Lima, Vicente de Paulo Equações Diferenciais Ordinárias

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Piauí
Centro de Educação Aberta e a Distância
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
ORDINÁRIAS
Vicente de Paulo Lima
Ministério da Educação - MEC
Universidade Aberta do Brasil - UAB
Universidade Federal do Piauí - UFPI
Universidade Aberta do Piauí - UAPI
Centro de Educação Aberta e a Distância - CEAD
Vicente de Paulo Lima
Equações Diferenciais 
Ordinárias
C117f Lima, Vicente de Paulo
Equações Diferenciais Ordinárias/ CVicente de Paulo Lima 
- Teresina: EDUFPI/UAPI
2012
 142 p.
 
ISBN: 
1- Educação - Física 2 - Conhecimento - Teoria 3 - Educação 
a Distância
I. Título 
 C.D.D. - 370.1
L732e Lima, Vicente de Paula.
 Equações Diferenciais e Ordinárias/ Vicente de Paula 
Lima. - 2012.
 122p.
1. Física. 2. Equações Diferenciais. 3. Equações Ordinárias. 4. 
Educação a Distância. I. Título.
 CDD 530-078 5
PRESIDENTE DA REPÚBLICA
MINISTRO DA EDUCAÇÃO
GOVERNADOR DO ESTADO
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
PRESIDENTE DA CAPES
COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
DIRETOR DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA DA UFPI
Dilma Vana Rousseff Linhares
Aloizio Mercadante
Wilson Nunes Martins
José Arimatéia Dantas Lopes
Jorge Almeida Guimarães
João Carlos Teatini de S. Clímaco
Gildásio Guedes Fernandes
COORDENADORES DE CURSOS
ADMINISTRAÇÃO
ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA
CIÊNCIAS BIOLÓGICAS
FILOSOFIA
FÍSICA
LETRAS PORTUGUÊS
LETRAS INGLÊS
MATEMÁTICA
PEDAGOGIA
QUÍMICA
SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
Antonella Maria das Chagas Sousa
Fabiana Rodrigues de Almeida Castro
Maria da Conceição Prado de Oliveira
Zoraida Maria Lopes Feitosa
Miguel Arcanjo Costa
José Vanderlei Carneiro
Lívia Fernanda Nery da Silva
João Benício de Melo Neto
Vera Lúcia Costa Oliveira
Milton Batista da Silva
Leonardo Ramon Nunes de Sousa
CONSELHO EDITORIAL DA EDUFPI
Prof. Dr. Ricardo Alaggio Ribeiro ( Presidente )
Des. Tomaz Gomes Campelo
Prof. Dr. José Renato de Araújo Sousa
Profª. Drª. Teresinha de Jesus Mesquita Queiroz
Profª. Francisca Maria Soares Mendes
Profª. Iracildes Maria de Moura Fé Lima
Prof. Dr. João Renór Ferreira de Carvalho
TÉCNICOS EM ASSUNTOS EDUCACIONAIS
EDIÇÃO
PROJETO GRÁFICO
DIAGRAMAÇÃO
REVISÃO ORTOGRÁFICA
REVISÃO GRÁFICA
EQUIPE DE DESENVOLVIMENTO
Zilda Vieira Chaves
Ubirajara Santana Assunção
Djane Oliveira de Brito
Roberto Denes Quaresma Rêgo
Samuel Falcão Silva
José Luís Silva
Lis Cardoso Marinho Medeiros
Carmem Lúcia Portela Santos
© 2012. Universidade Federal do Piauí - UFPI. Todos os direitos reservados.
A responsabilidade pelo conteúdo e imagens desta obra é do autor. O conteúdo desta obra foi licenciado temporária e gratuitamente para utilização 
no âmbito do Sistema Universidade Aberta do Brasil, através da UFPI. O leitor se compromete a utilizar o conteúdo desta obra para aprendizado 
pessoal, sendo que a reprodução e distribuição ficarão limitadas ao âmbito interno dos cursos. A citação desta obra em trabalhos acadêmicos e/ou 
profissionais poderá ser feita com indicação da fonte. A cópia deste obra sem autorização expressa ou com intuito de lucro constitui crime contra a 
propriedade intelectual, com sansões previstas no Código Penal. É proibida a venda ou distribuição deste material.
Este texto é destinado aos estudantes do curso de Física que 
participam do programa de Educação a Distância da Universidade 
Aberta do Piauí (UAPI) vinculada ao consórcio formado pela 
Universidade Federal do Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí 
(UESPI), Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piaui 
(IFPI), com apoio do Governo do estado do Piauí, através da Secretaria 
de Estado da Educação e Cultura tem por objetivo introduzir de forma 
sucinta, um estudo de equações diferenciais, concentrado em vários 
exemplos simples de equações diferenciais ordinárias de primeira e 
segunda ordens, além de mostrar exemplos de problemas da Física, 
que envolvem esses tipos de equações, de forma que iniciantes nessa 
área, tenham total compreensão do assunto em estudo.
O texto é composto de 07 unidades, contendo itens e subitens, 
que discorrem sobre: 
Na Unidade 1: História das Equações Diferenciais 
Na Unidade 2 : Conceitos Fundamentais
Na Unidade 3: Equações de Primeira Ordem e Primeiro Grau 
Na Unidade 4: Equações Homogêneas 
Na Unidade 5: Equações Diferenciais Exatas
Na Unidade 6: Equações Lineares de Primeira Ordem
Na Unidade 7: Equações Lineares de Segunda Ordem.
UNIDADE 1
HISTÓRIA DAS EQUAÇõES DIFERENCIAIS .................................. 11
UNIDADE 2
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Grau de uma equação diferencial3 ...........................................22
Solução de uma equação diferencial .........................................23
Resolução de uma equação diferencial .....................................24
Tipos de soluções ......................................................................24
Interpretação geométrica ..........................................................25
UNIDADE 3
EQUAÇõES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM E 1º GRAU
Equações de variáveis separáveis ..............................................39
Resolução de equações diferenciais de variáveis separáveis ....39
Trajetórias ortogonais................................................................51
UNIDADE 4
EQUAÇõES HOMOGÊNEAS 
Resolução de uma equação diferencial homogênea .................63
Equações redutíveis às homogêneas .........................................67
11
19
37
63
UNIDADE 5
EQUAÇõES DIFERENCIAIS EXATAS
Fator integrante .........................................................................83
Pesquisa do fator integrante .....................................................83
UNIDADE 6
EQUAÇõES LINEARES
Definição ...................................................................................91
Métodos de resolução ..............................................................91
Lista de exercícios resolvidos .....................................................94
Equação de Bernoulli .................................................................98
UNIDADE 7
EQUAÇõES LINEARES
Equação diferencial com coeficientes constantes ...................110
Equação característica ............................................................111
Solução de uma equação homogênea com coeficientes 
constantes ...............................................................................111
Solução de uma equação não homogênea com coeficientes 
constantes ...............................................................................114
REFERÊNCIAS.......................................................................123
79
91
109
UNIDADE 01
História das Equações 
Diferenciais 
História das Equações Diferenciais 11
HISTóRIA DAS EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
História das Equações Diferenciais 
De várias maneiras, as equações diferenciais são o coração da análise 
e do cálculo, dois dos mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 
(trezentos) anos. As Equações diferenciais são uma parte integral ou um dos 
objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Como uma ferramenta 
matemática importante para ciências físicas, a equação diferencial não tem 
igual. Assim é amplamente aceito que equações diferenciais são importantes 
em ambas as matemáticas, pura e aplicada. A história sobre este assunto é 
rica no seu desenvolvimento e é isto que será apresentado. 
Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados 
pelas contribuições de um homem, Leonhard Euler, que pode-
se dizer que a história deste assunto começa e termina com 
ele. Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu 
desenvolvimento. Existem vários contribuintes importantes, e aqueles 
que vieram antes de Euler foram necessários para que ele pudesse 
entender o cálculoe a análise necessários para desenvolver muitas 
das ideias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler refinaram 
seu trabalho e produziram ideias inteiramente novas, inacessíveis à 
perspectiva do séc XVIII de Euler e sofisticadas além do entendimento 
de apenas uma pessoa. 
Esta é a história do desenvolvimento das equações diferenciais. 
Daremos uma pequena olhada nas pessoas, nas equações, nas 
técnicas, na teoria e nas aplicações.
A história começa com os inventores do cálculo, Fermat, 
Newton, e Leibniz. A partir do momento que estes matemáticos 
brilhantes tiveram entendimento suficiente e notação para a 
Saiba Mais acesse:
http://cwx.prenhall.com/
bookbind/pubbooks/thomas_br/
chapter1/medialib/custom3/
bios/euler.htm
unidade 0112
derivada, esta logo apareceu em equações e o assunto nasceu. 
Contudo, logo descobriram que as soluções para estas equações 
não eram tão fáceis. As manipulações simbólicas e simplificações 
algébricas ajudaram apenas um pouco. A integral (antiderivada) e 
seu papel teórico no Teorema Fundamental do Cálculo ofereceu 
ajuda direta apenas quando as variáveis eram separadas, em 
circunstâncias muito especiais. O método de separação de variáveis 
foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz. 
Assim estes pesquisadores iniciais do século 17 focalizaram estes 
casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das 
teorias e técnicas para aqueles que os seguiram.
Ao redor do início do séc XVIII, a próxima onda de 
pesquisadores de equações diferenciais começou a aplicar estes 
tipos de equações a problemas em astronomia e ciências físicas. 
Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equações 
diferenciais para o movimento planetário, usando os princípios 
de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalho 
de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenária e o uso de 
coordenadas polares. Nesta época, as equações diferenciais 
estavam interagindo com outros tipos de matemática e ciências para 
resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos 
princípios para analisar a trajetória de um cometa que hoje leva seu 
nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi provavelmente o 
primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios 
de mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos 
usando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Ricatti 
(1676-1754) começou um estudo sério de uma equação em particular, mas 
foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos especiais da equação 
que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, todos 
estudaram os casos da equação de Ricatti também. Na época, Taylor usou 
séries para “resolver” equações diferenciais, outros desenvolveram e usaram 
estas séries para vários propósitos. Contudo, o desenvolvimento de Taylor 
de diferenças finitas começou um novo ramo da matemática intimamente 
relacionado ao desenvolvimento das equações diferenciais. No início do 
século XVIII, este e muitos outros matemáticos tinham acumulado uma 
crescente variedade de técnicas para analisar e resolver muitas variedades 
de equações diferenciais. 
Saiba Mais
acesse http://cwx.prenhall.com/
bookbind/pubbooks/thomas_br/
chapter1/medialib/custom3/
deluxe-content.html
Pesquisar os tópicos:
- Fermat, Pierre de (1601-1665)
- Newton, Isaac (1642-1727)
- Leibniz, Gottfried Wilhelm 
(1646-1716)
- História da Derivada
- História da Integral
- O Teorema Fundamental do 
Cálculo
- Bernoulli, Jakob (1654-1705)
- Leibniz, Gottfried Wilhelm 
(1646--1716)
- Bernoulli, Jakob (1654-1705)
- Bernoulli, Johann (1667-1748)
- Taylor, Brook (1685-1731)
- Lagrange, Joseph Louis 
(1736-1813)
- Bernoulli, Daniel (1700-1789)
História das Equações Diferenciais 13
Contudo, muitas equações ainda eram desconhecidas em termos 
de propriedades ou métodos de resolução. Cinquenta anos de equações 
diferenciais trouxeram progresso considerável, mas não uma teoria geral.
O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um 
mestre para consolidar e generalizar os métodos existentes e criar novas e 
mais poderosas técnicas para atacar grandes famílias de equações. Muitas 
equações pareciam amigáveis, mas tornaram-se decepcionantemente 
difíceis. Em muitos casos, técnicas de soluções iludiram perseguidores 
por cerca de cinquenta anos, quando Leonhard Euler chegou à cena das 
equações diferenciais. Euler teve o benefício dos trabalhos anteriores, mas a 
chave para seu entendimento era seu conhecimento e percepção de funções. 
Euler entendeu o papel e a estrutura de funções, estudou suas propriedades 
e definições. Rapidamente achou que funções eram a chave para entender 
equações diferenciais e desenvolver métodos para suas resoluções. Usando 
seu conhecimento de funções, desenvolveu procedimentos para soluções 
de muitos tipos de equações. Foi o primeiro a entender as propriedades e 
os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e muitas 
outras funções elementares. Euler também desenvolveu várias funções 
novas baseadas em soluções em séries de tipos especiais de equações 
diferenciais. Suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes 
indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver este assunto. 
Em 1739, desenvolveu o método de variação de parâmetros. Seu trabalho 
também incluiu o uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento de 
métodos numéricos, os quais proveram “soluções” aproximadas para quase 
todas as equações. Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica 
que levou a modelos de equações diferenciais e soluções. Ele era um 
mestre que este assunto necessitava para se desenvolver além de seu início 
primitivo, tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento da 
matemática aplicada moderna.
Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou 
estenderam muitas das ideias de Euler. Em 1728, Daniel Bernoulli usou 
os métodos de Euler para ajudá-lo a estudar oscilações e as equações 
diferenciais que produzem estes tipos de soluções. O trabalho de D’Alembert 
em física matemática envolveu equações diferenciais parciais e explorações 
por soluções das formas mais elementares destas equações. Lagrange 
seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e estendendo 
resultados em mecânica, especialmente equações de movimento (problema 
Fig 01
Fonte: www.ufmt.br/
matematica/geraldo/
histed. html
unidade 0114
dos três corpos) e energia potencial. As maiores contribuições 
de Lagrange foram provavelmente na definição de função e 
propriedades, o que manteve o interesse em generalizar métodos 
e analisar novas famílias de equações diferenciais. Lagrange foi 
provavelmente o primeiro matemático com conhecimento teórico 
e ferramentas suficientes para ser um verdadeiro analista de 
equações diferenciais.
Em 1788, ele introduziu equações gerais de movimento para 
sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como equações de Lagrange. 
O trabalho de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a 
mais avanços, incluindo técnicas numéricas melhores e um melhor 
entendimento de integração. Em 1799, introduziu as ideias de 
um laplaciano de uma função. Laplace claramente reconheceu as 
raízes de seu trabalho quando escreveu “Leia Euler, leia Euler, ele é 
nosso mestre”. O trabalho de Legendre sobre equações diferenciais 
foi motivado pelo movimento de projéteis, pela primeira vez levando 
em conta novos fatores tais como resistência do ar e velocidades 
