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Aula5_Medidasdeposição

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Estatística
5ª Aula
Profa. Rossana Silva
rsilva5@area1.edu.br
Medidas de Posição
O que foi abordado até agora
 Conceitos iniciais – Aula 2
 Séries Estatísticas, Índices, Coeficientes, 
Taxas – Aula 3
 Gráficos – Aula 3
 Distribuição de Frequência, Histograma e 
polígono de frequências – Aula 4
Medidas de Posição
Análise Exploratória de Dados
Tipos de Dados
Dados associados a 
uma frequência!!!
As medidas de posição serão obtidas para cada tipo de dado.
Média Aritmética
 - Somatório
Média Aritmética - Dados não agrupados
▪ Quando desejamos conhecer a média dos dados não
agrupados, determinamos a média aritmética simples.
• Exemplo: sabendo-se que a produção leiteira diária da
vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16,
18 e 12 litros, temos, para a produção média da semana:
litrosX 14
7
12181615131410
=
++++++
=
14 litros faz parte dos dados originais. Se fosse diferente da série 
original, diríamos que a média não tem existência concreta.
Média aritmética
Desvio em relação à média
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre
cada elemento de um conjunto de valores e a média
aritmética.
xxd ii −=
Média aritmética
Propriedades da média
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios tomados em
relação à média é nula.
0
1
=
=
k
i
id
Média aritmética
Propriedades da média
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma
constante (c) de todos os valores de uma variável, a
média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) de c.
Exemplo:
Y =112 = 16 Y = 14 +2 = 16
7 
Média aritmética
Propriedades da média
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os
valores de uma variável por uma constante (c), a média
do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa
constante:
c
x
y
c
x
y
cxycxy
i
i
ii
==
==
294/7 = 42 ou 14 x 3 = 42
Sem intervalos de classe
• Consideremos a
distribuição relativa a 34
famílias de quatro filhos,
tomando para variável o
número de filhos do sexo
masculino:
Média Aritmética - Dados agrupados sem
intervalos de classe
Variável Discreta
Capa
da Obra
• Neste caso, como as frequências são números indicadores 
da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam 
como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a 
média aritmética ponderada dada pela fórmula:


=
i
ii
f
fx
x
Média Aritmética
Dados agrupados sem intervalos de classe
• O modo mais prático de
obtenção da média
ponderada é abrir, na
tabela, uma coluna
correspondente aos
produtos xifi:
Então:
Logo: meninos
Média Aritmética
Dados agrupados sem intervalos de classe
Exercício 1
Calcule a média do número de irmãos por família 
da Tabela abaixo.
Média Aritmética
Dados agrupados sem intervalos de classe
Número de Irmãos Famílias
1 2
2 4
3 6
4 8
5 3
Capa
da Obra
• Neste caso, convencionamos que todos os valores
incluídos em um determinado intervalo de classe
coincidem com o seu ponto médio, e
determinamos a média aritmética ponderada por meio
da fórmula:


=
i
ii
f
fx
x
Média Aritmética
Dados agrupados com intervalos de classe
Capa
da Obra
Média Aritmética
Dados agrupados com intervalos de classe
Capa
da Obra
Como, neste caso:
Temos:
,40,440.6


