R8_ID_MM-corrigido [NOTA 9,0]

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Universidade Federal de São Paulo – UNIFESP 
Campus: Parque Tecnológico – São José dos Campos 
 
Instituto de Ciência e Tecnologia – ICT 
Bacharelado em Ciência e Tecnologia – BCT 
Laboratório de Fenômenos Mecânicos 
 
 
 
 
 
PÊNDULO BALÍSTICO 
Profª. Drª. Thaciana Malaspina 
 
 
 
 
 
 
 
Maikon Stefano dos Santos RA: 112232 
Matheus Domingues Silva RA: 112240 
thaciana
Nota
Divisão de tarefas: não vale ponto
capa: 0.25
índice: 0.25
Resumo: 0.5
Introdução: 1.0
Objetivos: 0.25
Materiais: 0.25
Procedimento: 0.25
Resultados e Discussões: 4.5
Conclusão: 1.5 (grande demais), 
Referências: 0.25
NOTA: 9.0
RESUMO 
Nesse relatório será apresentada a correta utilização do layout de um pêndulo 
balístico, um dispositivo Físico inventado em 1742 [1] que consiste em um 
conjunto lançador de projétil (que nesse caso é uma esfera de metal) e um 
pêndulo que funciona como um mecanismo capaz de medir a velocidade dos 
projéteis lançados contra ele. Isso é possível já que, ao receber o projétil 
ejetado do lançador, o pêndulo sofre certo deslocamento angular em função da 
colisão inelástica e, a partir da utilização de um arcabouço teórico chega-se a 
determinação da velocidade de deslocamento da esfera lançada (V0). Além 
disso, ainda se pode obter mais algumas importantes informações sobre o 
sistema, tais como os valores de energia cinética e potencial gravitacional em 
certo instante, quantificar a energia transformada e dissipada em outras formas 
após a colisão, determinar o momento linear, etc. Todos esses passos serão 
demonstrados no decorrer da relatório e os resultados passarão por uma 
análise a fim de que se chegue a conclusões coincidentes com a bibliografia. 
Acima de tudo, o papel desse relatório é despertar o interesse ao 
aprofundamento científico sobre o tema em questão, visto que o mesmo teve 
sua maior aplicação em indústrias de armamentos, onde era medida a 
velocidade com que os projéteis lançados atingiam o alvo [2], ou seja, é de 
suma importância para profissionais do ramo de ciência e tecnologia. 
Palavras-chave: Pêndulo balístico, velocidade inicial do projétil, princípio da 
conservação da quantidade de momento linear e angular, conservação de 
energia mecânica e colisão inelástica. 
 
ABSTRACT 
This report will present the correct use of the layout of a ballistic pendulum, a 
physical device invented in 1742 [1] that consisting of a projectile launcher (in 
this case a metal ball) and a pendulum that functions as a mechanism capable 
of measuring the velocity of the projectiles thrown at him. This is possible since, 
upon receiving the projectile ejected from the launcher, the pendulum suffers a 
certain angular displacement as a function of the inelastic collision and, from the 
use of a theoretical framework, one reaches the determination of the 
displacement velocity of the thrown sphere (V0). In addition, you can still get 
some more important information about the system, such as kinetic energy 
values and gravitational potential at a certain time, quantify the transformed 
energy and dissipate in other forms after the collision, determine the linear 
momentum, etc. All these steps will be demonstrated throughout the portfolio 
and the results will be analyzed in order to arrive at conclusions that coincide 
with the bibliography. Above all, the role of this report is to arouse interest in 
scientific research on the subject in question, since it has had its greatest 
application in the armaments, where the speed at which the projectiles were 
shot hit the target [2], that is, it is of paramount importance to professionals in 
the field of science and technology. 
Keywords: Ballistic pendulum, initial velocity of the projectile, principle of 
conservation of linear and angular momentum, conservation of mechanical 
energy and inelastic collision. 
 
 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................ 4 
1.1 O Pêndulo Balístico ............................................................................. 4 
1.1.1 Breve História sobre o Pêndulo Balístico ....................................... 4 
1.2 Energia Potencial Gravitacional........................................................... 6 
1.3 Energia Cinética .................................................................................... 6 
1.4 Conservação de Energia Mecânica ..................................................... 6 
1.5 Momento Linear e Impulso ................................................................... 7 
1.6 Comparação entre o momento linear e a energia cinética ................ 8 
1.7 Conservação do momento linear ......................................................... 8 
1.9 Momento Angular ............................................................................... 10 
2. OBJETIVO............................................................................................. 12 
3. PARTE EXPERIMENTAL...................................................................... 13 
3.1 Materiais Usados ................................................................................. 13 
3.2 Procedimento Experimental ............................................................... 13 
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO ............................................................ 15 
4.1 Cálculo da média, variância e desvio padrão dos ângulos 
obtidos experimentalmente. ............................................................................... 15 
4.2 Momento linear – Considerando como uma partícula ................. 16 
4.3 Momento Angular – Considerando como corpo extenso ................ 23 
5. CONCLUSÃO ........................................................................................ 29 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................... 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1. INTRODUÇÃO 
1.1 O Pêndulo Balístico 
1.1.1 Breve História sobre o Pêndulo Balístico 
O pêndulo balístico é um dispositivo usado comumente para 
determinar o módulo da velocidade de uma bala de revólver ou espingarda. Ou 
seja, ele é usado quando se deseja saber com que rapidez um projétil se 
desloca no espaço. Basicamente, esse dispositivo é constituído por um grande 
bloco ou cubo de madeira de massa M (ou uma caixa com areia dentro para o 
amortecimento do impacto) que é pendurado por fios ou por uma haste rígida 
de comprimento invariável em um suporte fixo. Esse suporte, geralmente, traz 
consigo uma escala angular para determinação da inclinação adquirida pelo 
pêndulo após o impacto [3]. 
Possui ainda em sua extremidade inferior (no interior da caixa de 
madeira) um pequenino imã utilizado no auxílio a condução da esfera metálica 
desde o instante em que ela emerge ou é ejetada do canhão até o momento 
final de seu lançamento para o interior da estrutura. Ao lado da caixa, há 
também um disparador em forma de canhão alinhado com a estrutura fixada na 
extremidade do pêndulo (figura 1) [4]. 
 
