exercicios aula 4

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1. A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(2,3,4)A2,3,4 e é paralelo ao plano: π1:π1: 3x−5y+3z−83x-5y+3z-8 =0=0, é dada por:
Parte superior do formulário
a) x−5y+z−3=0x-5y+z-3=0
b) 3x−5y−3z=03x-5y-3z=0
c) x−5y+3z+3=0x-5y+3z+3=0
d) x+5y−3z=0x+5y-3z=0
e) 3x−5y+3z−3=03x-5y+3z-3=0
Parte inferior do formulário
Gabarito comentado
Infelizmente, você errou!
Pela equação geral do plano π1π1 é possível verificar que o vetor ortogonal ao plano é: n1−→=(3,−5,3)n1→=3,-5,3.
Como os planos ππ e π1π1 são paralelos: n⃗ =αn1−→n→=αn1→.
Por exemplo: α=2⇒α=2⇒ n⃗ =(6,−10,6)n→=6,-10,6
Logo: π:π: 6x−10y+6z+d6x-10y+6z+d =0=0
A∈π⇔A∈π⇔ 6(2)−10(3)+6(4)+d62-103+64+d =0=0 ∴d=−6∴d=-6
Plano π:π: 6x−10y+6z−6=06x-10y+6z-6=0 ou 3x−5y+3z−3=0
 Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(−2,0,−2)A-2,0,-2, B(1,2,4)B1,2,4 e C(−1,−2,6)C-1,-2,6, um sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por:
Parte superior do formulário
a) π:π: ⎧⎩⎨⎪⎪x=2+3h+ty=2hz=−2−6h+tx=2+3h+ty=2hz=-2-6h+t
3 b) π:π: ⎧⎩⎨⎪⎪x=3h+ty=2h−2tz=6h+8tx=3h+ty=2h-2tz=6h+8t
c) π:π: ⎧⎩⎨⎪⎪x=−2+3h+ty=2h−2tz=−2+6h+8tx=-2+3h+ty=2h-2tz=-2+6h+8t
d) π:π: ⎧⎩⎨⎪⎪x=−2−3h−ty=−2h−2tz=−2−6h+8tx=-2-3h-ty=-2h-2tz=-2-6h+8t
e) π:π: ⎧⎩⎨⎪⎪x=h+ty=h−2tz=h+8tx=h+ty=h-2tz=h+8t
Parte inferior do formulário
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Obtemos os vetores diretores do plano ππ, ou seja:
	u⃗ =AB¯¯¯¯¯=(1,2,4)−(−2,0,−2)=(3,2,6)v⃗ =AC¯¯¯¯¯=(−1,−2,6)−(−2,0,−2)=(1,−2,8)u→=AB¯=1,2,4--2,0,-2=3,2,6v→=AC¯=-1,-2,6--2,0,-2=1,-2,8
Assim, o conjunto de equações paramétricas será:
π:π: ⎧⎩⎨⎪⎪x=−2+3h+ty=2h−2tz=−2+6h+8t
3. A equação geral do plano ππ que contém as retas r1:{y=x+1z=−3x+2r1:y=x+1z=-3x+2 e r2:⎧⎩⎨⎪⎪x=ty=−3−3tz=1+tr2:x=ty=-3-3tz=1+t é dada por:
Parte superior do formulário
a) π:π: x+y+z−2x+y+z-2 =0=0
b) π:π: 2x+y+z+22x+y+z+2 =0=0
c) π:π: 2x−y−z−52x-y-z-5 =0=0
d) π:π: x+2y+z−2x+2y+z-2 =0=0
e) π:π: 2x+y−3z+22x+y-3z+2 =0=0
Parte inferior do formulário
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Você precisa, primeiro, obter os vetores diretores das retas r1r1 e r2r2:
	r1:{y=x+1∴x=y−1z=−3x+2∴x=z−2−3∴x=y−1=z−2−3∴u⃗ =(1,1,−3)r2:⎧⎩⎨⎪⎪x=ty=−3−3tz=1+t∴v⃗ =(1,−3,1)r1:y=x+1∴x=y-1z=-3x+2∴x=z-2-3∴x=y-1=z-2-3∴u→=1,1,-3r2:x=ty=-3-3tz=1+t∴v→=1,-3,1
Para obter a equação geral, é necessário encontrar o vetor normal ao plano ππ:
	u⃗ ×v⃗ =∣∣∣∣∣i⃗ 11j⃗ 1−3k⃗ −31∣∣∣∣∣=∣∣∣1−3−31∣∣∣i⃗ +∣∣∣11−31∣∣∣j⃗ +∣∣∣111−3∣∣∣k⃗ =−8i⃗ −4j⃗ −4k⃗ u→×v→=i→j→k→11-31-31=1-3-31i→+1-311j→+111-3k→=-8i→-4j→-4k→
Logo, o vetor normal ao plano ππ será: n⃗ =(−8,−4,−4)n→=-8,-4,-4 =(−2,−1,−1)=-2,-1,-1.
Assim, a equação geral será: −2x−y−z+d=0-2x-y-z+d=0.
Em r2r2, se t=0∴t=0∴ A(0,−3,1)∈r2A0,-3,1∈r2 e, consequentemente, A∈πA∈π.
