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Bacharelado em Ciência e Tecnologia 
Laboratório de Fenômenos Mecânicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório de Metodologia e Erros 
 
 
 
Profª.Drª. Thaciana Malaspina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Carlos Gustavo Piva de Moraes RA 112184 
 Maikon Stefano dos Santos RA 112232 
 Matheus Domingues Silva RA 112240 
 Roberson Alexandre Machado de Jesus RA 112256 
 
 
 
 
São José dos Campos, 23 de março de 2017. 
thaciana
Nota
capa: OK
índice: não tem
Resumo: muito bom
abstract: legal ter colocado
Introdução: muito boa, completíssima
Objetivos: OK
Materiais:OK
Procedimento: OK
Resultados e Discussões: pouca discussão, muito descritivo, mas pobre.
A3: bem respondida
B3: bem respondida
C3: bem respondida
Conclusão: muito boa
Referências: OK


NOTA: 8.0
 
 
1. Resumo 
 
O mundo globalizado em que vivemos necessita de uma compreensão constante 
sobre o papel da tecnologia e da ciência no âmbito social. Saber qual a origem dos 
produtos e a forma como a pesquisa de base descobre os conceitos fundamentais e 
elementares que os possibilitam são de suma importância para bacharéis e 
engenheiros do ramo da Inovação Tecnológica. A metodologia empregada e o 
tratamento estatístico adequado dos dados coletados em campo são determinantes 
para a consolidação de um projeto de pesquisa bem sucedido. O presente relatório 
busca evidenciar a influência dessas técnicas de manipulação de dados e 
instrumentos de medidas no cotidiano acadêmico- científico, a partir de testes 
laboratoriais simples, porém esclarecedores do ponto de vista experimental, 
permitindo a aplicação e consolidação de conceitos teóricos sobre erros, incertezas, 
medidas, resoluções e capacidades dos instrumentos, variâncias, desvios, etc. 
A discussão das informações obtidas surge com uma visão clínica e analítica, que 
gera, por conseguinte possibilidades de melhoria ou aprimoramento da metodologia 
empregada, fatos característicos, essenciais e indispensáveis no perfil do 
profissional e/ou pesquisador. 
Palavras-chave: tratamento estatístico dos dados, metodologia científica, 
instrumentos de medidas, erros experimentais. 
 
Abstract 
The globalized world we live in requires a constant understanding of the role of 
technology and science in the social realm. Knowing the origin of the products and a 
way as a basic research uncovers the fundamental concepts and elements that 
possibilities are of utmost importance to the engineers and engineers of the field of 
Technological Innovation. The methodology employed and the adequate statistical 
treatment of the data collected in the field are determinant for the consolidation of a 
successful research project. This report comprehends the influence of data 
manipulation techniques and the non-scientific-scientific everyday instruments, from 
laboratory tests that are simple, but illuminating from an experimental point of view, 
 
allowing the application and consolidation of theoretical concepts about errors, 
uncertainties, Measures, resolutions and capacities of instruments, variances, 
deviations, etc. 
The discussion of the information obtained arises with a clinical and analytical vision, 
which generates, therefore, possibilities of improvement or improvement of the 
methodology employed, characteristic facts, essential and indispensable in the profile 
of the professional and/or researcher. 
Keywords: statistical treatment of data, scientific methodology, measurement 
instruments, experimental errors. 
 
 
 
2. Introdução 
 
2.1 Importância das medidas ao longo da História 
 
Em nossa civilização atual, os processos de medição são bastante complexos 
a fim de satisfazerem às crescentes necessidades da ciência e da tecnologia em 
geral. Porém em épocas remotas o Homem utilizou processos simples de 
mensuração, embora fossem suficientes para a sua técnica primitiva. Muito 
provavelmente os hominídeos começaram a determinar o tamanho das coisas ao 
seu redor quando ainda nem falavam, pois comparar um peixe com outro, a saber, 
qual é o maior ou o menor era uma tarefa corriqueira. Também era do seu 
conhecimento que certa quantidade de alimento saciava sua fome. Obviamente, 
eram maneiras intuitivas de se medir (ainda que fosse apenas por mera 
comparação). A partir do momento em que o Homem passou a viver em grupos 
maiores a necessidade de medir aumentava ainda mais. Até então as maneiras 
como se medem as grandezas eram bastante rudimentares: usavam partes do 
próprio corpo, como; o comprimento do pé, a largura da mão ou a grossura do dedo, 
o palmo e a passada, ou ainda uma vara ou um bastão, como ilustrado na figura . 
Com o surgimento das primeiras civilizações, tais processos não mais 
satisfaziam às demandas, pois as pessoas sabiam constatar as diferenças e 
divergências daquelas partes para cada indivíduo. As construções de casas e 
 
navios, a divisão de terras e o comércio com outros povos exigiram medidas 
padrões, que fossem as mesmas em qualquer lugar; absolutas. Assim, um mercador 
de tecidos da Babilônia poderia vender sua mercadoria em Jerusalém, usando uma 
vara padrão de tamanho aproximado ao da adotada lá. ​1 
 
