Lista de Exercícios C4-3

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Lista de Exercícios - Cálculo IV 
Nome :______________________________________________________ 
1) Calcular as integrais de ∬ 𝐺 𝑑𝑆 
a) onde G= cos(𝑦) + sen (𝑦) e S é a superfície plana 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 com 
𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 . 
b) onde 𝐺 = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 e S é o cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 16 com 𝑦 ≥ 0 𝑒 0 ≤
𝑧 ≤ 4 . 
2) Calcule a área da superfície do cone 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 com 0 ≤ 𝑧 ≤ 8. 
3) Calcule as seguintes integrais de fluxo ∫ 𝐹. 𝒏 𝑑𝐴𝑆 onde F é o campo e n é o vetor 
normal unitário da superfície apontando para fora. 
 a) 𝐹 = 2𝑥 𝑖 + 5𝑦 𝑗 + 0 𝑘 = (2𝑥, 5𝑦, 0) sendo 𝑆: 𝒓 = (𝑢, 𝑣, 4𝑢 + 3𝑣) com 
0 ≤ 𝑢 ≤ 1 , − 8 ≤ 𝑣 ≤ 8. 
 b) 𝐹 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) sendo S: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 , 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0. 
 c) 𝐹 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) sendo S: 𝒓 = (𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣), 𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣), 𝑢) , com 0 ≤ 𝑢 ≤ 4 , −𝜋 ≤ 𝑣 ≤
𝜋. 
 4) Verifique o Teorema de Green no plano para a integral de 𝐹 = (𝑥, 2𝑦) no contorno 
fechado dado pelo semi-circulo de raio 2, com centro na origem e base sobre o eixo X. 
 5) Usando o Teorema de Green calcule o valor de ∫ 𝐹(𝑟). 𝑑𝑟𝐶 onde C é o contorno 
fechado seguindo o sentido anti-horário. 
 a) 𝐹 = (−𝑦3, 𝑥3) e C é a circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 25. 
 b) 𝐹 = (𝑥 cosh(𝑦) , 𝑥2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑦)) e C é o contorno da região 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 
 c) 𝐹 = (−𝑒𝑦 , 𝑒𝑥 ) e C é o contorno do triangulo de vértices (0,0), (2,0)𝑒 (2,1). 
6) Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície do hiperboloide 
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 9 no ponto 𝑃(2,3,2). Determine ainda as coordenadas do vetor normal 
a esta superfície apontando para “fora” da superfície.