Gabarito-Q4 (1)

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BCJ0205–Fenômenos Térmicos
Primeiro quadrimestre de 2020
Gabarito da Prova 1
Questão 4-1
Quinze estudantes fizeram um teste de 25 pontos. Suas notas foram 25, 22 22 20, 20, 20, 18, 18,
18, 18, 18, 15, 15, 15 e 10. Determine:
(a) a nota média (50);
(b) a nota média quadrática (50).
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Questão 4-2
Um mol de gás argônio está confinado em um recipiente de 1,0 litro a uma pressão de 10 atm.
(a) Calcule a velocidade média quadrática dos átomos de argônio (em km/s) (50);
(b) Compare a resposta do item (a) com a velocidade média quadrática de hélio sob as mesmas
condições (50).
(A massa molar do argônio é 39,948×10−3 kg/mol, a massa molar do hélio é 4,003×10−3 kg/mol)
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Questão 4-3
Oxigênio (O2) está confinado em um recipiente cúbico de 15 cm de aresta, à temperatura de 300 K.
(a) Calcule a energia cinética média para o movimento translacional de uma molécula do gás (em
J) (40);
(b) Compare a energia cinética média para o movimento translacional de uma molécula do gás com
a variação de sua energia gravitacional ao cair de uma altura de 15 cm (a razão) (60).
(A massa molar do oxigênio é 32× 10−3 kg/mol, constante de Boltzmann é 1,381× 10−23 J/K, o
número de Avogadro é 6,02× 1023 part/mol, aceleração gravitacional é 9,8 m/s2)
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Questão 4-4
(a) Calcule o livre caminho médio de uma molécula de monóxido de carbono (CO) que espalha em
uma sala com ar, se a massa molar da molécula é de 0,028 kg/mol, a temperatura do ar é de
300 K, a pressão é de 1,0 atm, e o diâmetro, tanto das moléculas de CO quanto das moléculas
de ar é de 3,75times10−10 m, constante de Boltzmann é 1,381× 10−23 J/K (em m) (40);
(b) Estime o tempo médio entre as colisões, se a velocidade média é igual a velocidade média
quadrática (em m/s) (30);
(c) Calcule a frequência das colisões (em s-1) (30).
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Questão 4-5
Uma caixa metálica cúbica com 20 cm de aresta contém ar a pressão de 1,0 atm e a temperatura de 300
K. A caixa está selada de forma a manter constante o volume interno e é aquecida até a temperatura
de 400. Determine a força média sobre cada face da caixa, devida à pressão interna do ar (em kN).
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Questão 4-6
Na hipótese de Avogadro um mol de um gás ideal nas condições normais de temperatura e pressão
ocupa um volume de 22, 4 L. Na teoria cinética dos gases imaginamos um gás como um conjunto de
moléculas em movimento e ocupando todo o volume de um recipiente.
(a) Faça uma figura representando as moléculas em um estado gasoso em um recipiente. Faça outra
figura representando a mesma quantidade de moléculas em um estado ĺıquido em um recipiente.
(b) O diâmetro de uma molécula de água é da ordem de 3, 5× 10−10 m. Considerando que um mol
de vapor d’água ocupa 22, 4 L, considerando que a massa molar da molécula de água é de 18g e
com base em sua representação do estado de um ĺıquido acima, estime o número de Avogadro.
Deixe claro suas hipóteses.
(c) Comente o resultado alcançado.
Resposta:
(a) Figura. Moléculas do liquido devem estar juntas ocupando um volume definido.
(b) Considerando todas as moléculas juntas temos o volume ocupado pelo ĺıquido: VA = NAVm =
NAD
3 (Pode também ser considerado uma esfera, mas estamos apenas pensando na ordem de
grandeza e a esfera não se encaixa perfeitamente - de qualquer forma estamos superestimando
o volume da molécula portanto devemos ter um número ligeiramente menor para NA). Já o
volume de 1 mol de água é dado por:
VA =
m
ρ
= 18cm3
Sendo m a massa e ρ a densidade. Desta forma temos
NA =
VA
D3
=
18
42, 875× 10−24
= 4.2× 1023
(c) O número é bastante próximo do número de Avogadro. Se fosse utilizado o volume de uma
esfera veŕıamos que a esfera ocupa aproximadamente a metade do volume do cubo e teŕıamos
um número aproximadamente do dobro, um pouco maior do que o número de Avogadro. Essas
contas são claramente uma aproximação, mas fornecem uma boa ordem de grandeza.
