Exercicios apoio 1-gabarito

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25/08/2020 Exercícios de apoio 1 - Semana 4: CONFIABILIDADE - EPQ501
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Questão 1
A população de um país é dividida em classes alta (A), média (M) e baixa (B). Um estudo estatístico
mostra que, atualmente, 10% da população pertence à classe A, 60% à classe M e 30% à classe B.
Considera-se um modelo simplificado para as mudanças de classes, na forma de uma cadeia de
Markov, em que as mudanças de uma geração para a próxima acontecem de acordo com a seguinte
matriz de transição estocástica:
 
Pergunta-se:
EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota
Se o modelo descrito valer por tempo indeterminado, quais serão as proporções das classes
A, M e B
Resposta:
Neste caso, é necessário calcular as probabilidades limites dos estados. Sabe-se que,
no limite, ao se considerar mais uma transição na matriz de transição estocástica, ela
não se altera. Portanto:
Multiplicando as Matrizes:
Reagrupando os termos:
O sistema anterior é linearmente dependente, portanto, deve-se substituir uma das
equações (por ex. a primeira) por:
Tem-se:
a.
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Resposta:
Para calcular as porcentagens das classes A, M e B depois de duas gerações, deve-se multiplicar o
vetor de estados iniciais, P(0), pela matriz de transição estocástica ao quadrado (duas gerações). Neste
caso, o vetor de estados iniciais é a porcentagem atual da população que pertence às classes A, M e B.
Assim:
Portanto, depois de duas gerações, as proporções das classes são:
 
Questão 2
A cada dia de operação de uma máquina existe 10% de probabilidade de ocorrer uma ou mais falhas.
Quando falhas ocorrem, no início do dia seguinte é feita uma manutenção que custa R$100,00 (cem
reais). Verificou-se que, ao longo do dia em que foi realizada a manutenção, a máquina não falha.
Questão: Estimar o custo médio mensal de manutenção da máquina.
Resposta:
a.png
Depois, constrói-se a matriz de transição estocástica (P).
Para se estimar o custo médio mensal da máquina, deve-se calcular quanto tempo em média a máquina
vai operar antes de ocorrer uma falha. Para isso, deve-se considerar o estado M (Manutenção) como
absorvente. Assim:
b.png
Resolvendo o sistema: 
 
Portanto, depois de um tempo indeterminado, as proporções das classes são: 
Depois de duas gerações, quais serão as porcentagens das classes A, M e B?b.
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E a matriz [I-Q] é:
 
Agora, deve-se inverter a matriz [I-Q]. Como essa matriz é 1x1, basta inverter o número. Assim:
 Com esse resultado, pode-se concluir que esta máquina vai operar (funcionar), em média, 10 dias antes
de ocorrer uma ou mais falhas. Portanto, em 1 mês (30 dias), estima-se que esta máquina vai falhar 3
vezes. Como o custo de cada manutenção é de R$100,00, o custo médio mensal de manutenção da
máquina é de R$300,00 (3 x R$100,00).
 
 
Questão 3
Em um processo industrial, existem duas máquinas que trabalham em série, denominadas Máquina 1
(M1) e Máquina 2 (M2). A M1 possui uma taxa de falha de 200 falhas/ano e uma taxa de reparo de 350,4
reparos/ano, já a M2 possui uma taxa de falha de 50 falhas/ano e uma taxa de reparo de 876
reparos/ano. Um novo engenheiro de produção foi contratado pela fábrica, e depois de analisar o
processo sugeriu colocar uma outra máquina (M3) em paralelo com a M1, que possui uma alta taxa de
falha. As máquinas M1 e M3 são totalmente redundantes, ou seja, se uma falhar a outra pode fazer todo
o trabalho sem comprometer o processo. Considerando que todas as máquinas operam de forma
independente e que a M3 possui uma taxa de falha de 80 falhas/ano e uma taxa de reparo de 1.752
reparos por ano, para cada um dos processos, antigo e novo, pede-se:
 
Resposta:
Os processos, antigo e novo, podem ser representados através de sistemas série-paralelo, como na
figura abaixo:
e.png
1. Processo Antigo 
Neste caso, o sistema (processo antigo) possui dois componentes (duas máquinas), com isso o espaço
de estados possui 4 estados. Como as duas máquinas estão em série, para que o processo funcione é
necessário que, obrigatoriamente, as duas máquinas (M1 e M2) estejam funcionando. Assim, o espaço
de estados e a fronteira estão representados na figura abaixo:
f.png
Sendo que:
Probabilidades da Máquina 1 (M1):
Funcionar: 
O diagrama de espaço de estados e a identificação da fronteira.a.
A probabilidade limite apenas dos estados de sucesso do sistema.b.
A probabilidade de o sistema funcionar.c.
Usando o princípio dos estados absorventes, a obtenção do MTTF.d.
Estado 1: M1 funcionando e M2 funcionando;•
Estado 2: M1 falhado e M2 funcionando;•
Estado 3: M1 funcionando e M2 falhado;•
Estado 4: M1 falhado e M2 falhado.•
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Falhar: 
 
