Resumo Matéria - Raciocinio Lógico - UP

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RESUMO DE RACIOCÍNIO LÓGICO 
CAP 1 
 A necessidade de contagem surgiu a partir do desenvolvimento das 
atividades de produção e de trocas comerciais. 
 O primeiro artefato de contagem foi o “osso de Lebombo” a cerca de 
35.000 anos, na Sualizândia, África. 
 Há 20.000 anos, também na África, foi encontrado o “osso de Ishango”, 
que possui uma sequência de números primos entre 10 e 20, e a 
sequência de números 10-1, 20-1, 20+1, e 10+1 em uma das faces e na 
outras metades e dobros: 5 e 10, 8 e 4, 6 e 3. 
 Os egípcios faziam us de um sistema de base 10, com traços que iam 
se repetindo para representar os números de 1 a 9. Para potências de 
10 eles usavam outros símbolos. 
 A numeração babilônica começou utilizando um sistema de 
numeração posicional de base 60. Além disso, utilizavam tabuletas de 
argila para marcar os números em forma de cunha (daí a representação 
cuneiforme) 
 Nos primórdios da civilização humana, a contagem era feita por 
correspondência, elemento a elemento. Com o crescimento da 
população e da produção agropecuária, surgiu o agrupamento, surgindo 
o sistema de numeração de base 10. 
 Na base decimal, agrupamos as quantidades em grupos de 10 e 
contamos quantos grupos de 10 temos. Com 10 unidades, formamos o 
grupo chamado dezena. Com 10 dezenas formamos um grupo chamado 
centena e assim por diante. 
 Os algarismos indo-arábico são utilizados hoje em dia por 
praticamente toda a humanidade em suas trocas comerciais, financeiras, 
técnicas, científicas, etc. 
 O sistema de numeração que usamos atualmente é denominado 
sistema de numeração decimal posicional. Significa que é m sistema 
que utiliza a base 10 e que, além disso, o valor do numeral depende da 
posição que ele ocupa na representação. 
 O conjunto de números naturais surgiu a partir do processo de contagem 
do dia a dia, representado por N= {0, 1, 2, 3,...}. 
 O conjunto de números naturais inteiros define-se por: Z: {... -3, -2,-
1,2,1,2,3...}. 
 O conjunto de números reais são números que não podem ser 
escritos como frações irredutíveis com numerador e denominador 
inteiros. 
 
 
 Operações aritméticas: 
 Adição: Com a operação da adição determinamos o total de elementos 
da união de dois conjuntos A e B. Possui as seguintes propriedades: 
- Comutatividade: a ordem segundo o qual efetuamos a adição não 
afeta o resultado. 3+5=5+3 
- Associatividade: ao associarmos a soma de três parcelas, mesmo de 
diferentes maneiras, o resultado será sempre o mesmo: (3+2) 
+7=5+7=3+ (2+7) =3+9 
- Elemento neutro: o número zero é denominado elemento neutro da 
adição, pois a inclusão dele no cálculo não afetara o resultado. 
- Fechamento: se somarmos dois números reais, teremos como 
resultado um número real. 
- Elemento inverso: para qualquer número real x, existe o inverso –x, 
tal que x+ (-x) =0 
 Subtração: é composta por três elementos: minuendo (quantidade 
maior em uma subtração), subtraendo (quantidade menor de uma 
subtração) e resto (o resultado da operação de subtração). 
 No cálculo mental as crianças terão a oportunidade de utilizar a 
equivalência, a decomposição e a igualdade entre números e ainda 
favorece uma postura de maior segurança e domínio na abordagem dos 
problemas matemáticos escolares. 
 Na multiplicação ou divisão os números de sinais iguais multiplicados 
ou divididos resultam em números positivos. Números de sinais 
diferentes, quando multiplicados ou divididos, resultam em valores 
negativos. 
 Uma expressão numérica é constituída de operações aritméticas 
(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação), 
além do uso dos sinais de associação (parênteses, “()”, colchetes “[]” e 
chaves “{}”). Onde a hierarquia é: 1º potenciação e radiciação, quando 
existirem; 2º multiplicação e divisão; 3º adição e subtração e nos sinais: 
1º parênteses; 2º colchetes e 3º chaves. 
 A regularidade numérica são padrões numéricos e a tabuada é um 
exemplo de regularidade. 
 A resolução de problemas consiste no uso de métodos, de uma forma 
ordenada, para encontrar soluções de problemas específicos. 
 Nem todos os problemas têm solução. Já os exercícios são atividades 
nas quais o resolvedor supostamente sabe o caminho a percorrer para 
atingir a solução. 
 Classificação dos problemas: Problemas de sondagem: são 
adequados para apresentação de novos conceitos. Problemas de 
aprendizagem: são adequados para que o aluno se familiarize com 
novos conceitos. Problemas de análise: são voltados para a descoberta 
de novos resultados. Problemas de revisão e aprofundamento: são 
aqueles que focam na revisão de conteúdo e no aprofundamento de 
conceitos. 
 Etapas da resolução de problemas: 1) Compreensão do problema 
(determinar a incógnita, os dados e as restrições ou condicionantes 
apresentadas); 2) O plano para resolver o problema (a estratégia de 
resolução); 3) Executar o plano; 4) Revisar a solução obtida (revisar 
passo a passo as etapas) 
 