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Questão 4-7
Na hipótese de Avogadro um mol de um gás ideal nas condições normais de temperatura e pressão
ocupa um volume de 22, 4 L. Na teoria cinética dos gases imaginamos um gás como um conjunto de
moléculas em movimento e ocupando todo o volume de um recipiente.
(a) Faça uma figura representando as moléculas em um estado gasoso em um recipiente. Faça outra
figura representando a mesma quantidade de moléculas em um estado ĺıquido em um recipiente.
(b) O número de Avogadro é aproximadamente 6, 02 × 1023. Considerando que um mol de vapor
d’água ocupa 22, 4 L, considerando que a massa molar da molécula de água é de 18g e com base
em sua representação do estado de um ĺıquido acima, estime o diâmetro da molécula de água.
Deixe claro suas hipóteses.
(c) Comente o resultado alcançado.
Resposta:
(a) Figura. Moléculas do liquido devem estar juntas ocupando um volume definido.
(b) Considerando todas as moléculas juntas temos o volume ocupado pelo ĺıquido: VA = NAVm =
NAD
3 (Pode também ser considerado uma esfera, mas estamos apenas pensando na ordem de
grandeza e a esfera não se encaixa perfeitamente - de qualquer forma estamos superestimando o
volume da molécula portanto devemos ter um diâmetro ligeiramente menor para a molécula de
água). Já o volume de 1 mol de água é dado por:
VA =
m
ρ
= 18cm3
Sendo m a massa e ρ a densidade. Desta forma temos
D3 =
VA
NA
=
18
6, 02× 1023
= 2.99× 10−23 = 29.9× 10−24cm3
Tirando a ráız cúbica teremos: 3.1× 10−8 cm, da ordem de 3 Angstrons.
(c) Sabemos que os tamanhos atômicos são da ordem de Angstrons. A molécula de água possui
apenas 3 átomos, sendo razoável que seu tamanho seja da ordem de Angstrons.
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Questão 4-8
Em um peŕıodo de 4, 00 s, 5, 00×1023 moléculas de nitrogênio (N2) atingem frontalmente uma parede
de área 8, 00 cm2. As moléculas se deslocam com velocidade de 200 m/s e sofrem colisões perfeitamente
elásticas. A massa da molécula de N2 é de 4, 68× 10−26 kg.
(a) Qual a pressão exercida na parede ?
(b) Qual o intervalo de tempo entre duas colisões? É posśıvel perceber uma variação na pressão (já
que as colisões não ocorrem de maneira cont́ınua)?
(c) Para a mesma pressão do item a) calcule quantas moléculas se chocariam com a parede se a
massa do N2 fosse de 4, 68× 10−4 kg.
(d) Qual seria o intervalo de tempo entre duas colisões? Seria posśıvel perceber uma variação da
pressão?
Resposta:
(a) A força média será dada por: F = N∆Pt =
5,00×1023×400×4,68×10−26
4,00 = 2, 34 N. A pressão será
F/A = 2925 N/m2
(b) O tempo entre duas colisões é dado por t/N = 4
5×1023 = 0, 8 × 10
−23 s, portanto a variação de
pressão seria impercept́ıvel.
(c) Aumentando a massa por um fator de 1022, o número de part́ıculas necessárias para provocar
a mesma pressão diminui pelo mesmo fator. Portanto, se chocariam 50 part́ıculas no mesmo
intervalo de tempo.
(d) O intervalo de tempo entre as colisões seria de 450 = 0, 08 s, quase 1 décimo de segundo. Portanto
seria posśıvel perceber a variação de pressão.
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Questão 4-9
Em um peŕıodo de 4, 00 s, 5, 00×1023 moléculas de nitrogênio (N2) atingem frontalmente uma parede
de área 8, 00 cm2. As moléculas se deslocam com velocidade de 400 m/s e sofrem colisões perfeitamente
elásticas. Sabendo que a pressão exercida na parede foi de 5760 N/m2
(a) Estime a massa da molécula de nitrogênio (N2).
(b) Qual o intervalo de tempo entre duas colisões? É posśıvel perceber uma variação na pressão (já
que as colisões não ocorrem de maneira cont́ınua)?
(c) Para a mesma pressão do item a) calcule quantas moléculas se chocariam com a parede se a
massa do N2 fosse de 1, 0× 10−3 kg.
(d) Qual seria o intervalo de tempo entre duas colisões? Seria posśıvel perceber uma variação da
pressão?
