Unidade VI Teoria das Filas - Modelos e Simulações

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Simulação e Tomada 
de Decisão
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Roberto Luiz Garcia Vickunsky
Revisão Textual:
Profa. Ms. Fátima Furlan
Teoria das Filas: Modelos e Simulações
• Notação Kendall
• Postulados básicos e modelos de filas
• Ferramentas para Simulação
 · Apresentar a notação Kendall utilizada para a classificação dos 
modelos de fila, os tipos básicos de sistemas de filas e suas aplicações.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Teoria das Filas: Modelos e Simulações
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Teoria das Filas: Modelos e Simulações
Contextualização
Na maioria dos casos, a chegada de um novo cliente em um sistema de filas 
é independente do tempo transcorrido entre esse evento e a chegada ocorrida 
anteriormente, ou seja, as chegadas, geralmente, ocorrem de maneira aleatória, 
como é o caso, por exemplo, das filas em uma agência bancária, onde a chegada 
de um cliente não tem relação com a chegada anterior, ou das filas de máquinas 
quebradas em um departamento de manutenção.
Da mesma forma, o tempo transcorrido entre o atendimento de um cliente e 
outro em um sistema de filas ocorre de forma aleatória. Por exemplo, o atendimento 
de um cliente no sistema de fila de uma agência bancária pode ser mais demorado 
do que o atendimento do cliente anterior, o conserto de uma máquina no sistema 
de fila do departamento de manutenção pode demorar mais do que o anterior.
Nesse contexto, modelos de filas que apresentam intervalos de tempos aleatórios 
entre chegadas ou atendimentos, devem ser descritos quantitativamente por meio 
da distribuição probabilística, que envolve conceitos complexos e vasto formulário. 
Portanto, fica clara a importância do estudo dos modelos de filas para que possamos 
reconhecer as características de cada sistema, o que nos permitirá aplicar as 
ferramentas adequadas nas análises, determinação das medidas de desempenho e 
simulações de modelos específicos de filas.
8
9
Notação Kendall
O matemático britânico David George Kendall, em seu artigo intitulado “Sto-
chastic Processes Occurring in the Theory of Queues and their Analysis by the 
Method of the Imbedded Markov Chain” (Processos Estocásticos Ocorrentes na 
Teoria das Filas e sua Análise pelo Método da Cadeia de Markov Integrada”), publi-
cado em 1953 no The Annals of Mathematical Statistics, propôs a utilização de 
uma notação específica para descrever os processos de filas. Essa notação, que fi-
cou conhecida como “Notação de Kendall”, descreve um sistema de filas por meio 
de seis parâmetros básicos identificados pelas letras A/B/c/K/m/Z. Esses parâ-
metros representam as características do sistema, conforme a seguinte estrutura:
Figura 1
Parâmetro A - Distribuição dos intervalos entre chegadas
Esse parâmetro representa o tipo de distribuição estatística referente aos inter-
valos de tempo entre as chegadas, podendo assumir um dos modelos apresentados 
na Tabela 1, de acordo com o tipo de distribuição.
Parâmetro B - Distribuição dos intervalos entre chegadas
Esse parâmetro representa o tipo de distribuição estatística referente aos tempos 
de serviço (atendimento). Assim como o parâmetro anterior, o parâmetro “B” pode 
assumir um dos modelos apresentados na Tabela 1, de acordo com o tipo de 
distribuição de probabilidade.
Tabela 1
Modelo Distribuição Descrição