iniciais. Lacroix foi o próximo a deixar sua marca. Trabalhou em 
avanços nas equações diferenciais parciais e incorporou muitos 
dos avanços desde os tempos de Euler ao seu livro. A contribuição 
principal de Lacroix foi resumir muitos dos resultados de Euler, Lagrange, 
Laplace, e Legendre. O próximo na ordem foi Fourier.
Sua pesquisa matemática fez contribuições ao estudo e cálculos da 
difusão de calor e à solução de equações diferenciais. Muito deste trabalho 
aparece em The Analytical Theory of Heat (A Teoria Analítica do Calor,1822)de Fourier, no qual ele fez uso extensivo da série que leva seu nome. Este 
resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de oscilações. Fourier, 
contudo, pouco contribuiu para a teoria matemática desta série, a qual 
era bem conhecida anteriormente por Euler, Daniel Bernoulli, e Lagrange. 
As contribuições de Charles Babbage vieram por uma rota diferente. Ele 
desenvolveu uma máquina de calcular chamada de Máquina de Diferença 
que usava diferenças finitas para aproximar soluções de equações.
O próximo avanço importante neste assunto ocorreu no início do 
séc XIX, quando as teorias e conceitos de funções de variáveis complexas 
se desenvolveram. Os dois contribuintes principais deste desenvolvimento 
foram Gauss e Cauchy. Gauss usou equações diferenciais para melhorar 
as teorias das órbitas planetárias e gravitação. Gauss estabeleceu a teoria 
Saiba Mais:
acesse http://cwx.prenhall.com/
bookbind/pubbooks/thomas_br/
chapter1/medialib/custom3/
deluxe-content.html
Pesquisar os tópicos:
- Babbage, Charles (1792-
1871)
- História das Sequências e 
Séries 
- Fourier, Joseph (1768-1830)
- História da Integral
- História da Derivada
- Cauchy, Augustin-Louis 
(1789-1857)
- Gauss, Carl Friedrich (1777-
1855)
História das Equações Diferenciais 15
do potencial como um ramo coerente da matemática. Também 
reconheceu que a teoria das funções de uma variável complexa era a 
chave para entender muitos dos resultados necessários em equações 
diferenciais aplicadas. Cauchy aplicou equações diferenciais para 
modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido. 
Os resultados são agora clássicos em hidrodinâmica. Inventou o 
método das características, o qual é importante na análise e solução 
de várias equações diferenciais parciais. Cauchy foi o primeiro a 
definir completamente as ideias de convergência e convergência 
absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise rigorosa de cálculo 
e equações diferenciais. Também foi o primeiro a desenvolver 
uma teoria sistemática para números complexos e a desenvolver 
a transformada de Fourier para prover soluções algébricas para 
equações diferenciais.
Depois destas grandes contribuições de Gauss e Cauchy, 
outros puderam refinar estas teorias poderosas e aplicá-las a 
vários ramos da ciência. Os trabalhos iniciais de Poisson em 
mecânica apareceram em Traité de mécanique em 1811. Aplicou 
seu conhecimento de equações diferenciais a aplicações em física e 
mecânica, incluindo elasticidade e vibrações. Muito de seu trabalho 
original foi feito na solução e análise de equações diferenciais. 
Outro aplicador destas teorias foi George Green. O trabalho de Green em 
fundamentos matemáticos de gravitação, eletricidade e magnetismo foi 
publicado em 1828 em An Essay on the Application of Mathematical Analysis 
to Electricity and Magnetism. A matemática de Green proveu a base na qual 
Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros construíram a teoria atual 
do magnetismo. Bessel era um amigo de Gauss e aplicou seu conhecimento 
sobre equações diferenciais à astronomia. Seu trabalho sobre funções de 
Bessel foi feito para analisar perturbações planetárias. Posteriormente estas 
construções foram usadas para resolver equações diferenciais. Ostrogradsky 
colaborou com Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy enquanto usava 
equações diferenciais para desenvolver teorias sobre a condução do calor. 
Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de contorno resolvendo 
equações integrais equivalentes, um método refinado por Fredholm e Hilbert 
no início da década de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais 
de funções elementares foi uma contribuição substancial para soluções de 
equações diferenciais. As investigações teóricas e experimentais de Stokes 
Saiba Mais acesse:
http://cwx.prenhall.com/
bookbind/pubbooks/thomas_br/
chapter1/medialib/custom3/
deluxe-content.html
Pesquisar os tópicos:
- Poisson, Siméon-Denis 
(1781--1840)
- Green, George (1793--1841)
- Thomson, William (1824--
1907)
- Stokes, George Gabriel 
(1819--1903)
- Rayleigh, John William Strutt 
(1842--1919) 
- Maxwell, James Clerk (1831-
-1879)
- Ostrogradsky, Mikhail 
Vasilievich (1801--1862)
unidade 0116
cobriram hidrodinâmica, elasticidade, luz, gravitação, som, calor, 
meteorologia e física solar. Ele usou modelos de equações 
diferenciais em todos os campos de estudo.
Na metade do séc XIX, uma nova estrutura era necessária 
para atacar sistemas de mais de uma equação diferencial. Vários 
matemáticos vieram em socorro. Jacobi desenvolveu a teoria de 
determinantes e transformações em uma ferramenta poderosa 
para avaliar integrais múltiplas e resolver equações diferenciais. A 
estrutura jacobiana foi desenvolvida em 1841. Como Euler, Jacobi 
era um calculador muito hábil e um perito numa variedade de 
campos aplicados. Cayley também trabalhou com determinantes 
e criou uma teoria para operações com matrizes em 1854. Cayley 
era um amigo de J. J. Sylvester e foi para os Estados Unidos 
para lecionar na Universidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. 
Cayley publicou mais de 900 artigos cobrindo muitas áreas da 
matemática, dinâmica teórica e astronomia. Cayley criou a noção 
de matrizes em 1858 e desenvolveu boa parte da teoria de 
matrizes nas décadas posteriores. Josiah Gibbs fez contribuições 
à termodinâmica, ao eletromagnetismo e à mecânica. Por seu 
trabalho nos fundamentos de sistemas de equações, Gibbs é 
conhecido como o pai da análise vetorial.
À medida que o final do séc XIX se aproximava, os 
principais esforços em equações diferenciais se moveram para 
um plano teórico. Em 1876, Lipschitz (1832-1903) desenvolveu 
teoremas de existência para soluções de equações diferenciais de 
primeira ordem. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de 
funções e soluções de equações. À medida que a teoria se desenvolveu, as 
seis funções trigonométricas básicas foram provadas transcendentais, assim 
como as inversas das funções trigonométricas e as funções exponenciais 
e logarítmicas. Hermite mostrou que a equação de quinta ordem poderia 
ser resolvida por funções elípticas. Enquanto seu trabalho era teórico, os 
polinômios de Hermite e as funções de Hermite se mostraram posteriormente 
muito úteis para resolver a equação de onda de Schrödinger e outras 
equações diferenciais. O próximo a construir fundamento teórico foi Bernhard 
Riemann. Seu doutorado foi obtido, sob a orientação de Gauss, na teoria de 
variáveis complexas. Riemann também teve o benefício de trabalhar com 
o físico Wilhelm Weber. O trabalho de Riemann em equações diferenciais 
Saiba Mais:
acesse http://cwx.prenhall.com/
bookbind/pubbooks/thomas_br/
chapter1/medialib/custom3/
deluxe-content.html
Pesquisar os tópicos:
- Gibbs, Josiah Willard (1839-
-1903)
- Cayley, Arthur (1821-1895)
- Jacobi, Carl Gustav Jacob 
(1804-1851)
- História dos Vetores 
- Weierstrass, Karl (1815-1897)
- Sonya Kovalevsky (1850-891)
- História das Sequências e 
Séries 
- Weber, Wilhelm (1804-1891) 
- Riemann, Bernhard (1826-66)
- Hermite, Charles (1822-1901)
- Runge, Carl (1856--1927)
- Richard Courant (1888-1972)
- Poincaré, Jules- Henri (1854-
1912)
História das Equações Diferenciais 17
contribuiu para resultados em dinâmica e física. No final da década de 1890, 
Gibbs escreveu um artigo que descreveu a convergência e o “fenômeno de 
Gibbs” da série de Fourier. O próximo contribuinte teórico importante foi 
Kovalevsky, a maior matemática antes do século XX. Depois de vencer 
dificuldades consideráveis por causa da discriminação de seu gênero, ela 
teve oportunidade de estudar com Weierstrass. No início de sua pesquisa, 
completou três artigos sobre equações diferenciais parciais. No seu estudo 
da forma dos anéis de Saturno, ela se apoiou no trabalho de Laplace, cujo 
trabalho ela generalizou. Basicamente, o trabalho de Kovalevsky era sobre 
a teoria de equações diferenciais parciais e um resultado central sobre a 
existência de soluções ainda leva seu nome. Ela publicou vários artigossobre 
equações diferenciais parciais. Posteriormente, no séc XX, trabalhos teóricos 
de Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram 
novas classificações para o entendimento posterior de algumas das mais 
complicadas famílias de equações diferenciais.
O próximo impulso foi no desenvolvimento de métodos numéricos 
mais robustos e eficientes. Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para 
resolver as equações diferenciais que surgiram no seu estudo do espectro 
atômico. Estes métodos numéricos ainda são usados hoje. Ele usou tanta 
matemática em sua pesquisa que físicos pensaram que fosse matemático, e 
fez tanta física que os matemáticos pensaram que fosse físico. Hoje seu nome 
está associado com os métodos de Runge-Kutta para resolver equações 
diferenciais. Kutta, outro matemático aplicado alemão, também é lembrado 
por sua contribuição à teoria de Kutta-Joukowski de sustentação de aerofólios 
em aerodinâmica, baseada em equações diferenciais. Na última metade do 
século XX, muitos matemáticos e cientistas da computação implementaram 
métodos numéricos para equações diferenciais em computadores para dar 
soluções rápidas e eficientes para sistemas complicados, sobre geometrias 
complexas, de grande escala. Richard Courant e Garrett Birkhoff foram 
pioneiros bem sucedidos neste esforço.
Equações não lineares foram o próximo grande obstáculo. Poincaré, 
o maior matemático de sua geração, produziu mais de trinta livros técnicos 
sobre física, matemáticas e mecânica celeste. A maioria destes trabalhos 
envolveu o uso e análise de equações diferenciais. Em mecânica celeste, 
trabalhando com os resultados do astrônomo americano George Hill, 
conquistou a estabilidade das órbitas e iniciou a teoria qualitativa de 
equações diferenciais não lineares. Muitos resultados de seu trabalho foram 
unidade 0118
as sementes de novas maneiras de pensar, as quais floresceram, tais como 
análise de séries divergentes e equações diferenciais não lineares. Poincaré 
entendeu e contribuiu em quatro áreas principais da matemática - análise, 
álgebra, geometria e teoria de números. Ele tinha um domínio criativo de toda 
a matemática de seu tempo e foi, provavelmente, a última pessoa a estar 
nesta posição. No séc XIX, George Birkhoff usou as idéias de Poincaré para 
analisar sistemas dinâmicos grandes e estabelecer uma teoria para a análise 
das propriedades das soluções destas equações. Na década de 1980, a 
teoria emergente do caos usou os princípios desenvolvidos por Poincaré e 
seus seguidores. 
História das Equações Diferenciais 19
UNIDADE 02
Conceitos Fundamentais
Resumo 
Esta Unidade abordará os principais conceitos. Dentre eles destacam-se o conceito de equação diferencial 
ordinária, equação diferencial parcial, ordem de uma equação diferencial, grau de uma equação diferencial, 
solução de uma equação diferencial, tipos de soluções. Além disto apresentam-se métodos que auxiliam 
na verificação se uma dada função é ou não solução de uma equação diferencial. 
OBJETIVOS: 
Estudar os métodos básicos de resolução de equações diferenciais.
 Propiciar ao aluno desenvoltura em classificar e manipular problemas que envolvam equações diferenciais, 
com técnicas específicas de abordagem, adequadas à resolução de cada um. 
unidade 0220
Conceitos Fundamentais 21
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Definição: equação diferencial é toda equação que envolve uma função 
incógnita e suas derivadas.
Exemplos: as equações 1. 2. 3. 4. a seguir são equações envolvendo 
a função incógnita y de uma variável x exceto o exemplo 5. cuja função 
incógnita é z e as variáveis são x e y.
Uma equação diferencial é dita ordinária (EDO) quando a função 
incógnita depende apenas de uma variável independente. E é dita equação 
diferencial parcial (EDP) quando a função incógnita depende de duas ou mais 
variáveis independentes.
Exemplos: as equações 1. 2. 3. e 4. do exemplo anterior são 
equações diferenciais ordinárias, enquanto que a equação do exemplo 5 é 
uma equação diferencial parcial pois z = z ( x, y ).
unidade 0222
Ordem de uma equação diferencial
DEFINIÇÃO: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais 
alta derivada contida na equação.
Grau de uma equação diferencial 
DEFINIÇÃO: supondo a equação escrita sob forma racional inteira em 
relação às derivadas, chamam-se de grau da equação o maior dos expoentes 
a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação.
Exemplos: analisando as equações do exemplo acima podem-se 
classifica-las quanto à ordem e ao grau em :
Exemplo 1 : 1ª ordem e 1º grau
Exemplo 2 : 2ª ordem e 1º grau
Exemplo 3 : 4ª ordem e 3º grau
Exemplo 4 : 3ª ordem e 2º grau
Exemplo 5 : 2ª ordem e 1º grau
NOTA: observe-se, pelos exemplos a seguir que nem sempre, à 
primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato quanto à ordem e 
grau. 
Exemplo 6. é de 3ª ordem e 2º grau pois ela é 
equivalente a 
Exemplo 7. é de 1ª ordem e 1º grau pois ela
 é equivalente ou ou 
Casos particulares
Saiba Mais: Logaritmos e 
propriedades operatórias 
www.brasilescola.com
Conceitos Fundamentais 23
( 1 ) é a equação diferencial ordinária de 
1ª ordem e 1º grau que descreve a carga em um circuito RC que tem 
resistor de resistência R, um capacitor de capacitância C e um gerador que 
gera uma diferença de potencial .
( 2 ) é a equação diferencial ordinária de 2ª 
ordem e 1º grau que descreve o movimento de um pêndulo simples de massa 
m e comprimento 1.
( 3 ) é a equação diferencial ordinária 
de 2ª ordem e 1º grau que descreve um sistema massa-mola composto de 
uma massa m presa a uma mola com constante elástica K, sujeita a uma 
força de atrito e uma força externa .
( 4 ) é a equação diferencial parcial de 2ª ordem e 
1º grau que descreve o potencial elétrico de uma região em que 
não há cargas elétricas.
Solução de uma equação diferencial
DEFINIÇÃO: solução de uma equação diferencial na função incógnita 
y e na variável independente x, definida em um intervalo I, é toda função y(x) 
que verifica a equação diferencial identicamente para todo x, x ∈ I.
Exemplo1. é uma solução da equação diferencial 
 .
 Exemplo 2. y = é uma solução da equação 
 pois e daí temos 
unidade 0224
que + 4y = + 4 ( ) = 0
Resolução de uma equação diferencial
Resolver ou integrar uma equação diferencial, é determinar todas as 
funções que sob a forma finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma 
função de variáveis livres que substituídas na equação transforme-a numa 
identidade.
Exemplo: obtenha uma solução para a equação diferencial . 
Solução: da equação pode-se escrever 
e integrando fica e dai temos 
Tipos de soluções
Solução Geral: é a solução da equação, que contém tantas constantes 
arbitrárias quantas forem as unidades da ordem da equação. 
Exemplo 1. é a solução geral da equação diferencial 
 
