Óptica Geométrica

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Óptica Geométrica
Dr. Edalmy Oliveira de Almeida
1. Tipos de Imagens;
2. Espelhos Planos;
3. Associação de Espelhos Planos;
4. Espelhos Esféricos,
Sumário
Óptica geométrica: É um ramo da óptica que é baseado principalmente na noção de
um feixe de luz . Esta abordagem simples permite a construção das imagens geométricas que
dão o seu nome.
Feixe de luz: é apenas um conjunto de raios luminosos.
Óptica Geométrica
Imagem: É a representação gráfica ou fotográfica de pessoa
ou de objeto; representação mental de um objeto, impressão,
etc.
Formação de imagens
Real: É obtida mediante o encontro dos próprios raios luminosos refletidos.
Virtual: Quando ela é formada pelo processo de prolongamento dos raios luminosos
refletidos.
Espelhos Planos
O pθ
a
θ
θ
Espelho
b θ I
i
ObIb 
Espelho é uma superfície que reflete
um raio luminoso em uma direção definida em 
vez de absorvê-la ou espalhá-lo em todas as 
direções.
OB É a distancia do espelho ao objeto.
IB É a distancia da imagem ao espelho.
Os triângulos aOba e aIba têm um 
lado comum e três ângulos iguais e são portanto, 
congruentes de modo que os lados horizontais 
têm o mesmo comprimento.
Eq. 01
O pθ
a
θ
θ
Espelho
b θ I
i
Espelhos Planos
Por convenção, as distancias dos
objetos (p) são sempre consideradas positivas e
as distancias das imagens (i) são consideradas
positivas para imagens reais e negativas para
imagens virtuais. A Eq 01 pode ser escrita na
forma |i| = p ou
pi  Eq. 02
Apenas uma pequena parte do
espelho nas vizinhaças do ponto a (uma
parte menor que a pupila do olho) contribui
para a imagem.
Fazemos o mesmo para os
raios que partem da extremidade
inferior do objeto (no caso uma seta).
Espelhos Planos
Periscópio
Se 3600 /α for par, a equação vale qualquer que seja a posição de p 
entre os espelhos.
Se 3600 /α for ímpa, a equação vale para o objeto posicionado no 
plano bissetor do ângulo α
1360 0  N Eq. 03
Associação de espelhos planos
Numa sala quadrangular, duas paredes formam um ângulo de 900 e estão espelhadas.Nesse canto da sala, estão sentados numa mesa três rapazes e uma moça. Uma pessoa,entrando nessa sala e olhando esse canto, verá, no total: a) quantas mulheres? b) quantoshomens?
a) Uma moça (objeto)
imagens 3
14
190
360
1360
0
0
0




N
N
N
N 
3 imagens + 1 objeto = 4 mulheres
b) 1a rapaz x 3 imagens = 3 imagens2ª rapaz x 3 imagens = 3 imagens3ª rapaz x 3 imagens = 3 imagensTotal de = 9 imagens
9 imagens + 3 objetos = 12 homens
Exemplo 1
Kareem Abdul-Jabbar tem 218 cm de altura. Que altura deve ter um espelho vertical,para que ele possa se ver, por inteiro, nele?
(h) ponta da cabeça(e) ponto dos olhos(f) ponta dos pés
efbcheab 2
1 e 2
1 
bcabH 
 efheH
efheH


2
1 2
1
2
1
 
cmH
cmH
109
2182
1


Exemplo 2
Espelho plano Espelho côncavo Espelho convexo
1. O centro de curvatura C faz parte da superfície do espelho e está na frente do espelho.
2. O campo de visão diminui com relação ao espelho plano.
3. Distância da imagem aumenta com relação ao espelho plano.
4. O tamanho da imagem aumenta com relação ao espelho plano.
Espelhos Esféricos
Espelho plano Espelho côncavo Espelho convexo
1. O centro de curvatura C está atrás do espelho.
2. O campo de visão aumenta com relação ao espelho plano.
3. Distância da imagem diminui com relação ao espelho plano.
4. O tamanho da imagem diminui com relação ao espelho plano.
Espelhos Esféricos
O ponto F recebe o nome de ponto focal (ou foco) do espelho: a distância entre F e o 
centro c do espelho é chamada de distância focal do espelho, é representada pela letra f.
Os Pontos Focais dos Espelhos Esféricos
Espelho convexoEspelho côncavo
Côncavo Ponto focal real. Distância focal positiva.
Convexo Ponto focal virtual. Distância focal negativa.rf 2
1
Para manter a coerência com os sinais da distância focal, o raio r é considerado positivo no caso de um espelho convexo.
Os Pontos Focais dos Espelhos Esféricos
A distância focal de um espelho esférico vale 20 cm. Qual é o seu raio de curvatura?
Como f = 20 cm
cmr
cmr
fr
rf
40
20.2
22




