Apostila Nivelamento em Matematica

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Nivelamento de Matemática
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Organização
Cristiane Bonatti
Reitor da UNIASSELVI
Dieter Sergeli Sardeli de Paiva
Pró-Reitor de Ensino de Graduação a Distância
Mário Jungbeck
Pró-Reitor Operacional de Ensino de Graduação a Distância
Hermínio Kloch
Diagramação e Capa
Davi Schaefer Pasold
Revisão:
Diógenes Schweigert
José Rodrigues
Marina Luciani Garcia
Todos os direitos reservados à Editora Grupo UNIASSELVI - Uma empresa do Grupo UNIASSELVI
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Neste Curso de Nivelamento em Matemática você 
perceberá como a matemática está presente em nosso 
dia a dia, e, ao mesmo tempo, renovará os conhecimentos 
sobre alguns conteúdos de matemática, vistos no ensino 
fundamental, de maneira instrutiva e de fácil compreensão.
Esse curso lhe ajudará em várias disciplinas da sua 
Graduação, aprimorando seus conhecimentos sobre 
conteúdos que envolvam números inteiros, números 
racionais, equações, regra de três e porcentagem.
Portanto, esse curso de nivelamento servirá como base 
de aprendizagem, e, com isso, você se sentirá mais seguro 
para responder às questões do cotidiano.
Objetivos da Disciplina:
 
