Aulas resistencia materiais 2 Promove 170814

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Resistência dos Materiais
Prof. Msc. Tassyana Dini
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EMENTA: 
-Revisão de Resistência dos Materiais I. 
-Tensão e Deformação de Torção. 
-Flexão.
-Tensão e Deformação de Flexão simples e Composta.
-Linha Elástica.
-Flambagem. 
-Estado de Tensões. 
OBJETIVO GERAL: 
- Consolidar os conhecimentos de tensões e deformações. 
- Habilitar os conhecimentos de deformações simples e composta. 
- Compreender os princípios da linha elástica e flambagem.
 
 
ENGENHARIA CIVIL
Disciplina: Resistência dos Materiais 2
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Resolução Conselho Nacional de Educação Art. 4°
A formação do Engenheiro tem por objetivo dotar o profissional dos conhecimentos requeridos para o exercício das seguintes competências e habilidades gerais:
Aplicar conhecimentos matemáticos , científicos, tecnológicos e instrumentais a Engenharia. 
Projetar e conduzir experimentos e interpretar seus resultados;
Conceber projetar e analisar sistemas, produtos e processos.
Planejar, supervisionar, elaborar e coordenar projetos e serviços de engenharia;
Identificar, formular e resolver problemas de Engenharia;
Desenvolver e/ou utilizar novas ferramentas técnicas;
Supervisionar a operação e a manutenção de sistemas;
Avaliar criticamente a operação e a manutenção de sistemas
Comunicar-se eficientemente nas formas escrita, oral e gráfica;
Atuar em equipes multidisciplinares;
Compreender e aplicar a ética e responsabilidade profissionais;
Avaliar o impacto das atividades da engenharia no contexto social e ambiental;
Avaliar a viabilidade econômica de projetos de engenharia;
Assumir a postura de permanente busca de atualização profissional
ENGENHARIA CIVIL
Disciplina: Resistência dos Materiais 2
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BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA BÁSICA (livro-texto):
BEER, Ferdinand P; DEWOLF, John T. Resistência dos materiais. São Paulo: Edgard Blücher, 2006.
HIBBELER, Russell C., S. P.; GERE, J. E. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Prentice Hall Brasil, 1995.  
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. São Paulo: Érica, 1999.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
RILEY, W. F. Mecânica dos Materiais. Trad. Amir kurban. Rio de Janeiro: LTC, 2003. (Tradução de : Mechanics of Materials). 
JOHNSTON JR., E. Russell; BEER, Ferdinand Pierre. Resistência dos Materiais. São Paulo: Makron, 1995.
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TÉCNICAS DE APRENDIZAGEM
	Aulas expositivas dialogadas e participativas
	Exercícios
	Trabalhos em grupo
	Pesquisas simuladas
	Trabalhos escritos
	Leitura e análise de casos
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Definição
O que é a Resistência dos Materiais?
	Os cientistas da antiga Grécia: já tinham o conhecimento do fundamento da estática, porém poucos sabiam do sobre deformações. 
Estática: Parte da Física que estuda sistemas sob a ação de formas que se equilibram, considera os efeitos externos das forças que atuam num corpo.
	Galileu: (1564-1642): Foi o primeiro a tentar uma explicação para o comportamento de algumas vigas submetidas a carregamentos e suas propriedades. 
Aplicou este estudo, para os materiais utilizados nas vigas dos cascos de navios para marinha italiana.
	RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS: Comportamento dos sólidos submetidos à esforços externos, considerando o efeito interno.
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	Gregos (500 aC) : pilares, colunas, mármores apoiados. 
	Romanos (50 dC): introdução aos arcos, sem teoria matemática. Aparecimento de trincas. Séculos mas tarde problemas na Basílica de São Pedro (1506 – 1546).
	Renascimento (após 1500): Leonardo da Vinci, Galileu, Newton, Leibniz, Euler, Bernoulli, Cauchy, Poisson, etc.
	Atualmente: Solução Computacional, Elementos Finitos. 
Contexto histórico
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Torre Pizza
	A torre pendente de Pisa (em italiano Torre pendente di Pisa), ou simplesmente, Torre de Pisa, é um campanário (campanile ou campanário autônomo) da catedral da cidade italiana de Pisa. Está situada atrás da catedral, e é a terceira mais antiga estrutura na praça da Catedral de Pisa (Campo dei Miracoli), depois da catedral e do baptistério.
	Embora destinada a ficar na vertical, a torre começou a inclinar-se para sudeste logo após o início da construção, em 1173, devido a uma fundação mal construída e a um solo de fundação mal consolidado, que permitiu à fundação ficar com assentamentos diferenciais. A torre atualmente se inclina para o sudoeste.
	FONTE: *Wikipedia
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Ponte Rio Niteroi
	Em 1963, foi criado um grupo de trabalho para estudar um projeto para a construção de uma via rodoviária. 
	O projeto da ponte Rio Niterói foi preparado por um consórcio de duas empresas. A firma Noronha Engenharia, sediada no Rio de Janeiro, preparou o projeto dos acessos no Rio de Janeiro e em Niterói, assim como a ponte de concreto sobre o mar. A firma Howard, Needles, Tammen and Bergendorf, dos EUA, projetou o trecho dos vãos principais em estrutura de aço, incluindo as fundações e os pilares.
	Comprimento total13,29 km
	Maior pilar72 metros
	Tráfego140 mil veículos/dia
	FONTE: *Wikipedia
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Tensões
Tensão: Força distribuída por determinada área de aplicação:
	Tensão normais ou axiais: Atuam no sentido do eixo de um corpo. 
Tração.
Compressão.
	Tensão transversal, atua na direção perpendicular ao eixo de um corpo.
 Cisalhamento
 Flexão e Torção. 
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 	Componentes de uma determinada estrutura devem ter dimensões e proporções adequadas para suportarem esforços impostos sobre elas. Exemplos: 
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Classes de solicitações
	Solicitações: Quando um sistema de forças atua sobre um corpo, o efeito produzido é diferente segundo a direção e sentido e ponto de aplicação destas forças.
	 Os efeitos: Sobre um corpo podem ser classificados em:
	Esforços normais ou axiais: Atuam no sentido do eixo de um corpo. Ex: Tração e compressão
	Esforços transversais, atuam na direção perpendicular ao eixo de um corpo. Ex: Cisalhamento, Flexão e Torção. 
	TRAÇÃO: Quando as forças agem para fora do corpo, tendendo a alonga-lo no sentido da sua linha de aplicação.
	COMPRESSÃO: Quando as forças agem para dentro, tendendo a encurta-lo no sentido da carga aplicada. 
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Forças
	Forças: As forças mais conhecidas são os pesos, que tem sempre sentido vertical para baixo exemplo: O peso próprio de uma viga
Classificadas em:
	Concentradas 
	Distribuídas. 
	Força concentrada: Quando um carregamento distribuído atua numa região de área desprezível.
A força concentrada, se tratada como um vetor, é uma idealização, que em inúmeros casos nos traz resultados com exatidão satisfatória. 
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Cargas resultantes internas
	O objetivo do diagrama de corpo livre é determinar a força e o momento resultantes que agem no interior de um corpo.
	Em geral, há quatro tipos diferentes de cargas resultantes:
	a) Força normal,N
	b) Força de cisalhamento,V
	c) Momento de torção ou torque,T
	d) Momento fletor,M
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No sistema internacional (SI) 
	Forças concentradas são expressas em Newton [N].
	As forças distribuídas ao longo de um comprimento são expressas com as unidades de força pelo comprimento [N/m], [N/cm], etc.
	A força é uma grandeza vetorial: Necessita para sua definição, Intensidade, direção, sentido e ponto de aplicação.
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	Duas ou mais forças constituem um sistema de forças. 
	Todo sistema de forças pode ser substituído por uma única força chamada resultante.
	Quando as forças agem numa mesma linha de ação são chamadas de coincidentes. 
	A resultante destas forças terá a mesma linha de ação das componentes, com intensidade e sentido igual a soma algébrica das componentes. EX:
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Equilíbrio estático em análise das estruturas
A soma vetorial das forças que atuam sobre o corpo deve ser zero.
A resultante dos torques de todas as forças que atuam sobre um corpo, calculadas em relação a um eixo (qualquer), deve ser zero.
	