Exemplo 3
Sabemos que f = r/2 temos:
As imagens reais se formam do mesmo lado do espelho em que se encontra o objeto.
Enquanto as imagens virtuais se formam do lado oposto.
fip
111  Eq. 04
Imagens Produzidas por Espelhos Esféricos
Seja h a altura de um objeto e h` a altura da imagem correspondente. Neste caso a
razão h`/h é chamada de ampliação lateral de espelho é representada pela letra m
p
im  Eq. 05
Imagens Produzidas por Espelhos Esféricos
A imagem do ponto fica na interseção dos dois raios especiais escolhidos.
Como localizar imagens Produzidas por Espelhos Desenhando Raios
Um espelho convexo tem um raio de curvatura de 22 cm.a) Se um objeto for colocado a 14 cm do espelho, onde estará sua imagem?b) Qual é a ampliação lateral, neste caso?
a)
cmi cmicm
rip
rip
rf
fip
2,6 22
21
14
1
211 2
111 2
1
111
 





44,0 14
2,6
 


m cm
cmm
p
im
Exemplo 4
b)
Podemos determinar as propriedades da imagem formada por um espelho usando ummétodo gráfico simples. Esse método consiste em encontrar o ponto de interseção de algunsraios particulares que divergem de um ponto do objeto e que são refletidos pelo espelho.Desprezando as aberrações, verificamos que todos os raios provenientes desse ponto do objeto eque se refletem no espelho se interceptam no mesmo ponto. Sempre escolhemos um ponto doobjeto que não esteja situado sobre o eixo ótico. Os quatro raios geralmente desenhados commais facilidade são chamados de raios principais.
1. Um raio paralelo ao eixo, depois da reflexão, passa pelo foco F de um espelho côncavo ouparece vir do foco (virtual) de um espelho convexo.
2. Um raio que passa pelo foco (ou que provem do foco) e refletido paralelamente ao eixo ótico.
3. Um raio passando pelo centro de curvatura C (ou cujo prolongamento atinge o centro decurvatura) intercepta a superfície perpendicularmente e é refletido de volta em sua direçãoinicial.
4. Um raio que passa pelo vértice V e refletido formando ângulos iguais com o eixo ótico.
Método gráfico para espelhos:
Uma lente e um sistema ótico com duas superfícies refratoras. A lente mais simplespossui duas superfícies esféricas suficientemente próximas para desprezarmos a distância entreelas (a espessura da lente). Chamamos esse dispositivo de lente delgada.
Uma lente como a mostrada na figura seguinte apresenta a propriedade de que todofeixe paralelo ao eixo da lente que passa para o outro lado da lente converge para um ponto F2 eforma uma imagem real nesse ponto. Tal lente e chamada de lente convergente.
Lentes delgadas:
Analogamente, os ponto que emanam do ponto F1 emergem da lente formando umfeixe paralelo. O ponto F1 e chamado de primeiro foco, o ponto F2 e o segundo foco e adistância f (medida a partir do centro da lente) e chamada de distância focal. De modo análogoao espelho côncavo, a distância focal de uma lente convergente e definida como uma grandezapositiva, e esse tipo de lente é também conhecida como lente positiva. Os centros de curvaturadas duas superfícies esféricas definem o eixo ótico. As duas distâncias focais f, possuemsempre o mesmo valor para uma lente delgada, mesmo quando as curvaturas das superfíciessão diferentes.
Como no caso de um espalho côncavo, uma lente convergente pode formar umaimagem de um objeto extenso. Na figura seguinte, o raioQA, paralelo ao eixo ótico antes darefração, passa através do segundo foco F2. O raio QOQ' passa através do centro da lente semsofrer nenhum desvio porque as duas superfícies estão muito próximas e são praticamenteparalelas. Existe refração quando esse raio entra no material e quando sai dele, porem não existevariação apreciável da sua direção.
Os dois ângulos α são iguais, portanto, os dois triângulos retângulos PQO e P'Q'Osão semelhantes e as razoes entre os lados correspondentes são iguais. Logo,
Também os ângulos β são iguais e os dois triângulos retângulos OAF2 e P'Q'F2 sãosemelhantes. Assim,
Igualando as duas equações anteriores, dividindo por s' e reagrupando, obtemos arelação objeto imagem para uma lente delgada
Essa analise também fornece a ampliação transversal m = y'/y para a lente