 
Figura 1: ​ Medidas antigas. 
Povos antigos como os Egípcios, os Babilônios, os Assírios, os Chineses, os 
Persas, Gregos e os Romanos contribuíram enormemente na determinação exata 
do número de dias do ano solar (365, 242 dias), duração aproximada desses dias, 
algumas dimensões da Terra e seus movimentos de translação e rotação, criaram 
instrumentos bem elaborados como o relógio de sol e a clepsidra para mensurar 
porções de tempo, balanças por contrapeso, ferramentas para estimar posição e 
distância de astros no céu, dentre vários outros feitos que serviram de legado para 
povos subsequentes. 
Os pesos e medidas usados nas civilizações antigas eram levados a outros 
povos através do comércio ou de conquistas. Assim, no início da Idade Média, as 
unidades adotadas eram as dos romanos, o último e maior império da Antiguidade, 
que levaram-nas por toda a Europa, oeste da Ásia e África. Sem dúvida, os mais 
usados ainda eram aqueles das dimensões humanas, mas obviamente eram 
necessárias medidas mais precisas para certas atividades, como no caso das 
construções bizantinas e árabes. Esses povos certamente possuíam seus padrões 
de pesos e medidas, embora fossem diferentes para cada região. 
Esse tipo de divergência causava dificuldades comerciais nas trocas de 
produtos e mercadorias entre os feudos ou nas feiras livres. Já na Baixa Idade 
Média os burgos foram se formando e a integração e padronização das medidas 
eram requisitos básicos para o crescimento da “economia”; a própria transição do 
 
Feudalismo para o Mercantilismo e posteriormente ao Capitalismo exerceria pressão 
nesse sentido. 
Ainda devemos lembrar que foi nas invenções do fim da Idade Média e 
Renascença que começou a ser exigido e adotado padrões mais cautelosos de 
medida (é nesse momento que nasce a noção de método científico), pois se tratava 
de uma nova atividade e podia ser muito bem controlada. Como exemplo, a 
construção de navios para as expedições das grandesnavegações, as proporções 
harmônicas das obras de arte, a tipografia e a imprensa que nascia, cujos tipos 
móveis de padrões internacionais foram criados no fim do século XV e são até hoje 
mantidos, e etc. 
Atualmente temos disponíveis a nossa volta toda uma tecnologia que 
depende dessa padronização de medidas, tecnologia essa que é fruto da aplicação 
de conceitos obtidos na pesquisa de base experimental, na qual a partir da aplicação 
do método científico as medidas e erros experimentais devem ser bem conhecidos 
para garantir uma conclusão mais cristalina do mecanismo do fenômeno observado. 
Um exemplo contemporâneo dessa observação é a tecnologia ​Touchscreen ​(figura 
2), encontrada na grande maioria de celulares e ​tablets​, que só foi possível a partir 
de pesquisas sobre partículas elementares realizadas no campo da Física de 
Partículas no CERN (antigo acrônimo para ​Conseil Européen pour la Recherche 
Nucléaire​) com seu grande colisor de partículas LHC (​Large Hadron Collider​). ​2 
 
 
Figura 2: ​Tecnologia ​touchscreen possível através de pesquisas da Física 
Experimental. 
 
Além disso, a manufatura e logística advindas da Globalização são 
importantes exemplos, já que os componentes de um dispositivo eletrônico 
 
normalmente não são produzidos num mesmo país pelas mesmas pessoas, mas 
com frequência em continentes diferentes por pessoas diferentes e, no entanto o 
respeito aos padrões de medida garantem que essas peças se encaixem e o 
aparelho funcione perfeitamente. 
 
2.2 História de alguns instrumentos de medida 
 
A origem da palavra ​régua é francesa (règle) e significa “lei ou regra”. 
Trata-se de um instrumento cuja primeira ideia que nos impõe é a do traçado reto e 
de medida. A régua é um instrumento utilizado em geometria para traçar segmentos 
de reta e medir pequenas distâncias. A ferramenta também é utilizada em técnicas 
de impressão e desenho. Seu uso em Engenharia é frequente e essencial. ​4 
As réguas já estavam em uso no período de 1500 a.C e foram encontradas no 
Vale do Indo. Pesquisadores realizaram escavações em Mohenjo-Daro e 
encontraram um objeto dividido em unidades correspondente a 1,32 em (33,5 mm) e 
marcado com subdivisões decimais com uma precisão incrível, dentro de 0,005 
(0,13 mm). Tijolos antigos encontrados em toda a região possuíam dimensões que 
correspondiam a essas unidades. Hoje em dia são encontradas no mercado 
diferentes tipos de réguas, cada qual com sua escala em uma unidade de medida, a 
depender da aplicação. ​4 
As réguas usadas no presente experimento, foram as graduadas em 
milímetro (mm), em centímetro (cm) e em decímetro (dm) e estão ilustradas logo 
abaixo, na figura 3​. 
 
 
 
Figura 3:​ Réguas em cm, mm e dm, respectivamente, de cima para baixo. 
 
 
O ​paquímetro é um instrumento usado para medir com precisão as 
dimensões de objetos pequenos. Trata-se de uma régua graduada, com encosto 
fixo, sobre a qual desliza um cursor. O paquímetro possui dois bicos de medição, 
sendo um ligado à escala e o outro ao cursor. 
Geralmente esse tipo de instrumento é empregado nas indústrias e 
laboratórios para medir as dimensões de peças componentes tais como; parafusos, 
porcas, tubos, entre outros. Para realizar tal medição basta aproximar o objeto do 
bico superior e deslizar o cursor até que a peça fique justa. 
A idealização desse instrumento surge entre os séculos XVI e XVII pela 
contribuição conjunta de dois geômetras; Pierre Vernier (1584-1638), francês, 
fabricante de instrumentos científicos e criador do calibrador de Vemier, e Pedro 
Nunes, português, que inventou o Nônio. Em homenagem aos seus criadores existe 
um cursor móvel nesse equipamento que se chama Nônio ou Vernier. O paquímetro 
possui normalmente uma graduação em centímetros e outra em polegadas para que 
possamos realizar as medições. Além do paquímetro universal (figura 4), hoje em 
dia muitas outras variações são encontradas, a depender da aplicação como; 
paquímetro universal com relógio, paquímetro digital, paquímetro duplo, dentre 
outros. ​4 
 
 
 
 
Figura 4:​ Paquímetro universal utilizado no laboratório. 
 