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 Exercícios
Sen 50°= 0,766
Sen 60°=0,866
Cos 60°=0,500
Cos50°=0,643
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Resolução
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	O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças e um equilíbrio de momentos.
	Se estipularmos um sistemade coordenadas x, y, z com origem no ponto O,
	A melhor maneira de levar em conta essas forças é desenhar o diagrama de corpo livre do corpo.
Equações de equilíbrio
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Exemplo Flexão carga distribuída
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C.
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Solução:
Diagrama de corpo livre
A intensidade da carga distribuída em C é determinada por proporção,
O valor da resultante da carga distribuída é igual à área sob a curva de carga( área do triângulo), e age sobre o centroide dessa área. Assim:
que age a de C.
	Centroide triangulo retangulo:
X=b/3
Y=h/3
X=6m/3=2m de C
	Área triangulo retângulo= bh/2
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Aplicando as equações de equilíbrio, temos
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Exemplo 
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em B do cano. A massa do cano é de 2 kg/m e ele está sujeito a uma força vertical de 50 N e a um momento de 70 N·m em sua extremidade ao final de A. O tubo está preso a uma parede em C.
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Diagrama corpo livre
Solução: Calculando o peso de cada segmento do tubo,
(Peso=M.A)
Aplicando as seis equações de equilíbrio,
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Exercícios
Exercicios exemplo Hibbeler cap. 1
1.1 a 1.4
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Torção
	Torção: quando atua um torque em uma das suas extremidades e um contra torque na extremidade oposta. 
	Momento Torçor ou Torque
	O torque atuante em um eixo é definido através do produto entre a intensidade da carga aplicada e a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da secção transversal (pólo). 
		Mt - Torque [ Nm ] 
		Ft - Força tangencial [ N ] 
		r - raio da peça [ m ] 
	