Figura 1. À esquerda tem-se uma fotografia de múltipla exposição de uma bala sendo 
disparada contra o pendulo balístico e à direita está sendo mostrada em detalhes a estrutura 
do pendulo balístico utilizado nessa presente prática. 
É importante dizer que, quando se fazem presentes no layout de 
construção do aparelho, os fios que prendem o bloco ou a caixa de areia 
devem ser fios inextensíveis, flexíveis e de massa desprezível. 
5 
 
 
A criação e idealização desse equipamento se deram em meados do 
século XVIII, mais precisamente em 1742, pelas mãos de um engenheiro militar 
e matemático britânico chamado Benjamin Robins (1707-1751), que foi um 
dos fundadores da Balística, uma ciência que estuda o movimento dos projéteis 
em geral, mas que se foca especialmente ao estudo das balas em armas de 
fogo. Eles foram criados a partir da ideia de que colisões, em sistemas 
isolados, acontecem de forma quea quantidade de movimento não se altera [3]. 
A respeito de sua precisão, esse tipo de equipamento foi importante 
durante algumas grandes guerras que marcaram a humanidade do século XVIII 
em diante, como pode ser visto na figura 2, onde é mostrado um exemplar de 
1991 [4]. 
 
Figura 2. Pêndulo Balístico artesanal de 1911. 
Em função do seu propósito de medir velocidades de projéteis por 
meio de colisões perfeitamente inelásticas com um corpo de massa muito 
maior, sua maior aplicação e aceitação foram registradas em indústrias do 
setor bélico (armamentista), onde era medida a velocidade com que os 
projéteis lançados ou balas atiradas atingiam um determinado alvo. Para se 
determinar essa velocidade, usava e ainda se usa um arcabouço físico 
teórico que engloba o entendimento das leis e princípios de conservação 
da energia mecânica e do momento linear [4]. 
Para realização do experimento e a análise de seus resultados é 
fundamental alguns conceitos básicos, como o de energia potencial 
gravitacional, energia cinética, conservação da energia mecânica, momento 
linear e impulso, e momento angular, estes conceitos estão apresentados logo 
abaixo na forma discursiva. 
6 
 
1.2 Energia Potencial Gravitacional 
Energia Potencial é a energia que pode ser armazenada em um sistema 
físico e tem a capacidade de ser transformada em energia cinética. Conforme o 
corpo perde energia potencial ganha energia cinética ou vice-e-versa. A 
Energia Potencial Gravitacional é a energia que corresponde ao trabalho que 
a força Peso realiza. É obtido quando consideramos o deslocamento de um 
corpo na vertical, tendo como origem o nível de referência. 
A fórmula geral da energia potencial gravitacional está descrita na 
Equação 1. 
 (1) 
Na equação 1 tem-se que que é a massa da partícula/corpo, é a 
aceleração local da gravidade e é a altura da partícula/corpo em relação a 
um plano horizontal de referência [5]. 
 
1.3 Energia Cinética 
 A energia cinética é o tipo de energia associada ao movimento. 
Portanto, se um corpo possui velocidade, se diz que ele possui energia 
cinética. Essa energia manifesta-se em um corpo quando sobre ele atua uma 
força capaz de realizar trabalho, fornecendo-lhe energia. Assim sendo, pode-se 
afirmar que só há energia cinética se o corpo estiver submetido à ação de uma 
força capaz de gerar movimento. 
 A fórmula geral da Energia Cinética é dada na Equação 2, onde se tem 
 como a massa do corpo/partícula (kg) e “v” velocidade (m/s) [5]. 
 (2) 
1.4 Conservação de Energia Mecânica 
A energia mecânica de um corpo é igual a soma das energias 
potenciais e cinéticas dele. Então pela fórmula que está descrita na Equação 3, 
tem-se: 
 (3) 
http://brasilescola.uol.com.br/fisica/trabalho.htm
7 
 
 
Qualquer movimento é realizado através de transformação de energia, 
por exemplo, uma pedra que é abandonada de um penhasco. Em um primeiro 
momento, antes de ser abandonada, a pedra tem energia cinética nula (já que 
não está em movimento) e energia potencial total ou máxima. Quando a pedra 
chegar ao solo, sua energia cinética será total ou máxima, e a energia potencial 
nula (já que a altura será zero). Dizemos que a energia potencial se 
transformou, ou se converteu, em energia cinética [5]. 
 
1.5 Momento Linear e Impulso 
1.5.1 A segunda lei de Newton em relação ao momento linear 
Considerando uma partícula com massa constante m, e com 
pode-se escrever a segunda lei de Newton da maneira que está expressa na 
Equação 4: 
 (4) 
Como a massa da partícula é constante m, pode-se colocar ela dentro 
dos parênteses da derivada. Logo, a segunda lei de Newton afirma que a força 
resultante que atua sobre a partícula é igual à derivada em relação ao 
tempo da grandeza , o produto da massa da partícula pela sua velocidade. 
Essa grandeza é chamada de quantidade de movimento ou momento linear da 
partícula. Usando para esse vetor o símbolo , temos na Equação 5: 
 
 (5) 
(definição de momento linear) 
 
Vale ressaltar que quanto maior a massa e a velocidade escalar de 
uma partícula, maior o seu módulo de momento linear , e também vale uma 
observação importante, o momento linear é uma grandeza vetorial que possui 
direção e sentido que coincidem com a direção e sentido do vetor velocidade. 
As unidades do módulo do momento linear são unidades de massa 
vezes velocidade; no SI, as unidades de momento linear são dadas por 
 
8 
 
Compreendendo-se a definição de momento linear, pode-se expressar a 
segunda lei de Newton em termos desse conceito através da Equação 6. 
 (6) 
(Segunda Lei de Newton em termos do momento linear) 
De acordo com a Equação 6, uma rápida variação do momento linear 
necessita-se de uma força grande, enquanto que uma variação lenta do 
momento linear se necessita de uma força menor. Esse princípio é usado no 
projeto de dispositivos de segurança de automóveis, como o air bag [3]. 
 
