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Unidade 4:Tópico 2
IDENTIFICAR O AXIOMA: INTERPRETAR AS INFERÊNCIAS E OS AXIOMAS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
O AXIOMA
O objetivo deste tópico é familiarizar você com novos tipos de declarações, os axiomas e os teoremas.
Pode não parecer à primeira vista, mas eles fazem parte de nosso dia a dia. A todo o momento, formulamos teoremas e nos apoiamos em axiomas.
Duvida? Então, leia o conteúdo que se segue.
Os axiomas podem chamar-se também noções comuns e, muitas vezes, podem ser confundidos com teoremas. A Matemática, porém, faz distinção entre axiomas e teoremas. Os primeiros são enunciados primitivos (por vezes chamam-se também postulados) aceites como verdadeiros sem provar a sua validade; os segundos são enunciados cuja validade se submete à prova. Axiomas e teoremas são, portanto, elementos integrantes de qualquer sistema dedutivo. Usualmente, a definição do conceito de teorema requer o uso do conceito de axioma (bem como o uso dos conceitos de regra de inferência e de prova), enquanto o conceito de axioma se define por enumeração.
Dá-se o nome de axioma a uma verdade irrefutável. Esse tipo de afirmativa é frequentemente verificada no pensamento lógico matemático. É uma verdade aceita sem demonstração.
Originariamente, o termo "axioma" significa "dignidade". Por derivação, chamou-se "axioma" a "aquilo que é digno de ser estimado, acreditado ou valorizado"; assim, na sua acepção mais clássica, o axioma equivale ao princípio que, pela sua própria dignidade, isto é, por ocupar certo lugar num sistema de proposições, deve ser considerado verdadeiro.
Para Aristóteles, os axiomas são princípios evidentes que constituem o fundamento de qualquer ciência. Nesse caso, os axiomas são proposições irredutíveis, princípios gerais aos quais se reduzem todas as outras proposições e nos quais estas se apoiam necessariamente. O axioma tem, por assim dizer, um imperativo que obriga ao assentimento uma vez enunciado e entendido.
Em suma, Aristóteles define o axioma como uma proposição que se impõe imediatamente ao espírito e que é indispensável, ao contrário da tese, que não pode ser demonstrada e que não é indispensável.
Vamos agora ver alguns exemplos de axioma.
EXEMPLOS DE AXIOMAS:
Por um único ponto passam infinitas retas.
Por dois pontos distintos A e B passa uma única reta.
Para determinarmos um plano necessitamos de pelo menos três pontos.
Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então todos os pontos dessa reta pertencem ao plano.
E mais:
Se adicionarmos parcelas iguais a quantidades iguais, as somas continuarão iguais.
2+1=3     2+1=3
Se as mesmas quantidades forem subtraídas de quantidades iguais, os restos Continuarão a ser iguais.
2-1=1     2-1=1
O todo é maior que as partes.
Vamos treinar um pouco? Veja os exemplos abaixo e tente responder.
Exemplo 1
Nas afirmativas abaixo, coloque (A) se tratar de axiomas ou (T) se tratar de teoremas. Lembre-se de que o axioma prescinde de provas, enquanto o teorema necessita ser provado.
A) ( ) Paulo está apaixonado pela Mariângela.
B) ( ) A Terra gira em torno do Sol.
C) ( ) Precisamos de oxigênio para sobreviver.
D) ( ) Fiz um boa prova, devo ter acertado todas as questões.
E) ( ) A Lua é o satélite natural da Terra.
F) ( ) Deve chover neste fim de semana.
G) ( ) Um metro é dividido em cem centímetros.
H) ( ) Aquele político é corrupto.
I) ( ) A distância mais curta entre dois pontos é uma reta.
J) ( ) Pelos ingredientes que leva, esta receita deve ser muito boa.
Respostas:
A) ( T ) Paulo está apaixonado pela Mariângela.
B) ( A ) A Terra gira em torno do Sol.
C) ( A ) Precisamos de oxigênio para sobreviver.
D) ( T ) Fiz um boa prova, devo ter acertado todas as questões.
E) ( A ) A Lua é o satélite natural da Terra.
F) ( T ) Deve chover neste fim de semana.
G) ( A ) Um metro é dividido em cem centímetros.
H) ( T ) Aquele político é corrupto.
I) ( A ) A distância mais curta entre dois pontos é uma reta.
J) ( T ) Pelos ingredientes que leva, esta receita deve ser muito boa.