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	Torque:é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal.
	Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.
Deformação por torção de um eixo circular
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O momento polar de inércia, ou momento de inércia de massa, é o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. 
O momento de inércia ou Tensor de Inércia depende da distribuição da massa em torno de um eixo de rotação. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar ou alterar sua rotação.
Contribui mais para o aumento do valor do momento de inércia a porção de massa que está afastada do eixo de giro. 
EX: Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que gira em relação ao seu centro, terá um momento de inércia menor que este. 
Sua unidade de medida, no SI, é o kg·m². 
O momento de inércia  de uma partícula de massa  e que gira em torno de um eixo, a uma distância dele, é: J=m.r2
*Fonte: Wikipedia
Momento polar de Inércia
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	Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica. 
	Uma variação linear na deformação por cisalhamento resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento correspondente, ao longo de qualquer linha radial na seção transversal.
= tensão de cisalhamento máxima no eixo
= deformação por cisalhamento
= torque interno resultante
= momento polar de inércia da área da seção transversal
= raio externo do eixo
= distância intermediária
A Fórmula da torção
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	Momento polar Inercia para eixo de seção transversal circular maciça,
	Para eixo de seção transversal tubular,
Momento polar de Inércia eixos
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O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a–a do eixo.
A(raio externo) c=75mm e B r=15mm
Exemplo Torção 
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Solução:
1-Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo,
2-O momento polar de inércia para o eixo é
3-Visto que A se encontra em ρ = c = 75 mm,
4-Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos
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Conversão unidades:1 N/mm2 =1MPa
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Potência
	Potência: é a grandeza que determina a quantidade de energia concedida por uma fonte a cada unidade de tempo. 
	Em outros termos, potência é a rapidez com a qual uma certa quantidade de energia é transformada
	 ou é a rapidez com que o trabalho é realizado.
EXEMPLOS:
	Potencia do ser humano: A potência consumida/dissipada por um ser humano é em torno de 100 watts,
	Variando de 85 W durante o sono a 800 W ou mais enquanto pratica esportes. 
	Ciclistas profissionais tiveram medições de 2000 W de potência realizada por curtos períodos de tempo.
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Potência
Denomina-se potência a realização de um trabalho na unidade de tempo. Tem-se então que: 
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	Para um eixo rotativo com torque, a potência é:
	Visto que, a equação para a potência é
	Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é:
Transmissão de potência
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Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo em mm.
Exemplo Potencia
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Solução:
O torque no eixo é
Assim,
Visto que 2c = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.
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Capítulo 6: 
Tensão e deformação a Flexão
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O momento de inércia de área, também chamado de segundo momento de área ou segundo momento de inércia.
É uma propriedade geométrica da seção transversal de elementos estruturais. Fisicamente o segundo momento de inércia está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e, portanto, junto com as propriedades do material determina a resistência de um elemento estrutural sob flexão. 
Basicamente os associamos a forças aplicadas na área que variam linearmente com a distância, invertendo sua direção em dado eixo.
Aplicação: O momento de inércia de área da seção transversal de uma viga, em relação a um eixo que passe pelo seu centro de gravidade, mede a sua rigidez, ou seja a sua resistência à flexão em relação a esse eixo.
*Fonte: Wikipedia
Momento de Inércia de área
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Flexão
	Em Engenharia se denomina flexão ao tipo de deformação que apresenta um elemento estrutural alongado em uma direção perpendicular a seu eixo longitudinal. 
	O termo "alongado" se aplica quando uma dimensão que é dominante frente às outras. 
	Um caso típico são as vigas, as que estão projetadas para trabalhar, principalmente, por flexão.
	O conceito de flexão se estende a elementos estruturais superficiais como Placas ou laminas.
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Deformação por tensão de flexão de um membro reto
São as deformações que ocorrem quando uma viga é submetida a tensão de flexão.
	Considerando neste caso: 
	Vigas com área seção transversal simétrica em relação a um eixo. 
	O momento fletor é aplicado em torno de um eixo perpendicular ao de simetria ( Eixo neutro)
	Superficie neutra: Nesta não ocorrem mudanças nos comprimentos das fibras longitudinais.
	Eixo Neutro: Eixo que se encontra no plano da seção transversal. Foto abaixo vem representado pelo eixo z.
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	A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se deforma por flexão.
	 Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado. Fig abaixo.
Deformação por flexão de um elemento reto
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	A deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro.
	A lei de Hooke se aplica quando o material é homogêneo.c
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σ = tensão normal no membro
M = momento interno
I = momento de inércia
y = distância perpendicular do eixo neutro
	O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro.
A fórmula da flexão
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A fórmula da flexão
Momento de inércia da seção transversal. (propriedade da seção)
Para determinar o momento de inércia da seção transversal em torno do eixo neutro, metodos são encontrados ao fim do livro Hibbeler.
Área Compostas
Coordenda Y do centroide de cada parte composta até o eixo neutro. É
Para determinaro Momento Inercia para áreas compostas:
Dividir a área em partes compostas de figuras geometricas.
Se o eixo centroide não coicidir com o eixo neutro especificado usar o teorema dos eixos paralelos. 
Indicar distância perpendicular entre eixo especificado e o eixo centroide paralelo de cada parte.
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A fórmula da flexão
Teorema dos eixos paralelos
Ix=Īx’+Ady2
	Ix= Inercia em torno de X
	Īx’=Inércia em torno de X’
	A=Área
	Dy2=Distancia do centroide C do eixo X
Momentos de Inércia retângulos
I =1/12 b.h3 
Área Retangulo=1/2 b.h
Momentos de Inércia áreas compostas
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A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização. O momento máximo interno na viga é 
Exemplo 
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Solução:
O momento máximo interno na viga é . 
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Por razões de simetria, o centroide C e, portanto, o eixo neutro, passa a meia altura da viga, e o momento de inercia é
Aplicando a fórmula da flexão, para c = 170 mm,
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A viga mostrada na figura tem área de seção transversal em forma de um canal. Determine a tensão de flexão máxima que ocorre na viga na seção a–a.
Exemplo 
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Solução:
O momento interno resultante deve ser calculado em torno do eixo neutro da viga na seção a–a. Visto que o eixo passa pelo centroide,
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Aplicando a equação do equilíbrio de momento sobre o eixo neutro, temos
O momento de inércia sobre o eixo neutro é
A tensão de flexão máxima ocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro.
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Lista de exercícios:
Tensão e deformação a Flexão: 6.43,6.44,6.46, 6.49,6.50
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Capítulo 8: 
Cargas combinadas
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Cargas combinadas
	Uma seção transversal de um elemento na maioria das vezes está sujeira a tipos diferentes de carregamento simultanemente. 
	O método da superposição , pode ser usado para determinar a distribuição de tensão devido a cada carga, então as distribuições de carga sobrepostas podem determinar a distribuição de tensão resultante.
	O método da superposição é usado para determinar tensão ou deslocamento em um ponto de um elemento quando este estiver sujeito a um carregamento complicado.
	Neste método a tensão ou deslocamento resultante nos pontos, pode ser determinado, definido previamente a tensão ou deslocamento causado por cada componente da carga agindo separadamente sobre o elemento.
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Então a tensão ou deslocamento resultante é determinado pela soma algébrica das contribuições causadas por cada uma das componentes de cargas. Subdividindo o carregamento em componentes.
O método da superposição , pode ser usado quando:
Exista uma relação linear entre a tensão e as cargas.