O ​micrômetro é um instrumento de medição usado para verificar medidas 
lineares quando a medição requer aproximação de centésimos de milímetro, esse 
equipamento foi inventado em 1848 pelo francês Jean Louis Palmer. Porém com o 
decorrer do tempo, o micrômetro foi sendo aprimorado, possibilitando medições 
mais rigorosas e exatas. 
 
Foi Laroy S. Starrett o responsável pelos mais significativos aprimoramentos 
do micrômetro, dando-lhe o design que apresenta até hoje, mantendo, porém, o 
mesmo princípio de funcionamento. Laroy S. Starrett, fundador da Starrett, 
atualmente uma das maiores fabricantes de ferramentas e instrumentos de medição 
do mundo, com divisões em diversos países, entre outras melhorias criou o que hoje 
conhecemos como cilindro graduado e o tambor, cobrindo o parafuso micrométrico 
para protegê-lo de partículas. Além disso, possibilitou o aumentou na velocidade de 
medição na ferramenta. ​5 
O funcionamento do micrômetro se baseia no deslocamento axial de um 
parafuso micrométrico com passo de alta precisão dentro de uma rosca ajustável. A 
circunferência de rosca (tambor) é dividida em 50 partes iguais, possibilitando 
leituras de 0,01mm. 
É largamente utilizado na construção civil, e têm grande aplicabilidade na 
indústria mecânica, medindo toda espécie de peças e objetos, como componentes 
de máquinas. Atualmente possui além da versão “analógica” (figura 5) existe uma 
versão digital, de mais fácil manuseio. ​5 
 
 
 
 
Figura 5: Micrômetro, criado há mais de um século, mantém sua utilidade nos dias 
atuais. 
 
A importância das medidas e erros na Física 
 
A Física é uma ciência experimental. O físico observa fenômenos naturais e 
tenta achar os padrões e os princípios que relacionam esses fenômenos. Esses 
padrões são denominados teorias físicas ou, quando bem estabelecidas e de largo 
uso, leis e princípios físicos. 
 
Os experimentos são empreendimentos que exigem medidas, e normalmente 
usamos números para descrever os resultados dessas medidas. Qualquer número 
usado para descrever quantitativamente um fenômeno físico, denomina-se grandeza 
física. Algumas grandezas físicas são tão fundamentais que podemos defini-las 
somente descrevendo como elas são medidas. Tal definição denomina-se definição 
operacional. Alguns exemplos: medir uma distância usando uma régua e medir um 
intervalo de tempo usando um cronômetro. 
Para calcular medidas confiáveis e precisas, necessita-se de medidas que 
não variem e que possam ser reproduzidas por observadores em diversos locais. O 
sistema de unidades usado por cientistas e engenheiros, em todas as partes do 
mundo, denomina-se normalmente “sistema métrico”, porém, desde 1960, ele é 
conhecido oficialmente como Sistema Internacional, ou SI (das iniciais do nome 
francês Système International). ​3 
As medidas sempre envolvem incertezas. Se medir a espessura da capa de 
um livro com uma régua comum, sua medida será confiável até omilímetro mais 
próximo. Suponha que você meça 3 mm (milímetro). Seria errado expressar este 
resultado como 3 mm. Por causa das limitações dos dispositivos de medida, não se 
pode afirmar se a espessura real é 3,00 mm, 2,85mm, ou 3,11mm. Contudo, se 
fosse usado um micrômetro calibrador, um dispositivo capaz de medir distâncias 
com segurança até 0,01, o resultado poderia ser expresso como 2,91 mm. A 
distinção entre essas duas medidas corresponde a suas respectivas incertezas. A 
medida realizada com um micrômetro possui uma incerteza menor; ela é mais 
precisa. A incerteza corresponde ao erro da medida, visto que ela indica a maior 
diferença esperada entre o valor real e o valor medido. A incerteza e o erro no valor 
da grandeza dependem da técnica usada na medida. ​3 
​As medidas de grandezas físicas podem ser classificadas em duas 
categorias: medidas diretas e indiretas. A medida direta de uma grandeza é o 
resultado da leitura de uma magnitude mediante o uso de instrumento de medida, 
como por exemplo, um comprimento com uma régua graduada. Uma medida indireta 
é a que resulta da aplicação de uma relação matemática que vincula a grandeza a 
ser medida com outras diretamente mensuráveis. Como por exemplo, a medida da 
 
velocidade média v de um carro pode ser obtida através da medida da distancia 
percorrida ∆x e o intervalo de tempo ∆t, sendo v = ∆x/∆t. ​7 
​Geralmente indicamos a acurácia ou exatidão de um valor medido – ou seja, 
o grau de aproximação esperado entre o valor real e o valor medido – escrevendo o 
número seguido do sinal e um segundo número indicando a incerteza medida. Se o 
diâmetro de uma barra de aço for indicada por 56,47 ± 0,002 mm, conclui-se que o 
valor real não deve ser menor que 56,46 mm, nem maior do que 56,49mm. ​1 
Além de todos os conceitos mencionados acima no tratamento dos dados que 
devem ser levados em consideração durante a parte experimental de uma 
investigação científica, a ​teoria dos erros nos ensina um pouco mais sobre os tipos 
de falhas laboratoriais, suas origens e, quando possível, sua atenuação ou 
supressão completa. 
Durante a aquisição de dados dois tipos de erro experimental, ​erros 
sistemáticos e erros aleatórios​, geralmente contribuem para o erro na quantidade 
medida. ​6 
Erros sistemáticos são devidos a causas identificáveis e podem, em 
princípio, ser eliminados. Erros desse tipo resultam em valores que são 
sistematicamente mais altos ou mais baixos. Há quatro tipos de erros sistemáticos: 
 
● Instrumentais: Por exemplo, um instrumento mal calibrado, tal como 
um termômetro que lê 102 °C quando imerso em água em ebulição, e 
2 °C quando colocado em água com gelo à pressão atmosférica. Tal 
termômetro resultará em valores de temperatura que serão 
consistentemente mais altos. 
 