de primeira ordem .
Exemplo 2. y = é a solução geral da 
equação diferencial de segunda ordem .
Solução Particular: é a solução da equação deduzida da solução 
geral, atribuindo-se valores particulares às constantes arbitrárias.
Exemplo 1. é uma solução particular da equação
 diferencial ( toma-seno exemplo 1 anterior C=5)
Conceitos Fundamentais 25
Exemplo 2. y= é uma solução particular da equação
 diferencial (toma-se no exemplo 2 anterior 
 
 e )
Interpretação geométrica
Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial 
representa uma família de curvas, que recebem o nome de curvas integrais. 
Essa solução denomina-se também de primitiva ou integral da equação 
diferencial.
Exemplo: Seja a equação:
 A sua solução geral nos fornece uma família de 
parábolas de concavidade voltada para cima, como mostra a Fig 02 a seguir
Fig 02
Lista de exercícios resolvidos
Determine para cada uma das curvas dadas a seguir, a equação 
diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante 
arbitrária:
unidade 0226
Exemplo1.
Solução: graficamente tem-se
Fig 03
Derivando, tem-se: 
Exemplo2. 
Solução: graficamente tem-se
Fig 04
Conceitos Fundamentais 27
Derivando tem-se: 
Como as constantes não foram eliminadas, deve-se derivar mais uma 
vez, daí: ou 
É fácil ver que o valor entre parênteses corresponde ao próprio dado, 
 
o que permite escrever:
Exemplo 3.
Solução: graficamente tem-se
Fig 05
Derivando tem-se e observando que e em seguida, 
substituindo na derivada, obtém-se e simplificando tem-se
 .
unidade 0228
Exemplo 4. y = C1x2 + C2
Solução: graficamente tem-se
 .
 