Finalmente: −2(0)−(−3)−(1)+d-20--3-1+d =0=0 ∴d=−2∴d=-2.
Portanto: π:−2x−y−z−2=0π:-2x-y-z-2=0 ∴π:2x+y+z+2=0∴π:2x+y+z+2=0.
4. Qual a distância entre a reta r:r: ⎧⎩⎨⎪⎪x=4+3ty=−1+tz=tx=4+3ty=-1+tz=t e o plano π:π: x−y−2z+4x-y-2z+4 =0=0?
Parte superior do formulário
a) 36√36
b) 99
c) 33
d) 6√6
e) 36√2362
Parte inferior do formulário
Gabarito comentado
Infelizmente, você errou!
O vetor diretor da reta rr é: v⃗ =(3,1,1)v→=3,1,1
O vetor normal ao plano ππ é: u⃗ =(1,−1,−2)u→=1,-1,-2
Definindo um ponto PP, tal que P∈rP∈r.
Por exemplo: P(4,−1,0)P4,-1,0, temos:
	d(P0,π)=|1⋅4+(−1)⋅(−1)+(−2)⋅0+4|12+(−1)2+(−2)2√=96√=36√2
5. O ângulo aproximado entre os planos π1:π1: 3x−4y−2z+33x-4y-2z+3 =0=0 e π2:π2: x+3y−5z+1x+3y-5z+1 =0=0 é:
Parte superior do formulário
a) 90º
b) 88º
c) 67º
d) 38º
e) 22º
Parte inferior do formulário
Gabarito comentado
Infelizmente, você errou!
Vetores normais dos planos: π1:π1: v⃗ =(3,−4,−2)v→=3,-4,-2 π2:π2: u⃗ =(1,3,−5)u→=1,3,-5
	cosθ=∣∣n1−→⋅n2−→∣∣||n1−→||||n2−→||=|(3,−4,−2)⋅(1,3,−5)|32+(−4)2+(−2)2√⋅12+32+(−5)2√=129√⋅35√≃0,031cosθ=n1→·n2→n1→n2→=3,-4,-2·1,3,-532+-42+-22·12+32+-52=129·35≃0,031
θ=θ= cos−1(0,031)cos-10,031 =88,2°=88,2°
6. Quais os valores de m e n para que a reta r:⎧⎩⎨⎪⎪x=3+ty=−1−tz=−2−tr:x=3+ty=-1-tz=-2-t esteja contida no plano π:π: 2x+my+nz−52x+my+nz-5 =0=0?
Parte superior do formulário
a) m=−1m=-1 e n=3n=3
b) m=3m=3 e n=1n=1
c) m=3m=3 e n=−1n=-1
d) m=n=3m=n=3
e) m=n=−1m=n=-1
Parte inferior do formulário
Gabarito comentado
Parabéns! Você acertou!
Vamos definir dois pontos de rr. Por exemplo: t=0⇒t=0⇒ A(3,−1,2)A3,-1,2; t=1⇒t=1⇒ B(4,−2,−3)B4,-2,-3.
AA e BB pertencem à reta rr e como rr deve pertencer ao plano, então, AA e BB devem também satisfazer a equação do plano ππ.
	{2(3)+m(−1)+n(−2)−5=02(4)+m(−2)+n(−3)−5=0∴{−m−2n=−1−2m−3n=−3∴n=−1 e m=3
 7 O ponto de interseção PP da reta r:r: ⎧⎩⎨⎪⎪x=−1+2ty=5+3tz=3−tx=-1+2ty=5+3tz=3-t e π:π: 2x−y+3z−42x-y+3z-4 =0=0 é:
Parte superior do formulário
a) P(0,0,0)P0,0,0
b) P(−3,−2,−4)P-3,-2,-4
c) P(3,2,4)P3,2,4
d) P(−3,2,4)P-3,2,4
e) P(3,−2,−4)
8. Qual é a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(5,−1,4)A5,-1,4 e B(−1,−7,1)B-1,-7,1 e é perpendicular a ele?
Parte superior do formulário
a) −4x−4y+2z+3-4x-4y+2z+3 =0=0
b) 4x+4y+2z+34x+4y+2z+3 =0=0
c) −x+y+z+3-x+y+z+3 =0=0
d) 4x−4y−2z−34x-4y-2z-3 =0=0
e) y+2z+3=0y+2z+3=0
Parte inferior do formulário
Gabarito comentado
Parabéns! Você acertou!
Ponto médio de AB¯¯¯¯¯:M=AB¯:M= (5,−1,4)+(−1,−7,1)2=(2,−4,52)5,-1,4+-1,-7,12=2,-4,52
	v⃗ =(−1,−7,1)−(5,−1,4)=(−6,−6,−3)v→=-1,-7,1-5,-1,4=-6,-6,-3
Equação geral do plano: ax+by+cz+dax+by+cz+d =0=0
Assim:
	π:−6x−6y−3z+d=0−6⋅2−6⋅(−4)−3⋅52+d=0∴d=−92π:-6x-6y-3z+d=0-6·2-6·-4-3·52+d=0∴d=-92
Logo: π:−6x−6y−3z−92=0π:-6x-6y-3z-92=0 ou π:4x+4y+2z+3=0π:4x+4y+2z+3=0.
Parte inferior do formulário