Probabilidades da Máquina 2 (M2):
Funcionar: 
Falhar: 
 
A Probabilidade (Limite) do Estado 1 (P ):
Como somente o Estado 1 é de sucesso, pois o sistema é série e necessariamente as duas máquinas
devem funcionar para o processo funcionar, a probabilidade de o processo antigo funcionar (A ) é igual
a probabilidade do Estado 1 (P ). Assim:
A probabilidade de o processo antigo falhar (U ) é:
Para o cálculo do MTTF – Tempo Médio Para a Falha, é necessário construir a Matriz de Transição
Estocástica (P) e considerar todos os estados de falha como absorvente. Depois, deve-se construir as
Matrizes [Q] e M=[I-Q].
g.png
Logo:
A matriz [I-Q ]:
Assim:
 
Como a taxa de falha foi fornecida em falhas/ano, o resultado é:
Ou:
Portanto, este processo irá sofrer uma falha, em média, a cada 35,04 horas.
 
2. Processo novo
Neste caso, foi instalada uma máquina (M3) em paralelo a M1, sendo essas duas máquinas totalmente
redundantes. Com essa nova configuração, o sistema (processo novo) possui três componentes (três
máquinas), e o espaço de estados possui 2 = 8 estados. Para que o processo novo funcione, é
1
A
1
A
A
3
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necessário que M2 esteja obrigatoriamente funcionando e que a M1 ou a M3 estejam funcionando. O
espaço de estados e a fronteira para o Processo Novo estão representados na figura abaixo:
h.png
Sendo que:
 As probabilidades de as Máquinas 1 e 2 funcionar e falhar já foram calculadas anteriormente. Para o
processo novo, foi incluída a Máquina 3 (M3). Assim:
Probabilidade de Funcionar da Máquinha 3: 
Probabilidade de Falhar da Máquinha 3: 
Probabilidades da Máquina 3 (M3):
Funcionar: 
Observa-se que apenas os Estados 1, 2 e 4 são de sucesso, portanto, a probabilidade limite dos estados
de sucesso são:
A Probabilidade (Limite) do Estado 1 (P ):
 
A Probabilidade (Limite) do Estado 2 (P ):
 
A Probabilidade (Limite) do Estado 4 (P ):
 
A probabilidade de o processo novo funcionar (A ) é igual a soma das probabilidades dos Estados 1, 2 e
4. Assim:
A probabilidade de o processo novo falhar (U ) é:
 
Para o cálculo do MTTF – Tempo Médio Para a Falha, é necessário construir a Matriz de Transição
Estocástica (P) e considerar todos os estados de falha como absorvente. Depois, deve-se construir as
Matrizes [Q] e M=[I-Q].
Estado 1: M1 funcionando e M2 funcionando e M3 funcionando;•
Estado 2: M1 falhado e M2 funcionando e M3 funcionando;•
Estado 3: M1 funcionando e M2 falhado e M3 funcionando;•
Estado 4: M1 funcionando e M2 funcionando e M3 falhado;•
Estado 5: M1 falhado e M2 falhado e M3 funcionando;•
Estado 6: M1 funcionando e M2 falhado e M3 falhado;•Estado 7: M1 falhado e M2 funcionando e M3 falhado;•
Estado 8: M1 falhado e M2 falhado e M3 falhado.•
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4
N
N
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i.png
Logo:
 
A matriz [I-Q ]:
 
Assim:
 
Para a inversão de uma matriz 3x3, deve-se consultar os vários métodos existentes ou utilizar um
software capaz de realizar essa operação.
Considera-se que o processo se inicia com as 3 máquinas funcionando, ou seja, o processo se inicia no
Estado 1. Partindo do Estado 1, o MTTF será:
Ou:
Portanto, este processo irá sofrer uma falha, em média, a cada 112,13 horas. Percebe-se que houve um
ganho considerável na produção com a implementação da M3 em paralelo à M1 e, assim, o engenheiro
de produção que sugeriu essa solução merece um aumento.
N
ESCONDER
GABARITO