Variaveis Complexas_1_2019_03

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Capítulo 3 - Função Analítica e Derivada 
UFPA /ITEC/FEEB – Funções de Uma Variável Complexa – Rsana Sares 19 
 
(A) DERIVADA DE FUNÇÕES COMPLEXAS 
DEFINIÇÃO: 
Uma função , cujo domínio contém a vizinhança de , é dita ser diferenciável em 
 se o limite abaixo existir. 
 
 
 
 
 
E quando o limite existe, ele é chamado de derivada de no ponto . 
Definindo , a derivada pode ser re escrita, conforme equação abaixo: 
 
 
 
 
 
É importante observar que pode tender a zero por qualquer caminho, logo a existência 
da derivada implica que o valor deste limite é o mesmo, independente do caminho tomado. 
 A derivada de em um ponto qualquer pode ser escrita, conforme equação abaixo: 
 
 
 
 
 
Definindo , que representa a variação de quando a variável 
sofrer uma variação . Logo, a seguinte notação pode ser utilizada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
A similaridade entre o conceito de derivada para funções reais e complexas permite que todas as 
regras familiares de derivação de funções reais, tais como: derivada de uma constante, derivada da 
soma (diferença), regra da potência, regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia e etc, 
sejam válidas para a derivação das funções complexas. Por outro lado algumas funções complexas 
relativamente simples não são deriváveis. 
(B) FUNÇÃO ANALÍTCA 
A função complexa é dita ser analítica no ponto se é diferenciável no ponto 
 e em todos os pontos da vizinhança de , e neste caso o ponto é dito ponto 
regular. 
Se a derivada de existe em todos os pontos de um domínio D, então é dita ser analítica 
em D e é denominada de Função Analítica em D. 
 
CAPÍTULO 3 – FUNÇÃO ANALÍTICA E DERIVADA 
 
Capítulo 3 - Função Analítica e Derivada 
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DEFINIÇÕES 
 Uma função analítica também é denominada regular ou holomórfica. 
 Se a função é analítica sobre todo o plano z complexo, ela é denominada inteira. 
 Uma função é denominada singular em se ela não é diferenciável neste ponto. 
O ponto é denominado ponto singular ou singularidade de . 
TEOREMAS: 
1. Se é diferenciável no ponto , então é contínua em . 
2. A função polinomial é uma função inteira (analítica em todo o plano Z); 
3. Uma função racional dada por , sendo que e são polinomiais, 
é analítica no domínio D que não contém para o qual . 
(C) CONDIÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN 
Considerando que w é um número complexo, escrito como onde u e v são suas partes 
reais e imaginárias, respectivamente. E que , sendo que , onde u e v são 
funções reais de x e y, ou seja 
Para testar se uma função f(z) é analítica, Cauchy e Riemann criaram um teste simples, mas 
extremamente importante. 
Para deduzir as condições de Cauchy-Riemann, retorna-se à definição de derivada, conforme 
equação abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que a derivada da função em existirá se o limite existir, e que o limite 
existe se o seu valor for o mesmo independente da direção que se aproxima de . 
Considerando a derivada em um ponto qualquer, 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existe um número infinito de maneiras para ou de 
 sobre o plano complexo. Considerando duas 
possibilidades: A primeira ao longo do eixo x e a segunda ao 
longo d do eixo y, conforme mostra figura ao lado: 
 
 
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Supondo o primeiro caminho, então x varia e y se mantém constante. Logo e . 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo o segundo caminho, então y varia e x se mantém constante. Logo e . 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a condição necessária para que seja analítica é que os dois resultados sejam iguais. 
Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De onde resultam as condições de Cauchy-Riemann: 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
Com isso, tem-se o seguinte teorema: (Condição necessária). Se a derivada de um função 
 existe em um ponto , então as derivadas parciais de 
primeira ordem de e em relação a x e y devem existir neste ponto e satisfazer as 
relações de Cauchy-Riemann. Além disso, pode ser determinada pelas expressões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essas condições de Cauchy-Riemann fornecem uma condição necessária para que a função seja 
diferenciável em algum ponto Contudo, não há garantia até este momento de que estas 
condições sejam suficientes para garantir a existência desta derivada. Um teorema mais geral, 
apresentado a seguir, estabelece as condições necessária e suficiente para a existência da derivada 
de . 
Teorema (Condição necessária e suficiente). Dada a função , se 
 e são contínuas com derivadas parciais de primeira ordem contínuas e que 
satisfazem as condições de Cauchy-Riemann em todos os pontos em uma região D, então f(z) é 
analítica em D. 
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OBS: As condições de Cauchy-Riemann também podem ser descritas em termos das variáveis e , 
dado que: 
 = = 
 
Assim, assim as condições de Cauchy-Riemann em termos das variáveis a e , são dadas por: 
 
 
Sendo que pode ser determinada pelas expressões 
 
 
 
 
 
 
 
(D) FUNÇÕES HARMÔNICAS 
Uma função real de duas variáveis independentes x e y é dita ser Harmônica em um dado 
domínio do plano xy se neste domínio ela tem suas derivadas parciais de primeira e segunda ordens 
contínuas neste domínio e ainda satisfazem a equação de Laplace abaixo: 
 
 
 
 
 
 
ou 
Laplaciano de H 
Teorema: Se é analítica em um domínio D do plano Z, então suas 
componentes e são harmônicas em D. 
A afirmação acima é explicada pelo fato de que sendo uma função 
analítica em D, então e são contínuas com derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas e que satisfazem as condições de Cauchy-Riemann em todos os pontos em uma região D. 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
E, portanto, desde que as segundas derivadas de e existam, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 
De outro modo, demonstra-se também que 
 
 
 
 
 
 
Considerando que e , são a parte real e imaginária de uma função complexa 
que é analítica em D, então e , são ditas harmônicas conjugadas em D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e