1.6 Comparação entre o momento linear e a energia cinética 
O teorema do impulso-momento linear – afirma que as 
variações do momento linear de uma partícula são produzidas pelo impulso, 
que depende do tempo durante o qual a força resultante atua. Em contraste, o 
teorema do trabalho-energia afirma que quando um trabalho é 
realizado sobre uma partícula ocorre uma variação da sua energia cinética; o 
trabalho total depende da distância ao longo da qual a força resultante atuou. 
Logo, o momento linear de uma partícula é igual ao impulso que a acelera do 
repouso à sua velocidade atual; o impulso é igual ao módulo da força resultante 
que acelerou a partícula multiplicado pelo tempo necessário para essa 
aceleração [3]. 
 
1.7 Conservação do momento linear 
O conceito de momento linear é particularmente importante quando 
ocorre interação entre dois ou mais corpos. Considera-se inicialmente um 
sistema ideal de dois corpos que interagem entre si, mas não interagem com 
nenhum outro corpo por exemplo, dois astronautas que se tocam enquanto 
flutuam em uma região sem campo gravitacional no espaço sideral, como está 
ilustrado na figura 4. Considere os astronautas como partículas. Cada partícula 
exerce uma força sobre a outra; de acordo com a terceira lei de Newton, as 
duas forças possuem o mesmo módulo e a mesma direção, porém seus 
sentidos são contrários. Portanto, os impulsos que atuam sobre essas 
partículas possuem o mesmo módulo e a mesma direção, porem seus sentidos 
9 
 
 
são contrários e as variações do momento linear também são iguais e 
contrárias. 
 
Figura 3. Dois astronautas empurram-se mutuamente enquanto estão em uma região do 
espaço sem campo gravitacional. 
Na linguagem cotidiana, exercer uma força significa puxar ou empurrar. 
Uma definição melhor é a de que uma força é a interação entre dois corpos ou 
entre o corpo e seu ambiente. Serão discutidos dois tipos de forças nesse 
experimento, que são as forças internas e a forças externas. Quando ocorre 
uma interação entre duas partículas a terceira lei de Newton atua. 
Denomina-se força interna a força que uma partícula de um sistema 
exerce sobre a outra. Denomina-se força externa a força exercida sobre 
qualquer parte de um sistema por um corpo no exterior do sistema. 
 No exemplo da figura 4 acima, as forças internas são as forças entre os 
astronautas FB sobre A e FA sobre B. Não há forças externas, portanto, o seu 
momento linear total é conservado. E quando não há forças externas o 
sistema é dito isolado. Na figura 4 estão novamente ilustrados os astronautas, 
porém logo embaixo da imagem está o diagrama de corpo livre, os quais 
indicam que as forças que os astronautas exercem mutuamente formam um 
par de ação e reação (3ª Lei de Newton). 
 
Figura 4. Dois astronautas empurram-se mutuamente enquanto estão em uma região do 
espaço sem campo gravitacional. E logo embaixo o diagrama de corpolivre dos corpos. 
10 
 
Quando a soma vetorial das forças externas que atuam sobre um 
sistema é igual a zero, o momento linear total do sistema permanece 
constante, e com essa definição é dada a lei da conservação do momento 
linear. 
Para um sistema de várias partículas, A, B, C... que interagem apenas 
mediante forças internas o momento linear total do sistema é dado pela 
Equação 7. 
(7) 
Como o momento linear é um vetor, a conservação do momento é 
aplicada também para cada componente em separado, como ilustra a figura 5. 
 
Figura 5. Conservação do momento linear aplicada para cada componente em separado. 
Dessa maneira, quando a soma vetorial das forças externas que atuam 
sobre um sistema é igual a zero, então os componentes Px, Py, Pz, são todos 
constantes. [3] 
 
1.9 Momento Angular 
Uma das principais grandezas da Física é o momento angular, o qual é 
quando a quantidade de movimento está associada a um objeto que executa 
um movimento de rotação em torno de um ponto fixo, conforme mostra a figura 
6. 
 
Figura 6. Análise do momento angular de um objeto de massa m se movimentando em torno 
de um ponto fixo P. 
11 
 
 
O momento angular é dado pela fórmula a qual está descrita na 
Equação 8. 
 (8) 
A fórmula descrita na Equação 8 está definindo o momento angular, 
onde o é o momento angular, o é a quantidade de momento linear do 
corpo, o a distância do corpo à origem do referencial (ponto fixo) e o 
é o seno do ângulo entre a força e o braço de alavanca, sendo na maioria das 
vezes , que tem o valor de 1. 
Existe uma grandeza física chamada de momento de inércia que é 
dado pela Equação 9. 
 (9) 
Este movimento pode ser em torno de seu próprio centro de massa, e 
para casos como este é importante conhecer o momento de inércia do 
respectivo corpo. É o caso de um pião que gira em torno de seu próprio eixo, 
ou do planeta Terra girando em torno de seu eixo imaginário. 
O momento angular é uma grandeza que se conserva, ou seja, a soma 
dos momentos angulares transferidos de um corpo para outro em um sistema 
fechado é sempre nula. Ou seja, a quantidade que um corpo transfere a outro é 
igual à quantidade recebida pelo outro corpo [6]. 
 