O sinal negativo mostra que, quando s e s' são ambos positivos, a imagem e invertida ey e y‘ possuem sinais opostos.As mesmas regras de sinais usadas para espelhos esféricos também são validas paralentes delgadas. Em particular, considere uma lente com uma distancia focal positiva (lenteconvergente). Quando um objeto esta além do primeiro foco F1 dessa lente (ou seja s > f), adistancia da imagem s‘ e positiva; essa imagem e real e invertida. Um objeto colocado entre ovértice e o primeiro foco de uma lente convergente (s < f), produz uma imagem com valor de s'negativo; essa imagem e virtual, direita e maior do que o objeto.
A figura seguinte mostra uma lente divergente; um feixe de raios paralelos que incidesobre a lente diverge depois da refração. A distancia focal de uma lente divergente e umagrandeza negativa, e a lente também e chamada de lente negativa. Os focos de uma lentedivergente estão em posições invertidas em relação aos focos de uma lente convergente. Osegundo foco F2, de uma lente divergente e o ponto a partir do qual os raios que estavamoriginalmente paralelos ao eixo parecem divergir depois da refração. O raios incidentes queconvergem para o primeiro foco, emergem da lente formando um feixe paralelo a seu eixo.
As equações da relação objeto-imagem e da ampliação transversal podem seraplicadas para qualquer tipo de lente, tanto no caso de lentes positivos quanto no caso de lentesnegativas. Qualquer lente mais espessa no centro do que nas bordas e uma lente convergentecom valor de f positivo; e qualquer lente mais fina no centro do que nas bordas e uma lentedivergente com valor de f negativo (desde que essas lentes estejam imersas em um material comíndice de refração menor que o índice de refração do material da lente). Essa afirmação pode serprovada usando a equação do fabricante de lentes.
A equação do fabricante de lentes fornece uma relação entre a distancia focal f, oíndice de refração n do material da lente e os raios de curvatura R1 e R2 das superfícies da lente.Para deduzir essa equação, usamos o principio de que a imagem formada por uma superfícierefletora ou refratora pode servir de objeto para outra superfície refletora ou refratora.
Para cada superfície refratora, podemos utilizar a relação objeto-imagem e obtemos as duasseguintes relações:
Como em geral o primeiro e o terceiro material são o ar ou o vácuo, temos na = nc = 1.O segundo índice de refração nb e o da lente que designamos por n. Substituindo esses valores ea relação s2 = -s'1, obtemos
Podemos determinar a posição e o tamanho da imagem formada por uma lente delgadamediante um método gráfico semelhante ao usado para espelhos esféricos. A interseção dos raiosprincipais, depois de eles terem passado através da lente, determina aposição e o tamanho daimagem. Usamos a hipótese de que a distancia entre as superfícies da lente e desprezível. Os trêsraios principais são:
1. Um raio paralelo ao eixo emerge da lente passando pelo segundo foco F2 de uma lenteconvergente ou parece vir do segundo foco de uma lente divergente.
2. Um raio que passa pelo centro da lente não sofre nenhum desvio apreciável.
3. Um raio que passa pelo primeiro foco F1 (ou cujo prolongamento o atinge) emergeparalelamente ao eixo ótico.
Método gráfico para lentes:
Lista de Exercícios (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12)
1. Uma vela com 4,85 cm de altura está a uma distância de 39,2 cm do lado esquerdo de umespelho plano. Onde a imagem se forma e qual é sua altura?
2. A imagem de uma árvore cabe precisamente em um espelho plano com 4,0 cm de alturaquando o espelho é mantido a uma distância de 35,0 cm do olho. A árvore está a uma distânciade 28,0 m do espelho. Qual é a altura da árvore?
3. Um objeto com altura de 0,60 cm é colocado a uma distância de 16,5 cm do lado esquerdo deum espelho côncavo que possui raio de curvatura igual a 22,0 cm. (a) Faça um diagrama dosraios principais mostrando a formação da imagem. (b) Determine a posição, o tamanho e anatureza (real ou virtual) da imagem. (c) Repita supondo o caso de um espelho convexo.