 Fig 06
Derivando tem-se . Como as constantes não foram todas 
eliminadas deriva-se novamente e obtém-se .Dai, substituindo o 
valor de 2C1 na igualdade anterior fica:
 ou 
Exemplo 5. , onde A e B são constantes.
Solução: graficamente tem-se
Conceitos Fundamentais 29
Fig 07
Derivando duas vezes tem-se e 
 .
Observando que o segundo membro é -y, tem-se 
 
ou .
Exemplo 6. 
Solução: graficamente tem-se
unidade 0230
Fig 08
Multiplicando ambos os membros por e2x, tem-se: 
Derivando, obtém-se : e daí tem-se 
 .
Multiplicando por , tem-se e derivando
 de novo fica, .
Assim, agrupando fica: ou 
 , o que nos permite escrever, 
 
pois .
Conceitos Fundamentais 31
Exemplo 7. In .
Solução: graficamente tem-se
Fig 09
Usando propriedades operatórias dos logaritmos tem-se 
e isolando o valor de C obtém-se . 
Derivando, tem-se 
Substituindo C pelo seu valor obtido acima tem-se:
Multiplicando ambos os membros por xy, fica:
ou ou .
unidade 0232
E assim pode-se escrever 
Exemplo 8. Determine a equação diferencial da família de círculos de 
raio 2 e cujos centros estejam sobre o eixo dos x. 
Solução: graficamente tem-se
Fig 10
A família de círculos é dada por onde 
a
 é a 
abscissa do centro.
Daí, tem-se e derivando obtém-se 
 e elevando a dois tem-se 
Desenvolvendo fica e substituindo 
por tem-se simplificando fica 
 e daí a equação diferencial procurada é
 .
Conceitos Fundamentais 33
ExERCíCIOS PROPOSTOS
01. Nas equações diferenciais a seguir determine de cada uma delas: (i) a 
ordem (ii) o grau (iii) a função incógnita (iv) a variável independe.
02.Quais dentre as funções abaixo são soluções da equação diferencial 
 .
(i) y=ex (ii) y=senx (iii) y=0
03.Eliminando as constantes, formar as equações diferenciais das famílias 
de curvas a seguir:
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
SOLUÇÃO DA LISTA
01. a) (i) 2 (ii) 2 (iii) y (iv) x 
 b) (i) 2 (ii) 1 (iii) s (iv) t 
 c) (i) 1 (ii) 7 (iii) b (iv) p 
unidade 0234
02. (i) Analisando a função do item (i), isto é, verificando se ao substituir y=ex 
na equação obtém-se uma identidade. Deve-se inicialmente derivar y=ex. Dai 
tem-se e derivando novamente obtém-se . Substituindo
 os valores de e y tem-se Logo y=ex é 
solução da equação dada.
(ii) Procedendo de modo análogo para y=senx tem-se = cons e
 Substituindo tem-se 
. Logo y=senx não é solução da equação dada.
(iii) Do mesmo modo para y=0 tem-se e e substituindo
 tem-se . Logo y=0 é também solução da equação
 dada.
03.a) Derivando x2-y2=C tem-se 2xdx + 2ydy=0 e dividindo por 2 obtém-se 
xdx=ydy=0 que é a equação procurada.
 b) Derivando y = Cex tem-se dy = Cex dx e substituindo o valor de y fica
 dy = ydx ou ou .
c) Derivando tem-se 
 e multiplicando por e-x 
fica e derivando pela segunda vez temos 
 .Como ainda não eliminamos todas as constantes
 deriva-se mais uma vez e obtém-se 
Conceitos Fundamentais 35
ou . Daí como pode-se escrever 
 .
d) Multiplicando ambos membros de por ex obtém-se 
e derivando tem-se .
Multiplicando agora por e-3x obtém-se e derivando 
novamente pois deve-se eliminar a constante C1 tem-se 
 ou 
 .Como e-2x ≠ 0 pode-se escrever 
 .
Web-Bibliografia 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/edo/edogeral.htm
http://www.ime.uerj.br/~calculo/LivroIV/apli2.pdf
unidade 0236
História das Equações Diferenciais 37
UNIDADE 03
Equações Diferenciais Ordinárias 
de 1ª Ordem e 1º Grau
Resumo 
Nesta unidade será visto o estudo das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e 
primeiro grau com destaque para as equações de variáveis separáveis incluindo método de solução. 
Além disto far-se-á aplicações em problemas geométricos e entre eles destacando problemas que 
tratam de trajetórias ortogonais.
Objetivo
Desenvolver no aluno a percepção da importância e do grau de aplicabilidade das equações 
diferenciais na modelagem matemática de situações concretas.
unidade 0338
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 39
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
ordinárias dE 1ª ordEM
E 1º GRAU
EQUAÇÕES DE 1ª ORDEM E 1º GRAU
DEFINIÇÃO: equações de 1ª ordem e 1º grau são todas as equações 
da forma: chamada forma padrão ou chamada 
forma diferencial, em que eExemplos: 
1) ou 
2) ou 
3) ou 
Equações de variáveis separáveis
Definição: uma equação do tipo M dx+Ndy=0 é dita de variáveis separáveis 
se M e N podem ser: 
a) Funções de apenas uma variável, isto é: M(x,y)=A(x) e N(x,y)=B(y).
b) Produtos com fatores de uma só variável e M(x,y)=A1(x)=A1(x) A2(y) 
e N(x,y)=B1(x)B2(y).
c) Constantes
Resolução de equações diferenciais de variáveis separáveis
a) Se a equação M (x,y)dx+N(x,y)dy=0, de variáveis separáveis é do tipo 
unidade 0340
A1(x)A2(y)dx+B1(x)B2(y)dy=0, separando as variáveis x e y, de forma que os 
coeficientes de dx e dy sejam respectivamente funções de x e de y, resulta 
uma equação de variáveis separáveis.
Assim vem: 
E integrando tem-se 
A equação obtida é a solução geral de uma equação de variáveis 
separáveis.
Lista de exercícios resolvidos
Para as equações a seguir, mostre que são do tipo variáveis separáveis 
e obtenha uma solução para as mesmas
Exemplo 1. dy/dx=5x+1 
Solução: observe que esta equação é de variáveis separáveis, pois uma vez 
escrita na forma diferencial tem-se (5x+1)dx-dy=0 onde M(x,Y)=a(x)=5x+1 
e N(x,y)=B(y)=-1. E para obter a solução basta integrar. Desta forma tem-se:
∫(5x+1)dx-∫ dy=C e portanto 5x2/2+x-y=C é a solução geral da equação 
diferencial dy/dx=5x-1.
 Exemplo 2. ydx+xdy=0 
Solução: é fácil ver que tal equação é de variáveis separáveis pois para tanto 
basta dividir os membros por xy, chamado fator de integração, e daí tem-se a 
equação equivalente é 1/xdx+1/ydy=0 , onde M(x,y)=A1/x e N(x,y)=B(y)=1/y 
. Integrando tem-se: ∫1/xdx+∫1/ydy=C lnx+lny=C. Usando as propriedades 
dos logaritmos tem-se ln xy=C-ln K e daí tem-se a solução procurada que 
é xy=k.
Exemplo 3. tgxsecy dx_ sectgy dy=0
Solução: tal equação é de variáveis separáveis pois é da forma M dx+N 
dy=0, onde M(x,y)=A1(x) A2(y)=tgxsexy e N(x,y)=B1(x)B2(y)=secxtgy 
Dividindo-se ambos os membros da equação por secxsecy, fica:
 