● Observacionais: Por exemplo, a paralaxe na leitura de uma escala 
com ponteiro. 
 
● Ambientais: Por exemplo, uma fonte elétrica “queimada” que causa 
correntes elétricas muito baixas. 
 
 
● Teóricos: Devido a simplificações do modelo de sistema ou 
aproximações nas equações que o descrevem – por exemplo, se a 
força de atrito que age durante o experimento não for incluída na 
teoria, os resultados teóricos e experimentais irão discordar de maneira 
sistemática. 
 
Um cientista experimental geralmente quer identificar e eliminar os erros 
sistemáticos. 
 
Erros randômicos (aleatórios) são flutuações positivas e negativas que 
produzem cerca de metade das medidas com valores mais baixos e metade mais 
altos. Algumas vezes pode ser muito difícil de identificar as fontes de erros 
randômicos. Possíveis fontes desses erros são: 
 
● Observacionais: Por exemplo, erros no julgamento de um observador 
quando lendo uma escala de um equipamento de medida na menor 
divisão. 
 
● Ambiental: Por exemplo, variações imprevisíveis da voltagem da rede 
elétrica, temperatura, ou vibrações mecânicas do equipamento. 
 
Os erros aleatórios, diferente dos erros sistemáticos, podem ser geralmente 
quantificados por análise estatística, portanto o efeito dos erros aleatórios sobre uma 
determinada quantidade ou lei física sob investigação podem geralmente ser 
determinados. ​6 
Neste experimento foi realizado alguns cálculos, como média, variância e 
desvio padrão, esses essenciais para avaliarmos a precisão dos instrumentos de 
medida usados no decorrer do experimento. Além da propagação sistemática de 
erros. A média aritmética simples é obtida através do somatório de todas as 
observações dividindo-se pelo número de observações e está dada na equação 1. 
 
 
 ​ (1) x = n
1 ∑
n
i =1
xi 
 
A variância é uma medida de dispersão que verifica a distância entre os 
valores da média aritmética. A equação que define a variância está expressa na 
equação 2. ​8 
 ​(2)σ2 = 1n −1 (x x) ∑
n
i =1
i − 
2 
 
O desvio padrão é uma medida de dispersão, é a raiz quadrada da variância 
dividindo pela quantidade de amostras. Mede a variabilidade dos valores à volta da 
média. O valor mínimo do desvio padrão é 0 indicando que não há variabilidade, ou 
seja, que todos os valores são iguais à média. A fórmula do desvio padrão está 
representada na equação 3. ​9 
 
= ​ (3) σ √ (x x) 1n ∑
n
i =1
i − 
2
 
 
 
No presente relatório da prática I caso alguma discrepância nos dados seja 
identificada, classificaremos o erro associado e utilizaremos as definições dadas 
acima. 
 
3. Objetivos 
 
Pode-se dividir a finalidade do Experimento I em uma porção qualitativa e em 
outra quantitativa. 
Qualitativamente, o propósito dessa prática foi avaliar a precisão da escala de 
cada instrumento de medida utilizado (réguas, paquímetro e micrômetro) e aprender 
a manusear esses equipamentos corretamente. 
 
Quantitativamente, a presente experiência teve como objetivo possibilitar o 
aprendizado na operação com algarismos significativos, efetuar medidas diretas e 
indiretas e executar cálculos de propagação de incertezas. 
 
 
 
4. Parte Experimental 
 
4.1 Materiais usados 
 
a) Três réguas: 
i) graduada em decímetro e em polegadas ( );, dm δi = 0 5 
ii) graduada centímetro ( );0, cm δi = 5 
iii) graduada milímetro ( );0, mm δi = 5 
b) Paquímetro ( );, 5 mm δi = 0 0 
c) Micrometro ( );0, 05 mm δi = 0 
d) Balança ( );0, 1g δi = 0 
e) Folha de sulfite; 
f) Cilindro Maciço de Cobre; 
g) Fio de cabelo. 
 
4.2 Procedimento 
 
a) Determinação de área e perímetro de uma folha 
 
Mediu-se, através de medidas diretas, 5 vezes o comprimento de uma folha 
de sulfite, utilizando as réguas com diferentes graduações, expressas em: milímetro 
(mm), centímetro (cm) e decímetro (dm) e colocados esses dados na tabela 1. 
 
Tabela 1: ​Medida direta do comprimento da folha. 
Régua C1 C2 C3 C4 C5 
mm 296 295 296 294 295 
cm 29,6 29,6 29,6 29,6 29,5 
dm 2,97 2,96 2,96 2,95 2,97 
 
 
thaciana
Realce
thaciana
Nota
vcs não tem essa resolução neta régua, esses números são uma suposição. Estão errados!
 
As medidas da largura do objeto em estudo foram coletas em seguida, e, 
seus resultados expressos na tabela 2. 
 
 
Tabela 2: ​Medida direta da largura da folha. 
Régua L1 L2 L3 L4 L5 
mm 210 212 210 209 210cm 21 21 21 21 21 
dm 2,1 2,2 2,1 2,1 2,1 
 
b) Medidas de um Cilíndro 
 
Mediu-se 5 vezes o diâmetro interno e externo de um cilindro de cobre, as 
medidas foram denominadas d1 e d2, respectivamente; A largura L da peça, 
ilustrada na figura 6, também fora medida com o auxílio de um paquímetro. As 
medidas foram anotadas na tabela 3. 
 