M Markoviana Distribuição exponencial negativa ou distribuição de Poisson. Esse modelo é aplicado em sistemas 
de fila onde a probabilidade da ocorrência de um evento independe de quando ocorreu o evento 
anterior. É chamado também de modelo Memoryless (sem memória) pelo fato de expressar a 
probabilidade de ocorrência de eventos aleatórios que não dependem das ocorrências anteriores.
Ek Erlang A distribuição Erlang é um caso especial da distribuição gama, geralmente aplicada em modelos 
de filas para representar a distribuição de tempo de serviço de diversas tarefas. O parâmetro K 
representa valores inteiros maiores que zero (quando K=1, a distribuição Erlang se torna uma 
distribuição exponencial).
D Determinística É aplicada em modelos de filas onde os intervalos entre os eventos (chegadas ou atendimentos) 
são constantes, ou seja, não existe variação de tempo entre os eventos.
G Geral Representa uma distribuição de probabilidade geral, onde os resultados podem ser considerados 
em qualquer modelo de distribuição probabilística. 
9
UNIDADE Teoria das Filas: Modelos e Simulações
Parâmetro c - Quantidade de atendentes
Esse parâmetro determina o número de canais de atendimento do sistema de fila.
Parâmetro K - Capacidade máxima do sistema
Representa o número máximo de clientes suportado pelo sistema. Caso esse 
parâmetro seja omitido, ou seja, se ele não for referenciado na notação Kendall, 
considera-se que o sistema tem capacidade infinita.
Parâmetro m - Tamanho da fonte
Representa o número de indivíduos (população) que utiliza o sistema. Caso esse 
parâmetro seja omitido, ou seja, se ele não for referenciado na notação Kendall, 
considera-se que a fonte é infinita.
Parâmetro Z - Disciplina da fila
Representa o tipo de modelo organizacional da fila de espera em relação ao 
atendimento, podendo assumir um dos seguintes tipos: FIFO (First In, First Out - 
primeiro que entra é o primeiro que sai), LIFO (Last In, First Out - último que entra 
é o primeiro que sai), SIRO (Service In Random Order - atendimento em ordem 
aleatória) e PRI (PRIority Service - atendimento prioritário). Caso esse parâmetro 
seja omitido, ou seja, se ele não for referenciado na notação Kendall, considera-se 
que a disciplina da fila é FIFO.
Exemplos
A seguir, são apresentados alguns modelos de filas representados em notação 
Kendall, apenas com o intuito de exemplificar essa notação.
Exemplo 1: M/M/2/30/2000/FIFO
• Intervalo entre chegadas: segue a distribuição de Poisson (M);
• Tempo de serviço: exponencialmente distribuído (M);
• Quantidade de atendentes: 2;
• Capacidade máxima do sistema: 30 clientes;
• Tamanho da fonte (população): 2000 indivíduos;
• Disciplina da fila: FIFO.
Exemplo 2: M/M/3/500
• Intervalo entre chegadas: segue a distribuição de Poisson (M);
• Tempo de serviço: exponencialmente distribuído (M);
• Quantidade deatendentes: 3;
10
11
• Capacidade máxima do sistema: 500 clientes;
• Tamanho da fonte: infinito (parâmetro omitido, portanto, considera-se o valor 
padrão: ∞);
• Disciplina da fila: FIFO (parâmetro omitido, portanto, considera-se o valor 
padrão: FIFO).
Exemplo 3: M/M/4
• Intervalo entre chegadas: segue a distribuição de Poisson (M);
• Tempo de serviço: exponencialmente distribuído (M);
• Quantidade de atendentes: 4;
• Capacidade máxima do sistema: infinita (parâmetro omitido, portanto, 
considera-se o valor padrão: ∞);
• Tamanho da fonte: infinito (parâmetro omitido, portanto, considera-se o valor 
padrão: ∞);
