CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO

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AULA 02: 
CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
UNIVERSIDADE DE RIO VERDE
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
Profª. Ma. Bárbara Gomes Martins
Disciplina: ECV022 Concreto Armado II
ECV128 Concreto Armado II
CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
PROFª. MA. BÁRBARA GOMES MARTINS
❖ INTRODUÇÃO
Cálculo de Armadura necessária pra resistir ao momento fletor;
Dimensionamento é feito pelo E.L.U.;
Duas formas de ruptura:
Compressão do concreto;
Deformação excessiva da armadura tracionada;
Os momentos fletores são majorados;
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❖ TIPOS DE FLEXÃO
Flexão normal (simples ou composta): ocorrem em seções simétricas;
Flexão oblíqua (simples ou composta): ocorrem em seções não simétricas;
Flexão simples: Quando não existe esforço normal (N=0);
Flexão composta: ocorre quando há esforço normal de compressão ou tração (com ou
sem cortante);
Flexão pura: Não ocorre esforço cortante;
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❖ CRITÉRIO
Flexão normal simples e pura; ou seja, cortante e normal iguais a zero.
Os esforços que provocam tensões normais são: momento fletor (M) e a força normal (N)
A
A
C D
P P
compressão
tração
Flexão pura:
B
DEC
DMF
Admite-se que as seções permanecem
planas no estado de deformação.
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❖ ESTÁDIOS DE DEFORMAÇÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL
Aplicando um momento M crescente, as seções de concreto submetida a momento
fletor passa por três estádios:
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SITUAÇÕES 
DE SERVIÇO
ESTADO LIMITE 
ÚLTIMO
(ações majoradas e
resistências minoradas)
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ESTÁDIO II (estado de fissuração) – abaixo da L.N.
haverá valores superiores ao da resistência à tração do
concreto
- Apenas o aço resiste as forças de tração;
- Admite-se que a tensão de compressão
permanece linear;
- As fissuras de tração na flexão no concreto são
visíveis.
ESTÁDIO I (estado elástico) – o concreto não
ultrapassa sua resistência característica à tração (ftk)
- Diagrama de tensão normal ao longo da seção é
linear;
- As tensões nas fibras mais comprimidas são
proporcionais às deformações (trecho linear do
diagrama tensão-deformação);
- Não há fissuras visíveis.
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ESTÁDIO III: o momento fletor é aumentado até a ruína da peça
(para concretos até C50)
- Fibra comprimida do concreto começa a plastificar a partir
da deformação específica de 0,2%, chegando a atingir 0,35%
(sem acréscimo de tensão);
- Todas as fibras alcançam a tensão máxima e deformação
superiores a 0,2%;
- Peça fissurada, fissura próximas à L.N.
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Cálculo de dimensionamento é feito no E.L.U (estádio III)!!!
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𝜆
p/ até C50
❖ HIPÓTESES DE CÁLCULO
Seções permanecem planas no ELU, ou seja, proporção entre deformação e distâncias
até a linha neutra (hipótese de Bernoulli);
Perfeita aderência entre concreto e aço;
Tensões de tração no concreto são desprezíveis no ELU;
Para concreto até C50, diagrama tensão-deformação parábola-retângulo;
❖ HIPÓTESES DE CÁLCULO
Propriedades mecânicas do aço:
Admite-se 1% no alongamento último das armaduras tracionadas;
O E.L.U. é caracterizado segundo os domínios de deformação;
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❖ DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO IDEALIZADO
Para análises no E.L.U. pode ser empregado o diagrama de tensão-deformação
idealizado para concretos de qualquer classe
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(ABNT NBR 6118:2014, p.26)
εc2 – deformação específica de 
encurtamento do concreto no início do 
patamar plástico 
εcu – deformação específica de 
encurtamento do concreto na ruptura
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(ABNT NBR 6118:2014, p.122)
❖ DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL
Reta a:
Tração
uniforme
Reta b: 
Compressão 
uniforme
Tração Compressão
A ruína da seção transversal, para qualquer tipo de flexão no E.L.U. é caracterizado 
pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço;
Os domínios representam diversas possibilidades de ruína da seção.
Classes até 
C50
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DOMÍNIO 1:
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Tração não uniforme, sem compressão;
A L.N. é externa à seção transversal
εs = 1% εs = 1%
εc = 1% εc = 0
x = -∞ x1 = 0
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DOMÍNIO 2:
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Flexão simples ou composta, sem ruptura à compressão 
do concreto
x
d-x
x
0,35%
=
d − x
1%
x = 0,259. d
εs = 1% εs = 1%
εc = 0 εc = 0,35%
x1 = 0 x2 = 0,259.d
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DOMÍNIO 3:
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Flexão simples ou composta, com ruptura à 
compressão do concreto e com escoamento do 
aço εs = 1% εs = εyd (0,207% p/ CA50)
εc = 0,35% εc = 0,35%
x2 = 0,259.d x3 = 0,628.d
x
d-x
x
0,35%
=
d − x
0,207%
x = 0,628. d
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DOMÍNIO 4:
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Flexão simples ou composta, com ruptura à 
compressão do concreto e sem escoamento do 
aço εs = εyd εs = 0
εc = 0,35% εc = 0,35%
x3 = 0,628.d x4 = d
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DOMÍNIO 4a:
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Flexão composta, com compressão do aço;
A L.N. está no cobrimento.
εs = 0 εs < 0 (compressão)
εc = 0,35% εc = 0,35%
x4 = d x4a = h
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DOMÍNIO 5:
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Compressão não uniforme, sem tração
εs < 0 εs < 0,2%
εc = 0,35% εc = 0,2%
x4a = h x5 = +∞
❖ CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB FLEXÃO
NORMAL
As vigas devem ser projetadas à flexão simples nos domínios 2 ou 3, e não podem ser
projetadas no domínio 4.