A geometria do elemento não sofre grandes alterações quando aplicadas as cargas.
Material homogêneo.
Material trabalhando dentro do regime Elástico.
Resumo de cargas que podem ser aplicadas em um elemento:
Força normal
Força de cisalhamento
Momento fletor
Momento de torção
Cargas combinadas
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Cargas combinadas
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	Paredes finas refere-se a um vaso para o qual a relação interno-espessura da parede tem valor igual ou superior a 10.
Para vasos cilíndricos submetido a tensões normais, há tensão normal na 
direção circunferencial ou do aro e no sentido longitudinal ou axial.
Vasos de pressão de paredes finas
Capítulo 8: 
Cargas combinadas
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Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento. Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C.
Exemplo 
Cargas combinadas
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Solução:
Cargas internas: Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15.000 N agindo no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo centroide ou principal.
2- Momento fletor: Distribuição da tensão normal devido ao momento fletor. Onde deve ser calculada a tensão máxima.
Cargas combinadas
Componentes da tensão:
1- Força normal: Distribuição da tensão normal uniforme devido a força normal. 
Conversão unidades:11,25 N/mm2 =11,25 MPa
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Elementos de material em B e C estão submetidos somente a tensão normal ou tensão uniaxial. Por consequência,
Cargas combinadas
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Embora no problema não seja solicitado, A localização da linha de tensão nula pode ser determinada por cálculo proporcional de triângulos:
Cargas combinadas
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O tanque tem raio interno de 600 mm e uma espessura de 12 mm. Está cheio até em cima com água cujo peso específico é γágua = 10 kN/m3. Se o tanque for feito de aço com peso específico de γaço = 78 kN/m3, determine o estado de tensão no ponto A. A parte superior do tanque é aberta.
Exemplo
Cargas combinadas
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Solução: Será usado o diagrama de corpo livre da seção do tanque acima do ponto A. Observe que o peso do tanque é suportado pela seção abaixo e não pelas paredes do tanque. Na direção vertical as paredes simplesmente apoiam o peso do tanque, O peso do tanque é:
A pressão do tanque no nível A é .
Cargas combinadas
Tensão circunferencial: É dada pela pressão da água no nível A. Para obter esta pressão é necessário usar a lei de pascal , segundo a qual a pressão em um ponto a uma profundidade Z na água é 
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Para tensão circunferencial, usamos o raio interno r=600mm.
Cargas combinadas
Para tensão longitudinal, com o peso do tanque suportado uniformemente pelas paredes temos:
NOTA: A equação σ=pr/2t, não se aplica aqui , visto que o tanque é aberto na parte superior e portanto a água não pode exercer uma carga nas paredes na direção longitudinal. 
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O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de 40 kN aplicada em seu canto. Determine a distribuição da tensão normal que age sobre uma seção que passa por ABCD.
Exemplo 
Cargas combinadas
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Solução: Considerando o diagrama de corpo livre, o segmento inferior do bloco. Assim sendo a força de 40KN deve agir no centroide da seção transversal e duas componentes do momento fletor também devem agir em torno dos eixos do centroide, veja resultados a seguir:
2-Para 8 kN, a tensão máxima é
1-Para a distribuição uniforme da tensão normal temos
3-Para 16 kN, a tensão máxima é
Cargas combinadas
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Considerando que a tensão de tração é positiva, temos
Cargas combinadas
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Capítulo 12: 
Deflexão em vigas e eixos
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Deflexão em vigas e eixos
	Frequentemente é necessário estabelecer limites para o valor de deflexão que uma viga ou eixo pode suportar. 
	Serão apresentados os métodos para determinar a deflexão e inclinação em pontos especificos de vigas e eixos.
	O eixo de uma viga é inicialmente considerado retilíneo. Após a deformação ele se transforma em uma curva que chamamos de LINHA ELÁSTICA da viga.
	Para curva elástica, o momento positivo interno tende a curvar a viga com a concavidade para cima, e vice versa.
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A Linha Elástica
	Deve haver um ponto de inflexão em C, onde a curva passa de côncava para cima a côncava para baixo, visto que o momento neste ponto é nulo.
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A Curva Elástica
Relação Momento-Curvatura
	Devido a carga, a deformação na viga é provocada pela força cortante interna, bem como pelo momento fletor..
	Se o material for homogêneo e comportar-se de uma maneira linear elástica, a lei de Hooke é aplicável,
*
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A Curva Elástica
ρ = raio de curvatura em um ponto específico
M = momento fletor interno na viga no ponto ρ
E = módulo de elasticidade do material
I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro
EI = rigidez à flexão
*
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Inclinação e deslocamento por integração
	Na maioria dos problemas a rigidez à flexão será constante ao longo do comprimento da viga.
	A inclinação e alteração da relação da viga é
	W(x)= Carga
	M(x)=Momento
	V(x)=Força cisalhante
	Cada integração é usada para resolver todas as constantes de modo a obter uma solução única para um problema particular.*
*
Inclinação e deslocamento por integração
Condições de contorno e continuidade
	As constantes de integração são determinadas pela avaliação das funções para cisalhamento, momento, inclinação ou deslocamento.
	Esses valores são chamados de condições de contorno.
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A Linha Elástica
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Exercicio exemplo
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Exercicio exemplo
*
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Exercicio exemplo
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A viga na Figura (a) está sujeita à carga P em sua extremidade. Determine o deslocamento em C. EI é constante.
Exemplo 
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Devido à carga, 2 coordenadas x serão consideradas,
1-Usando os diagramas de corpo livre, conseguimos formular o momento fletor. 
2-Determinação da linha elástica através do momento fletor
Passos para a Solução:
e
Eq.1
Eq.2
Eq.3
Eq.4
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3-Determinar as 4 constantes de integração usando 4 condições de contorno:
	Condição1: V1=0 em X1=0 (substituindo na eq. 2 encontramos C2)
	Condição 2: V1=0 em X1=2a (substituindo na eq. 2 encontramos C1)
	Condição 3: V2=0 em X2=a (substituindo na eq.4 com C3; encontramos C4)
	Condição de continuidade 4: (Encontramos C3, usando C1)
Nota:Encontramos C4, aplicando a condição 3 e C3, na equação 4.
	Resolvendo, temos as 4 constantes:
	Substituindo C3 e C4 na eq. 4 temos a equação de deslocamento.
4- o Deslocamento em C é determinado fazendo X2=0; temos então vc:
*
*
A viga simplesmente apoiada mostrada na figura (a) suporta a carga triangular distribuída. Determine sua deflexão máxima. EI é constante.
Exemplo 
*
*
Devido à simetria, somente a coordenada x é necessária para a solução,
A equação para carga distribuída é . 
Por consequência,
Solução:
*
*
Integrando duas vezes, temos
Para condição de contorno,
Portanto,
Para deflexão máxima em x = L/2, 
*
*
Capítulo 13: 
Flambagem de colunas
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Flambagem:
	A flambagem ou encurvadura é um fenômeno que ocorre em peças esbeltas (peças onde a área de secção transversal é pequena em relação ao seu comprimento), quando submetidas a um esforço de compressão axial.
	 A flambagem acontece quando a peça sofre flexão transversalmente devido à compressão axial. 
	A flambagem é considerada uma instabilidade elástica, assim, a peça pode perder sua estabilidade sem que o material já tenha atingido a sua tensão de escoamento.
	 Este colapso ocorrerá sempre em torno do eixo de menor momento de inércia de sua seção transversal. 
	A tensão crítica para ocorrer a flambagem não depende da tensão de escoamento do material, mas da seu módulo de elasticidade.
*
*
Flambagem:
Comportamento de colunas e métodos para seu projeto
	Elementos estruturais compridos e esbeltos, sujeitos a uma força de compressão axial são denominados colunas.
	A deflexão lateral que ocorre é denominada flambagem.
	A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está na iminência de sofrer flambagem é denominada carga crítica, Pcr.
*
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Equilibrio de uma estrutura
Conceito de estabilidade do equilíbrio. 
Uma estrutu:ra pode ser instável estando em equilíbrio. 
Exemplo: um lápis apontado e tente coloca-lo apoiado em um plano horizontal apoiado pela ponta. 
Nesta situação, embora ele esteja em equilíbrio, este é muito instável. 
Quando se apoia o lápis pela base, o equilíbrio é estável. 
O equilíbrio de uma estrutura pode ser classificado como: estável; instável ou indiferente. 
Equilíbrio estável:  P<Pcr- não há flambagem
Equilíbrio indiferente: P=Pcr
Equilíbrio instável: P>Pcr
	