• Disciplina da fila: FIFO (parâmetro omitido, portanto, considera-se o valor 
padrão: FIFO).
Exemplo 4: M/E2/5/∞/∞/SIRO
• Intervalo entre chegadas: segue a distribuição de Poisson (M);
• Tempo de serviço: segue a distribuição Erlang de ordem 2 (E2);
• Quantidade de atendentes: 5;
• Capacidade máxima do sistema: infinita (∞);
• Tamanho da fonte: infinito (∞);
• Disciplina da fila: SIRO (atendimento em ordem aleatória).
Postulados básicos e modelos de fi las
Serão abordados agora alguns postulados básicos aplicados a quaisquer sistemas 
de filas, e em seguida estudaremos os principais modelos de filas e suas equações 
básicas referentes às medidas de desempenho e análise probabilística.
Postulados Básicos
Os postulados apresentados a seguir se aplicam a quaisquer modelos de filas 
estáveis, ou seja, sistemas onde a taxa média de chegada (λ) é menor que o ritmo 
médio de atendimento (µ).
11
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Postulado 1: Em qualquer modelo de fila estável, o fluxo de entrada (λE) é igual 
ao fluxo de saída (λS).
Postulado 2: Em qualquer modelo de fila estável, o fluxo de entrada (λE1) se 
mantém igual em todas as etapas do sistema desde que não existam junções ou 
desdobramentos nessas etapas.
Postulado 3: Em qualquer modelo de fila estável, o fluxo de entrada (λE) se 
mantém igual em todas as etapas do sistema, desde que não existam junções ou 
desdobramentos nessas etapas.
Postulado 4: Em qualquer modelo de fila estável, os fluxos se desdobram 
aritmeticamente.
No exemplo apresentado, podemos observar que o fluxo de entrada λE1, após 
o processo de atendimento pelo servidor A, é desdobrado em duas filas que serão 
atendidas pelos servidores B e C, sendo que o fluxo da primeira (λE2) corresponde 
a 60% do fluxo de entrada, e o fluxo da segunda (λE3) corresponde a 40%. Dessa 
forma, a soma das saídas λS1 e λS2 é igual à soma de λE2 e λE3, que representa 
o fluxo da entrada λE1.
12
13
Principais Modelos de Filas
Modelo M/M/1
A notação M/M/1 é uma forma abreviada da notação Kendall, onde são 
omitidos os parâmetros K (capacidade máxima do sistema), m (tamanho da fonte) 
e Z (disciplina da fila). Portanto, considera-se para esses parâmetros os seus valores 
padrões, sendo assim, o modelo M/M/1 possui as seguintes características:
• Intervalo entre chegadas: segue a distribuição de Poisson (M);
• Tempo de serviço: exponencialmente distribuído (M);
• Quantidade de atendentes: 1;
• Capacidade máxima do sistema: infinita (default - padrão);
• Tamanho da fonte: infinito (default - padrão);
• Disciplina da fila: FIFO (default - padrão).
A figura apresentada a seguir ilustra a estrutura do modelo de fila M/M/1.
Pela sua simplicidade, o M/M/1 é o modelo de fila mais utilizado nos estudos 
teóricos. Nesse modelo markoviano de um único atendente, a taxa de chegada 
segue o processo de Poisson, o ritmo de atendimento segue o modelo de distribuição 
probabilística exponencial, e a capacidade de atendimento e o tamanho da fonte 
são infinitos. Dessa forma, as medidas de desempenho podem ser facilmente 
calculadas. A Tabela 2 mostra as equações básicas do modelo de fila M/M/1.
Tabela 2 – Equações do Modelo M/M/1
Equações Gerais
1 Intervalo médio entre chegadas. IC =
1
λ
2 Tempo médio de atendimento TA =
1
µ
3 Taxa média de utilização do servidor. ρ
λ
µ
=
13
UNIDADE Teoria das Filas: Modelos e Simulações
Tabela 2 – Equações do Modelo M/M/1
Funções Estatísticas (Probabilidade)
4 Probabilidade de existirem “n” clientes no sistema. P n
n
( ) =





