Para determinar o produto das matrizes \( A \) e \( B \), precisamos realizar a multiplicação de matrizes. Vamos primeiro identificar as dimensões das matrizes: A matriz \( A \) é uma matriz \( 2 \times 3 \) e a matriz \( B \) é uma matriz \( 3 \times 2 \). O produto \( A \times B \) resultará em uma matriz \( 2 \times 2 \). Agora, vamos calcular o produto: Seja \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & -1 & -1 \end{pmatrix} \) e \( B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \). O elemento na posição \( (1,1) \) do produto \( AB \) é calculado como: \[ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 0 + 0 + 4 = 4 \] O elemento na posição \( (1,2) \) do produto \( AB \) é: \[ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot -1 = 1 + 0 - 2 = -1 \] O elemento na posição \( (2,1) \) do produto \( AB \) é: \[ 4 \cdot 0 + -1 \cdot 1 + -1 \cdot 2 = 0 - 1 - 2 = -3 \] O elemento na posição \( (2,2) \) do produto \( AB \) é: \[ 4 \cdot 1 + -1 \cdot 0 + -1 \cdot -1 = 4 + 0 + 1 = 5 \] Portanto, o produto \( AB \) é: \[ AB = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \] Analisando as alternativas: A) \( \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ -7 & 0 \end{pmatrix} \) B) \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \) C) \( \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \) D) \( \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \) E) \( \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 4 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} \) A alternativa correta é a D) \( \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \).

Para determinar o produto da matriz A com a matriz B, você precisa multiplicar a matriz A pela matriz B. O resultado será a matriz resultante da multiplicação. Vamos calcular: A = |1 0 2| |4 -1 -1| B = |0 1 1| |0 2 -1| Para encontrar o produto de A por B, você multiplica linha por coluna e soma os resultados. O produto das matrizes A e B é a matriz: |0 5 1| |4 -7 -3| Portanto, a alternativa correta é: B) |0 5 1| |4 -7 -3|