- relembrar conteúdos da linguagem matemática básica, 
alguns conceitos imprescindíveis ao estudo da matemática;
- utilizar essa linguagem matemática como instrumento 
para a resolução de problemas;
- aplicar os conceitos matemáticos em situações 
relacionadas ao seu cotidiano.
A PRESENTAÇÃO
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Programa do Curso
ETAPA 1
NÚMEROS INTEIROS
Relembrar os conceitos relacionados aos conjuntos 
numéricos.
Relacionar conceitos com o cotidiano.
ETAPA 2
NÚMEROS RACIONAIS
Conhecer e relacionar os principais conceitos em 
relação aos números racionais, sendo que eles podem ser 
representados por frações ou números decimais.
ETAPA 3
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Resolver situações-problema que envolvam equação, 
inequações e sistemas.
ETAPA 4
REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Determinar as grandezas proporcionais e inversas.
Verificar onde encontramos essas situações no dia a dia.
Em todas as etapas você encontrará atividades 
que o ajudarão a melhor compreender as aplicações dos 
conteúdos apresentados, proporcionando uma aprendizagem 
significativa e importante para o posterior estudo de outras 
disciplinas em seu curso de graduação a distância.
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Números Inteiros (Z)
Vamos retomar o que aprendemos nas séries iniciais 
com os conjuntos dos números naturais. Você lembra quem 
são eles? Pois bem, eles são todos os números inteiros 
positivos que conhecemos, lembrando que eles surgiram pela 
necessidade que as pessoas sempre tiveram de contar. Com 
o passar do tempo, estas pessoas sentiram a necessidade 
de ampliar esse conjunto. Além de expressar quantidades, 
temos situações em que os números indicam, por exemplo, 
saldo positivo ou negativo, temperatura acima e abaixo de 
zero. E, para situações como estas, foram criados os números 
negativos. Assim, surgiu o conjunto dos números inteiros, 
a união dos positivos e dos negativos. Para compreender 
melhor a representação desses números e sua utilização nas 
operações fundamentais, acompanhe os estudos a seguir.
Chamamos de números inteiros aos elementos do 
seguinte conjunto:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}
O símbolo dos números inteiros Z é a inicial da 
palavra Zahl, que significa número em alemão.
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Podemos dividir o conjunto dos números inteiros em dois 
subconjuntos disjuntos, isto é, sem elementos em comum: 
Conjunto dos números inteiros não negativos (Z+)
Z+ = {0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}
Conjunto dos números inteiros não positivos (Z-)
Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Reunindo o conjunto dos inteiros não negativos com o 
conjunto dos números inteiros não positivos mais o número 0 
(zero), obtemos o conjunto dos números inteiros:
As reticências (...) à direita significam infinitos 
positivos, à esquerda significam infinitos negativos.
Quando nos referimos a um número positivo, não 
precisamos escrever o sinal de (+): as representações 
+2 ou 2 têm o mesmo significado. Portanto, os 
números naturais correspondem aos números inteiros 
positivos, com o zero, ou seja, 
Z+ U {0} = N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.
E quando temos a exceção do zero representamos os 
conjuntos pelo Z*
Z* = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} e *−Z = {...-4, -3, -2, -1} e 
*
+Z ={1, 2, 3, 4, 5,...}
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Representações dos números inteiros em uma reta
Podemos representar os números inteiros na reta 
numérica da seguinte forma:
Observe que existe o ponto de Origem correspondente 
ao número 0 (zero) e que para o sentido da direita temos os 
números positivos e para o sentido da esquerda os números 
negativos.
Cada ponto destacado com um número inteiro na reta é 
chamado de abscissa do ponto.
NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Observem na reta numérica a seguir três pontos:
Podemos observar que os números -5 e 5 estão à 
mesma distância do zero (ponto de origem), mas em lados 
opostos da reta em relação ao 0 (zero). Com isso, podemos 
dizer que -5 e 5 são números opostos ou simétricos.
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Exemplos:
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO 
INTEIRO
Módulo é a representação de unidades, ou seja, a 
quantidade, e é representado entre barras | |.
Lembre-se de que os números opostos ou 
simétricos representam a mesma distância do 
ponto de origem, ou seja, eles também podem 
ser representados em módulo.
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Exemplo:
 |-4| e |+4| 
Os dois valores representam 4 unidades. Nesse caso 
-4 representa quatro unidades no sentido negativo e o +4 
representa quatro unidades no sentido positivo.
Exemplo:
A distância do ponto A até a origem 0 (zero) é 
representada por |-4| é de 4 unidades.
A distância do ponto B até a origem 0 (zero) é 
representada por |+4| é de 4 unidades.
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Comparar dois números significa dizer se o primeiro é 
maior (>), menor (<) ou igual (=) ao segundo. Para fazer 
essa comparação de números inteiros, podemos usar como 
recurso a reta numérica.
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Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Observe alguns subconjuntos de Z:
Z = {..., -100, -99, -98, -97, -96, -95, -94, -93, -92, ...} 
(infinitos negativos aos infinitos positivos)
Z* = {..., -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} (infinitos 
negativos aos infinitos positivos menos o 0 (zero), o asterisco 
(*) em cima do Z significa todos os inteiros menos o zero.
Z = {..., 10, 20, 30, 40, 50, ...} (infinitos negativos aos 
infinitos positivos numa escala de 10).
Em relação aos números positivos, quanto mais 
próximo do zero (ponto de origem) o número estiver, 
menor é a quantidade que ele representa. Já em 
relação aos números negativos, quanto mais próximo 
do zero (ponto de origem) o número estiver, maior 
é a quantidade que ele representa. Por isso, tome 
cuidado, pois, quanto menor o número negativo for, 
mais distante do zero (ponto de origem) ele estará.
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Z = {..., -40, -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30, 40,...} (infinitos 
negativos aos infinitos positivos numa escala de 10).
Dados alguns conjuntos acima, vamos fazer acomparação:
Exemplo:
-4 < -3 -6 < -4 0 > -1 -2 < 0 -7 > -9 -11 < -3
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
ADIÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS
O menor número inteiro positivo é o número 1 e 
o maior número inteiro negativo é o número -1.
Cada termo da adição é chamado de parcela. E o 
resultado é chamado soma ou total.
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Exemplo:
9 + 8 = 17 
Somar dois inteiros positivos não tem mistério, pois o 
resultado será positivo, mas, quando envolvemos os inteiros 
negativos em uma operação, precisamos tomar cuidado. Para 
facilitar esse entendimento iremos utilizar a reta numérica. 
Vamos calcular (-2) + (+5):
Partindo da origem (o ponto em que se encontra o 
número zero), o sinal (-) antes do número 2 indica que 
devemos nos deslocar duas unidades no sentido negativo 
(para a esquerda) da reta a partir do ponto de abscissa 0 
(zero).
O sinal (+), dentro dos parênteses, antes do número 5, 
indica que devemos nos deslocar cinco unidades no sentido 
positivo (para a direita) da reta a partir do ponto em que 
paramos.
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Note que a posição final na reta corresponde ao número 
3. Assim: 
(-2) + (+5) = +3
Agora vamos calcular (-3) + (-5)
Partimos da origem (o ponto em que se encontra o 
número zero). O sinal (-) antes do número 3 indica que 
devemos nos deslocar três unidades no sentido negativo 
(para a esquerda) da reta a partir do ponto de abscissa 0 
(zero).
O sinal (-) antes do número 5 indica que devemos nos 
deslocar mais cinco unidades no sentido negativo (para a 
esquerda) da reta a partir do ponto em que paramos, pois 
estamos adicionando um valor negativo.
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Note que a posição final na reta corresponde ao número 
(-8). Assim: 
(-3) + (-5) = -8
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
Comutativa
Em uma adição de números positivos e negativos, 
podemos trocar a ordem das parcelas que a soma não se 
altera. 
Exemplo: 
(-4) + (+8) = +4 ou (+8) + (-4) = +4
Associativa
Em uma adição de números positivos e negativos, 
podemos associar as parcelas de maneiras diferentes que a 
soma não se altera. 
Exemplo:
(-9) + (+3) + (-4)
Podemos resolver de duas maneiras:
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1ª Maneira:
Calculamos primeiramente (-9) + (+3) e em seguida 
adicionamos (-4) ao resultado:
(-9) + (+3) + (-4)
 