*
*
Coluna ideal
	Uma coluna ideal: É uma coluna perfeitamente reta antes da carga.
	 A carga é aplicada no centroide da seção transversal.
	A coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal da seção transversal que tenha o menor momento de inércia.
	Indice de Esbeltez : É uma medida mecânica utilizada para estimar com que facilidade uma coluna ou pilar irá se encurvar. Dado por (L/r).
	Raio de giração: É a distância uniforme de um eixo de referência na qual se supõe que toda a área esteja distribuída.
	Colapso: A barra muda sua configuração linear, passa a ter uma outra configuração não linear e se rompe por flexão, isto é, em Estado Limite Último.
*
*
Pcr = Carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes de começar a flambagem.
E=Modulo de elasticidade do material.
I = Menor momento de inércia para a área da seção transversal
L = comprimento da coluna sem apoio
Equações Flambagem
*
*
Equações Flambagem
*
*
Um tubo de aço A-36 com 7,2m de comprimento e seção transversal vazada de raio interno de 70mm e externo 75mm deve ser usado como uma coluna presa por pinos na extremidade. Determine a carga axial admissível máxima que a coluna pode suportar sem sofrer flambagem.
Exemplo 13.1
7,2mm
*
*
Solução:
1- usando a equação para obter a carga critica com Eaço=200GPA.
Pcr=228,2KN (resposta)
2-Esta força cria uma tensão de compressão média na coluna de: 
 