 ===
i
ii
iii
f
fx
xeffx
cmxx 161161
40
440.6
===
Média Aritmética
Dados agrupados com intervalos de classe
Exercício 2
Complete o esquema para o cálculo da média 
aritmética da distribuição de frequência:
Custo (R$) fi
450 ├ 550 8
550 ├ 650 10
650 ├ 750 11
750 ├ 850 16
850 ├ 950 13
950 ├ 1.050 5
1.050 ├ 1.150 1
Média Aritmética
Dados agrupados com intervalos de classe
Capa
da Obra
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência
em uma série de valores.
• Desse modo, o salário modal dos empregados de uma
indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido
pelo maior número de empregados dessa indústria.
Moda (Mo)
Capa
da Obra
• Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é
facilmente reconhecida: basta, de acordo com a definição,
procurar o valor que mais se repete.
• A série de dados 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13 e 15, tem
moda igual a 10.
• Séries que não apresentam moda são chamadas amodal;
nos casos onde houver dois ou mais valores de
concentração para a moda, a série é chamada bimodal.
Moda (Mo)
Dados não-agrupados
Capa
da Obra
Sem intervalos de classe
• Uma vez agrupados os dados, é possível determinar
imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de
maior frequência.
Moda (Mo)
Dados Agrupados
Moda = 3
Capa
da Obra
Com intervalos de classe
• A classe que apresenta a maior frequência é denominada
classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a
moda, neste caso, é o valor dominante que está
compreendido entre os limites da classe modal.
• O método mais simples para o cálculo da moda consiste
em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse
valor denominação de moda bruta.
Moda (Mo)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
Temos então:
Onde l* é o limite inferior da classe modal;
L* é o limite superior da classe modal.
2
* Ll
Mo
+
=
Moda (Mo)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
Para a distribuição:
Temos que a classe modal é i=3, l*=158 e L*=162.
Moda (Mo)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
Moda (Mo)
Expressões Gráficas da Moda
Capa
da Obra
A moda é utilizada:
- quando desejamos obter uma medida rápida e
aproximada de posição;
- quando a medida de posição deve ser o valor mais típico
da distribuição.
Moda (Mo)
Emprego da Moda
Exercício 4
Complete o esquema para o cálculo da moda da 
distribuição de frequência:
Custo (R$) fi
450 ├ 550 8
550 ├ 650 10
650 ├ 750 11
750 ├ 850 16
850 ├ 950 13
950 ├ 1.050 5
1.050 ├ 1.150 1
Moda (Mo)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
• A mediana é outra medida de posição definida como o
número que se encontra no centro de uma série de
números, estando estes dispostos segundo uma ordem.
• Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores,
ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor
situado de tal forma no conjunto que o separa em dois
subconjuntos de mesmo número de elementos.
Mediana (Md)
Capa
da Obra
Dada uma série de valores, como por exemplo:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9
de acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser
dado é ordenar os valores:
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18.
Mediana (Md)
Dados não-agrupados
• Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta
o mesmo número de elementos à direita e à esquerda.
No nosso caso, Md=10.
• Se a série dada tiver um número par de termos, a
mediana será, por definição, qualquer dos números
compreendidos entre os dois valores centrais da série.
Convencionou-se utilizar o ponto médio.
Capa
da Obra
Mediana (Md)
Dados não-agrupados
Capa
da Obra
• Se os dados se agrupam em uma distribuição de
frequência, o cálculo da mediana se processa de modo
muito semelhante àquele dos dados não-agrupados,
implicando, porém, a determinação prévia das frequências
acumuladas.
• Para o caso de uma distribuição, a ordem, a partir de
qualquer um dos extremos, é dada por:
2
 if
Mediana (Md)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
Sem intervalos de classe
• Neste caso, é o bastante identificar a frequência
acumulada imediatamente superior à metade da soma
