)  =  32  1
2
  -  3
2  
i   =  16 - 16  3 i
Portanto, v5 = 16 – 16 3 i.
11Matemática / Exercícios das aulas 27–28
ExErcício 6 
a. O vetor associado a u sofreu rotação de 60º quando comparado à dire-
ção do vetor associado a z. O módulo de u é o dobro do módulo de z. 
Podemos afirmar que z foi multiplicado pelo seguinte número 
complexo x para obter u:
  x  =  2(cos 60º + i sen 60º)  =  1 +  3 i
b. O vetor associado a w sofreu rotação de 90º quando comparado com 
a direção do vetor associado a z. O módulo de w é o triplo do módulo 
de z. 
Podemos afirmar que z foi multiplicado pelo seguinte número 
complexo x1 para obter w:
  x1  =  3(cos 90º + i sen 90º)   =  3i
c. O vetor associado a w sofreu rotação de 30º quando comparado 
com a direção do vetor associado a u. O módulo de w é 1,5 vezes o 
módulo de u. Resposta: o número complexo u foi multiplicado pelo 
seguinte número complexo x2 para obter w:
  x2  =  1,5 . (cos 30º + i sen 30º)  = 
3  3
4
 + 
3
4  
i