4. O diâmetro de Marte é de 6794 km e sua distância mínima até a Terra é de 5,58,107 km.Quando Marte está a essa distância da Terra, qual o diâmetro da imagem de Marte formada porum telescópio com um espelho esférico côncavo cuja distância focal é igual a 1,75 m?
5. Uma moeda é colocada junto ao lado convexo de uma concha de vidro delgada e esféricacom um raio de curvatura de 18,0 cm. Uma imagem da moeda de 1,5 cm de altura é formada6,0 cm atrás da concha de vidro. Onde a moeda está localizada? Determine o tamanho,orientação e natureza (real ou virtual) da imagem.
6. Uma dentista usa um espelho curvo para ver os dentes da parte superior da boca. Suponha queela queira uma imagem direita com uma ampliação de 2,0 quando o espelho está a 1,25 cm deum dente. (Considere, neste problema, que o objeto e a imagem estão dispostos ao longo de umalinha reta). (a) Que tipo de espelho (côncavo ou convexo) é necessário? Use um diagrama deraios para decidir, sem fazer nenhum cálculo. (b) Qual deve ser a distância focal e o raio decurvatura desse espelho? (c) Faça um diagrama dos raios principais para verificar sua resposta naparte (b).
7. Um espelho de barbear côncavo possui raio de curvatura igual a 32,0 cm. (a) Qual é aampliação da face de uma pessoa que está a 12,0 cm à esquerda do vértice do espelho? b) Ondese forma a imagem? Ela é real ou virtual? (c) Faça um diagrama dos raios principais mostrando aformação da imagem.
8. Um grão de poeira está imerso em uma camada de gelo a uma distância de 3,50 cm abaixo dasuperfície do gelo (n = 1,309). Qual é a profundidade aparente do grão quando observadonormalmente de cima para baixo?
9. Um pequeno peixe tropical está no centro de um aquário esférico com diâmetro de 28,0 cm echeio de água. Determine a posição aparente e a ampliação do peixe em relação a um observadorna parte externa do aquário. Despreze os efeitos da parede fina do aquário esférico.
10. A extremidade esquerda de um longo bastão de vidro com diâmetro de 6,0 cm é umasuperfície hemisférica convexa com raio de 3,0 cm. O índice de refração do vidro é igual a 1,60.Determine a posição da imagem quando um objeto é colocado no ar ao longo do eixo do bastãopara as seguintes distâncias à esquerda do vértice da extremidade curva: (a) distância infinita; (b)12,0 cm; (c) 2,0 cm.
11. O bastão mencionado no exercício anterior é imerso em óleo (n = 1,45). Um objeto colocadoà esquerda do bastão sobre o eixo do bastão forma uma imagem a 1,20 m no interior do bastão.A que distância da extremidade esquerda do bastão o objeto deve ser colocado para formar aimagem?
12. A extremidade esquerda de um longo bastão de vidro com diâmetro de 8,0 cm e índice derefração igual a 1,60 é uma superfície hemisférica côncava com raio igual a 4,0 cm. Um objetoem forma de seta com uma altura de 1,50 mm é colocado ortogonalmente ao eixo do bastão auma distância de 24,0 cm à esquerda do vértice da superfície côncava. Determine a posição e aaltura da imagem da seta formada pelos raios paraxiais que incidem sobre a superfície côncava.A imagem é direita ou invertida?
AnáliseObserve a figurados dois espelhos perpendiculares entre si.Quando o observador levanta a mão direita, a Imagem 1, devidaà reflexão no Espelho 1, levanta a mão esquerda. O mesmoocorre com a Imagem 2. Ambas são imagens de reflexõessimples. Já a Imagem 3, formada pela dupla reflexão nosespelhos 1 e 2, é mais interessante. Quando o observador levantaa mão direita, a Imagem 3 também levanta a mão direita! Essaimagem, portanto, corresponde à forma como outra pessoa vê oobservador. Se esse observador for você, essa imagemcorresponde ao modo como você é visto por outras pessoas.A imagem formada por uma reflexão é "enantiomorfa" ao objetorefletido. Para saber mais sobre esse assunto, veja nossa seçãosobre SIMETRIA (faça uma busca em nossa páginas). A imagemformada por duas reflexões é enantiomorfa da primeira, logo,volta a reproduzir fielmente o objeto.O número de imagens nos 3 espelhos que formam um triânguloequilátero é muito grande. É bem divertido a gente se ver demuitas posições, ao mesmo tempo.É bom arranjar uma forma de mover o caleidoscópio com algumafacilidade para que ele aponte em direções variadas. Porexemplo, ele pode ser posto sobre uma mesa giratória.