CAP 2 
 Razão direta é a relação entre dois números, a e b, onde b é diferente 
de zero. 
 Quando o produto entre duas razões é igual a 1 e o antecedente de uma 
for igual ao consequente da outra, elas recebem o nome de razão 
inversa, isto é, uma razão é o inverso da outra. 
 Proporção é a igualdade entre as razões. 
𝑎
𝑏
 = 
𝑐
𝑑
 
 Propriedade fundamental das proporções é aquela que o produto dos 
extremos é igual ao produto dos meios. 
𝑎
𝑏
 = 
𝑐
𝑑
 ⇔ad = bc 
 Propriedade da soma dos termos em uma proporção, a soma dos 
antecedentes está para a soma dos consequentes, tal como cada um 
dos antecedentes está para o respectivo consequente. 
 Aplicação de proporções escala: Uma escala é a proporção entre a 
dimensão do objeto real e a dimensão reduzida (ou ampliada). 
 Sequência numérica: conjunto de números dispostos de forma 
ordenada. 
 Sequência diretamente proporcionais: quando a razão entre os 
correspondentes elementos de cada sequência é constante. 
 Sequência inversamente proporcional é quando está para o inverso 
do outro. 
 Grandeza diretamente proporcional se a razão entre os valores na 
coluna da primeira grandeza for igual à razão entre os respectivos 
proporcionais quando, aumentando-se um delas, a outra aumenta na 
mesma razão. Ou ainda, diminuindo-se uma delas, a outra diminui na 
mesma razão. 
 Grandeza inversamente proporcional quando uma razão aumenta e a 
outra diminui. 
 Grandezas proporcionais a outra quando existe não apenas duas 
grandezas, mas três, quatro e até cinco grandezas envolvidas. 
 A divisão proporcional consiste me dividir determinados valores em 
certas quantidades de partes em que cada uma delas terá direito a uma 
quantidade de parcelas. 
 Regra de três simples é um procedimento que torna mais prática a 
resolução de problemas que relacionem grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
 Regra de três composta: quando existem três ou mais grandezas 
envolvidas. 
 Porcentagem é o valor proporcional de uma quantidade calculada sobre 
a centena, ou seja, um número com denominador igual a 100. 
 As frações que possuem o denominador 100 são chamadas “razões 
centesimais” 
 