 
Figura 6 ​: Sólido ilustrado e suas respectivas medidas representadas. 
 
 
 
Tabela 3:​ Dimensões da peça de cobre, em milimetro (mm). 
Dimensão 1 2 3 4 5 
d1 3,2 3,0 2,8 3,0 3,2 
d2 34 34 34 34 34 
L1 6,6 6,6 6,6 6,6 6,6 
L2 6,6 6,6 6,6 6,6 6,6 
 
thaciana
Realce
thaciana
Nota
vcs não tem essa resolução neta régua, esses números são uma suposição. Estão errados!
 
c) Medidas de massa 
 
Foi verificado se a balança estava calibrada, zerada e nivelada, em seguida, 
foi medida a massa da peça maciça de cobre 5 vezes e esses estão apresentados 
na tabela 4. 
 
 
Tabela 4: ​Massa da peça de cobre expressa em gramas (g). 
 
 1 2 3 4 5 
Massa 49,97 49,97 49,99 49,97 49,96 
 
d) Medidas da folha de sulfite 
 
Foram medidas 10 vezes a espessura da folha de uma folha de sulfite, com o 
auxílio do micrômetro. As medidas coletadas estão expressas na Tabela 5. 
 
 
Tabela 5: ​Medida da espessura da folha de sulfite, em milímetros 
 
Amostra Medida Amostra Medida 
1 0,07 6 0,12 
2 0,10 7 0,10 
3 0,11 8 0,11 
4 0,09 9 0,09 
5 0,10 10 0,10 
 
 
 
e) Medidas do fio de cabelo 
 
Um dos componentes do grupo doou um fio de cabelo para o experimento e 
este foi medido 10 vezes, com o auxílio do micrômetro. Os resultados estão 
mostrados na tabela 6. 
 
 
 
 
Tabela 6: ​Medida da espessura do fio de cabelo, em milímetros. 
 
Medida Medida Medida Medida 
1 0,07 6 0,051 
2 0,06 7 0,051 
3 0,06 8 0,051 
4 0,06 9 0,05 
5 0,065 10 0,051 
 
 
 
5. Resultados e Discussão 
 
 
5.1 Incertezas Instrumentais e da média 
 
 a) Incertezas da Média 
 
As incertezas da média serão calculadas para cada instrumento usando o 
desvio padrão ( ) expresso pela equação 3. Previamente é necessário utilizar a σ 
média aritmética descrita na equação 1. 
 
i) da régua graduada em dm, utilizada no comprimento da folha σ 
 
Os valores estão representados no intervalo C1:C5 da tabela 1. 
 
 
 x = 5
2,97 + 2,96 + 2,95+ 2,97 + 2,96 , 6 dm = 2 9 
 
 
⇒ σ2 = .15−1 2. (2, 7 , 6) 2. (2, 6 , 6) 2, 5 , 6) 9 − 2 9
2 + 9 − 2 9 2 + ( 9 − 2 9 2 
⇒ , 5 (0, 002 0, 001) . 10 σ2 = 0 2 0 + 0 = 7 −5 
 
∴ 3, .10 dmσ = √σ2 = 7 −3 
 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
 
ii) da régua graduada em dm, utilizada na largura da folha σ 
 
Os valores estão representados no intervalo L1:L5 da tabela 2. 
 
 
 x = 5
2,1 + 2,2 + 2,1+ 2,1 + 2,1 , 2 dm = 2 1 
 
 
⇒ σ2 = .15−1 4. (2, , 2) (2, , 2) 1 − 2 1
2 + 2 − 2 1 2 
⇒ , 5 (0, 016 0, 064) . 10 σ2 = 0 2 0 + 0 = 2 −3 
 
∴ 0, 2 dmσ = √σ2 = 0 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
 
iii) da régua graduada em cm, utilizada no comprimento da folha σ 
 
Os valores estão representados no intervalo C1:C5 da tabela 1. 
 
 
 x = 5
29,6 + 29,6 + 29,5+ 29,6 + 29,6 9, 8 cm = 2 5 
 
 
⇒ σ2 = .15−1 4. (2, 6 , 6) (29, 9, ) 9 − 2 9
2 + 5 − 2 6 2 
⇒ , 5 ( 0, 001) . 10 σ2 = 0 2 0 = 2 −3 
 
∴ 0, 2 cmσ = √σ2 = 0 
 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
 
iv) da régua graduada em cm, utilizada na largura da folha σ 
 
Os valores estão representados no intervalo L1:L5 da tabela 2. 
 
 
 x = 5
21 + 21 + 21+ 21 + 21 1 cm = 2 
 
 
⇒ σ2 = .15−1 5. (21 1) ) ( − 2
2 σ2 = 0 
 
∴ 0 cmσ = √σ2 = 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
 
 
v) da régua graduada em mm, utilizada no comprimento da folha σ 
 
Os valores estão representados no intervalo C1:C5 da tabela 1. 
 
 
 x = 5
296 + 296 + 295+ 294 + 295 95, mm = 2 2 
 
 
⇒ σ2 = .15−1 2. (296 95, ) 2.(295 95, ) (294 95, ) − 2 2
2 + − 2 2 2 + − 2 2 2 
⇒ , 5 (2.(0, 4) (0, 4) 1, 4) , σ2 = 0 2 6 + 2 0 + 4 = 0 7 
 