 
 
 
 
 
http://www.infoescola.com/mecanica/momento-de-inercia/
http://www.infoescola.com/mecanica/centro-de-massa/
12 
 
2. OBJETIVO 
O experimento realizado tem como propósito geral realizar a 
determinação da velocidade inicial de um projétil, considerando e não 
considerando a inércia de rotação do mecanismo através da utilização de um 
pêndulo balístico, encontrar suas particularidades, bem como identificar suas 
possíveis aplicações no cotidiano. 
Já o objetivo específico é conferir e determinar experimentalmente, 
a partir do estudo da colisão inelástica entre uma esfera de metal (projétil) e o 
“braço” de um pêndulo, a velocidade inicial do projétil, obter a velocidade 
final do conjunto, calcular a energia cinética e potencial gravitacional, 
verificar a conservação do momento linear e quantificar a energia perdida 
em outras formas, de modo a confirmar os prognósticos anunciados pelas leis 
de conservação da energia mecânica e do momento linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
3. PARTE EXPERIMENTAL 
3.1 Materiais Usados 
a) Pêndulo balístico AREU (Figura 7) ( = 0,5 ); 
b) Fio de prumo; 
c) Esfera de lançamento; 
d) Régua graduada milímetro ( = 0,5 ); 
e) Balança analítica de precisão ( = 0,005g); 
f) Calculadora científica. 
 
Figura 7. Pêndulo Balístico conjunto CIDEPE – AREU. 
 
3.2 Procedimento Experimental 
Inicialmente, o pêndulo balístico já estava totalmente montado sobre a 
bancada para que o experimento fosse iniciado. Dessa forma, realizou-se a 
pesagem de todo o conjunto do pêndulo (bloco de madeira + haste do 
pendulo + dois pesos de Cobre) utilizando a balança analítica de precisão, tal 
medição resultou em um valor de 231,82 gramas. Logo em seguida, pesou-se 
a esfera de metal, que nesse experimento desempenha o papel do projétil, 
para tal pesagem se encontrou uma massa de 23,18 gramas. Os valores 
correspondentes aos pesos dos materiais estão dispostos na tabela 2. 
 
14 
 
Antes de realmente ser iniciada a seção de disparos foi necessário 
garantir que o disparador estava devidamente nivelado sobre a bancada, e isso 
foi feito utilizando um nível circular do tipo olho de boi. 
Apenas depois de garantir esse parâmetro é que os disparos foram 
iniciados. Para o primeiro “tiro” fez necessário o correto posicionamento da 
esfera de metal no tubo do canhão disparador e o gatilho foi acionado. 
Observou-se toda a movimentação das partículas atentamente. Para minimizar 
os erros optou-se por obter grande quantidade de tiros para a escolha do grau 
de deslocamento mais preciso. Foram feitos dez disparos e os valores dos 
graus foram coletados e registrados em uma tabela, juntamente com seu erro 
propagado em função da precisão do instrumento (arco graduado do 
disparador). 
 Ao final, algumas medições importantes foram feitas com a régua 
milimetrada para serem utilizadas posteriormente na seção dos resultados e 
discussão, principalmente nos cálculos onde irão ser considerados tanto a 
esfera quanto o pêndulo como corpos extensos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
4.1 Cálculo da média, variância e desvio padrão dos ângulos 
obtidos experimentalmente. 
Reunindo os dez valores dos graus de inclinação obtidos 
experimentalmente foi montada a tabela 1, que auxiliará no tratamento 
estatístico dos mesmos. 
Tabela 1. Os ângulos mensurados e suas respectivas incertezas instrumentais. 
Disparos Ângulo (°) (º) 
1 6,5 0,5 
2 7,0 0,5 
3 7,0 0,5 
4 7,0 0,5 
5 7,0 0,5 
6 6,5 0,5 
7 6,5 0,5 
8 6,5 0,5 
9 6,5 0,5 
10 6,5 0,5 
 
Com a tabela 1 em mãos calculou-se a média das amostras, e para a 
realização desse cálculo utilizou-se a Equação 10, demonstrada abaixo. 
 (10) 
 
A variância e o desvio médio também foram calculadas usando as 
equações 11 e 12, respectivamente. 
² (11) 
 
 (12) 
 
16 
 
O erro amostral é, portanto e, por ser menor que o erro 
instrumental =0,5 não é tomado como o erro resultante da medida média dos 
ângulos obtidos, sendo o erro tomado o erro instrumental. 
 
4.2 Momento linear – Considerando como uma partícula 
Considerando a premissa de tratar tanto o projétil (esfera de metal) 
quanto o bloco de madeira do pêndulo como partículas, foram coletados os 
dados que se encontram na tabela 2, logo abaixo. 
Tabela 2. Medidas considerando os corpos envolvidos como partículas. 
Medidas Dados experimentais 
Massa do pêndulo 231,82 ± 0,01 g 
Massa da esfera 23,18 ± 0,01 g 
Massa do sistema ou conjunto 255,00 ± 0,01 g 
Ângulo de alcance do pêndulo 6,7º ± 0,5º 
Raio de rotação do pêndulo 328,00 ± 0,05 mm 
 
Aqui se percebe que o raio de rotação do pêndulo é considerado 
total (figura 8), desde o parafuso de rotação da haste até a base inferior dos 
pesos fixados abaixo do bloco de madeira. É considerado dessa forma 
justamente por se tratar de partículas, ou seja, nesse instante ainda não 
interessa as dimensões do bloco de madeira. 
 
