APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
Nome:Carlos Roberto de Faria
Matricula: 201301573116
Turno: Noite
Campos Sulacap
CÁLCULO III
RIO DE JANEIRO
2014
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
1ª Aplicação:
A pessoa A abre uma conta remunerada com 25 anos, deposita R$200,0 por ano durante 10 anos e depois disso não faz mais nenhum depósito. A pessoa B espera até os 35 anos para abrir a sua conta remunerada, mas deposita R$200,0 por ano durante 30 anos. Nos dois casos não há nenhum investimento inicial. (a) Supondo uma taxa de juros de 8% ao ano, qual será o saldo das duas contas quando os titulares tiverem 65 anos? (b) Para uma taxa de juros constante mas não especificada r, determine o saldo das duas contas quando os titulares tiverem 65 anos em função de r.
Resolução: (a) tStS , queremos saber Sa(10) = ?
Resolvendo a equação através do fator integrante, obtemos:
)1)(exp(2000)( −= rtr tSa, agora substituindo em t o tempo de 10 anos,
pessoa A possuirá este valor.
Agora temos: 3010≤<t rtSatSa)()('=, achando a solução desta equação obtemos:
)exp()(rtKtSa=, sendo K uma constante, que em nosso caso, é exatamente Sa (10) = R$ 30638,52. Substituindo temos:
Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias tSbtS
Como já havíamos encontrado a solução desta equação para a pessoa A, temos:
(b) Expressando em função de r, temos:
Uma forma de analisarmos melhor esse problema seria utilizando o Matlab, e plotarmos as curvas para ambas pessoas:
Plot (r,Sb,r,Sa,'r') % 'r' dá cor vermelha a segunda curva grid onExe
2ª Aplicação:
Com reação a questão anterior, qual a distância percorrida em queda livre pelo paraquedista?
Já obtivemos no item anterior a forma como a velocidade do paraquedista varia com o tempodurante a queda livre. Sabemos também que a velocidade é a derivada da distância percorridacom relação ao tempo. Então:
A distância percorrida após 10 segundos foi:
3ª Aplicação:
 comprador de uma casa não pode pagar mais do que R$80,0 por mês de prestação. Suponha que a taxa de juros seja 9% ao ano e que o prazo de pagamento seja de 20 anos. Suponha também que os juros sejam capitalizados continuamente e que os pagamentos também sejam feitos continuamente. (a) Determine o preço máximo que este comprador pode pagar pela casa. (b) Determine o total de juros pagos pelo comprador se ele comprar a casa nas condições do item (a)
Resolução: (a) Partindo da mesma equação do exemplo anterior:
rt r rtStS , onde K é a quantia que o comprador
Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias
Portanto o máximo que o comprador poderá pagar pela casa será R$ 89034,78. (b)
4ª Aplicação :