∴ 0, 7 mmσ = √σ2 = 3 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
 
 
vi) da régua graduada em mm, utilizada na largura da folha σ 
 
Os valores estão representados no intervalo L1:L5 da tabela 2. 
 
 
 x = 5
210 + 212 + 210 + 210 + 209 10, mm = 2 2 
 
 
 
⇒ σ2 = .15−1 3. (210 10, ) (209 10, ) 212 10, ) − 2 2
2 + − 2 2 2 + ( − 2 2 2 
⇒ , 5 (3.(0, 2) 3, 4 1, 4) , σ2 = 0 2 1 + 2 + 4 = 1 2 
 
∴ 0, 8 mmσ = √σ2 = 4 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
Caso tivesse o comprimento médio em milímetros e a largura média em 
decímetros, iriamos converter ou o comprimento em decímetro ou a largura em 
milímetro, dessa forma iríamos ter uma incerteza da média para o perímetro e para a 
área realizando os cálculos na unidade desejada, ou em decímetro ou em milímetro, 
por cálculos análogos aos de incertezas já calculados neste experimento. 
 
 
vii) do paquímetro graduado em mm, utilizado no diâmetro interno (d1) do cilindro σ 
 
Os valores estão representados no intervalo 1:5 da tabela 3. 
 
 
 x = 5
3,2 + 3,0 + 2,8 + 3,0 + 3,2 , 4 mm = 3 0 
 
 
 
⇒ σ2 = .15−1 2. (3, , 4) 2.(3, , 4) 2, , 4) 2 − 3 0
2 + 0 − 3 0 2 + ( 8 − 3 0 2 
 
⇒ , 5 (2.(0, 5) 2.(0, 16) 0, 5) , 8 mm σ2 = 0 2 0 + 0 + 0 = 0 2 
 
∴ 0, 7 mmσ = √σ2 = 0 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
 
viii) do paquímetro graduado em mm, utilizado no diâmetro externo (d2) do cilindro σ 
 
Os valores estão representados no intervalo 1:5 da tabela 3. 
 
 
 x = 5
34 + 34 + 34 + 34 + 34 4 mm = 3 
 
 
 
⇒ σ2 = .15−1 5. (34 4) − 3
2 σ2 = 0 
 
∴ 0 cmσ = √σ2 = 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
 
ix) do paquímetro graduado em mm, utilizado na largura interna (L2) do cilindro σ 
 
Os valores estão representados no intervalo 1:5 da tabela 3. 
 
 
 x = 5
6,6 + 6,6 + 6,6 + 6,6 + 6,6 , mm = 6 6 
 
 
⇒ σ2 = .15−1 5. (6, , ) 6 − 6 6
2 σ2 = 0 
 
∴ 0 mmσ = √σ2 = 
 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
 
x) do paquímetro graduado em mm, utilizado no diâmetro externo (L1) do cilindro σ 
 
Os valores estão representados no intervalo 1:5 da tabela 3. 
 
 
 x = 5
6,6 + 6,6 + 6,6 + 6,6 + 6,6 , mm = 6 6 
 
 
⇒ σ2 = .15−1 5. (6, , ) 6 − 6 6
2 σ2 = 0 
 
∴ 0 mmσ = √σ2 = 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
 
xi) da balança em g, utilizada na massado cilindro σ 
 
Os valores estão representados no intervalo 1:5 da tabela 4. 
 
 
 x = 5
49,97 + 49,97 + 49,97 + 49,99 + 49,96 9, 7 g = 4 9 
 
 
⇒ σ2 = .15−1 3. (49, 7 9, 7) (49, 6 9, 7) (49, 9 9, 7) 9 − 4 9
2 + 9 − 4 9 2 + 9 − 4 9 2 
⇒ , 5 (0, 001 0, 004) , . 10 σ2 = 0 2 0 + 0 = 1 2 −4 
 
∴ 0, 048 gσ = √σ2 = 0 
 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
Uma maneira simples de estimar o volume aproximado de sólidos irregulares 
ou de sólidos conhecidos quando se tem carência de instrumentos de medida seria 
utilizando o ​Princípio de Arquimedes, descoberto no século III a.C por esse 
matemático grego. 
Esse princípio diz que podemos descobrir o volume de um sólido irregular 
partir da imersão do mesmo em um recipiente contendo água. E o volume deslocado 
de água será proporcional ao volume do sólido (figura 7). Por exemplo, se um objeto 
amorfo deslocar 1 litro de água pode-se concluir que o objeto em questão possui um 
volume próximo de 1 dm​3​ (decímetro cúbico). ​10 
Erros que poderiam surgir e influenciar os dados na aplicação desse conceito 
seriam: 
- Perda do volume da água transbordada; 
- Sólido resistente à imersão completa por sua alta flutuabilidade; 
- Erros associados à quantificação do valor em litros da água expulsa. 
 
 
 
 
Figura 7 - Representação gráfica da aplicação do princípio de Arquimedes. 
 