Figura 8. Raio de rotação do pêndulo para premissa das partículas. 
17 
 
 
Considerando que o tipo de colisão entre a esfera e o bloco de 
madeira teve caráter de colisão perfeitamente inelástica e utilizando o 
conceito de conservação da quantidade de movimento (equação 13) pode-se 
iniciar a investigação. Sabe-se que quantidade de movimento é dada pelo 
produto da massa pela velocidade do corpo (equação 14). 
 (13) 
 (14) 
Para o momento antes da colisão, ou seja, onde as duas partículas 
(esfera e bloco de madeira) estão separados sabe-se que V0B (Velocidade do 
bloco antes da colisão) é nula, pois o pêndulo ao qual o bloco está unido 
se encontra em repouso nesse instante. 
Portanto, tem-se: 
 (15)(16) 
 (17) 
Então, utilizando a equação 17 pode-se obter uma expressão para 
calcular a velocidade do conjunto depois da colisão (V). 
 (18) 
Analisando agora, sob o espectro de energia cinética e potencial 
gravitacional após a colisão têm-se as seguintes relações: 
 (19) 
 (20) 
Na equação 20 tem-se g como sendo a aceleração da gravidade no 
planeta Terra, ou seja, g = 9,81 m.s-2. Nesse caso identificamos o “h” também, 
que é a altura máxima que o conjunto subiu após a colisão do projétil. 
Fazendo as manipulações algébricas convenientes chega-se em 
 (21) 
18 
 
Igualando a equação 18 com a equação 21 e fazendo as devidas 
manipulações matemáticas obtém-se a equação 22, representada logo abaixo. 
 (22) 
Como a expressão obtida (equação 22) depende do valor de h torna-se 
necessário determiná-lo nesta fase. 
 Determinação da altura máxima (hmáx.) para as partículas. 
Sabendo que o ângulo deslocado e percorrido pelo pêndulo assim que a 
esfera o atingiu foi de aproximadamente 6,7º e que o valor do “braço” (L) do 
pêndulo para essa condição é de 328,00 mm, torna-se possível a 
determinação, através de trigonometria, do valor de hmáx, como mostrado logo 
abaixo. 
 Obtém-se assim um triângulo retângulo, onde o cateto adjacente é L 
menos hmáx, tal como mostrado na figura 9, evidenciada abaixo. 
 
Figura 9. Determinação da expressão para encontrar hmáx. 
Partindo dessa relação obtém-se: 
 (23) 
Ou seja, com uma simples articulação chega-se a expressão mostrada 
na equação (L), já tendo substituído os valores e dados obtidos no laboratório e 
apresentado na tabela 2, tal como o raio de rotação do pêndulo e o ângulo de 
6,7º. 
 (24) 
 
19 
 
 
E, portanto, é determinado o valor máximo de 
 ou 
 Esse dado representa a altura máxima alcançada pelo conjunto (projétil 
+ pêndulo) após a colisão. Ou seja, parte da energia cinética do projétil foi 
convertida em energia potencial e essa energia foi capaz de elevar uma massa 
de 255 g à 2,24 mm de altura, tomando como base a posição anterior onde as 
partículas ainda não tinham sofrido a colisão. 
 De certa forma esse valor pequeno faz sentido, visto que o ângulo de 
inclinação (6,7º) não foi tão grande e, além disso, a massa do projétil é 
muito pequena em relação à massa do pêndulo (cerca de dez vezes 
menor), sendo assim, sabe-se que esse arranjo sob colisão perfeitamente 
inelástica perde uma considerável quantidade de energia cinética pela ação 
das forças dissipativas. Porém, ainda iremos quantificar essa perda mais 
adiante, mas agora, já se torna possível calcular a velocidade inicial do projétil 
V0p e a velocidade do conjunto após a colisão V. 
 Substituindo o valor da altura máxima encontrada em (24) na equação 
(22) encontra-se, facilmente, com que velocidade a esfera de metal estava se 
deslocando antes de atingir o pêndulo. 
 
 
 Portanto, o projétil atingiu o pendulo à uma velocidade de 2,3062 metros 
por segundo. É uma velocidade relativamente alta para a esfera, e representa a 
velocidade de ejeção da bolinha pelo mecanismo ejetor de projéteis. 
 Agora, após a colisão é natural observar uma diminuição dessa 
velocidade e isso será verificado a partir da substituição do valor de V0p na 
equação (18). 
 
 
20 
 
 Esse dado representa a velocidade de deslocamento do conjunto 
(projétil + pêndulo) imediatamente após a colisão. Tal valor é mais de onze 
vezes menor do que a velocidade inicial da esfera. Toda essa redução mais 
uma vez é coerente, uma vez que a diferença de proporção das massas é 
muito grande entre as partículas que se colidem e a atuação das forças 
dissipativas se fazem valer, convertendo energia cinética em barulho, micro-
deformações, calor, etc. 
Para quantificar essa perda deve-se calcular a energia cinética 
antes e depois da colisão para uma análise mais crítica, e isso será feito 
agora. 
Aplicando a formula para calcular a energia cinética de um sistema antes 
da colisão tem-se: 
Instante antes de colisão inelástica: 
 
 Como o pêndulo se encontra em repouso antes da colisão e, portanto, o 
bloco está imóvel (V0B = 0). 
 
 ou 6,2.10-2 Joules 
 Isso significa que a energia cinética do sistema antes da colisão, 
garantida apenas pela contribuição da energia cinética do projétil, era de 
6,2.10-2 Joules. 
 Instante imediatamente após a colisão inelástica e 
 Depois da colisão inelástica passa-se a trabalhar com o conceito de 
conservação da energia mecânica onde há contribuições tanto da energia 
cinética do conjunto quanto de sua energia potencial gravitacional, tal como 
visto na equação (25). 
 (25) 
 