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 41
Simplificando obtém-se e daí tem-se sen x dx-sen y dy=0 
Integrando ∫sen x dx-∫sen y dy=C o que nos leva à solução -cos x + cos y=C 
Exemplo 4: 
Solução: tal equação é de variáveis separáveis pois é da forma 
M dx+N dy=0. 
Onde M(x,y)=A1(x)A2(y)=(x
2-1) √1-y2 e N(x,y)=B1(x)B2(y)=-x2 
Dividindo-se ambos os membros da equação por x2√1-y2, fator
integrante, fica, e integrando tem-se 
Assim sendo tem-se 
Exemplo 5: ydx+(x+1)dy=0 
Solução: é imediato ver que tal equação é de variáveis separáveis e que 
tem como fator integrante y(x+1). Daí dividindo todos os termos por este fator 
obtém-se dx/x+1+dy/y=0. Integrando fica ∫dx/x+1+ ∫dy/y=C e assim tem-se 
ln(x+1)+iny=lnK e portanto pode-se escrever que a solução geral procurada 
é (x+1)y=k. 
Exemplo 6: 
Solução: reescrevendo a equação tem-se que é equivalente 
a anterior e portanto tem-se uma equação do tipo onde M(x,y)=A(x)=1/1+x2 e 
N(x,y)=B(y)=y/!+y2. Desta forma tem-se uma equação de variáveis separáveis 
e integrando tem-se:
Decompondo a segunda integral usando as somas parciais escreve-
se:
A+B=0
C=0
A=1. :B=-1
Assim: 
= C.
unidade 0342
Desta forma,
E daí tem-se e multiplicando por 2 
e também usando as propriedades dos logaritmos tem-se: 
Exemplo 7: xydx-(1+x2)dy=0
Solução: reescrevendo a equação dada tem-se que é
equivalente a anterior e portanto tem-se uma equação do tipo Mdx+Ndy=0 
onde M(x,y)=A(x)=x/1+x2 e N(x,y)=B(y)=1/y. Desta forma temos uma 
equação de variáveis separáveis e integrando tem-se 
o que nos dá ou ou 
 ou ou . 
Exemplo 8. dy/dx+ycos x = 0
Solução: para constatar que esta equação é do tipo variáveis 
separáveis basta multiplicar todos os termos por dx/y e daí tem-se dy/y+cos 
x dx=0 que é uma equação da forma Mdx+Ndy=0 onde M(x,y)=A(x) cos x e 
N(x,y)=B(y)=1/y. 
E para obter solução, devemos integrar, e desta forma fica 1ny-
senx=C ou 1ny=C-senx ou y=ec-sen x pois ce é uma constante K.
Exemplo 9: sec2xtgy dx+sec2 ytgx dy=0
Solução: usando o fator de integração tgytgx pode-se reescrever a equação 
obtendo e daí constatar que tem-se uma equação de 
variáveis separáveis.
Integrando tem-se e portanto:
1n tg +1n tg y=1n C ou 1ntg x + tg y=1nC1 e assim tgxtgy=C1 
Saiba mais: 
Métodos de integração-
http://www.somatematica.
c o m . b r / s u p e r i o r /
integrais2/integrais4.php 
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 43
Exemplo 10: 
Solução: desenvolvendo a equação dada e escrevendo na forma M 
dx+Ndy=0 obtém-se e daí tem-se M(x,y)=A(x)=2a/x e 
N(x,y)=B(y)=a/y-1. Portanto, tem-se uma equação de variáveis separáveis e 
desta forma, integrando tem-se:
 ou 2a1n x + a1n y-y=1nk ou 2a1n x = 1n K-a1n
y+y ou 2a1n x = 1n k/ya+y ou 1n2a=1nk/ya+y ou 1n x2a=1n k/ya+y ou x2a=e 1nk/ya+y 
Lista de exercícios propostos
Para as equações a seguir, mostre que são do tipo variáveis separáveis 
e obtenha uma solução para as mesmas. 
1) dx/x-tg ydy=0 
2) 4xy2dx+(x2+1)dy=0 
3) xdx+ye-x2dy=0
4) (y+2)dx+(x-3)dy=0 
5) (x-1)dy+y2dx=0 
Solução da lista
1) dx/x-tg ydy=0
Solução: é fácil ver que esta é uma equação do tipo Mdx+Ndy=0 onde 
M(x,y)=1/x e N(x,y)=tgy. E portanto integrando tem-se ∫dx/x-∫ tg y dy=C ou 
1n x+1n cos y =1nK ou xcos y=K. Dai tem-se que a solução geral e dada por 
xcos y=K cuja representação gráfica é como abaixo:
Fig 10
unidade 0344
2) 4xy2dx + (x2+1)dy=0
Solução: neste caso tem-se uma equação do tipo Mdx+Ndy=0 onde 
M(x,y)=A1(x)A2(y)=4xy
2 e N(x,y)=B1(x)B2=x2+1 e daí dividindo por y
2(x2+1) 
(fator de integração) obtém-se a equação 4x/x2+1.dx+1/y2.dy e integrando 
fica 21n(x2+1)-1/y=C, que é a solução geral solicitada e cuja representação 
gráfica é:
 
3) xdx+ye-x2dy=0 
Solução: multiplicando os membros por ex2 obtém-se a equação xex2dx+ydy=0 e 
integrando tem-se ∫xex2=dx+∫ydy=C e daí obtém-se ou 1/2ex2+1/2y2=C ou Y2+ex2=C1
4) (y+2)dx+(x-3)dy=0 
Solução: separando as variáveis tem-se 1/x-3.dx+1/y+2.dy=0 e integrando 
pode-se escrever 1n(x-3)+1n(y+2)=1nK ou 1n(x-3)(y+2)=1nk ou (x-3)(y+2)=K. 
Daí tem-se que a solução geral é (x-3)(y-2)=K e cuja representação gráfica é: 
 
Fig 11
Fig 12
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 45
5) y2dx+(x-1)dy=0 
Solução: Separando as variáveis tem-se 1/x-1dx+1/y2dy e integrando pode-
se escrever 1n(x-1)-1/y=1nk ou 1nx-1/K=1/y ou y1n.x-1/K=1
Aplicações: Problemas Geométricos
Dada uma curva plana C, em um ponto P(x, y) desta curva, considera-
se os chamados “segmentos notáveis,” a saber:
 
PT= comprimento da tangente
PN= comprimento da normal
TM= comprimento da subtangente
MN= comprimento da subnormal
Seja α o ângulo formado pela reta tangente a curva no ponto P e o eixo dos x,
e analisando a figura 13 acima, tem-se:
 Assim (1) 
 Assim ( 2 )
Fig 13
unidade 0346
 (3)
Assim
Assim
 (4) 
Exercícios resolvidos
1) Determinar a equação das curvas que têm a subnormal constante.
Solução:
Sabe-se de (2) que a subnormal é dada por MN=Y.dy/dx, e daí deve-
se ter Y.dy/dx=k, k uma constante. Reescrevendo esta equação obtém-seydy=kdx e integrando tem-se y2/2=kx+C ou y2=2kx+C que representa a família 
de curvas de subnormal constante.
A representação gráfica da família cuja constante é k=3 é
 
Para o caso particular y2=6x e sendo P1(2, √3) e P2( tem-se a 
representação abaixo
 
e pode-se ver nos dois casos que MN=3.
Fig 14
Fig 15
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 47
2) Determinar a equação das curvas que têm a subtangente constante.
Solução: sabe-se de (1) que a subtangente é dada por TM=y/dy/dx
 e daí deve-se ter y/dy/dx = k, k uma constante. Reescrevendo esta equação 
obtém-se k.dy/dx=y ou dx=k.dy/y e integrando tem-se k1ny=x+C ou 1ny=x/k+ 
C1 ou y=e
x/k+C1 que representa a família de curvas de subtangente constante.
A representação gráfica da família cuja constante é k=2 é
 
3) Escrever a equação de uma curva sabendo que a normal em cada ponto 
dela e o segmento de reta que une este ponto a origem formam um triângulo 
isósceles de base no eixo dos x. 
 
Como o triângulo ∆ OPN é isósceles tem-se PN=OP e daí, OM=MN=x. 
Deste modo y.dy/dx=x ou y dy=xdx e integrando temos y2/2=x2/2+C ou y-x.
Assim sendo pode-se ver que tais curvas são hipérboles como as da 
Fig 18. 
 
Fig 16
Fig 17
Fig 18
unidade 0348
4) Determinar a equação das curvas que tem o comprimento da normal 
constante.
Solução:
Sabe-se que a normal é dada por e como por
hipótese ela é constante e sendo k tal constante tem-se 
ou ou ou . 
Separando as variáveis tem-se e integrando obtém-se:
 Fazendo a mudança z2=k2-y2 encontra-se 2zdz=-2ydy ou -zdz=ydy 
e daí temos ou -z=+-x+C 
ou k2-y2=(x+c)2 ou (x+C)2+y2=k2 cujas curvas são circunferências com centro 
no eixo dos x como mostra a Fig 19 abaixo para as constantes k=1; k=2. 
 
5) Obter as equações das curvas sabendo que as partes de todas as 
tangentes situadas entre os eixos coordenados tenham o ponto de tangência 
como o ponto médio. 
Fig 19 
Fig 20 
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 49
Por hipótese temos AP=PB e chamar de α o ângulo externo  e β o 
ângulo DÂP daí tem-se α+ β=180º e deste modo tgα=-tgβ o que nos leva a 
dy/dx= -y/x e separando as variáveis fica dy/y=-dx/x. Integrando 1ny=-1nx+C 
ou1ny=-1nx+C ou 1ny=1n(C/x) ou y=C/x. 
Daí tem-se que as curvas são hipérboles equiláteras como as da Fig 
21 ab3
Exercícios Propostos
1) Determinar a equação da curva que passa pelo ponto (4, 4), sabendo que 
a declividade de sua tangente num ponto qualquer é:
dy/dx=x/3y
2) Achar a equação da curva sabendo que a subtangente é igual ao dobro da 
abscissa do ponto de contacto.
3) Sabendo que a curva é tal que a distância de um ponto qualquer à origem, 
é igual ao comprimento da tangente, determinar a curva.
Soluçao da lista
1) Por hipótese sabe-se que dy/dx=x/3y o que nos leva a 3ydy=xdx e 
integrando tem-se 3y2/2=x2/2+C ou 3y2=x2+2C. Como passa pelo ponto (4, 
2) pode-se substituir x por 4 e y por 4 obtendo C=16 e daí a curva procurada 
tem equação 3y2=x2+32 e cuja representação gráfica é como segue 
 
Fig 21 
Fig 22 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
unidade 0350
2) Sabe-se que a subtangente é dada por e como por hipótese a 
subtangente é igual ao dobro da abscissa do ponto de contacto, deve-se ter 
 ou ydx=2xdy e separando as variáveis fica . 
Integrando tem-se 1/21nx=1ny+1nC1 ou 1nx=21ny+21nC1 ou 1nx-1ny
2+1nC21 
ou 1nx=1ny2C ou x=y2C. Tais curvas tem representação gráfica como segue: 
 
3) Observando o gráfico abaixo 
 
E da hipótese tem-se OP=PT e como sabe-se que o comprimento 
da tangente é dado por e que tem-
se: ou ou 
Fig 23 
Fig 24 
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 51
ou e separando as variáveis fica dy/y=+-dx/x. Integrando, 
obtém-se ou 1n y=+-1nx+C ou 1n y =+-1nx+1n k e daí temos: i) 1n y=1nx+1nk 
ou 1ny=1nxk ou y=kx retas que passam pela origem. ii) 1ny=-1nx+1nk ou 
1ny+1nx=1nk ou 1nyx=1nk ou yx=k hipérboles equiláteras Г
Graficamente temos: 
 
 
Trajetórias ortogonais
 Em muitos problemas de física, por exemplo, assim como em outras 
áreas, conhecida uma família de curvas T, busca-se uma outra família de 
curvas T que interceptam perpendicularmente as curvas da família inicial. As 
curvas dessa segunda família são denominadas trajetórias ortogonais das 
curvas da família T. 
 