das frequências. A mediana será aquele valor da variável
que corresponde a tal frequência acumulada (Fi).
Mediana (Md)
Dados Agrupados
N. de Meninos fi Fi
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
34
∑fi/2 = 34/2=17
A menor frequência acumulada 
que supera este valor é 18. Logo:
Md = 2 meninos
Se a frequência acumulada indicada for igual a tabela
Exemplo:
xi fi Fi
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
8
8/2 =4 = F3
Md = (15+16)/2 = 15,5
xi fi Fi
2 3
4 7
6 12
8 8
10 4
34
Exercício 5
Calcule a mediana da seguinte distribuição
Capa
da Obra
Com intervalos de classe
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do
intervalo emque está compreendida a mediana.
Para tanto, temos que determinar a classe na qual se acha a
mediana _ classe mediana. Tal classe será aquela
correspondente à frequência acumulada imediatamente
superior a .
2
 if
Mediana (Md)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
• Feito isto, um problema de interpolação resolver a
questão, admitindo-se, agora, que os valores se
distribuam uniformemente em todo o intervalo de classe.
Mediana (Md)
Dados Agrupados
∑fi/2 = 20
Fi
4
13
24
32
37
40
Classe Mediana
Md = 158 + (20-13)*4 = 160,54 cm 
11 
Incluir a Frequência 
Acumulada na Tabela
Exercício 6
Complete o esquema para o cálculo da 
mediana da distribuição de frequência:
Custo (R$) fi
450 ├ 550 8
550 ├ 650 10
650 ├ 750 11
750 ├ 850 16
850 ├ 950 13
950 ├ 1.050 5
1.050 ├ 1.150 1
Capa
da Obra
Empregamos a mediana quando:
- desejamos obter o ponto que divide a distribuição em
partes iguais;
- há valores extremos que afetam de uma maneira
acentuada a média.
Mediana (Md)
Emprego da Mediana
Capa
da Obra
• A mediana caracteriza uma série de valores devido à sua
posição central, mas também separa a série em dois
grupos que apresentam o mesmo número de valores.
• Assim, além das medidas de posição, há outras que,
consideradas individualmente, não são medidas de
tendência central, mas estão ligadas à mediana
relativamente à sua segunda característica. Essas
medidas _ os quartis, os percentis e os decis _ são,
juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome
genérico de separatrizes.
As Separatrizes
Capa
da Obra
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem
em quatro partes iguais.
Há três quartis:
- o primeiro quartil;
- o segundo quartil (igual à mediana);
- o terceiro quartil.
Separatrizes
Quartis
Da mesma forma que a mediana, empregamos as seguintes formulas 
para dados agrupados em classes:
Capa
da Obra
Separatrizes
Quartis
Exercício 7
Complete o esquema para os cálculos do 
primeiro e terceiro quartil da distribuição 
de frequência:
Custo (R$) fi
450 ├ 550 8
550 ├ 650 10
650 ├ 750 11
750 ├ 850 16
850 ├ 950 13
950 ├ 1.050 5
1.050 ├ 1.150 1
Capa
da Obra
Denominamos percentis os 99 valores que separam uma
série em 100 partes iguais.
Indicamos
O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo
da mediana, porém a fórmula passa a ser:
100
 ifk
.,...,...,,, 993221 PPPP
Separatrizes
Percentis
Exercício 8
Complete o esquema para o cálculo de P20 
distribuição de frequência:
Custo (R$) fi
450 ├ 550 8
550 ├ 650 10
650 ├ 750 11
750 ├ 850 16
850 ├ 950 13
950 ├ 1.050 5
1.050 ├ 1.150 1
Exercícios Complementares
1.
2.
Análise Exploratória de Dados
Conjuntos de técnicas complementares que auxiliam 
a Análise de Dados;
Técnicas desenvolvidas em 1970;
Veremos 4 técnicas:
1. Resumo dos Cinco Números
2. Gráfico em Caixa ou “Box Plot”
3. Diagrama de folhas
4. Dot plot
Resumo dos Cinco Números
Distribuição Simétrica
Distribuição Assimétrica
Identificação de Números Discrepantes
Gráfico em Caixa ou Box Plot
Tipos de Distribuição representadas pelo Box Plot
Diagrama de folha e ramo
É uma ferramenta útil para descrever pequenos conjuntos de dados.
Exemplo: Considere as notas de 40 alunos de estatística
1º passo: separação de dados por casas
2º passo: mostre o primeiro dígito apenas uma vez para cada linha
3 passo: Ordene os valores dos ramos
Ramo
Rótulo do Ramo
Folhas
Diagrama Folha e Ramo
Dot Plot
É um gráfico simples. O número de pontos representa a quantidade 
de dados no eixo.

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