21 
 
 
 Porém, nesse instante Vf é nulo, já que representa a inversão do 
movimento, onde V (velocidade do conjunto) se torna zero, pois atingiu a 
altura máxima. 
 Sendo assim, tem-se que: 
 
 ou 5,6 .10-3 Joules 
 Ou seja, pode-se concluir que cerca de 91% da energia cinética foi 
dissipada sob outras formas já citadas, e apenas 9% foi convertida em 
energia potencial gravitacional. Isso também explica o baixo valor de 
encontrado. Apenas esses 9% da energia inicial do sistema foram 
capazes de elevar o conjunto à uma altura de 2,24 mm. 
 Essa significativa perda de 91% é totalmente coerente já que colisão é 
inelástica (sofre deformação, gera ruído, aquece, etc) e a proporção de massas 
entre as partículas que se colidem é muito diferente, sendo a massa do 
projétil cerca de dez vezes menor do que a do pêndulo. 
 Finalmente, pode-se agora resumir essas informações e responder 
as perguntas abaixo: 
 Qual o valor da energia potencial na altura máxima do conjunto 
pêndulo + projétil após a colisão? 
R: Um pouco mais acima esse valor foi calculado, já que na equação R a 
energia mecânica na altura máxima de 2,24 mm é justamente igual (ou seja, 
só depende de m*g*h) a energia potencial gravitacional. Portanto, sabendo 
que a soma das massas das partículas que estão unidas resulta em 255 
gramas, que a aceleração da gravidade é tida como 9,81 m.s-2 e que a 
altura máxima alcançada foi de 0,00224 metros, tem-se o valor de: 
 
 ou 5,6 .10-3 Joules 
 
 Qual a altura máxima do conjunto pêndulo + projétil após a colisão? 
R: Um pouco mais acima esse valor foi calculado utilizando-se de um 
ângulo e um “braço” . Lançando mão da equação L 
encontrou-se então, . 
22 
 
 Qual a energia cinética do conjunto pêndulo + projétil imediatamente 
após a colisão? 
R: Sabendo que a soma das massas das partículas que estão unidas 
resulta em 255 gramas, que a velocidade do conjunto imediatamente 
após a colisão (V) foi calculada e determinada como sendo igual à 0,2096 
m/s pode-se calcular a energia cinética imediatamente após a colisão dessa 
forma: 
 
 ou 5,6 .10-3 Joules 
 
 Qual o momento linear do conjunto pêndulo + projétil imediatamente 
após a colisão? 
R: Utilizando a definição de momento linear, o valor da soma das massas 
das partículas que estão unidas no instante imediatamente posterior a 
colisão inelástica de 255 gramas e a velocidade do conjunto de V = 0,2096 
m/s também nesse instante, calcula-se: 
 
 
 
 
 Qual o momento linear antes da colisão (pêndulo e projétil; 
separados)? 
R: Utilizando as massas da esfera de 23,18 gramas e do pêndulo 231,82 
gramas separadas, e suas respectivas velocidade de V0p = 2,3062 m/s e V0B = 
0,0 m/s, tem-se: 
 
 
 
 
 
Portanto, como previsto pelo arcabouço teórico de Física, o momento linear 
se conservou. O que faz todo sentido em se tratando de uma colisão 
perfeitamente inelástica. 
23 
 
 
4.3 Momento Angular – Considerando como corpo extenso 
Considerando tanto o pêndulo balístico quanto a esfera de metal como 
corpos extensos, tem-se que considerar o sistema da forma como está 
ilustrado na figura X. 
 
Figura 10. Esboço do impacto do projétil na barra e o momento resultante, onde “M” é a 
massa do pêndulo, “m” é a massa da esfera, “l” éa distância até o centro de massa, “a” é 
ângulo máximo de deslocamento do sistema (projétil + esfera) e “h” é a altura máxima. 
Considerando o sistema como demostrado na figura 10, pode-se 
encontrar primeiramente a altura máxima (h) atingida pelo projétil e pelo 
pêndulo. A mesma pode ser encontrada através da Equação 26, onde usou-se 
relações trigonométricas. 
 (26) 
Onde na equação temos o “ ”, o qual é o valor do ângulo máximo de 
deslocamento do sistema (projétil + pêndulo), “ ” corresponde ao valor da 
distância até o centro de massa. 
Encontrando-se o valor de “ ”, tem-se que “ ”, ou seja, a altura 
máxima é dada pela Equação 27. 
 (27) 
Agora, aplicando os valores que foram obtidos experimentalmente, ou 
seja, o valor do ângulo e da distância até o centro de massa (que aqui será o 
centro geométrico dos corpos), os quais estão dispostos na tabela 3. Tendo 
todos os dados necessários, pode-se encontrar o valor da altura máxima que o 
projétil e o pendulo, ou seja, o conjunto atingiu. Dessa forma tem-se que: 
24 
 
Aqui foi usado o tamanho do “braço” L como sendo 297 mm justamente 
por desconsiderar metade da dimensão do bloco de madeira, que tinha 62 mm 
de altura, ou seja, seu centro de massa estava a 31 mm, já que o mesmo era 
um quadrado, portanto fez-se 328 mm menos esses 31 mm para se considerar 
o centro geométrico do corpo. Essa foi uma das partes mais importantes do 
experimento, já que toda a análise gira em torno dessa premissa de tratar, 
nessa seção, o pêndulo e a esfera como corpos extensos. 
Tabela 3. Valores obtidos experimentalmente do ângulo e da distância até o centro de massa. 
 
6,7 ° 0,297 m 
 
 
 
Obteve-se então que a altura máxima obtida, considerando o sistema 
como um corpo extenso é de 0,00202 metros ou aproximadamente 2 
milímetros. 
Como se têm o valor da altura máxima obtida pelo projétil, pode-se 
calcular a energia potencial gravitacional, a qual é dada pela Equação 1, e os 
valores que serão utilizados para este cálculo estão dispostos na tabela 4. 
Tabela 4. Valores da massa do sistema, da gravidade e da altura máxima atingida pelo projétil. 
Massa do Sistema 
(M) 
(Pendulo + Projétil) 
Gravidade (g) 
Altura Máxima 
Atingida (H) 
0, 255 kg 9,81 m/s² 0,00202 m 
 
Aplicando os valores na Equação 1, a qual nos dá a fórmula da energia 
potencial gravitacional, temos: 
 
 
Obteve-se então que a energia potencial gravitacional do sistema é de 
 
25 
 
 
Como se sabe, ocorre uma colisão totalmente inelástica, a qual a 
energia cinética total do sistema depois da colisão é menor do que antes da 
colisão, ou seja, uma colisão inelástica é toda aquela que há perda de energia 
cinética e também nesse experimento ocorre a transformação de energia 
cinética em energia potencial, além de outras dissipativas. Para que possa ser 
calculada a energia cinética, deve-se primeiramente encontrar a velocidade 
final do sistema após a colisão, para isso iguala-se a energia cinética com a 
energia potencial gravitacional, como representado na Equação 28. 
 (28) 
Através da Equação 28 obtém-se a Equação 29, a qual está descrita 
abaixo. 
 (29) 
Assim, através da Equação 29 obtém-se o valor da velocidade final do 
sistema, aplicam-se na Equação 29 os valores que estão dispostos na Tabela 
5. 
Tabela 5. Valor da gravidade (g) e da altura máxima atingida (h). 
 
