Atividade Avaliativa 3

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Londrina 
Cálculo Diferencial e Integral III 
Profa. Marcele Tavares (marceletavares@utfpr.edu.br) 
 
 
 
 
ATIVIDADE AVALIATIVA 3 
No momento da correção a professora vai considerar o desenvolvimento, organização e clareza nos 
argumentos utilizados. 
 
1. Determinar o trabalho realizado pelo campo de forças 
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 𝒊 + (
1
2
𝑥2 + 𝑥𝑦)𝒋 
sobre uma partícula que se move ao longo do caminho que começa em (5,0), percorre o semicírculo 
superior 𝑥2 + 𝑦2 = 25 e retorna ao seu ponto de partida ao longo do eixo 𝑥. 
 
2. Sabendo que 𝐷 é uma região que tem área 6 e que 𝐶 é a fronteira orientada positivamente de 
𝐷, então calcule 
∮ (𝑥2 + 𝑦)𝒊 + (3𝑥 − 𝑦2)𝒋
𝑐
 𝑑𝑟. 
3. Use o teorema de Green para calcular a integral ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2 𝑑𝑦
𝑐
, onde 𝐶 é a curva fechada 
obtida percorrendo o arco da parábola 𝑦 = 𝑥2 do ponto (0,0) até o ponto (1,1) e depois o segmento 
retilíneo de (1,1) até (0,0). Que interpretação física foi dada a essa integral no contexto da disciplina, 
explique. 
 
4. Seja 𝐶 a curva fechada formada pelas parábolas 𝑦 = 𝑥2 𝑒 𝑦 = √𝑥, orientada no sentido anti-
horário. Usando o teorema de Green, calcule a integral ∫
𝑦3
3
𝑒𝑥 𝑑𝑥 + (𝑦2𝑒𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑦
𝑐
. 
 
5. Calcule a integral de linha por dois métodos: 
(a) Diretamente, 
(b) Utilizando Teorema de Green. 
 
i. ∮ 𝑥𝑦2𝑑𝑥 − 𝑥3 𝑑𝑦, onde C é o retângulo de vértices (0,0), (2,0), (2,3) e (0,3). 
ii. ∮ 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦, onde C consiste nos segmentos de reta de (0,1) a (0,0) e de (0,0) a (1,0) e na 
parábola 𝑦 = 1 − 𝑥2 de (1,0) a (0,1).