 
Vale ressaltar que esse procedimento só seria viável se o sólido em questão 
fosse constituído por um material não solúvel em meio líquido. Pois sua dissolução 
ou dissociação afetaria significativamente o valor final obtido para o volume. 
 
xii) do micrômetro graduado em mm, utilizado na folha de sulfite σ 
 
Os valores estão representados no intervalo 1:10 da tabela 5. 
 
 
 x = 10
0,07 + 0,1 + 0,11 + 0,09 + 0,1 + 0,12 + 0,1 + 0,11 + 0,9 + 0,1 , 99 mm = 0 0 
 
 
 
 σ2 = .110−1
 4. (0, , ) (0, 7 , ) . (0, , ) 2.(0, 1 , ) (0, 2 , ) )( 1 − 0 1 2 + 0 − 0 1 2 + 2 9 − 0 1 2 1 − 0 1 2 1 − 0 1 2 
⇒ σ2 = 9
1 0, 009 , 002 0, 002 , 004) , 0018 ( 0 + 0 0 + 0 + 0 0 = 0 0 
 
∴ 0, 06 mmσ = √σ2 = 0 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
Caso não houvesse um micrômetro para realizar o experimento, e houvesse 
apenas réguas, iria estimar indiretamente a espessura de cada folha observando a 
sua faixa de indicação e por conseguinte iria ser feito o julgamento do valor mais 
aproximado de acordo com o observador, assim, a incerteza com certeza seria 
maior, pois iria depender do olhar crítico do observador e seu julgamento, levando 
em consideração o erro de observação. 
 
xiii) do micrômetro graduado em mm, utilizado no fio de cabelo σ 
 
Os valores estão representados no intervalo 1:10 da tabela 6. 
 
 
 
 x = 10
0,07 + 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,065 + 0,051 + 0,051 + 0,05 + 0,051 + 0,051 
, 56 mm x = 0 0 
 
 
 
 σ2 = .110−1 
 
 4. (0, 51 , 56) (0, 7 , 56) .(0, 6 , 56) (0, 65 , 56) (0, 5 , 56) )( 0 − 0 0 2 + 0 − 0 0 2 + 3 0 − 0 0 2 + 0 − 0 0 2 + 0 − 0 0 2 
⇒ σ2 = 9
1 0, 001 , 002 0, 0005 , 0008 0, 0004) ( 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 
⇒ .10σ2 = 5 −5 
 
∴ 0, 3 mmσ = √σ2 = 0 
 
 
A incerteza utilizada na propagação de erro será, portanto, igual a incerteza 
instrumental ( ) devido a superioridade de valor entre ela e a incerteza da média.δi 
 
Se quiséssemos medir a massa do fio de cabelo com a balança que temos 
disponível, não teríamos uma medida confiável, pois a faixa de precisão da balança 
não é feita para mensurar pesos desse tipo. Poderíamos estimar a massa de um fio 
de cabelo com esta balança, pegando uma massa maior de cabelo do componente, 
pesando, e logo após mensurar a quantidade de fios e dividir o peso encontrado por 
essa quantidade. 
Caso o comprimento do fio de cabelo fosse medido com uma régua 
graduada em mm, a incerteza da medida de volume desse fio de cabelo seria muito 
alta, pois uma régua graduada em milímetro já é um valor muito baixo, assim 
dependendo do observador e seu julgamento a incerteza seria ainda mais 
alarmante. 
 
As incertezas que serão usadas na propagação de erros estão expressas na 
tabela 7. 
 
 
 
 
 
 
Tabela 7:​ Incertezas em suas respectivas unidades. 
 
Instrumentos Incertezas 
Régua (dm) 0,5 dm 
Régua (cm) 0,5 cm 
Régua (mm) 0,5 mm 
Paquímetro 0,05 mm 
Micrômetro 0,05 mm 
Balança 0,01g 
 
 
b) Uso de medidas indiretas 
 
Faz-se necessário a propagação de erros para o cálculo de medidas como 
área, perímetro, volume e densidade. 
 
i) Área e Perímetro da folha de sulfite, em dm 
 
⇒ , ondeC.L A = (2, 6 ± 0, ).(2, 2 ± 0, ) 6, 7 ± 1, 0 dm A = 9 5 1 5 = 2 8 2 
 
 ​= +​ ​⇒ = 1,80 )( A
σA 2 ) ( C
σC 2 )( L
σL 2 6, 7. σA = 2 √0, 28 0, 550 + 0 ± 
 
, ondeL L 2.(2, 6 ± 0, ) .(2, 2 ± 0, ) 10, 6 ± 0, 0 dm P = C + C + + = 9 5 + 2 1 5 = 1 7 
 
⇒ σ2P = σ
2
C + σ
2
L 0, 0 σ P = √0, 5 , 52 + 0 2 = ± 7 
 
 
ii) Área e Perímetro da folha de sulfite, em cm 
 
⇒ , ondeC.L A = (29, ± 0, ).(21 ± 0, ) 621, ± 18, 3 cm A = 6 5 5 = 6 1 2 
 
 ​= +​ ​⇒ = )( A
σA 2 ) ( C
σC 2 )( L
σL 2 621, . σA = 6 √0, 0028 0, 00560 + 0 18, 3 ± 1 
 
, ondeL L 2.(29, ± 0, ) .(21 ± 0, ) 101, ± 0, 0 cm P = C + C + + = 6 5 + 2 5 = 2 7 
 
 
⇒ σ2P = σ
2
C + σ
2
L 0, 0 σ P = √0, 5 , 52 + 0 2 = ± 7 
 
 
iii) Área e Perímetro da folha de sulfite, em mm 
 
⇒ , ondeC.L A = (295, ± 0, 3).(210, ± 1, 8) 62.051, 4 ± 181, mm A = 2 8 2 0 = 0 1 2 
 
 ​= +​ ​⇒ )( A
σA 2 ) ( C
σC 2 )( L
σL 2 
 
62.051, 4. ± 181, σA = 0 √ 5, 5.10 , 6.10 6 −6 + 2 8 −5 = 1 
 
 
, ondeL L 2.(2, 6 ± 0, ) .(2, 2 ± 0, ) 10, 6 ± 1, 5 mm P = C + C + + = 9 5 + 2 1 5 = 1 3 
 