CAP 3 
 Os argumentos constituem elementos de um discurso para convencer 
(ou persuadir) aqueles que desconhecem o tema em questão ou 
expressam diferentes opiniões a respeito. 
 Lógica é uma ciência que determina as formas corretas de raciocínio. 
 Segundo Martins Lógica é a área do conhecimento que tem como 
objeto de estudo o discurso. 
 Gyuricza Lógica é estudo sistemático dos argumentos válidos. Isto quer 
dizer que precisamos desenvolver técnicas rigorosas para determinar 
quais argumentos são válidos. 
 A validade lógica não se propõe a estabelecer relação entre que foi 
afirmado e a realidade, mas considera correção do raciocínio. 
 A verdade lógica diz respeito à relação entre o discurso e a realidade, a 
sequênciade afirmações e de argumentos e sua relação com o que, de 
fato, é fato. 
 A verdade factual (ou fática) é uma verdade baseada em fatos. 
 Newton Carneiro da Costa desenvolveu estudos que contribuíram para 
a criação das lógicas consistentes, as quais desenvolvem ferramentas 
lógicas para lidar com uma proposição e a negação dessa proposição. 
 Lógica clássica é fundamental nos seguintes princípios: Princípio da 
identidade: afirma que qualquer objeto deve ser idêntico a ele mesmo; 
Princípio da não contradição: afirma que uma proposição não pode, ao 
mesmo tempo, ser verdadeira e falsa; Principio do terceiro excluído: 
afirma que ou uma proposição é verdadeira, ou é falsa, não existindo 
uma terceira possibilidade. 
 Lógica proposicional: Em lógica e matemática, uma lógica 
proposicional (ou cálculo sentencial) é um sistema formal no qual as 
fórmulas representam proposições que podem ser formadas pela 
combinação de proposições atômicas usando conectivos lógicos e um 
sistema de regras de derivação, que permite que certas fórmulas sejam 
estabelecidas como "teoremas" do sistema formal. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_formal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Proposi%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema
 Lógica de primeira ordem: nas lógicas de primeira ordem os 
quantificadores atuam apenas sobre os indivíduos. Ela inclui os 
elementos da lógica proposicional os quantificadores ∀ (qualquer que 
seja) e ∃ (existe). Justamente por não esta dotada de tais 
quantificadores, a lógica proposicional clássica não consegue tratar de 
deduções tão simples. 
 Lógica de segunda ordem: nas lógicas de segunda ordem, a adição de 
variáveis e quantificadores diz respeito à classe de indivíduos. Nesse 
sentido, enquanto nas lógicas de primeira ordem poderíamos efetuar 
afirmações apenas sobre os números naturais, na lógica de segunda 
ordem podemos efetuar afirmações sobre os conjuntos de números 
naturais. 
 Extensões de lógica clássica: há dois tipos de extensões de lógica 
clássica: modal – considera-se a semântica dos mundos possíveis, 
onde se adicionam os operadores necessariamente e possivelmente à 
lógica proposicional. Nessas lógicas, fala-se em sentenças que são 
necessariamente verdadeiras em determinado mundo se a sentença for 
verdadeira em qualquer um dos mundos acessíveis àquele mundo. Na 
lógica deôntica são definidos os operadores: proibido, permitido, 
indiferente e obrigatório. É considerada a lógica das normas (aquilo que 
é obrigatório e permitido). 
 Lógica paraconsistente: dentre as lógicas heterodoxas, encontram-se 
as lógicas paraconsistentes, nas quais ocorre restrição do princípio da 
não contradição. 
 Lógicas polivalentes: admitem que possa existir mais que dois valores 
de verdade: para essas lógicas podem existir valores intermediários, de 
forma a se evitar paradoxos lógicos. 
 Sofismas: são argumentos falsos, com algum tipo de erro, ou 
capciosos. 
 Falácia: o raciocínio aparentemente correto, mas que na verdade 
apresenta erro ou engano. Assim, falácia é um argumento logicamente 
inconsistente, que apresenta violações de regras de Lógica. 
 Na antiguidade havia dois tipos de falácia: sofismas (falácias 
desenvolvidas com a intenção de enganar o interlocutor, ou seja, 
argumentos desenvolvidos com má fé) e paralogismos (falácias 
cometidas por má fé, mas por desconhecimento ou ignorância das 
regras de pensamento correto daquele que fala). 
 Termo é uma palavra, ou conjunto de palavras, encontrado em uma 
proposição. 
 Falácias formais: são erros lógicos que ocorrem na estrutura ou forma 
de uma inferência. Restringem-se às inferências dedutivas. 
 Falácias informais: são erros de raciocínio, diferentes dos erros de 
forma ou estrutura em uma inferência. Esses erros incluem, mas não se 
limitam a, erros de ambigüidade, pressuposto não fundamentado e 
relevância. 
 Falácias informais de relevância: se consideram premissas sem 
relevância para a conclusão que se pretende. Muitas delas apelam para 
o aspecto psicológico ou emocional para convencer o interlocutor. 
 Falácia ad hominem: quando se ataca a pessoa e não seus 
argumentos. Ataca seu caráter ou questiona-se seu comportamento. 
 Falácia do apelo à emoção: utiliza-se da emoção ou da psicologia para 
direcionar o ouvinte à conclusão desejada, embora as evidências 
concretas possam até mesmo levar à conclusão contrária. 
 Falácia de apelo à força (adbaculum): utiliza ameaças de agressão 