σ cr=100,2N/mm2=100MPa
*
*
O elemento estrutural A-36 W200 X 46 de aço mostrado na figura ao lado deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos. Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o aço escoe. Eaço=200GPA, σesc= 250 N/mm2
Exemplo 13.2
*
*
1-Do apêndice B,
2-Por inspeção, ocorrerá flambagem em torno do eixo y–y.
3-Quando totalmente carregada, a tensão de compressão média na coluna é
4-Visto que a tensão ultrapassa a tensão de escoamento(250 N/mm2)
Solução:
*
*
Colunas com vários tipos de apoio
	Equação de Euler é usada para determinar a carga crítica, na qual “L” representa a distância sem apoio que estejam presas mas livres para girar, ou seja de momento fletor nulo (ex: pinos).
	No caso de diferente tipos de apoio de colunas, a distancia entre as inflexões das curvas é denominada de comprimento efetivo da coluna, Le.
	Normas de projeto fornecem fórmulas que empregam um coeficiente admensional K, chamado fator de comprimento efetivo, é usado para calcular Le.
*
*
	Portanto, podemos descrever a euação de Euler como:,
KL/r = índice de esbeltez efetivo
*
*
A coluna de alumínio está presa na base e seu topo está ancorado por cabos de modo a impedir que o topo movimente-se ao longo do eixo x (Figura (a)). Se considerarmos que ela está fixa na base, determine a maior carga admissível P que pode ser aplicada. Use um fator de segurança para flambagem FS = 3,0. Considere Eal = 70GPa, σe = 215MPa, A = 7,5(10-3)m2, Ix = 61,3(10-6)m4, Iy = 23,2(10-6)m4.
Exemplo
*
*
*
*
Para x–x flambagem, K = 2, 
Para y–y flambagem, K = 0,7, 
2- Cálculo das cargas críticas para cada caso:
3-Determinar a carga admissível( máxima carga que pode ser aplicada sem
 gerar flambagem), e tensão crítica.
Nota: foi usado (Pcr) x, porque ele é o menor entre x e y, portanto
 a partir de uma carga 424kN já existe flambagem.(σe = 215MPa)
Passos Solução:
1-Calculo Le para flambagem em x-x e para y-y
*
*
Capítulo 9: 
Transformação de tensão
*
*
Transformação de tensão no plano
	Neste capitulo mostraremos como transformar os componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas particular, em componentes associados a um sistema de coordenadas que tenha orientação diferente.
	Uma vez estabelecidas as equações de transformação necessárias, podemos obter as tensões normal máxima e de cisalhamento máxima em um ponto e determinar a orientação dos elementos sobre os quais atuam.
*
*
	O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento.
	σx, σy, σz – Tensoes normais
	Τxy, Τyz, Τzx – Tensoes de cisalhamento
	A tensão produzida em um elemento estrutural ou mecânico pode ser analisada em um único plano. Quando σz= Τzx = Τyz =0 ocorre, o material está sujeito a tensões no plano. 
Transformação de tensão no plano
*
*
	Componentes de tensão podem se transformar, em um elemento casotenha uma orientação diferente.
	Análise do estado plano de tensões, é o estudo realizado sobre as componentes de tensões normais e de cisalhamento quando os eixos coordenados sofrem rotação
*
*
	A tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva age para cima na face direita 
do elemento.
Equações gerais de transformação de tensão no plano
*
*
O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada.
Exemplo 
*
*
Solução:
Pela convenção de sinal, temos
Para obter as componentes de tensão no plano CD,
*
*
Para obter os componentes de tensão no plano BC,
Os resultados são motrados na figura abaixo.
*
*
Tensões principais no plano
	A orientação dos planos irá determinar se a
tensão normal é máxima ou mínima.
	A solução tem duas raízes, portanto 
temos a tensão principal.
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima no plano
*
*
Tensão de cisalhamento máxima no plano
	A orientação de um elemento irá determinar a 
máxima e a mínima da tensão de cisalhamento.
	Temos então a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média.
*
*
*
*
Quando a carga de torção T é aplicada à barra, ela produz um estado de tensão de cisalhamento puro no material. Determine (a) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada, e (b) as tensões principais.
Exemplo 
*
*
Solução:
Pela convenção de sinal definida .
a) Tensão de cisalhamento máxima é
b) Para tensões principais,
*
*
O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é representado no elemento mostrado na figura abaixo. Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada.
Exemplo 9.4
*
*
Solução:
1-Encontrar posição do novo plano de tensões:
Como , temos
2-Encontrar a tensão de cisalhamento máxima e a tensão
normal média é
*
*
Dos parâmetros da circunferência determinamos os parâmetros do circulo de Mohr:
	Ponto A : Máximo valor da tensão normal (σx)
	Ponto B : Menor valor da tensão normal (σx)
	A e B São nulos da tensão de cisalhamento.
	A tensão normal que corresponde a tensão máxima de cisalhamento é a tensão média.(pontos D e E).
	σmax= σmed +R e σmin= σmed -R 
Círculo de Mohr — tensão no plano
*
*
	Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima no plano são equações paramétricas de uma circunferência.
