(Gabarito) Exercícios - Semana 2

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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática
Cálculo 3 -D
Exercícios – Semana 2
Funções reais de várias variáveis, limite e continuidade
Questão 1. Considere a função
f(x, y) = ln(2x2 − 5xy − y2).
a) Determine e esboce Df .
b) Determine ∂Df . Verifique se Df é um conjunto aberto ou fechado.
c) Determine Imf e esboce as curvas de nível de f .
Questão 2. Esboce o gráfico das funções abaixo
a) h(x, y) = 1− y2
b) f(x, y) =
y
x2 + 1
Questão 3. Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
a) lim
(x,y)→(0,0)
x3y4
(x2 + y2)2
b) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
(x4 + y4)2
c) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x− y3
d) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
z2 cos
(
1
xy
)
e) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
cos
(
1
xyz
)
Questão 4. Seja f(x, y) = x2 + y. Calcule
lim
(x,y)→(0,0)
f(x+ h, y + k)− f(x, y)− 2xh− k
‖(h, k)‖
.
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Questão 5.
a) Suponha que
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = a e lim
u→a
g(u) = L,
com g não definida em a e Imf ⊂ Dg. Prove que
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(f(x, y)) = lim
u→a
g(u).
b) Calcule lim
(x,y)→(0,0)
sin (x2 + y2)
x2 + y2
Questão 6. Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções abaixo.
Justifique sua resposta.
a) f(x, y) = ln
x− y
x2 + y2
b) f(x, y, z) =
1
|xy|+ |z|
c) f(x, y) =

x− 3y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
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Gabarito
Questão 1. (Solução)
a) Df é conjunto dos pontos (x, y) ∈ R2 tais que
2x2 − 5xy − y2 > 0.
Vamos estudar o sinal de 2x2 − 5xy − y2.
Resolvendo a seguinte equação do segundo em y
−y2 − 5xy + 2x2 = 0,
obtemos
y1 =
−5x−
√
33|x|
2
e y2 =
−5x+
√
33|x|
2
.
Como há a presença de |x|, vamos considerar dois casos:
Se x > 0:
y1 =
−5x−
√
33x
2
e y2 =
−5x+
√
33x
2
,
Observe que: y2 > y1; y2 possui inclinação positiva; y1 possui inclinação negativa.
Logo:
+++++ --------
y y
1 2
y
1
y
2
Se x < 0:
y1 =
−5x+
√
33x
2
e y2 =
−5x−
√
33x
2
,
Observe que: y2 > y1; y2 possui inclinação negativa; y1 possui inclinação positiva.
Logo:
+++++ --------
y y
1 2
y
1
y
2
Cálculo 3 - D Exercícios 1.◦/2018 – 3/5
Conclusão:
Figura 1: Df = {(x, y) ∈ R2; y1(x) < y < y2(x)}
b) ∂Df = {(x, y) ∈ R2; y = y1(x) ou y = y2(x)}. Df é aberto, pois não contém nenhum
ponto da fronteira.
c) Imf é o conjunto dos valores c ∈ R tais que a equação
f(x, y) = c⇐⇒ ln(2x2 − 5xy − y2) = c,
admite solução (x, y) ∈ Df . Reescrevendo essa equação, temos:
ln(2x2 − 5xy − y2) = c
eln(2x
2−5xy−y2) = ec
2x2 − 5xy − y2 = ec
Assim, para cada c ∈ R, basta escolher, por exemplo, (x, 0) ∈ Df da forma
2x2 = ec ⇐⇒ x =
√
ec/2.
Portanto Imf = R.
Para cada c ∈ Imf , a curva de nível c de f é formado pelas soluções (x, y) ∈ Df de:
f(x, y) = c⇐⇒ ln(2x2 − 5xy − y2) = c.
Reescrevendo essa equação, temos novamente:
2x2 − 5xy − y2 − ec = 0
Note que esta é a equação geral de uma hipérbole (pois (−5)2− 4 · 2 · (−1) > 0). Suas
assintotas são as retas y1 e y2.
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Questão 3.
a) lim
(x,y)→(0,0)
x3y4
(x2 + y2)2
= 0
b) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
(x4 + y4)2
não existe.
c) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x− y3
não existe
d) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
z2 cos
(
1
xy
)
= 0
e) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
cos
(
1
xyz
)
não existe.
Questão 4.
lim
(x,y)→(0,0)
f(x+ h, y + k)− f(x, y)− 2xh− k
‖(h, k)‖
= 0.
Questão 5.
b) lim
(x,y)→(0,0)
sin (x2 + y2)
x2 + y2
= 1
Questão 6.
a) O conjunto dos pontos de continuidade coincide com o domínio da função. Df =
{(x, y) ∈ R; x > y}.
b) O conjunto dos pontos de continuidade coincide com o domínio da função. Df =
{(x, y, z) ∈ R3; z 6= 0 e xy 6= 0}
c) Contínua em R2 \ {(0, 0)}.
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