física ou a força para obrigar o outro a alguma ação. 
 Falácia de apelo à autoridade: quando se vale da autoridade de 
alguém, tão somente pelo fato de ser autoridade, para justificar 
conclusões fora da área daquela autoridade. 
 Falácia de ambiguidade: Nestas falácias o significado dos termos é 
modificado. Nem sempre o significado de uma palavra em uma premissa 
será o mesmo se a palavra for utilizada na conclusão, situada em outro 
contexto. 
 Falácia por anfibologia: é associada com frases que apresentam 
estrutura gramatical ou sintaxe fracas, levando a interpretações erradas. 
 Falácia por composição: associam-se ao todo propriedades ou 
atributos das partes. 
 Falácias informais de pressuposto não fundamentado: Quando 
assume verdade de uma afirmação, sem a respectiva demonstração, 
não temos uma base sólida sobre a qual a conclusão se faça. 
 Falácia de pergunta complexa: uma pergunta simples contém na 
realidade múltiplas partes ocultas. Temos duas perguntas “escondidas” 
em uma só. 
 Falácia de generalização: é aquela em que são utilizadas premissas 
não suficientes para assegurar a conclusão. Muitas vezes, 
manifestações de preconceitos raciais, religiosos ou sexuais são falácias 
do tipo generalização apressada. 
 Falácia de amostra tendenciosa: parte-se de uma amostra não 
representativa para concluir sobre a população inteira. 
 Argumento: é um conjunto de proposições que utilizamos para justificar 
(provar, dar razão, suportar) algo. 
 Argumento indutivo: caso as premissas sejam verdadeiras, 
aceitaremos a conclusão de forma condicional, em alguma medida 
estaremos associando uma probabilidade ou incerteza à nossa 
conclusão, ou seja, temos uma argumentação indutiva se existir elevada 
probabilidade de a conclusão ser verdadeira quando as premissas forem 
verdadeiras. 
 Argumento dedutivo: a partir da verdade das premissas podemos dizer 
que a conclusão é verdadeira muito provavelmente, mas não podemos 
dizer que, necessariamente, a conclusão seja verdadeira, ou seja, 
podemos dizer que uma argumentação é indutiva quando a conclusão 
for necessariamente verdadeira se as premissas forem verdadeiras. 
 Inferência indutiva lógica: considera-se que dois entes que possuem 
em comum determinados atributos provavelmente (aqui entra o aspecto 
“indutiva”) possuirão em comum, outros atributos. 
 Inferência indutiva estatística: faz uso de generalizações, com base 
em um padrão estatístico. 
 Inferência indutiva causal: considera as relações entre causa e efeito. 
 Argumentos dedutivos válidos e inválidos: válidos são aqueles que a 
verdade das premissas decorre, necessariamente, a verdade da 
conclusão, tendo como situações: a) todas as premissas são 
verdadeiras e a conclusão é verdadeira. b) todas ou parte das premissas 
são falsas e a conclusão é verdadeira. c) todas ou parte das premissas 
são falsas e a conclusão é falsa. 
 A única probabilidade que não pode ocorrer em um argumento dedutivo 
considerado válido é aquela em que todas as premissas são verdadeiras 
e a conclusão é falsa. 
 Silogismo: estrutura como está disposta as proposições. 
 Figura do silogismo: está associada com a posição que o termo médio 
ocupa no argumento. 
 Premissas: são as proposições utilizadas no argumento. As premissas 
constituem a fundação (base) que levará a conclusão. 
 A premissa maior é aquela que contém o termo maior (que resultará a 
conclusão), éaquela que contém o termo predicado da conclusão. 
 A premissa menor é aquela que contem o sujeito da conclusão, a que 
contém o termo menor. 
 Primeira regra das premissas: se tivermos duas premissas negativas 
nada poderá se concluir. 
 Segunda regra das premissas: a partir de duas premissas afirmativas 
não poderemos extrair uma conclusão negativa. 
 Terceira regra das premissas: se temos duas premissas particulares, 
nada pode concluir. 
 Quarta regra das premissas: a conclusão segue sempre a parte mais 
fraca. Se tivermos uma premissa particular, a conclusão também será 
particular. Se tivermos uma premissa negativa, a conclusão também 
será negativa. 
 Silogismo categórico: temos apenas proposições categóricas, ou seja: 
proposições que possuem apenas um sujeito e um predicado. 
 Termo: é uma expressão verbal ou escrita de um determinado conceito. 
 Termo maior: é aquilo que fala do sujeito (ou seja: o predicado) 
 Termo médio: é o termo que ocorre nas duas premissas e tão somente 
nelas. Deve ser o mesmo nas duas premissas e não pode estar 
presente na conclusão. 
 Termo menor: constitui o sujeito da conclusão e aparece de novo em 
apenas uma das premissas. 
 Primeira regra referente aos termos: um silogismo possui apenas três 
termos: o termo maior, o termo médio (também chamado de mediano) e 
o termo menor. 
 Segunda regra referente aos termos: a conclusão não pode conter o 
termo médio. Se a conclusão contiver o termo médio, o silogismo fica 
inválido. 
 Terceira regra referente aos termos: pelo menos uma vez o termo 
médio deve ser tomado de forma universal (ou seja, em toda sua 
extensão). 
 Quarta regra referente aos termos: na conclusão não podemos ter 
nenhum dos termos com maior extensão do que nas premissas. 
 