 ⋅
−





λ
µ
µ λ
µ
5 Probabilidade de que a quantidade de clientes no sistema seja maior que um dado valor “r”. 
P n r
r
( )> =






+
λ
µ
1
6 Probabilidade de que o sistema esteja ocioso. P n =( ) =
−




0
µ λ
µ
7
Probabilidade de que o sistema esteja ocupado (é igual 
à taxa média de utilização do servidor representada pela 
letra grega ρ - rô).
P n >( ) = = 




0 ρ
λ
µ
Equações de Quantidades e Tempos
8 Número médio de clientes no sistema. NS = −
λ
µ λ
9 Número médio de clientes na fila de espera. NF = −( )
λ
µ µ λ
2
10 Tempo médio de espera na fila. TF = −( )
λ
µ µ λ
11 Tempo médio em que o cliente permanece no sistema. TS = −
1
µ λ
Relacionamento Entre as Equações (Lei de Little)
12 Relação entre o número médio de clientes na fila de espera (NF) e tempo médio de espera na fila (TF).
NF TF= ⋅λ
13
Relação entre o número médio de clientes no sistema 
(NS) e o tempo médio de permanência do cliente no 
sistema (TS).
NS TS= ⋅λ
14 Relação entre o tempo médio de espera na fila (TF) e o tempo médio de permanência no sistema (TS).
TF TS= −
1
µ
15 Relação entre o número médio de clientes na fila de espera (NF) e número médio de clientes no sistema (NS).
NF NS= −
λ
µ
Exemplo prático de um modelo de fila M/M/1
No balcão de informações de um aeroporto, chegam em média 16 pessoas 
por hora. Sabendo-se que o tempo médio de atendimento é de 3 minutos e que o 
sistema é um modelo M/M/1, calcule os seguintes dados:
1. o número médio de pessoas esperando na fila;
2. o tempo médio que uma pessoa gasta no sistema;
3. o número médio de pessoas no sistema; 
4. a probabilidade do balcão de atendimento estar livre;
5. a probabilidade de haver 5 pessoas no sistema;
6. a probabilidade de haver mais de 8 pessoas no sistema.
14
15
Dados conhecidos:
• λ = 16 (taxa de chegada = 16 pessoas/hora)
• TA = 3min = 3÷60 = 0,05h (tempo de atendimento 0,05 hora/pessoa)
• µ = 1÷TA = 1÷0.05 = 20 (ritmo de atendimento = 20 pessoas/hora)
Solução
1. Número médio de pessoas esperando na fila (NF):
NF �
�
� � �pessoas=
−( )
=
−( )
= =
λ
µ µ λ
2 216
20 20 16
256
80
3 2
.
, .
2. Tempo médio que uma pessoa gasta no sistema (TS):
TS � � 0,25 hora ou 15 minutos=
−
=
−
=
1 1
20 16µ λ
3. Número médio de pessoas no sistema (NS):
NS � � 4 pessoas=
−
=
−
=
λ
µ λ
16
20 16
ou pela fórmula de Little:
NS TS = 4 pessoas= ⋅ = ⋅ ( )λ 16 0 25,
4. Probabilidade do balcão de atendimento estar livre (P(0)):
P n �� � ��
n
( ) = 





−





λ
µ
µ λ
µ
.
P � � � �� 20% de proba0
16
20
20 16
20
1
4
20
0 2
0
( ) = 





−




 = ⋅ = =. , bbilidade.
5. Probabilidade de haver 5 pessoas no sistema (P(5)):
P n � � �
P � � � �
( ) = 




 ⋅
−





( ) = 





−

λ
µ
µ λ
µ
n
5
16
20
20 16
20
5
. 


 = =( , ) .0 8
4
20
5 0,065 = 6,5% de probabilidade.
6. Probabilidade de haver mais de 8 pessoas no sistema (P(n>8)):
P n �� �
P n �� �
r
>( ) = 





>( ) = 




 = = =
+
+
r
λ
µ
1
8 1
98
16
20
0 8 0 134( , ) , 113 4, .%�de�probabilidade
15
UNIDADE Teoria das Filas: Modelos e Simulações
Modelo M/M/c
O modelo M/M/c é uma variação do modelo M/M/1, com a diferença de que o 
número de atendentes, definido pelo parâmetro “c”, é maior que 1. Portanto, esse 
modelo possui as seguintes características:
• Intervalo entre chegadas: segue a distribuição de Poisson (M);
• Tempo de serviço: exponencialmente distribuído (M);
• Quantidade de atendentes: 2 ou mais (c);
• Capacidade máxima do sistema: infinita (default - padrão);
• Tamanho da fonte: infinito (default - padrão);
• Disciplina da fila: FIFO (default - padrão).
A figura apresentada a seguir ilustra a estrutura do modelo de fila M/M/c.
As equações do modelo M/M/c,diferentemente do modelo anterior M/M/1, 
são bastante complexas, como você pode observar na Tabela 3. Por esse motivo, 
geralmente são utilizados gráficos para se obter o número médio de clientes na 
fila (NF) com base na taxa de utilização dos servidores, e em seguida, aplica-se as 
fórmulas de Little para o cálculo das outras variáveis.
Equações do modelo M/M/c
Nome Descrição Fórmula
ρ Taxa média de utilização do servidor. ρ
λ
µ
=
⋅c
r Relação entre taxa de chegada (λ) e taxa de atendimento (µ)
r =
λ
µ
NF Número médio de clientes na fila de espera. NF
P cr
c c r
c
=
( )
−( )
+0 1
2
!
NS Número médio de clientes no sistema. NS r
r
c c r
P
c
= +
−( )







