PC_2015-2_AD02_Q2_GABARITO

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AD 02 – Q2 – 2015-2 GABARITO Pré-Cálculo 
 
CEDERJ 
GABARITO da Questão 2 da Avaliação a Distância 2 
Pré-Cálculo 
__________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [3,0 pontos]: 
 
(a) [1,0] Considere 𝑓(𝑥) = tan2 𝑥 + 2 sec2 𝑥. 
Resolva a equação 𝑓(𝑥) = 11 para −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓). 
RESOLUÇÃO: 
Para simplificar vamos usar a identidade trigonométrica sec2 𝑥 = 1 + tan2 𝑥. 
𝑓(𝑥) = tan2 𝑥 + 2 sec2 𝑥 = tan2 𝑥 + 2(1 + tan2 𝑥) = 2 + 3 tan2 𝑥. 
𝑓(𝑥) = 11 ⟺ 2 + 3 tan2 𝑥 = 11 ⟺ tan2 𝑥 = 3 ⟺ tan 𝑥 = √3 ou tan 𝑥 = −√3 
Observando o círculo trigonométrico ao lado, sabemos que na primeira volta do círculo 
trigonométrico, no sentido anti-horário, 
tan 𝑥 = √3 ⟺ 𝑥 =
𝜋
3
 ou 𝑥 = 𝜋 +
𝜋
3
=
4𝜋
3
 
tan 𝑥 = −√3 ⟺ 𝑥 = 𝜋 +
𝜋
3
=
2𝜋
3
 ou 𝑥 = 2𝜋 −
𝜋
3
=
5𝜋
3
. 
Assim, soluções para 𝑥 ∈ [0,2𝜋]: {
𝜋
3
, 
2𝜋
3
, 
4𝜋
3
, 
5𝜋
3
} 
Para determinar as soluções para 𝑥 ∈ [−2𝜋, 0] podemos usar a propriedade: tan(−𝑥) = − tan 𝑥. 
Logo, soluções para 𝑥 ∈ [−2𝜋, 0]: {−
𝜋
3
, −
2𝜋
3
, − 
4𝜋
3
, −
5𝜋
3
}. 
Portanto, soluções para 𝑥 ∈ [−2𝜋, 2𝜋]: {−
5𝜋
3
, −
4𝜋
3
, − 
2𝜋
3
, −
𝜋
3
, 
𝜋
3
, 
2𝜋
3
, 
4𝜋
3
, 
5𝜋
3
}. 
 
(b) [1,5] Considere 𝑔(𝑥) = arccos (
𝑥
4
)., cujo gráfico 
está esboçado ao lado. 
I. [0,5] Qual é o domínio e a imagem de 𝑔? 
Justifique as suas respostas atribuindo valores 
para 𝑎, 𝑏, 𝑘. 
II. [1,0] Das equações abaixo, algumas têm solução e outras não. Se a equação não tem solução, justifique. 
Se tem, dê a solução, apresentando as contas da resolução. 
arccos (
𝑥
4
) = 𝜋 arccos (
𝑥
4
) =
𝜋
2
 arccos (
𝑥
4
) = −
𝜋
2
 