	A transformação da tensão no plano têm uma solução gráfica(circulo de Mohr) que é fácil de lembrar.
	Este circulo é chamado de Circulo de Mohr porque foi desenvolvido pelo Engenheiro Alemão Otto Von Mohr.
Círculo de Mohr — tensão no plano
*
*
Círculo de Mohr — tensão no plano
*
*
Círculo de Mohr — tensão no plano
*
*
Círculo de Mohr — tensão no plano
*
*
A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostrado na figura abaixo. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Exemplo 
*
*
Solução:
1-Primeiro desenhamos o círculo,
2-O centro do círculo C está no eixo em
3-O ponto A representa um ponto de tensão normal média e tensão de cisalhamento máxima no plano. Assim,
4-As tensões principais são identificadas como os pontos B e D no círculo. Sendo o esforço de cisalhamento em sentidos contrarios referentes a torção. 
*
*
O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na figura abaixo. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a orientação do elemento sobre o qual ela age.
Exemplo
*
*
Solução:
1-Primeiro, desenhamos o círculo, . 
2- O centro do círculo C está no eixo em: .
3-O ponto C e o ponto de referência A(-20, 60) estão marcados. 
Temos:
4-A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal
média são
5-O ângulo em sentido anti-horário é
*
*
Uma força axial de 900 N e um torque de 2,5 Nm são aplicados ao eixo. O diâmentro do eixo for de 40 mm, determine as tensões principais em um ponto P sobre sua superfície.
Exemplo 
*
*
Solução:
1-As tensões produzidas no ponto P são
2-As tensões principais podem ser determinadas pelo círculo de Mohr:
3-As tensões principais estão representadas pelas coordenadas dos pontos B e D na abscissa, portanto:
*
*
Torque
	Use a regra da mão direita para definir o sentido do vetor torque.
	Posicione os dedos da mão direita na direção indicada pela força. 
	O polegar esticado indicará a direção procurada.
*
	Relação Linear entre tensão e deformação na região de elasticidade de cada material.
	Aumento da tensão provoca aumento proporcional na deformação.
σ= Tensão
ε = Deformação
E=Modulo de elasticidade do material
A Lei de Hooke
*
*
	Motivação: por que a resistência à flexão de uma viga depende da orientação da seção transversal?
	Resposta:
	 Porque o momento de inércia da seção transversal da viga ‘em pé’ é maior do que o momento de inércia da seção transversal da viga deitada; e a resistência à flexão de uma viga está associada ao momento de inércia da seção transversal.
*
	Seção transversal é bidimensional
Propriedades de Seções Transversais
 Isso acarreta em dois momentos de inércia em relação a
	eixos que passam pelo centroide da seção:
Momento de inércia em relação ao eixo x :
 Momento de inércia em relação ao eixo y :
	Unidades de momento de inércia: comprimento à quarta potência
*
	Momentos de inércia quantificam o “afastamento” de pontos da seção em relação aos eixos que passam pelo centroide
• A forma de uma seção transversal não é caracterizada apenas
	pelo centroide e pela área.
	os momentos de inércia caracterizam a dispersão de pontos de uma seção transversal.
Momento de inércia grande
em relação ao eixo y e
pequeno em relação ao eixo x .
*
Tensão de Torção
Tensão interna atuante na seção transversal da peça.
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Deformação
Introdução
	Deformação: Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o tamanho dele. 
	É a quantidade geométrica medida por técnicas experimentais. Uma vez vez obtida, pode-se determinar a tensão no corpo pelas relações entre as propriedades do material
	Unidades de deformação SI: M/M, mm/mm ou expressa como porcentagem. 
Exemplos Deformação:
	Tira de borracha: Sofre grande deformação quando esticada.
	Elementos estruturais de um edifício: sofrem pequenas deformações quando há muitas pessoas andando dentro dele.
*
Deformação
Deformação Normal: É a medida do alongamento ou contração de um pequeno segmento de reta no corpo.
Deformação por cisalhamento: Mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta que originariamente eram perpendiculares um ao outro.
*
*
*
*
*
*
UNIDADES DE MEDIDA (segundo o Sistema Internacional de Unidades)
Potencia em kW (quilowatt)
1 kW = 1,36 cv (cavalo vapor)
1 cv = 735,5 W (Watt)
Temperatura em °C (graus Celsius) 
Unidade de Temperatura Absoluta: K (Kelvin) 
0°C = 273,15 K 
0 K = -273,15 °C 
Torque em Nm (Newton x metro)
Unidade precedente: kgf.m (quilograma-força x metro)
1 Nm = 0,102 kgf.m
1 kgf.m = 9,81 Nm
Pressão em Pascal (N/m2) 
1 bar = 105 Pa 
Pressão em bar 
1 bar = 1,02 kgf/cm2 
1 kgf/cm2 = 0,981 bar 
1 kgf/cm2 = 10 m.c.a. (metro de coluna d'água)
Obs.: Para simplificação, as unidades Nm, bar e Celsius serão convertidas da seguinte forma:
1 kgf.m = 10 Nm
1 kgf/cm2 = 1bar
273 K = 0°C
*
*
Valores de conversão para unidades inglesas
1 kW = 1.34 hp (horse power)
1 cv = 0.9863 hp
0,1 mm = 3.937 mils (milésimos de polegada)
1 mm = 0.039 inch (polegada)
1 m = 3.281 ft (pé)
1 km = 0.621 mile (milha)
1 g = 0.035 oz (onça)
1 kg= 2.205 lb (libra)
1 bar = 14.5 PSI (lbf/in2)
21°C = 70°F {°C = (°F – 32) / 1,8)}
1N/mm2 =1MPa
*
0
M
 