 ( )
+1
2 0
!
16
17
Equações do modelo M/M/c
TF Tempo médio de espera na fila. TF
r
c c
P
c
=
−( ) −( )
( )µ
µ λ1
02
!
TS Tempo médio em que o cliente permanece no sistema. TS
r
c c
P
c
= +
−( ) −( )







 ( )
1
1
02µ
µ
µ λ!
P(n) Probabilidade de existirem “n” clientes no sistema.
P n P
r
n
se n c
P n P
r
c c
se n c
n
n
n c
( ) = ( ) ≤ ≤
( ) = ( ) ≥−
0 1
0
!
!
���
���
P(0) Probabilidade de que o sistema esteja ocioso. P r
n
cr
c c r
n c
n
c
0
0
1
1
( ) = +
−( )






=
−
−
∑ ! !
Exemplo prático de um modelo de fila M/M/c
Em um aeroporto que possui duas pistas de pouso e decolagem, chegam 15 
aviões por hora. Sabendo-se que o tempo médio de aterrissagem é de 3 minutos e 
que o sistema é um modelo M/M/c, calcule os seguintes dados:
1. o ritmo médio de atendimento;
2. a taxa média de utilização dos servidores;
3. o número médio de aviões aguardando para pousar; 
4. o tempo médio de espera para o pouso;
5. o tempo médio de permanência no sistema;
Dados conhecidos:
• λ = 15 (taxa de chegada = 15 aviões/hora)
• TA = 3min = 3÷60 = 0,05h (tempo de aterrissagem 0,05 hora/avião)
• c = 2 (número de servidores = 2 pistas de pouso)
Solução
1. Ritmo médio de atendimento (µ):
µ = = =�
TA
� �20 aviões/hora.
1 1
0 05,
2. Taxa média de utilização dos servidores (ρ):
ρ
λ
µ
=
⋅
=
⋅ ( )
= =�
c
� %��
15
2 20
0 375 37 5, ,
(cada pista apresenta ocupação de 37,5% do tempo)
17
UNIDADE Teoria das Filas: Modelos e Simulações
3. Número médio de aviões aguardando para pousar (NF):
Devemos achar a relação entre as taxas de chegada e atendimento (r):
r = = =
λ
µ
15
20
0 75,
Devemos encontrar a probabilidade de o sistema estar ocioso (P(0)):
P
r
n
cr
c c r
xn
n
c c
0
0
1
1
0 10 75
0
0 75
1
2 0
( )
=
−
−
= +
−( )





 = + +∑ ! !
,
!
,
!
,775
2 2 0 75
0 4545
2
1
! ,
,
−( )





 =
−
Agora basta calcular o número médio de aviões na fila (NF):
NF �
P cr
c c r
x� x�
��
c
=
−( )
=
−( )
=( )
+
0
1
2
3
2
0 4545 2 0 75
2 2 0 75
0 1227
!
, ,
! ,
, �� � � � �aviãoemmédiana fila
4. Tempo médio de espera para o pouso (TF):
TF
r
c c
P �
x� �
x�
x �
c
=
−( ) −( )
=
−( ) −( )( )
µ
µ λ1
0 75 20
2 1 2 20 15
0 452 0
2
2
!
,
!
, 445 0 0082= , hora
= 0,0082 * 60 = 0,49 minuto (tempo de espera na fila)
5. Tempo médio de permanência no sistema (TS)
TS
r
c c
P
TS �
x�
c
= +
−( ) −( )








= +
−( )
( )
1
1
1
20
0 75 20
2 1 2
2 0
2
µ
µ
µ λ!
,
! xx�
0,4545 = 0,0582 hora
20 15
2
−( )