 
 
Obteve-se então a velocidade final do sistema, a qual é de 0,199 m/s. 
Tendo a velocidade final do sistema pode-se encontrar a energia cinética após 
a colisão, utilizando a fórmula da energia cinética que está descrita na Equação 
2 e aplicando os valores que estão descritos na tabela 6 encontra-se a energia 
do movimento. 
 
 
Gravidade (g) Altura Máxima Atingida (H) 
9,81m/s² 0,00202 ± 0,02m 
26 
 
Tabela 6. Valor da massa do sistema e sua velocidade final. 
 
 
 
 
 
Comparando-se a Energia Cinética com a Potencial Gravitacional 
percebe-se uma perda mínima, isto é, não houve uma conservação total de 
energia, pois tiveram várias dissipações de energia, como por exemplo, do som 
gerado, deformação sofrida, pequeno calor irradiado, etc. 
Outro cálculo pertinente para se realizar neste experimento fora a do 
momento angular do conjunto (pêndulo + projétil) imediatamente após a 
colisão, o qual está descrito pela Equação 8, aplicando-se os valores que estão 
dispostos na Tabela 7, encontra-se o momento angular do conjunto após a 
colisão. 
Tabela 7. Valor do momento linear do conjunto. 
Momento linear do 
conjunto (M) 
(Pêndulo + Projétil) 
Distância do projétil à 
origem do referencial 
(r) 
Sen90° ( (o seno do 
ângulo entre a força e 
o braço da alavanca ) 
0,05 kg.m/s 0,297 ± 0,05m 1 
 
 
 
Obteve-se através do cálculo acima que o valor do momento angular 
após a colisão fora de 0,014m²/s. Como o momento linear obtido antes e após 
a colisão foram iguais, sem a alteração no valor da distância do projétil à 
origem do referencial (r), os valores obtidos para o momento angular antes e 
depois da colisão foram iguais. 
Massa do Sistema (M) 
(Pendulo + Projétil) 
Velocidade Final (Vf) 
0, 255±0,005kg 0,199 ±0,02m/s 
27 
 
 
Por fim, o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo de rotação 
do pêndulo será dado pelo momento de inércia da esfera e da barra, e utiliza-
se o teorema dos eixos paralelos para encontrar este momento. As relações 
estão dispostas abaixo, nas equações 30, 31, juntamente com o cálculo do 
momento de inércia em relação ao centro de massa de cada componente, 
expressado pela Equação 32. Vale ressalvar que os momentos de inercia para 
cada tipo de objeto é um, então as formulas que serão ilustradas são 
tabeladas. 
 Momento de Inércia da Esfera 
 (30) 
Aplicando os valores da massa da esfera (m2), do seu respectivo raio (r), 
obtemos o seu momento de inércia, como está demonstrado no cálculo abaixo. 
 
 
 Momento de Inércia da Haste 
 (31) 
Aplicando os valores da massa da haste (m1) e o seu comprimento (L), 
obtém-se seu momento de inércia. 
 
Pelo teorema dos eixos paralelos, o qual está descrito na Equação 32, 
momento de inércia em relação ao eixo de rotação será: 
 (32) 
Onde d1 é a distância do centro de massa da haste para o eixo de 
rotação e d2 é a distância do centro de massa da esfera para o eixo de rotação. 
Substituindo os valores temos o momento de inércia do conjunto, como 
demostrado abaixo. 
28 
 
 
Observa-se que o momento de inércia do sistema foi de 2,04 kg.m. Vale 
ressaltar que quando se considera o corpo como um corpo extenso tem vários 
fatores que se deve levado em consideração, como os cálculos acima 
mostraram, deve-se considerar a altura máxima atingida pelo projetil, sua 
velocidade final e inicial, comparar a energia cinética com a energia potencial 
gravitacional, momento angular e o momento de inércia o qual foi aplicado o 
teorema dos eixos paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
5. CONCLUSÃO 
Com esse interessante experimento no qual diversos disparos foram 
realizados utilizando um pêndulo balístico, e onde foi realizado a análise e os 
cálculos sob dois aspectos diferentes (primeiramente, considerando o pêndulo 
e o projétil como partículas e posteriormente os tratando como corpos 
extensos) foi possível destacar e obter reflexões importantes. 
A primeira delas se encontra quando são feitas as colisões 
considerando o pêndulo e o projétil como partículas. Em tal tratamento 
ignoram-se as dimensões desses objetos, e ambos passam a ser vistos com 
características puntiformes. Resumidamente, foram obtidos os seguintes 
dados para essa configuração teórica. 
Antes da colisão 
 Velocidade inicial da esfera (projétil) – ; 
 Velocidade inicial do bloco de madeira (pêndulo) – ; 
 Energia cinética inicial do sistema – ou 6,2.10-2 
Joules; 
 Momento linear antes da colisão – ; 
 Energia potencial gravitacionalantes da colisão – 
 
Nessa condição a era nula porque o projétil ainda não tinha 
nenhuma altura associada em relação ao eixo longitudinal do tubo do 
disparador, nesse momento a energia cinética era máxima de 6,2 .10-2 
Joules. A velocidade é relativamente alta e pelo fato de a esfera ter 
pouca massa, cerca de 23,18 g. 
 