Exemplo 2:
Dá-se o nome de axioma a uma verdade irrefutável, que prescinde de provas para ser aceita. Classifique os axiomas abaixo em falso (F) ou verdadeiro (V), conforme o caso:
( ) A água ferve a 100º C.
( ) Um dia, a verdade sempre vem à tona.
( ) Os baianos são muito preguiçosos.
( ) Sem oxigênio, o ser humano não sobrevive.
( ) Quem espera, sempre alcança.
( ) A Lua é o satélite natural do planeta Terra.
Respostas
V / F / F / V / F / V
AS INFERÊNCIAS E OS AXIOMAS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Existe um tipo de problema que recebe o nome técnico de "inferências corretas"; esse tipo recebe também outros nomes, como "A César o que é de César" ou "Encontrando o culpado", que só pode ser resolvido a partir da leitura correta de uma série de afirmativas que tanto podem assumir a forma de inferências como de axiomas.
Em geral, o desafio consiste em completar um quadro com informações a partir de pistas que são fornecidas ao leitor. Veja no próximo exemplo como isso se dá.
Para que você possa resolver esse enigma, é necessário que compreenda bem as informações contidas nas "dicas" que são dadas. Algumas são dadas de modo direto, sob forma de axiomas. Outras são dadas nas entrelinhas, o que exige que você faça inferências a partir do que foi colocado. Só a partir de uma leitura eficiente é que se torna possível apreender os dados que permitirão a resolução do problema.
A vila complicada
Em uma determinada vila, existem cinco casas, todas do mesmo lado. Elas são numeradas, da esquerda para a direita, na seguinte ordem: 101, 103, 105, 107, 109. Cada casa apresenta características próprias, tais como cor, nacionalidade do proprietário, marca do carro que está na garagem, tipo de bebida e animal doméstico preferidos. Com base nas informações que se seguem, a tarefa consiste em determinar as características próprias de cada uma das casas, preenchendo, de modo correto e coerente, o quadro abaixo.
As cinco casas estão localizadas na mesma vila, do mesmo lado.
O mexicano mora na casa vermelha.
O peruano tem um carro Mercedes Benz.
O argentino possui um cachorro.
O chileno só bebe Coca-Cola.
Os coelhos estão equidistantes do Cadillac e da cerveja.
O gato não bebe café nem mora na casa azul.
Na casa verde, só se bebe uísque.
A tartaruga é vizinha da casa onde se bebe Coca-Cola.
A casa verde só tem vizinho do lado direito, a casa cinza.
O peruano e o argentino são vizinhos.
O Chevrolet pertence à casa rosa.
O dono do Volkswagen cria coelhos.
Na terceira casa, bebe-se Pepsi.
O brasileiro é vizinho da casa azul.
O dono do carro Ford só bebe cerveja.
O dono da tartaruga é vizinho do dono do Cadillac.
O dono do Chevrolet é vizinho do dono do canário.
Dicas para solução do problema:
Comece selecionando as informações que surgem sob forma de axioma, isto é, aquelas que são afirmativas incontestáveis, tipo "A casa verde só tem vizinho do lado direito, a casa cinza."
Depois, parta para aquelas que prescindem de comprovação, tipo "O brasileiro é vizinho da casa azul". E como se dá esta comprovação? Ora, à medida que o quadro vai sendo preenchido, testam-se as hipóteses e verifica-se sua validade em relação ao lugar que os dados vão ocupando no quadro. Se o brasileiro, por exemplo, não estiver colocado ao lado da casa azul, algum teorema foi mal formulado. Será necessário, portanto, voltar às pistas, para tentar novas hipóteses.
Agora é com você! Só olhe a resposta quando você terminar.
	Característica/Casa
	101
	103
	105
	107
	109
	Proprietário
	 
	 
	 
	 
	 
	Cor da Casa
	 
	 
	 
	 
	 
	Animal
	 
	 
	 
	 
	 
	Bebida
	 
	 
	 
	 
	 
	Marca do Carro
	 
	 
	 
	 
	 
RESPOSTA:
	Característica/Casa
	101
	103
	105
	107
	109
	Proprietário
	Peruano
	Argentino
	Mexicano
	Chileno
	Brasileiro
	Cor da Casa
	Verde
	Cinza
	Vermelho
	Azul
	Rosa
	Animal
	Gato
	Cachorro
	Coelho
	Canário
	Tartaruga
	Bebida
	Uisque
	Cerveja
	Pepsi
	Coca-Cola
	Café
	Marca do Carro
	Mercedez
	Ford
	Volks
	Cadilac
	Chevrolet
Não é divertido resolver este tipo de desafio?