= 0,0582 * 60 = 3,5 minutos (tempo de permanência no sistema)
Modelo M/M/1/K
O modelo M/M/1/K é aplicado com bastante frequência na vida prática. Tra-
ta-se de um caso particular do modelo M/M/1, onde a capacidade máxima do 
sistema, representada pelo parâmetro “K”, é limitada. Fato que também implica 
na limitação da fonte de clientes (população). O modelo M/M/1/K possui as 
seguintes características:
• Intervalo entre chegadas: segue a distribuição de Poisson (M);
• Tempo de serviço: exponencialmente distribuído (M);
• Quantidade de atendentes: 1;
• Capacidade máxima do sistema: finita (K);
• Disciplina da fila: FIFO (default - padrão).
18
19
A Tabela 4 apresenta as equações desse modelo de fila.
Equações do modelo M/M/1/K
Nome Descrição Fórmula
ρ Taxa média de utilização do servidor. ρ
λ
µ
=
NF Número médio de clientes na fila de espera.
NF �
K
�
NF �
K K
K
�
K
K
�
�
=
−
−
+
−
≠
=
−( )
+( )
≠
+
+
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
1 1
1
1
2 1
1
1
1 se
se
���
���
NS Número médio de clientes no sistema.
NS
K
�
NS
K
�� �
K
K
�se�
�se�
=
−
−
+( )
−
→ ≠
= → =
+
+
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
1
1
1
1
2
1
1
1
TF Tempo médio de espera na fila.
TF
K
� �
TF
K
� �
K
K
��se��
��se��
=
−( )
−
−( )
→ ≠
=
−
→ =
ρ
µ ρ
ρ
µ ρ
ρ
ρµ
ρ
1 1
1
1
2
1
TS Tempo médio em que o cliente permanece no sistema.
TS
K
�
TS
K
�
K
K
��se��
��se��
=
−( )
−
−( )
→ ≠
=
+
→ =
1
1 1
1
1
2
1
µ ρ
ρ
µ ρ
ρ
ρµ
ρ
P(0) Probabilidade de que o sistema esteja ocioso.
P �
P
K
�
K
���se��
���se��
0 1
0
1
1
1
1
1
1
( ) +
( )
=
−
−
→ ≠
=
+
→ =
ρ
ρ
ρ
ρ
Exemplo prático de um modelo de fila M/M/1/K
O departamento de usinagem de uma indústria possui 6 máquinas. Constatou-
se que em média, 3 máquinas por semana apresentam defeito. Sabendo-se que 
o departamento de manutenção (servidor) tem capacidade para consertar em 
média 6 máquinas por semana e que o sistema é um modelo M/M/1/K, calcule 
os seguintes dados:
1. a taxa média de utilização do servidor;
2. a probabilidade do sistema estar ocioso;
3. o número médio de máquinas quebradas na fila;
4. o número médio de máquinas quebradas no sistema; 
5. o tempo médio de espera na fila;
6. o tempo médio de permanência no sistema.
Dados conhecidos:
• λ = 3 (taxa de chegada = 3 máquinas/semana para conserto)
• K = µ = 6 (quantidade de máquinas = capacidade do sistema)
• c = 1 (número de atendentes = departamento de manutenção)
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UNIDADE Teoria das Filas: Modelos e Simulações
Solução
1. Taxa média de utilização do servidor (ρ):
ρ
λ
µ
= = =� �
3
6
0 5,
O servidor (departamento de manutenção) ficará ocupado 50% do tempo (ρ=0,5).
2. b) Probabilidade de o sistema estar ocioso (P(0)):
P
P �
K
���se��
0 1
0 6 1
1
1
1
1 0 5
1 0 5
0 5039
( ) +
( ) +
=
−
−
→ ≠
=
−
−
=
ρ
ρ
ρ
,
,
,
Probabilidade de o sistema estar ocioso = 0,5039 = 50,39%
3. Número médio de máquinas na fila (NF):
NF �
K
NF �
K
K
��se�
=
−
−
+
−
→ ≠
=
−
−
( ) +
+
+
+
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
1 1
1
0 5
1 0 5
6 0 5 0 5
1
1
6 1
,
,
. , ,
11 0 56 1−
=+,
0,4488 máquina em média na fila
4. Número médio de máquinas no sistema (NS):
NS
K
�
NS
K
K
�se�
=
−
−
+( )
−
→ ≠
=
−
−
+( )
−
+
+
+
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
1
1
1
1
0 5
1 0 5
6 1 0 5
1 0
1
1
6 1,
,
,
,,56 1+
= 0,9449 máquina em média no sistema�
5. Tempo médio de espera na fila (TF):
TF
K
�
TF
K
K
��se��
=
−( )
−
−( )
→ ≠
=
−( )
−
( )
−
ρ
µ ρ
ρ
µ ρ
ρ
1 1
1
0 5
6 1 0 5
6 0 5
6 1
6
,
,
. ,
00 5
0 1508
6,
,
( )
=
= 0,1508 semana (tempo de espera na fila)
6. Tempo médio de permanência no sistema (TS)
TS
K
�
TS
K
K
��se��
=
−( )
−
−( )
→ ≠
=
−( )
−
( )
−
1
1 1
1
1
6 1 0 5
6 0 5