Fig 26: hipérboles equiláteras
Fig 25: retas passando pela origem
Fig 27: Г trajetórias 
em preto e T trajetórias 
em azulα
β
unidade 0352
Definição: Diz-se que duas curvas Г1 e T 1 são ortogonais em um 
ponto se, e somente se, suas retas tangentes t1 e t2 são perpendiculares no 
ponto de interseção. 
Exemplo: 
Analisando o gráfico abaixo pode-se observar que as curvas Г1: 
T1: x2-y2=1 são ortogonais no ponto P(√2,1). 
NOTA: exceto no caso em que t1 e t2 são paralelas aos eixos 
coordenados, quer dizer que os coeficientes angulares m1 e m2 das retas 
tangentes t1 e t2 são tais que m1.m2 = -1.
 Diz-se que duas famílias de curvas Г e T são trajetórias ortogonais 
uma da outra quando todas as curvas da família Г interceptam ortogonalmente 
todas as curvas da família T.
OBSERVAÇÃO: trajetórias ortogonais ocorrem na construção 
de mapas meteorológicos e no estudo de eletricidade e magnetismo. Por 
exemplo, em um campo elétrico em volta de dois corpos de cargas opostas, 
as linhas de força são perpendiculares às curvas equipotenciais.
Exemplo:
1) Achar as trajetórias ortogonais da família de curvas y=px2, para qualquer 
valor de p.
Solução: graficamente tem-se que a família y=px2 é representada como 
segue:
 
Fig 28 
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 53
 
Diferenciando a equação dada em relação a x, obtemos: dy/dx=2px. 
Mas p=y/x2 e portanto ou que são as declividades 
da família y=px2. 
Assim sendo, para determinar as trajetórias ortogonais, deve-se ter 
curvas cujas declividades são dy/dx=-x/2y. Separando as variáveis tem-se
xdx+2ydy=0. Integrando tem-se x2/2+y2=C, que são as trajetórias ortogonais 
da família y=px2, cujas representações gráficas são elipses como as do 
gráfico abaixo (representadas em vermelho)
 
 
2) Achar as trajetórias ortogonais da família de curvas y=p/x, para 
qualquer valor de p.
Solução: graficamente tem-se que a família y=px é representada 
como segue:
 
Veja Mais www.pucrs.
b r / f a m a t / e l i e t e b /
equacoes.../trajetorias_
ortogonais.doc
Fig 29
Fig 30
unidade 0354
Diferenciando a equação dada em relação a x, obtém-se: dy/dx=P/x2. 
Mas p=xy e portanto dy/dx=-xy/x2 ou dy/dx=-y/x que são as declividades da 
família y=p/x. Assim sendo, para determinar as trajetórias ortogonais, deve-
se ter curvas cujas declividades são dy/dx=x/y. Dai separando as variáveis 
temos xdx=ydx=0. Integrando tem-se x2-y2=C, que são as trajetórias 
ortogonais da família y=p/x, cujas representações gráficas são hipérboles 
como as do gráfico abaixo (representadas em vermelho)
 
 
3) Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas por x2+3y2=p
Solução: graficamente tem-se que a família de curvas x2+3y2=P é 
representada por:
 
Fig 31 
Fig 32 
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 55
Diferenciando a equação dada em relação a x, obtém-se: dy/dx=x/3y 
que são as declividades da família x2+3y2=P. Assim sendo, para determinarmos 
as trajetórias ortogonais,deve-se ter curvas cujas declividades são dy/
dx=3y/x. Separando as variáveis tem-se dx/x=dy/3y. Integrando temos: 
 ou ou ou y=Kx3, que são as
trajetórias ortogonais da família x2+3y2=P cujas representações gráficas são 
como as do gráfico abaixo (representadas em vermelho)
 
4) Achar as trajetórias ortogonais da família de curvas x2+y2=px, para 
qualquer valor de p.
Solução: graficamente tem-se que a família x2=y2=px é representada como 
segue: 
 
Fig 33 
Fig 34
unidade 0356
Diferenciando a equação dada em relação a x, obtém-se
Mas e portanto ou 
que são as declividades da família x2+y2=px. Assim sendo, para determinar 
as trajetórias ortogonais, devemos ter curvas cujas declividades são:
ou cuja solução como será vista no próximo ponto (equações 
diferenciais homogêneas) é x2+y2=ky, que são as trajetórias ortogonais da 
família x2+y2=px, cujas representações gráficas são circunferências como as 
do gráfico abaixo (representadas em vermelho)
 
 
5) Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas por y=pe2x: 
Solução: graficamente tem-se que a família de curvas y=pe2x é representada 
por:
 
Fig 35
Fig 36 
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 57
Diferenciando a equação dada em relação a x, obtém-se. dy/dx=2y, 
que são as declividades da família y=pe2x. Assim sendo, para determinar as 
trajetórias ortogonais, deve-se ter curvas cujas declividades são dy/dx=-1/2y. 
Daí separando as variáveis tem-se dx+2ydy=0. Integrando tem-se x+y2=C, 
que são as trajetórias ortogonais da família y=pe2x, cujas representações 
gráficas são parábolas como a fig 38 ( representadas em vermelho )
 
Lista de exercicios propostos
Determine as trajetórias ortogonais das famílias seguintes e faça o 
esboço gráfico da família e das trajetórias (p = parâmetro).
1) x2+y2=p2 
2) x2-y2=p2 
Soluçao da lista
Fig 37 
Fig 38
unidade 0358
1) Graficamente tem-se que a família de curvas x2+y2=p2 é representada por 
 
Diferenciando x2+y2=p2 obtém-se 2xdx+2ydy=0 e daí tem-se que dy/
dx=-x/y. Desta forma tem-se que as trajetórias ortogonais terão declividades 
dy/dx=y/x, o que nos leva a xdy-ydx=0. Separando as variáveis obtém-se: 
e integrando fica In y-In x=C ou Iny/x=C ou y/x=ec ou y/x=k ou y=kx
Representando graficamente a família (preto) e as trajetórias 
(representadas em vermelho) tem-se:
2) Derivando x2-y2=p2 obtém-se 2xdx-2ydy=0 e daí tem-se que dy/dx=x/y. Desta 
forma tem-se que as trajetórias ortogonais terão declividades dy/dx=-y/x o que 
nos leva a xdy+ydx=0 e separando as variáveis fica e integrando 
fica: 1ny+1nx=C ou 1nyx=C ou yx=ec ou yx=k ou y=k/x. Desta forma, 
representando a família (preto) e as trajetórias ortogonais (vermelho), tem-se:
Fig 39
Fig 41 
Fig 40 
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 59
Web-Bibliografia
 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/edo/edo1ord.htm
http://www.pucrs.br/famat/luizedu/equacoes_dif/VAR_SEPAR.pdf
http://w3.ualg.pt/~mgameiro/Aulas_2006_2007/A_Matematica_I/8_aula.pdf 
http://www.somatematica.com.br/superior/integrais2/integrais4.php
unidade 0360
História das Equações Diferenciais 61
UNIDADE 04
Equações Homogêneas
Resumo 
Esta unidade abordará o estudo das equações diferenciais homogêneas, métodos de resolução 
e o estudo das equações redutíveis às homogêneas. 
Objetivo
Propiciar ao aluno desenvoltura em classificar e manipular problemas que envolvam equações 
diferenciais homogêneas, com técnicas específicas de abordagem, adequadas à resolução de cada um.
unidade 0462
Equações Homogêneas 63
EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS
Equações homogêneas
Definição: Uma função z=F(x,y) é dita homogênea de grau de homogeneidade 
m se F(kx,ky)=kmF(x,y), para todo real K.
Exemplos: M(x,y)=2xy e N(x,y)=x2-y2 são homogêneas de grau 2 pois M(k
x,ky)=2kxky=2kxky=k22xy=k2M(x,y) e N(kx, ky)=(kx)2-(ky)2=k2(x2-y2)=k2N(x,y) 
Definição: Uma equação diferencial dada por M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 
é dita homogênea se M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas e de mesmo 
grau.
Exemplos:
2xydx+(x2-y2)dy=0
(2y-4x)dx+(y-2x)dy=0
(2y4+x4)dx+xy3dy=0
(2x-y)dx- x2-2xy dy=0
4) (ex-y)dx-√x2-2xy dy=0
Resolução de uma equação diferencial homogênea 
 Seja a equação diferencial homogênea Mdx+Ndy=0. onde M e N 
têm grau igual a m.
Temos: dy/dx=-M/N
Pode-se observar que se dividir o numerador e o denominador do 
segundo membro por xm, resultará em função de y/x. Isto é, dy/dx=F(y/x) 
(1). 
E daí, substituindo y/x por t tem-se: y=xt (2)
 
Veja Mais
 
w w w . c e s e t .
u n i c a m p . b r / . . . /
Equa%E7%F5es%20
Diferenciais%20de%20
Primeira%20Orde1.do...
unidade 0464
E derivando (2) em relação à x, tem-se: dy/dx=t+dt/dx
 
Desta forma a equação (1) será transformada em:
 que é uma equação 
de variáveis separadas.
Exemplos
1) Obtenha a solução geral da equação homogênea (x2-y2)dx-2xy dy=0 
Solução:
Substituindo y=xt e dy=xdt+tdx obtém-se (x2-x2t2)dx-2x.xt(xdt+t dx)=0 ou (1-
t2)dx-2t(xdt+tdx)=0 ou (1-t2-2t2)dx-2txdt=0 ou (1-3t2)dx-2txdt=0
Separando as variáveis, tem-se dx/x-2t/1-3t2dt=0 e integrando, fica: 
1nx+1/31n(1-3t2)=1nC 
Multiplicando por 3 obtém-se, 31nx+1n(1-3t2)=21nC ou 1nx3+1n(1-3t2)=1nC3
1n(x3(1-3t2))=1nC3
1n(x3(1-3t2))=1nk
Daí, x3(1-3t2)=k 
Retornando à relação y/x=t fica x3(1-3y2/x2)=k ou x3-3xy2=k
 