 
CAP 3 
 Proposição é uma sequência de símbolos, expressa de forma 
declarativa, que representa uma ideia ou conceito com sentido completo. 
 Proposição simples ou proposição atômica é aquela que não contém 
nenhuma proposição como parte integrante de si mesma. São 
representadas de forma única. 
 Proposições compostas são formadas por um conjunto de proposições 
simples (duas ou mais proposições simples ligadas por conectivos 
lógicos). 
 Conectivos são palavras (ou símbolos), usados para partindo-se de 
proposições simples, para construir novas proposições. 
 
Conectivo Nome Símbolo 
Não Negação ~ ; ¬ 
E Conjunção ∧ ; . ; & 
Ou Disjunção v 
Se.. então Condicional → ; ⊃ 
se e somente se Bicondicional ⇔ 
 
 Regras na leitura de proposições: 1º parênteses abertos devem ser 
fechados (não podem existir parênteses soltos). Além disso, os 
parênteses internos têm precedência sobre os parênteses externos. 2º 
ordem na precedência dos conectivos: 1º negação; 2º conjunção; 3º 
disjunção; 4º disjunção exclusiva; 5º condicional; 6º bicondicional. 
 
 
 
 
 Conjunção (e): A proposição resultante da conjunção só será 
verdadeira quando as proposições simples forem verdadeiras. 
 
P Q P ∧ Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 Disjunção inclusiva (ou): A proposição resultante da disjunção 
inclusiva só será falsa quando as proposições simples forem falsas. 
P Q P v Q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 Disjunção exclusiva (ou): A proposição da disjunção exclusiva só será 
verdadeira se uma das proposições simples for falsa e a outra 
verdadeira e vice-versa, não podendo acontecer de serem verdadeiras 
as duas proposições simples. 
P Q P ⊻ Q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 Condicional (se p então q): A proposição resultante da condicional só 
será falsa se a antecedente (lado esquerdo da seta) for verdadeira e a 
conseqüente (lado direito da seta) for falsa. 
P Q P → Q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
 
 
 Bicondicional (se p somente se q): A proposição resultante da 
bicondicional só será falsa se as proposições simples possuírem 
valoração diferente, ou seja, se uma for falsa e a outra verdadeira e vice-
versa. 
P Q P ⇔ Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 Negação (~): Se o valor verdade de p ou q for verdadeiro, a negação 
será falsa. Se o valor verdade de p ou q for falso, a negação será 
verdadeira. 
 Negação da disjunção (ou) e conjunção (e): a negação da disjunção é 
trocada pela conjunção e a negação da conjunção é trocada pela 
disjunção. 
 Proposições quantificadas: que trás algum quantificador. 
 Quantificador universal: ∀: todo, para todo, qualquer seja,... 
 Quantificador existencial: ∃: existe, existe algum, existe pelo menos 
um... 
 O quantificador universal, nega o quantificador existencial e vice-versa. 
 Condicional (P → Q): [~ (p→q)]: [p∧~q] troca-se o condicionador 
(→) se...então... por (∧) e 
 Bicondicional (P ⇔ Q): [~(p⇔ q): ~p⇔p ou p⇔ ~q 
 (não) (se, e somente se) 
 Tabelas verdade são ferramentas para a determinação do valor lógico 
de proposições compostas. 
 Número de linhas de uma tabela verdade: o número de linhas para 
uma tabela verdade para uma proposição composta está associado com 
a quantidade de proposições simples que compõem a proposição 
composta. 
 Tautologia: somente valores lógicos verdadeiros. 
 Contradição: somente valores lógicos falsos. 
 Contingência: demais casos, ou seja, quando não é tautologia nem 
contradição. 
 Equivalência: a última coluna da tabela verdade é igual, ou seja, 
apresenta o mesmo valor lógico.