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εs = 1% εs = εyd (0,207% p/ CA50)
εc = 0,35% εc = 0,35%
x2 = 0,259.d x3 = 0,628.d
εs = 1% εs = 1%
εc = 0 εc = 0,35%
x1 = 0 x2 = 0,259.d
DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 3
Para proporcionar o comportamento dúctil em vigas e lajes, a posição da L.N. no ELU 
deve: x/d ≤ 0,45 (até C50)
Só é possível utilizar o domínio 3 até esse limite
Sem considerar
a ductilidade
→ εlim
❖ EQUACIONAMENTO (CONCRETO ATÉ C50)
Cálculo da quantidade de armadura longitudinal, para vigas com seção transversal
retangular:
fck: resistência característica do concreto
bw: largura da seção
d: altura útil
fyd: resistência característica do aço
εyd: deformação específica de escoamento do aço
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Considerando a
εlim x/d = 0,45
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❖ EQUACIONAMENTO (CONCRETO ATÉ C50)
Equilíbrio da seção:
Equilíbrio das forças normais à seção transversal
Equilíbrio dos momentos
Posição da linha neutra (x)
Cálculo da área necessária de armadura (As)
Verificação do domínio em que a peça atingirá o estado limite último
𝚺𝐅 = 𝟎 ⟶ 𝐅𝐬 − 𝐅𝐜 = 𝟎⟶
𝚺𝐌 = 𝐌𝐝 ⟶
𝐌𝐝 = 𝐅𝐬. 𝐳
𝐅𝐜 = 𝟎, 𝟖𝟓. 𝐟𝐜𝐝 . 𝐛𝐰 . (𝟎, 𝟖. 𝐱)
𝐳 = 𝐝 − 𝟎, 𝟒. 𝐱
𝐌𝐝 = 𝟎, 𝟖𝟓. 𝐟𝐜𝐝 . 𝐛𝐰 . (𝟎, 𝟖. 𝐱). (𝐝 − 𝟎, 𝟒. 𝐱)
𝐌𝐝 = 𝐅𝐜. 𝐳𝐅𝐬 = 𝐅𝐜
𝐌𝐝 = 𝟎, 𝟔𝟖. 𝐱. 𝐝 − 𝟎, 𝟐𝟕𝟐. 𝐱
2 . 𝐛𝐰. 𝐟𝐜𝐝
a. x2 + b. x + c = 0
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
Equação de 2º grau:
𝐱 =
𝟎, 𝟔𝟖. 𝐝 ± (𝟎, 𝟔𝟖𝐝)𝟐−𝟒𝟎, 𝟐𝟕𝟐
𝐌𝐝
𝐛𝐰. 𝐟𝐜𝐝
𝟎, 𝟓𝟒𝟒
𝐀𝐬 =
𝐌𝐝
𝐳. 𝐟𝐬
𝐅𝐬 = 𝐀𝐬. 𝐟𝒔
𝐌𝐝 = 𝐅𝐬. 𝐳
P/ domínios 2 ou 3:
𝐀𝐬 =
𝐌𝐝
𝐳. 𝐟𝐲𝐝
εs ≥ εyd fs ≥ fyd
Os domínios possíveis são: 2 ou 3.
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EXEMPLO 1: Determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (As) para
uma peça retangular bw = 12 cm e d = 29 cm, sob a ação de um momento M = 12,2
kN.m. Dados: fck = 20 MPa e CA50.
Md = 1,4.M = 1,4.12,2 = 17,08 kN.m
Md = 0,68. x. d − 0,272. x
2 . bw. fcd
17,08 = 0,68. x. 0,29 − 0,272. x2 . 0,12.
20. 103
1,4
x =
0,68.0,29 ± (0,68.0,29)2−4.0,272.
17,08.1,4
0,12.20. 103
2.0,272
17,08.1,4
0,12.20. 103
= 0,68. x. 0,29 − 0,272. x2
0,272. x2 − 0,68.0,29. x +
17,08.1,4
0,12.20. 103
= 0
x = 0,6704 m x = 0,0546 m
L.N. passa fora da seção transversal, o que não atende o caso de flexão simples
a) Determinando o valor de x:
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EXEMPLO 1: Determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (As) para
uma peça retangular bw = 12 cm e d = 29 cm, sob a ação de um momento M = 12,2
kN.m. Dados: fck = 20 MPa e CA50.
= 0,0546 ma) Determinando o valor de x:
b) Verificando o domínio:
Para o aço CA50 e concreto C20 (<C50):
Domínio 2: 0 ≤ x ≤ 0,259. d
0,259.0,29 = 0,07511
0 ≤ 0,0546 ≤ 0,07511
O problema ocorre no domínio 2
c) Cálculo do valor do braço de alavanca (z):
z = d − 0,4. x = 0,29 − 0,4.0,0546 = 0,2684 m
d) Cálculo de As:
As =
Md
z. fyd
=
17,08
0,2684.43,478 = 𝟏, 𝟒𝟔 𝐜𝐦²
Neste domínio, o aço já escoou, pois:
εs ≥ εyd , ou 1% > 0,207%
𝐟𝐬 = 𝐟𝐲𝐝 =
𝟓𝟎
𝟏, 𝟏𝟓
= 𝟒𝟑, 𝟒𝟕𝟖 𝐤𝐍/𝐜𝐦²
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EXEMPLO 2: Determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (As) para
uma peça retangular bw = 20 cm e d = 47 cm, sob a ação de um momento M = 10.000
kN.cm. Dados: fck = 20 MPa e CA50.