2) Obter a solução geral e a solução particular para x=1 e y=2 da equação 
homogênea (2x-y)dx-(x-4y)dy=0. 
Solução:
Substituindo y=xt e dy=xdt+tdx obtém-se:
(2x-xt)dx-(x+4xt)0(xdt+tdx)=0 ou (2-t)dx-(1+4t)(xdt+tdx)=0 ou (2-t-t-4t2)dx-
(1+4t)x dt=0
Separando as variáveis tem-se dx/x-1+4t/2-2t-4t2dt=0 e integrando
temos 1nx+1/21n(2-2t-4t2)=1nC 
Multiplicando por 2 fica 21nx+1n(2-2t-4t2)=21nC ou 1nx2+1n(2-2t-4t2)=1nC2 
ou 1n(x2(2-2t-4t2))=1nC2=1nk. Daí, x2(2-2t-4t2)=k.
Retornando a relação y/x=t tem-se x2(2-2y/x-4y2/x2)=k ou que é a 
solução geral
Para obter uma solução particular para x=1, y=2, substitur estes valores na 
solução geral e obtém-se k = -18. Daí, a solução particular é 2x2-2xy-4y2=-18 
ou x2-xy-2y2+9=0
 
3) Resolva a equação homogênea (x2+y2)dx-xy dy=0 
Solução:
Substituindo y=xt e dy=x dt+t dx obtém-se
Equações Homogêneas 65
(x2+t2x2)dx-tx2(tdx+xdt)=0
(1+t2)dx-t2dx-txdx=0 ou dx-tx dt=0
Separando as variáveis fica dx/x-tdt=0 e integrando tem-se 1nx-t2/2=C
Fazendo C=1nC1 e retornando a relação y/x=t obtém-se 1nx-y
2/2x2=1nC1 ou 
1nx-1nC1=y
2/2x2 ou 1nx/C1=y/2x2 ou 21nx/C1=y/x
2 ou 1n(x/C1)
2=y/x2 ou ey/
x2=x2/C1
2 e assim temos a solução geral x2=key/x2 
4) Resolva a equação homogênea (x-y)dx-(x+y)dy=0 
Solução:
Substituindo y=xt e dy=xdt+tdx obtém-se
(x-tx)dx-(x+tx)(tdx+xdt)=0 ou
(1-t)dx-(1+t)(tdx+xdt)=0 ou 
dx-tdx-tdx-xdt-t2dx-txdt=0 ou 
(1-2t-t2)dx-(x+tx)dt=0 ou
(1-2t-t2)dx-x(1+t)dt=0
Separando as variáveis obtém-se e em seguida
integrando fica: 
Multiplicando por dois tem-se 21nx+1n(t2+2t-1)=2C ou 1nx2+1n(t2+2t-1)=2C 
e retornando à relação y=tx fica 1nx2+1n(y2/x2+2y/x-1)=2C ou 1n(y2+2xy-
x2)=2C e fazendo 2C=1nk tem-se que a solução é: y2+2xy-x2=k
 
Lista de exercicios propostos
1) Resolva as equações:
a) (x2+y2)dx+(2x+y)ydy=0
 
b) (x+y)dx+(y-y)dy=0
 
2) Determinar as trajetórias ortogonais da família de circunferências:
x2+y2=2ax
Soluçao da lista
1) a) Substituindo y=xt e dy=xdt+tdx, na equação (x2+y2)dx+(2x+y)ydy=0, 
obtém-se:
(x2+t2x2)dx+(2x+tx)tx(tdx+xdt)=0 e daí tem-se (1+t2)dx+(2t+t2)(tdx+xdt)=0 ou 
(1+t2+2t2+t3)dx+(2tx+t2x)dt=0
 
Separando as variáveis fica: 
unidade 0466
Integrando tem-se: 1nx+1/31n(t3+3t2+1)=1nC ou 31nx+1n(t3+3t2+1)=31nCou 
1nx3+1n(t3+3t2+1)=1nC3 
Retornando à relação y=tx obtém-se ou 
Desta forma, a solução procurada é y3+3xy2=x3=k 
1) b) Substituindo y=xt e dy=xdt+tdx, na equação (x+y)dx+(y-x)dy=0, 
obtém-se (x+tx)dx+(tx-x)(tdx+xdt)=0 ou (1+t)dx+(t-1)(tdx+xdt)=0 
dx+tdx+t2dx+txdt-tdx-xdt=0 ou (1+t2)dx+x(t-1)dt=0
Separando as variáveis tem-se: ou
e integrando tem-se 1nx+1/21n(t2+1)-arctgt=k. Retornando à relação y=tx, 
obtém-se ou 
 
Daí, a solução procurada é: 
 
2) Para determinar as trajetórias ortogonais da família de circunferências, 
deriva-se x2+y2=2ax em relação a x, obtendo 
 
Eliminando-se a, vem: ou . 
E para obtermos as trajetórias ortogonais, substituir dy/dx por 
-dx/dy, e deste modo tem-se: x2+y2=2x2-2xy dx/dy o que nos leva a 
2xy dx+(y2-x2)dy=0, que é uma equação homogênea.
Substituindo y=xt e dy=xdt+tdx obtém-se:
2x xtdx+(x2t2-x2) (xdt+tdx)=0
2tdx+(t2-1)(xdt+tdx)=0 ou 2tdx+xt2 dt-xdt+t3dx-tdx=0
(2t-t+t3)dx+(xt2-x)dt=0 ou (t+t3)dx+x(t2-1)dt=0
Separando as variáveis tem-se ou 
e integrando tem-se 1nx=1nt-1n(t2+1)-1C ou 1nx=1nt-1n(t2+1)C 1nt-
1nx=1n(t2+1)C ou 1nt/x=1nC(t2+1) ou t/x=C(t2+1). Retornando à 
Equações Homogêneas 67
relação y=tx, obtém-se ou y=C(y2+x2). 
Dai tem-se que a família de trajetórias ortogonais a x2+y2=2ax 
é C(y2+x2) e a representação gráfica das duas famílias é como abaixo:
 
Equações redutíveis às homogêneas
DEFINIÇÃO: São todas as equações da forma 
onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes.
Exemplos:
1) ou (2x-y+4)dy+(-x+2y-5)dx=0 
2) ou (3x-y+2)dx+(9x-3y+1)dy=0 
AFIRMAÇÃO: para obter solução para estas equações deve-se 
considerar os dois casos a seguir:
a) O determinante é diferente de zero.
Neste caso temos o sistema: cuja solução é dada 
pelas raízes x=α e yβ e faz-se a seguinte substituição:
que geometricamente, equivale a uma translação dos eixos 
coordenados para o ponto (α, β) que é a interseção das retas que 
compõem o sistema, e esta interseção é sempre possível uma vez que 
Veja mais:
arquivos.unama.br /
nead/gol/gol . . . /MS_
i m p r e s s o _ a u l a 1 3 .
pdf
Fig 44
unidade 0468
o determinante considerado é diferente de zero.
Desta forma, após a substituição, a equação transformada 
será:
 
Como α e β são raízes do sistema, tem-se: 
que é uma equação homogênea.
Lista de exercícios resolvidos
Resolver as seguintes equações redutíveis às homogêneas
1)
 
Solução: neste caso tem-se 
 
Daí, forma-se o sistema: cuja solução é 
e assim, a substituição a ser feita é:
 
e a equação é transformada em: ou (3u+v)dv=(2u-3v)du
Que é uma equação homogênea de grau 1.
Usando o método anterior faz-se a substituição: v=ut, sendo t=f(u) e 
dv=udt+tdu 
daí obtém-se a equação 
(3u+ut)(udt+t du)=(2u-3ut)du ou (3+t)(u dt+tdu)=(2-3t)du ou (3+t)udt=(2-3t-
3t-t2)du
 
Separando as variáveis tem-se e integrando obtemos:
Equações Homogêneas 69
1n u=-1/21n(2-6t-t2)+1n C ou
2 1n u=-1n(2-6t-t2)+21n C ou
1n u2=-1n(2-6t-t2)+21n C2
Daí, u2(2-6t-t2)=K sendo K=C2 
Substituindo t pelo seu valor v/u fica: ou 2u2-6uv-v2=K 
Substituindo u pelo seu valor e v por tem-se: 
 e desenvolvendo fica:
2x2-6xy-y2-2x+4y+F=0
2) (2x-3y)dx-(3x-y-1)dy=0
Solução: neste caso temos: e o sistema formado é:
 cuja solução é e deste modo a ubstituição a ser 
feita é 
 
E a equação é transformada em: (2u-3v)du-(3u-v)dv=0 que é uma equação 
homogênea. Fazendo a substituição:
v=ut.:dv=u dt+tdu obtém-se
(2-3t)du-(3-t)(u dt+t du)=0
(2-3t-3t+t2)du-(3-t)u dt=0
Separando as variáveis fica e integrando
tem-se 
2 1n u +1n(t2-6t+2)=21n C
1nu2+1n(t2-6t+2)=1n C2 ou 1n[u2(t2-6t+2)]=1nC2 ou
u2(t2-6t+2)=k (k=C2)
unidade 0470
 Daí retornando a relação t=v/u, temos: 
Substituindo u pelo seu valor x-3/7 e v por y-2/7 fica:
 
E assim 2x2-6 xy+y2+2y+F=0
3) (x+2y-4)dx-(2x+y-5)dy=0 
Solução: neste caso temos 
Daí, formamos o sistema cuja solução é 
e a substituição a ser feita é e daí temos 
que é uma equação homogênea e fazendo a substituição v=ut. dv=udt+tdu 
obtém-se (2u+ut)(u dt+tdu)=(u+2ut)du
(2+t)(udt+tdu)=(1+2t)du ou
2udt+ut dt +2t du+t2du-du-2tdu=0 ou
u(2+t)dt+(2t+t2-2t-1)du=0
du+(2+t)dt=0
 
E integrando fica 
Retornando a relação t=v/u tem-se: 
 
 
Substituindo u por (x-2) e v por (y-1) tem-se:
 
 
b) O determinante é igual a zero.
u t2-1
Equações Homogêneas 71
Como , os coeficientes de x e y são proporcionais de modo 
que pode-se escrever: a1b2=a2b1 ou a2/a1=b2/b1
 
Chamando esta relação constante de m, pode-se escrever:
 a2=ma1 e b2=mb1
Assim:
Fazendo a1x+b1y=t, temos, sendo t=f(x): 
Derivando em relação à x: 
e a equação transformada: 
 
Que é uma equação de variáveis separáveis.
Lista de exercícios resolvidos
Resolver as seguintes equações:
1) 
Solução: neste caso tem-se e portanto devemos fazer 2x-y=t e
daí temos y=2x-t e derivando em relação a x obtém-se 
 