 
 
0
F
=
=
å
å
O
0
 
,
 
0
 
,
 
0
0
 
,
 
0
 
,
 
0
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å
å
å
å
å
å
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
m
N
180
9
270
6
=
Þ
=
w
w
(
)
(
)
N
540
6
180
2
1
=
=
F
(
)
m
2
6
3
1
=
(
)
(Resposta)
 
m
N
 
0
08
.
1
 
 
 
 
0
2
540
 
 
;
0
 
(Resposta)
 
540
 
 
 
 
 
0
540
 
 
;
0
(Resposta)
 
0
 
 
 
 
 
0
 
 
;
0
×
-
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+
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­
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å
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C
C
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C
x
M
M
M
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V
F
N
N
F
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)
(
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(
)
(
)
(
)
(
)
N
 
525
,
24
81
,
9
25
,
1
2
N
 
81
,
9
2
/
81
,
9
5
,
0
/
2
=
=
=
=
AD
BD
W
s
m
m
m
kg
W
(
)
(
)
(
)
(
)
(Resposta)
 
N
 
3
,
84
 
 
 
 
0
50
525
,
24
81
,
9
 
;
0
(Resposta)
 
0
 
;
0
(Resposta)
 
0
 
;
0
=
=
-
-
-
=
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=
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å
å
å
z
F
F
F
F
F
F
F
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B
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x
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(
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(
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(
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(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(Resposta)
 
0
 
;
0
(Resposta)
 
m
N
8
,
77
 
 
 
 
 
0
25
,
1
50
625
,
0
525
,
24
 
;
0
(Resposta)
 
m
N
3
,
30
 
 
 
 
 
0
25
,
0
81
,
9
5
,
0
525
,
24
5
,
0
50
70
 
;
0
=
=
×
-
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+
+
=
×
-
=
=
-
-
-
+
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å
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z
B
z
B
y
B
y
B
y
B
x
B
x
B
x
B
M
M
M
M
M
M
M
M
J
T
J
Tc
r
t
t
=
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ou 
 
máx
máx
t
t
T
J
c
r
4
2
c
J
p
=
(
)
4
4
2
i
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c
c
J
-
=
p
(
)
mm
 
10
97
,
4
75
2
7
4
´
=
=
p
J
mm
kN
 
250
.
1
0
000
.
3
250
.
4
 
;
0
×
=
Þ
=
-
-
=
å
T
T
M
x
(
)
(
)
(Resposta)
 
MPa
 
89
,
1
10
97
,
4
75
250
.
1
7
=
´
=
=
J
Tc
A
t
(
)
(
)
(Resposta)
 
MPa
 
377
,
0
10
97
,
4
15
250
.
1
7
=
´
=
=
J
Tc
B
t
dt
d
T
P
/
 
é
 
eixo
 
do
angular 
 
e
 velocidad
a
 
onde
 
q
w
w
=
=
f
p
w
p
2
rad
 
2
ciclo
 
1
=
Þ
=
fT
P
p
2
=
adm
t
T
c
J
=
Nm
 
6
,
204
60
2
175
750
.
3
=
Þ
÷
ø
ö
ç
è
æ
´
=
=
T
T
T
P
p
w
(
)
(
)
(
)
mm
 
92
,
10
100
000
.
1
6
,
204
2
2
2
3
/
1
3
/
1
adm
adm
4
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
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p
pt
t
p
T
c
T
c
c
c
J
I
My
-
=
s
kNm
 
5
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M
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
6
3
2
3
2
m
 
10
3
,
301
 
3
,
0
02
,
0
12
1
16
,
0
02
,
0
25
,
0
02
,
0
25
,
0
12
1
2
 
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
+
=
+
=
å
Ad
I
I
(
)
(
)
(Resposta)
 
MPa
 
7
,
12
10
3
,
301
17
,
0
5
,
22
 
;
6
máx
máx
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s
s
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(
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(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
mm
 
09
,
59
m
 
05909
,
0
 
25
,
0
02
,
0
015
,
0
2
,
0
2
25
,
0
02
,
0
01
,
0
015
,
0
2
,
0
1
,
0
2
=
=
+
+
=
=
å
å
A
A
y
y
(
)
(
)
kNm
 
859
,
4
0
05909
,
0
0
,
1
2
4
,
2
 
;
0
=
Þ
=
-
+
=
+
å
M
M
M
NA
(
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(
)
(
)
(
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(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
6
2
3
2
3
m
 
10
26
,
42
 
05909
,
0
1
,
0
2
,
0
015
,
0
2
,
0
015
,
0
12
1
2
 
01
,
0
05909
,
0
02
,
0
25
,
0
02
,
0
25
,
0
12
1
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
+
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
=
I
(
)
(
)
(Resposta)
 
MPa
 
2
,
16
10
26
,
42
05909
,
0
2
,
0
859
,
4
6
máx
=
-
=
=
-
I
Mc
s
(
)
10
/
³
t
r
al
longitudin
 
direção
 
na
 
normal
 
 tensão
2
ncial
circunfere
 
direção
 
na
 
normal
 
 tensão
2
1
t
pr
t
pr
=
=
s
s
(
)
(
)
MPa
 
75
,
3
40
100
000
.
15
=
=
=
A
P
s
(
)
(
)
(
)
 MPa
25
,
11
100
40
12
1
50
000
.
750
3
máx
=
=
=
I
Mc
s
(Resposta)
 
o)
(compressã
 
MPa
 
15
(Resposta)
 
(tração)
 
MPa
 
5
,
7
=
=
C
B
s
s
(
)
mm
 
3
,
33
 
100
15
75
=
-
=
x
x
mm
MPa
x
MPa
(
)
kN
 
56
,
3
1
000
.
1
600
000
.
1
612
/
78
2
2
3
aço
aço
aço
=
Þ
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
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z
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g
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2
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aço
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m
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x
y
I
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375
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2
 
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2
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MPa
 
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MPa
 
25
 
MPa
 
50
 
MPa
 
80
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MPa
 
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MPa
 
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méd
2
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no
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1
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s
s
t
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s
q
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s
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0
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0
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0
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y
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s
s
t
s
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2
1
 
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90
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s
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4
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81
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2
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35
2
90
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s
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35
 
,
 
MPa
 
81,4
méd
plano
 
no
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s
t
(Resposta)
 
3
,
21
5
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60
35
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2
1
1
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1
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méd
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s
(Resposta)
 
kPa
 
5
,
51
7
,
409
1
,
358
(Resposta)
 
kPa
 
7
,
767
7
,
409
1
,
358
2
1
-
=
-
=
=
+
=
s
s
kPA
y
x
R
xy
7
,
409
2
2
2
±
=
ú
ú
û
ù
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ê
ë
é
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
t
s
s