⇒ σ2P = σ
2
C + σ
2
L 1, 5 σ P = √0, 8 , 66 + 1 1 = ± 3 
 
 
iv) Volume e Densidade do Cilindro de Cobre 
 
.(0, (d2 d1)) .L . (0, ((17 ± 0, 5) (1, ± 0, 5))). (6, ± 0, 5) V c = π 5 − 2
 
= π 5 0 − 6 0 6 0 = 
 
 =. (0, (15, ± 0, 0)) .V c = π 5 4 7 2
 6, ± 0, 5) . (59, 9 ± 10, 8).(6, ± 0, 5) ( 6 0 = π 2 7 6 0 
, onde228, ± 71, mm 1 7 2 3 
 
9, 9 .2 σ2 = 5 2 )( σ d1− d2
2 .(0, 8) 10, 8 = 2 1 = ± 7 
 
 ​= +​ ​⇒ )( V
σV 2 ) ( σ d2−d1
2 )( L
σL 2 
 
1228, . ± 71, σV = 7 √ 0, 33 , 3.10 0 + 5 7 −5 = 2 
 
 , onde D = mV =
49,97 ± 0,01
1228,7 ± 71, 0, 4 ± 0, 02 gmm = 0 0
−3 
 
 ​= +​ ​⇒ )( V
σV 2 ) ( σ d2−d1
2 )( L
σL 2 
 
0, 4 ± 0, 02 σA = 0 √ 4.10 , 035 −8 + 0 0 = 0 
 
 
 
6. Conclusão 
 
 
Através das medidas diretas e os cálculos das medidas indiretas podemos 
concluir que mensurar objetos é um processo muito delicado e apresenta muitas 
falhas. Essas falhas por conta dos erros sistemáticos e aleatórios que ocorrem 
durante o experimento, principalmente nesse caso o de observação, pois como 
foram realizadas por observadores diferentes, pode haver erros na leitura dos 
equipamentos de medição, no caso, da régua, paquímetro e micrômetro. 
Um experimento o mais “perfeito” que seja sua execução nunca resultará num 
resultado concreto, sem incertezas ou erros, mas sim em um resultado aproximado, 
com uma média deles e através desta a variância e o desvio padrão médio dessas 
amostras. Foi percebido também que as incertezas variam de acordo com o 
equipamento , pois quanto mais preciso ele for, maisincertezas terão, como por 
exemplo, as réguas, a de graduação de milímetro é mais precisa que a de decímetro 
que é mais precisa do que a de centímetro, e suas incertezas maiores que as das 
outras subdivisões do metro. 
O procedimento realizado em alguns casos 5 e outros 10 vezes resultam 
numa estratégia de repetição, a qual possibilita a melhor faixa de aproximação dos 
resultados, isto é, resultados mais próximos do esperado. Esses resultados são 
obtidos através da propagação das incertezas, pois é verídico que ocorrem muitas 
falhas laboratoriais, e através da teoria dos erros podemos saber um pouco mais da 
origem e quando possível atenuar ou suprimir essas falhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7. ​Referências Bibliográficas 
 
1 FÍSICA.NET - O canal da física na internet. ​PESOS E MEDIDAS – 
HISTÓRICO​. Dispovível em: 
<http://www.fisica.net/unidades/pesos-e-medidas-historico.pdf>. Acesso em : 19 mar 
2017. 
 
2 ABDALLA, Maria Cristina Batoni. ​O discreto charme das partículas 
elementares​. Unesp. São Paulo, outubro de 2005, 340p. 
 
3 YOUNG, Hugh D. & FREEDMAN, Roger A. ​Física I​. 12ª ed. São Paulo, 2008. 
403p. 
 
4 RÉGUA ONLINE. ​Sobre a régua​. Disponível em: 
http://www.reguaonline.com/sobre-a-regua.html. Acesso em 20 mar 2017. 
 
5 STARRETT. ​Instrumentos de Medição e Ferramentas de Precisão: 
Micrômetro. Disponível em: 
<​http://www.starrett.com.br/imprensa/nov2010/micrometro-serie-444-starrett.pdf​>. 
Acesso em 21 mar 2017. 
 
6 UNESP. ​Tipos de erros experimentais. Disponível em: 
<​http://wwwp.fc.unesp.br/~jhdsilva/Tipos_de_Erros_Experimentais.pdf​>. Acesso em 
22 mar 2017. 
7 UFJF. ​Aula1: Medidas Físicas​. Disponível em: 
<​http://www.fisica.ufjf.br/disciplinas/labfis1/aula1.pdf​>. Acesso em 22 mar 2017. 
 
8 BRASIL ESCOLA. ​Variância​. Disponível em: 
<​http://brasilescola.uol.com.br/matematica/variancia.htm​>. Acesso em 20 mar 2017. 
 
 
http://wwwp.fc.unesp.br/~jhdsilva/Tipos_de_Erros_Experimentais.pdf
http://www.fisica.ufjf.br/disciplinas/labfis1/aula1.pdf
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/variancia.htm
http://www.starrett.com.br/imprensa/nov2010/micrometro-serie-444-starrett.pdf
 
9 CURSO P. ​Desvio padrão​. Disponível em: 
<​http://stat2.med.up.pt/cursop/glossario/dpadrao.html​>. Acesso em: 22 mar 2017. 
 
10 ALUNOS ONLINE. ​Densidade dos sólidos irregulares - princípio de 
Arquimedes. Disponível em: 
<​http://alunosonline.uol.com.br/quimica/densidade-solidos-irregulares-principio-arqui
medes.html​>. Acesso em 22 mar 2017. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://alunosonline.uol.com.br/quimica/densidade-solidos-irregulares-principio-arquimedes.html
http://stat2.med.up.pt/cursop/glossario/dpadrao.html
http://alunosonline.uol.com.br/quimica/densidade-solidos-irregulares-principio-arquimedes.html