arccos (
𝑥
4
) = 0 arccos (
𝑥
4
) =
𝜋
4
 arccos (
𝑥
4
) =
3𝜋
2
 
RESOLUÇÃO 
AD 02 – Q2 – 2015-2 GABARITO Pré-Cálculo 
 
I. Sabemos que o domínio da função 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 é igual a imagem da função 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 que é o intervalo 
[−1, 1], isto é, para arccos(t), devemos ter −1 ≤ t ≤ 1. 
Como temos 𝑔(𝑥) = arccos (
𝑥
4
) , podemos substituir 𝑡 por 
𝑥
4
 : −1 ≤
𝑥
4
≤ 1. 
Resolvendo essa inequação, −1 ≤
𝑥
4
≤ 1 ⟺ −4 ≤ 𝑥 ≤ 4. 
Portanto, os valores de 𝑎 e 𝑏 do gráfico são: 𝑎 = −4 e 𝑏 = 4 e 𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = [−4, 4]. 
Por convenção, a imagem da função 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 é igual ao intervalo [0, 𝜋] porque é igual ao domínio da 
função 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜, restrito ao ramo de inversão. 
Ou seja, a imagem da função 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑡) para qualquer valor de 𝑡 é o intervalo [0, 𝜋]. 
Assim, para 𝑡 =
𝑥
4
, a imagem da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) = arccos (
𝑥
4
) é o intervalo [0, 𝜋]. 
Portanto, no gráfico 𝑘 = 𝜋 e 𝐼𝑚(𝑔) = [0, 𝜋]. 
II. arccos (
x
4
) = π tem solução pois π ∈ Im(g) = [0, π]. 
arccos (
𝑥
4
) = 𝜋 ⟺ 
𝑥
4
= cos 𝜋 = −1 ⟺ 𝑥 = −4. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 
arccos (
𝑥
4
) =
𝜋
2
 tem solução pois 
𝜋
2
∈ 𝐼𝑚(𝑔) = [0, 𝜋]. 
arccos (
𝑥
4
) =
𝜋
2
 ⟺ 
𝑥
4
= cos
𝜋
2
= 0 ⟺ 𝑥 = 0. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 
arccos (
𝑥
4
) = −
𝜋
2
 não tem solução pois −
𝜋
2
∉ 𝐼𝑚(𝑔) = [0, 𝜋]. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 
arccos (
𝑥
4
) = 0 tem solução pois 0 ∈ 𝐼𝑚(𝑔) = [0, 𝜋]. 
arccos (
𝑥
4
) = 0 ⟺ 
𝑥
4
= cos 0 = 1 ⟺ 𝑥 = 4. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 
arccos (
𝑥
4
) =
𝜋
4
 tem solução pois 
𝜋
4
∈ 𝐼𝑚(𝑔) = [0, 𝜋]. 
arccos (
𝑥
4
) =
𝜋
4
 ⟺ 
𝑥
4
= cos
𝜋
4
=
√2
2
 ⟺ 𝑥 = 2√2. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 
arccos (
𝑥
4
) =
3𝜋
2
 não tem solução pois 
3𝜋
2
∉ 𝐼𝑚(𝑔) = [0, 𝜋]. 
__________________________________________________________________________________________ 
(c) [0,5] Pelo menos uma das afirmações abaixo é falsa. Uma só ou as duas? Explique as suas conclusões. Não 
será considerada resposta sem argumentação. 
 
 
AD 02 – Q2 – 2015-2 GABARITO Pré-Cálculo 
 
I. arcsen(sen 𝑥) = 𝑥, para todo 𝑥 tal que −
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
 . 
II. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
, para todo 𝑥 tal que −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 . 
RESOLUÇÃO 
I. 
Sabemos que a função 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑜 é a inversa da função 𝑠𝑒𝑛𝑜, restrita ao intervalo [−
𝜋
2
,
𝜋
2
]. 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) 𝑒 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) = arcsen(𝑦), com 
 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] 𝑒 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = [−1 , 1] = 𝐼𝑚(𝑓) 
Além disso, sabemos que 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 , para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓). 
Portanto, arcsen(sen 𝑥) = 𝑥 , para todo 𝑥 ∈ [−
𝜋
2
,
𝜋
2
]. 
Conclusão: essa afirmação é verdadeira, não é falsa. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
II. 
Note que a função inversa da função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) , restrita ao intervalo [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] , é a função 
𝑓−1(𝑥) = arcsen(𝑥). 
Também note que a função 
1
sen 𝑥
=
1
𝑓(𝑥)
= (𝑓(𝑥))
−1
 é a inversa algébrica de 𝑓(𝑥). 
É importante saber que 𝑓−1(𝑥) ≠ (𝑓(𝑥))
−1
. 
Vamos verificar com exemplos, que considerando 
 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) , 𝑥 ∈ [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] e 𝑓−1(𝑥) = arcsen(𝑥) , 𝑥 ∈ [−1,1] então 
 𝑓−1(𝑥) ≠ (𝑓(𝑥))
−1
. 
Exemplo: 𝑥 =
1
2
, − 1 <
1
2
< 1 . 
𝑓−1 (
1
2
) = arcsen (
1
2
) =
𝜋
6
 e (𝑓 (
1
2
))
−1
= (sen
1
2
)
−1
=
1
sen 
1
2
≠
𝜋
6
 . 
Portanto, 𝑓−1 (
1
2
) ≠ (𝑓 (
1
2
))
−1
 ou seja, arcsen (
1
2
) ≠
1
sen(
1
2
)
 
Outro exemplo: 𝑥 = 0, − 1 < 0 < 1 
𝑓−1(0) = arcsen(0) =
𝜋
2
 
(𝑓(0))
−1
= (sen 0)−1 =
1
sen 0
=
1
0
 que não pode ser calculado, o denominador é nulo. 
Conclusão: arcsen(𝑥) =
1
sen 𝑥
, para todo 𝑥 tal que −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 É FALSA.