Imediatamente após a colisão 
 Velocidade do conjunto (esfera + pêndulo) após a colisão – 
; 
 Momento linear imediatamente após a colisão – ; 
 
Percebe-se aqui uma grande redução na velocidade do conjunto em 
comparação com a velocidade do projétil. Tal valor é mais de onze vezes 
menor do que a velocidade inicial da esfera. Essa redução é coerente, uma 
vez que a diferença de proporção das massas é muito grande entre as 
partículas que se colidem e a atuação das forças dissipativas se fazem valer, 
convertendo energia cinética em barulho, micro-deformações, calor, etc. 
30 
 
A lei de conservação do momento linear realmente foi verificada e 
condizente com o arcabouço teórico, já que para esse caso deveria ser 
respeitada. 
 
Na altura máxima 
 Velocidade do conjunto (esfera + pêndulo) após a colisão – ; 
 Energia cinética– ; 
 Energia potencial gravitacional antes da colisão – 
ou 5,6 .10-3 Joules; 
 Altura máxima atingida pelo conjunto – . 
Pode-se concluir que cerca de 91% da energia cinética foi dissipada 
sob outras formas já citadas, e apenas 9% foi convertida em energia 
potencial gravitacional. Isso também explica o baixo valor de 
encontrado. Apenas esses 9% da energia inicial do sistema foram 
capazes de elevar o conjunto à uma altura de 2,24 mm. 
 Essa significativa perda de 91% é totalmente coerente já que colisão é 
inelástica (sofre deformação, gera ruído, aquece, etc) e a proporção de massas 
entre as partículas que se colidem é muito diferente, sendo a massa do 
projétil cerca de dez vezes menor do que a do pêndulo. 
Alguns valores como o momento linear variam ligeiramente, algo em 
torno da quinta ou sexta casa decimal e essa leve diferença pode ser 
associada ao erro instrumental de ter pesado um “pêndulo padrão” que já 
estava sobre a balança para ser pesado, e não o nosso; de forma que o 
pêndulo utilizado de fato no experimento para a coleta desses dados foi outro, 
que já estava devidamente montado no aparato disparador sobre a bancada. 
Portanto, essas pequenas flutuações no valor podem ser devidos a esse fato. 
 
Agora, para a segunda análise, o pêndulo e o projétil são 
considerados como corpos extensos. Em tal tratamento consideram-se as 
suas dimensões, e ambos passam a ser vistos com características materiais. 
Resumidamente, foram obtidos os seguintes dados para essa configuração 
teórica. 
 
 
31 
 
 
Imediatamente após a colisão 
 Velocidade do conjunto (esfera + pêndulo) após a colisão – 
 
Momento angular do conjunto imediatamente após a colisão – 
 
Na altura máxima 
 Energia potencial gravitacional do conjunto – 
 
 Altura máxima - ou 2,02 mm. 
 
Feito a reunião desses valores pode-se destacar que nos dois pontos de 
vista praticamente coincidiram-se os valores para a energia potencial. O que 
também foi válido para a determinação da altura máxima, com um erro 
extremamente pequeno de 0,22 mm. 
Porém houve pequenas diferenças quanto a velocidade assumida pelo 
conjunto após a colisão, apesar de o erro nessa medida ser pequeno. Portanto, 
considera-se praticamente impossível concluir algo sobre qual método é 
mais correto do que outro, visto que a escolha pela utilização de 
quaisquer um deles deve ser feita com bom senso, à depender do seu 
sistemas e condições. 
Por fim fica evidente que a quantificação e determinação dos valores da 
energia mecânica, velocidade, altura máxima, energia cinética, e outras 
grandezas relevantes para esse sistema podem ser calculados sob mais de um 
ponto de vista ou aspecto. Bastando para isso apenas utilizar as ferramentas 
teóricas dadas pelo vasto conhecimento da Física de que em pêndulos 
balísticos ocorre sim a conservação de energia mecânica e do momento, 
seja ele angular ou linear, tal fato foi comprovado experimentalmente nessa 
prática. 
 
32 
 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
[1] BIANCHI, Isabel e FILHO, Jose de Pinho Alves – Pêndulo 
balístico – Departamento de Física da Universidade Federal de Santa Catarina 
(UFSC), Florianópolis – SC. Publicado no Caderno Catarinense de Ensino de 
Física, Vol. 2, nº 3, dez. 1985. 6 p. 
[2] REBOLEIRA, Nuno Gonçalo Inácio – Caracterização Química de 
Resíduos de Pólvora na Identificação de Munições – Departamento de 
Química e Bioquímica da Universidade de Lisboa. 2013, 140 p. 
[3] YOUNG, Hugh D. & FREEDMAN, Roger A. – Física I – 12ª ed. 
São Paulo, 2008. 403p. 
[4] HALLIDAY, RESNICK, WALKER – Fundamentos da Física – Vol. 
1, 8ª Edição, LTC, 2009. 
[5] SÓ FISICA. MECANICA - ENERGIA Disponível em: 
<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/energia3.php>. 
Acesso em: 20 maio 2017. 
[6] HALLIDAY, David, RESNIK Robert, KRANE, Denneth S. Física 1, 
volume 1, 4 Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 326 p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/energia3.php
33 
 
 
APÊNDICE 
A divisão de tarefas se deu da seguinte forma: 
 Edição: Maikon e Matheus; 
 Resumo: Matheus; 
 Abstract: Matheus; 
 Introdução: Maikon e Matheus; 
 Objetivo: Matheus; 
 Parte experimental: Matheus e Maikon; 
 Materiais Utilizados: Maikon; 
 Resultados e discussão: Matheus e Maikon; 
 Conclusão: Matheus Maikon; 
 Referências: Maikon; 
 Revisão: Matheus e Maikon.