O que transforma a equação em: ou 
 
ou 
Separando as variáveis fica: ou 
Integrando tem-se:
unidade 0472
Daí temos: 
Retornando a relação t=2x-y tem-se 
25x+k=15(2x-y)+4In(10x-5y-3) ou 30x-15y+4In(10x-5y-3)=25x+k ou 
5x-15y+4In(10x-5y-3)=k
2) (2x+3y-1)dx+(2x+3y+2)dy=0
Solução: neste caso tem-se e a relação ou a2=a1; 
 
b2=b1 
Reescrevendo a equação temos: 
Fazendo 2x+3y=t temos e derivando em relação a x, fica: 
Substituindo na equação obtém-se 
 
Separando as variáveis fica 
Integrando obtém-se: x=-t-9In(t-7)+C 
Mas t=2x+3y, logo: x=-2x-3y-9In(2x+3y-7)+C; 3x+3Y=-9In(2x+3y-7)+C
 
 
3)
Solução: Reescrevendo a equação tem-se Daí, 
Fazendo -3x-3y=t tem-se 
Equações Homogêneas 73
Derivando em relação a x fica: 
 
Substituindo na equação tem-se: ou 
ou Separando as variáveis fica: ou 
ou 
Integrando tem-se . Como t=-3x-3y tem-se
 ou 
Lista de exercicios propostos
Resolver as seguintes equações diferenciais:
1) (2x-y+4)dy+(x-2y+5)dx=0 
2) 
3) (x-4y-3)dx-(x-6y-5)dy=0 
4) (3x-y+2)dx+(9x-3y+1)dy=0 
Solução da Lista 
1) (2x-y+4)dy+(x-2y+5)dx=0 
 
Solução: Neste caso tem-se 
 
Daí formamos o sistema cuja solução é 
Desta forma a substituição a ser feita é
e a equação é transformada em (2u-v)dv+(u-2v)du=0 e pode-se ver que é 
uma equação homogênea de grau 1.
Fazendo a substituição v=tu e dv=tdu+udt, obtém-se:
unidade 0474
(2u-tu)(tdu+udt)+(u-2tu)du=0 ou (2-t)(tdu+udt)+(1-2t)du=0 ou
(2t-t2+1-2t)du+u(2-1)dt=0 ou (1-t2)du+u(2-t)dt=0
Separando as variáveis tem-se
 ou ou
Integrando tem-se: 2In u+3In(t+1)-In(t-1)=C ou
 ou ou 
Retornando a relação t=v/u obtém-se:
 ou(v+u)3=k(v-u). Como u=x+1 e v=y-2 tem-se (x+y-1)3=k(-x+y-3)
2)
Solução: Neste caso tem-se . . Assim sendo faz-se x+2y=t e daí. 
 Derivando em relação a x obtém-se , o que trans-
forma a equação em ou ou 
ou 
Separando as variáveis fica ou .
Integrando tem-se . Como x+2y-t, tem-se
 ou 4x+8y+In(4x+8y+5)=8x+C1 ou 
-4x+8y+In(4x+8y+5)=K
Equações Homogêneas 75
3) (x-4y-3)dx-(x-6y-5)dy=0 
Solução: neste caso tem-se s
 
Daí forma-se o sistema cuja solução é 
Desta forma a substituição a ser feita é 
e a equação é transformada (u-4v)du-(u-6v)dv=0 em e pode-se ver que é 
uma equação homogênea de grau 1.
Fazendo a substituição v=tu e dv=tdu+udt, obtém-se:
(u-4tu)du-(u-6tu)(tdu+udt)=0 ou (1-4t)du-(1-6)(tdu+udt)=0 ou (1-5t+6t2)du-
u(1-6t)dt=0
Separando as variáveis tem-se ou 
Integrando tem-se: ou Inu+In(2t-1)2-In(t-1/3)=K
ou 
 
Retornando a relação t=v/u obtém-se: ou 
e daí . 
Como u=x+1 e v=y+1 temos 
4) (3x-y+2)dx+(9x-3y+1)dy=0
Solução: neste caso tem-se . Reescrevendo a equação tem-se 
 . Assim sendo faz-se t=3x-y e daí y=3x-t. Derivando y em
unidade 0476
relação a x obtém-se o que transforma a equação em 
 ou ou .
Separando as variáveis fica ou .
Integrando tem-se ou 6t-In(2t+1)=20x+C. 
Como t=3x-y, temos 2x+6y+In(6x-2y+1)=k 
Web-Bibliografia 
http://www.igm.mat.br/cursos/edo/edo_homogeneas.htm
www.igm.mat.br/.../index.php?option...plaedoufg..
www.deetc.isel.ipl.pt/matematica/mat/aulas/.../Aula%20nº%208.pdf.
www.dmat.ufba.br/disciplinas/programas/MAT043.d
História das Equações Diferenciais 77
UNIDADE 05
Equações Diferenciais Exatas
Resumo 
Nesta unidade abordaremos o estudo das equações diferenciais exatas, sua caracterização, e fator 
integrante. 
Objetivo 
Estudar os métodos básicos de resolução de equações diferenciais exatas.
unidade 0578
Equações Exatas 79
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ExATAS
Equações diferenciais exatas
Definição: a equação diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é dita exata se existe 
uma função U(x,y) tal que dU=M(x,y)dx+N(x,y)dy 
Exemplos:
1) ydx+xdy=0 é uma equação diferencial exata pois U(x,y)=xy é tal que 
dU=ydx+xdy 
2) (x2-y2)dx-2xydy=0 é uma equação diferencial exata pois 
é tal que dU=(x2-y2)dx-2xydy
Teorema: a equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, onde M e N são funções contínuas 
e deriváveis, é diferencial exata se e somente se ocorrer a relação
 .
Lista de exercícios resolvidos
Mostre que as seguintes equações diferenciais são exatas, em seguida 
resolva-as:
1) (x2-y2)dx-2xydy=0
 
Solução: para mostrar que (x2-y2)dx-2xydy=0 é uma equação diferencial 
exata, deve-se mostrar que M(x,y)=x2-y2 e N(x,y)=-2xy são tais que 
unidade 0580
e isto é um fato pois . 
Para resolver a equação deve-se determinar uma função U(x,y) tal 
que e . Como M(x,y)=x2-y2, obtém-se . 
Integrando ambos os membros em relação x tem-se: 
Diferenciando U(x,y) em relação a y obtém-se . 
Como tem-se -2xy=-2xy+Ø'(y) ou Ø'(y)=0 ou Ø'(y)=C. Deste 
modo tem-se que 
2) (2x-y+1)dx-(x+3y-2)dy=0
Solução: neste caso tem-se M(x,y)=2x-y+1, N(x,y)=-x-3y+2 e é fácil ver que
 . Logo é uma equação diferencial exata.
Para resolver, deve-se determinar uma função U(x,y) tal que:
e . Como M(x,y)=2x-y+1 tem-se . Integrando ambos 
os membros em relação a x obtém-se.
U(x,y)=x2-xy+x+Ø(y). Diferenciando em relação a y fica .
Como obtém-se -3y+2= Ø . Daí, . 
Portanto . 
3) eydx+(xey-2y)dy=0 
Solução: tem-se neste caso que , logo a equação é exata.
Para obtermos a solução deve-se determinar uma função U(x,y) ta
que e . Como M(x,y)=ey tem-se . Integrando
ambos os membros em relação a x fica U(x,y)=xey. Diferenciando em relação 
Equações Exatas 81
a y obtém-se . Como tem-se -2y= 
Ø'(y) ou Ø(y)=-y2+C . 
Desta forma, U(x,y)=xey-y2+C 
4) (x3+y2)dx+(2xy+cosy)dy=0
Neste caso M(x,y)=x3+y2 e N(x,y)=2xy+cosy e assim é fácil ver que 
a equação é exata pois .
 Deve-se agora determinar U(x,y) tal que 
Daí tem-se e integrando em relação a x obtém-se: 
 . Diferenciando em relação a y temos
Como tem-se cos y= Ø(y) ou Ø(y) =seny+C. Desta forma 
tem-se . 
Lista de exercícios propostos
Verifique se as equações são exatas e determine, em cada caso uma solução.
1) (3x2+6xy2)dx+(6x2y+2y3)dy=0
2) (1+y sen x)dx+(1-cos x)dy=0
3) (2xcosy-ex)dx-x2sen y dy=0 
4) 
Soluções da lista de exercícios
1) (3x2+6xy2)dx+(6x2y+2y3)dy=0
Solução: nesta equação M(x,y)=3x2+6xy2 e N(x,y)=6x2y+4y3. Como 
e temos que a equação é exata.
unidade 0582
Integrando ambos os membros de em relação a x, 
tem-se U(x,y)=x3+3x2y2+Ø(y). Derivando esta expressão em relação a y, 
tem-se . Com o tem-se 6x2y+4y3=6x2y+ Ø'(y) ou 
Ø'(y)=4y3 ou Ø(y)=y4+C 
2) Daí temos U(x,y)=x3+3x2y2+y4+C 
 
Solução: tem-se M(x,y)=1+y sen x, N(x,y)=1-cosx e 
Logo a equação é exata.
Sabe-se que a função U procurada é tal que e: 
Daí temos e integrando ambos os membros em 
relação a x obtém-se U(x,y)=x-y cos x+ Ø(y). Diferenciando esta expressão 
em relação a y tem-se . Como fica: 1-cos 
x=-cos x+ Ø'(y) ou Ø'(y)=1:. Ø(y)=y+C , daí tem-se U(x,y)=x-ycos x+y+C. 
3) 2(2x cos y-ex)dx-x2 sen dy=0
Solução: este caso, M(x,y)=2xcosy-ex, N(x,y)=-x2seny e 
Logo a equação é exata.
Sabendo que e integrando em relação a x tem-
se U(x,y)=x2 cos y - ex+ Ø(y). Derivando em relação a y tem-se: 
 ou Ø(y)=0 ou Ø(y)=C. 
Daí, U(x,y)=x2cos y-ex+C.
4) 
Solução: Neste caso tem-se e . 
Como concluímos que a equação é exata. 
Equações Exatas 83
Sabendo que e integrando em relação a x, 
tem-se . Agora derivando em relação a y temos 
= . Daí, e assim, 
Portanto, . 
 
Fator integrante
Definição: fator integrante da equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é uma função 
λ(x,y)para a qual λ(x,y)[M(x,y)dx+N(x,y)dy]=0 é uma equação diferencial 
exata.
Exemplos:
1) λ(x,y)=-1/x2 é um fator integrante da equação ydx-xdy=0 pois 
é uma equação diferencial exata . 
2) é um fator integrante