6 1 0
6
µ ρ
ρ
µ ρ
ρ
,
. ,
,55
0 3175
6( )
= ,
= 0,3175 semana (tempo de permanência no sistema)
20
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Ferramentas para Simulação
A simulação é um processo experimental onde, a partir de um modelo tomado 
como base, são feitas projeções de cenários diversos com o propósito de analisar 
o comportamento e as respostas do sistema estudado nas mais variadas condições.
Antes do surgimento das ferramentas computacionais voltadas à experimentação 
de modelos por meio de simulações, as técnicas para esse fim restringiam-se aos 
processos manuais, onde as simulações eram feitas manualmente por meio da 
exaustiva repetição de cálculos sobre o modelo estudado. Por esse motivo, as 
simulações eram utilizadas como um último recurso.
Com o surgimento e popularização dos sistemas computacionais, diversas 
ferramentas que podem ser utilizadas para simulações foram desenvolvidas. Essas 
ferramentas são classificadas em três categorias: linguagens de programação, 
aplicativos de uso geral e softwares específicos.As linguagens de programação são ferramentas que permitem a criação de 
aplicações (programas). São ferramentas complexas que exigem do desenvolvedor 
bons conhecimentos da linguagem e lógica de programação. Como exemplos 
de linguagens de programação, podemos citar: C, JAVA, BASIC, FORTRAN, 
PASCAL, dentre outras.
Os aplicativos de uso geral, assim como as linguagens de programação, não 
são voltados especificamente para simulações. Porém, eles permitem a realização 
de experimentos sobre modelos de uma forma mais acessível ao usuário. Como 
exemplos desses aplicativos, temos o EXCEL® (desenvolvido pela Microsoft 
Corporation) e o MATLAB® (desenvolvido pela MathWorks, Inc.), dentre outros.
Os softwares específicos, por outro lado, são ferramentas desenvolvidas exclu-
sivamente para determinadas aplicações. São geralmente mais intuitivas e fáceis 
de usar, pois, integram todos os recursos para a realização de um determinado 
trabalho, sem a necessidade do usuário construir as fórmulas matemáticas ou os 
algoritmos, basta introduzir os parâmetros e as variáveis do modelo. Como exem-
plos desses softwares, temos o PROMODEL® (desenvolvido pela Promodel Cor-
poration) e o ARENA® (desenvolvido pela Rockwell Automation), dentre outros.
A Rockwell Automation disponibiliza uma versão gratuita do software ARENA (versão 
Student) na sua página ofi cial: www.arenasimulation.com
A Promodel Corporation disponibiliza uma versão gratuita do software PROMODEL (versão 
Run-Time-Silver-Demo) na sua página ofi cial: https://goo.gl/RZjgCK
Ex
pl
or
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UNIDADE Teoria das Filas: Modelos e Simulações
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Introdução à Pesquisa Operacional
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9. ed. 
Porto Alegre: Mc Graw-Whill, 2013. Capítulo 17.
Pesquisa Operacional
TAHA, Hamdy A. Pesquisa Operacional. 8.ed. Pearson, 2007. Capítulo 15
 Leitura
Estudo sobre Modelagem e Simulação de Sistemas de Fila M/M/1 e M/M/2
https://goo.gl/jMHrOU
Análise do Fluxo de Pessoas no Sistema de Acesso em uma Universidade - Uma Aplicação da Teoria das Filas 
Utilizando o PROMODEL
https://goo.gl/smavGW
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Referências
ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos Para a 
Análise de Decisão. 4. ed. Rio de Janeiro: Ltc-Livros Técnicos e Científicos, 2011.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9. ed. 
Porto Alegre: Mc Graw-Whill, 2013.
TAHA, Hamdy A. Pesquisa Operacional. 8ª edição. Pearson, 2007.
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