Resposta:
(a) A Força média é dada por: F = N∆Qt , sendo o momento Q = mV . Considerando o choque
totalmente elástico temos ∆Q = 2mV . Desta forma temos 2mV = tFN . Considerandoque a
pressão P = FA temos,
m =
APt
N2V
=
8× 10−4 × 5760× 4
5× 1023 × 800
= 4, 61× 10−26kg
(b) O tempo entre duas colisões é dado por t/N = 4
5×1023 = 0, 8 × 10
−23 s, portanto a variação de
pressão seria impercept́ıvel.
(c) Usando as equações anteriores e isolando o N teremos:
N =
APt
m2V
=
8× 10−4 × 5760× 4
1× 10−3 × 800
= 23, 0
Portanto, 23 moléculas de Nitrogênio estariam se chocando no peŕıodo de 4 segundos para
provocar a pressão desejada.
(d) O intervalo de tempo entre as colisões seria de 423 = 0, 174 s, quase 2 décimo de segundo. Portanto
seria posśıvel perceber a variação de pressão.
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Questão 4-10
Considere um balão de 22, 4 L com gás hélio (monoatômico) a uma temperatura de 0, 00C e 1,00 atm.
(a) Considere que o número de Avogadro é 6, 02×1023. Quantos moles de átomos existem no balão?
Quantos átomos existem no balão?
(b) Considere que o gás dentro do balão pesa 4 g. Qual é a energia cinética média e qual é a
velocidade quadrática média dos átomos de hélio?
(c) Considere agora que o número de Avogadro é 6, 02×1010. As grandezas macroscópicas (Volume,
temperatura, pressão e a massa total dentro do balão) continuam as mesmas. Nossa definição de
mol como sendo a quantidade de moléculas em um volume de 22,4 L às CNTP também continua
a mesma. Quantos átomos existem no balão, qual é a energia cinética média e qual é a velocidade
quadrática média dos átomos de hélio com esse novo valor para o número de Avogadro?
(d) Comente seu resultado acima.
Resposta:
(a) O número de Avogadro é o número de moléculas que existem em um mol. O mol é definido
como a quantidade de moléculas existentes em um volume de 22, 4 litros nas CNTP, portanto
existe um mol de átomos nesse balão, correspondentes a 6, 02× 1023 átomos.
(b) A energia cinética média é dada por:
Ē =
1
2
mv̄2 =
3
2
kT
sendo k a constante de Boltzman que pode ser escrita como RNA , onde R é a constante dos gases
e NA o número de Avogadro. Portanto
Ē =
3× 8, 31× 273
2× 6, 02× 1023
= 5, 65× 10−21J
Já a velocidade quadrática média de cada molécula será dada por:
vmq =
√
v̄2 =
√
2E
m
=
√
2× 5, 65× 10−21 × 6, 02× 1023
4× 10−3
= 1, 30× 103m/s
Onde usamos que a massa de um átomo é a massa de um mol dividido pelo número de Avogadro.
(c) Continua havendo um mol de átomos nesse problema (não mudamos a definição de mol). No
entanto, como o número de Avogadro é outro teremos apenas 6, 02 × 1010 átomos no gás. A
energia cinética média de cada molécula passa a ser dada por:
Ē =
3× 8, 31× 273
2× 6, 02× 1010
= 5, 65× 10−8J
Já a velocidade média não mudaria, uma vez que cada molécula seria muito mais pesada. Re-
petindo a fórmula vemos que:
vmq =
√
v̄2 =
√
2E
m
=
√
2× 5, 65× 10−8 × 6, 02× 1010
4× 10−3
= 1, 30× 103m/s
(d) Vemos que para um número de Avogadro muito menor, teŕıamos uma energia cinética por
molécula muito maior (uma vez que mantivemos a definição de temperatura). O número de
Avogadro nos dá informações sobre as caracteŕısticas microscópicas, como a massa e a energia
cinética das moléculas. No entanto, notamos que a velocidade quadrática média não depende do
número de Avogadro. Podemos ver isso mais claramente escrevendo como: vmq =
√
v̄2 =
√
3RT
M ,
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sendo M a massa molar. Dessa forma, vemos que a velocidade quadrática média só depende das
grandezas macroscópicas do gás.
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Questão 4-11
Considere um gás hipotético com N0 moléculas em que a função de distribuição de velocidades tenha
a forma indicada na figura ao lado.
(a) (30 pontos) Encontre a constante A para que a função de distribuição seja normalizada a N0.
(b) (70 pontos) Obtenha os valores de v̄, vmq e vmp, respectivamente as velocidades média, média
quadrática e a velocidade mais provável. Expresse os resultados somente em função de v0.
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