 (-6) + (-4)
 -10
2ª Maneira:
Calculamos primeiramente (-9) + (-4) e em seguida 
adicionamos (+3) ao resultado:
(-9) + (+3) + (-4)
 (-13) + (+3)
 -10
ELEMENTO NEUTRO
A adição de um número positivo ou negativo com zero é 
sempre igual ao próprio número, ou seja, o zero é o elemento 
neutro da adição de números inteiros.
 
 
 
 
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Exemplos:
(a) (b) (c)
(-12) + 0 = -12 (+7) + 0 = +7 0 + (+17) = 17
PROPRIEDADE DO CANCELAMENTO (DE NÚMEROS 
OPOSTOS)
Esta é uma propriedade importante, pois pode facilitar o 
cálculo de adições que apresentam muitas parcelas.
Exemplo: 
– 8 – 4 – 5 + 6 + 2 – 6 + 4 + 1 + 8 + 11 – 2 =
Aplicando as propriedades já descritas, podemos alterar 
a ordem dos números anulando aqueles que são iguais em 
módulo, mas têm sinais diferentes, ou seja, os números 
opostos ou simétricos.
Então
– 8 – 4 – 5 + 6 + 2 – 6 + 4 + 1 + 8 + 11 – 2 =
–8 + 8 – 4 + 4 – 5 + 6 – 6 + 2 – 2 + 1 + 11=
–8 + 8 – 4 + 4 – 5 + 6 – 6 + 2 – 2 + 1 + 11=
0 + 0 – 5 + 0 + 0 + 1 + 11 =
– 5 + 1 + 11 =
– 4 + 11 =
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SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
 Vamos relembrar primeiramente os números naturais 
onde a subtração é impossível, ou seja, quando o primeiro 
termo (minuendo) é menor do que o segundo (subtraendo). 
No conjunto dos números inteiros isso é possível, pois temos 
os valores negativos.
Exemplo: 
5 – 9 
Veja a situação:
Na cesta de frutas da sua casa há 5 maçãs, e sua mãe 
pede que você tire 9 de lá. Impossível, não é? Ou seja, essa 
subtração é impossível para os números naturais.
Agora, outra situação: 
A sua mãe foi ao mercado e descobriu que só tem 5 
reais para pagar uma compra de 9 reais. Como ela conhece o 
gerente, trouxe as compras, mas ficou devendo 4 reais.
 Exemplo: 
 (+13) minuendo
– (–76) subtraendo
 – 63 total (resultado)
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Então:
5 – 9 é equivalente a (+5) – (+ 9) = +5 – 9 = – 4
O sinal (+) antes do número 5 indica que devemos nos 
deslocar mais cinco unidades no sentido positivo (para a 
direita) da reta, a partir do ponto de abscissa 0 (zero).
O sinal (-) antes do número 9 indica que devemos nos 
deslocar mais nove unidades no sentido negativo (para a 
esquerda) da reta, a partir do ponto em que paramos, pois 
estamos subtraindo.
Note que a posição final na reta corresponde ao número 
(-4). Assim:
(+5) - (+9) = 5 - 9 = - 4 
A subtração, na verdade, nada mais é do que a adição 
por um inteiro negativo.
Veja esse exemplo:
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Em um determinado dia, a temperatura da cidade de 
Paranaguá é de 6 ºC e na cidade de Palmas é 3 ºC.
Observando as temperaturas, percebemos que a 
diferença entre elas é de 3 ºC. Isto é 6 ºC – 3 ºC = 3 ºC.
Agora, se a temperatura de Paranaguá fosse -1 ºC e a 
de Curitiba -4 ºC, qual seria a diferença das temperaturas?
Podemos dizer que em Paranaguá a temperatura está + 
3 ºC em relação a Curitiba.
 Assim, para calcular a diferença entre dois números 
inteiros, basta adicionar o primeiro ao oposto do segundo. 
Se a e b são números inteiros, a adição a + (-b) é 
equivalente à subtração a – b.
Quando se pede para calcular a diferença, a operação 
realizada é a subtração.
 –1 – (-4) = -1 + (+4) = +3
Subtrair -4 é o mesmo que adicionar + 4.
 
oposto 
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Sendo assim, a subtração é sempre possível em 
números inteiros.
MULTIPLICAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS
 Ao indicar a multiplicação 6 x 3 (o número seis 
três vezes) por 6 + 6 + 6 significa que o termo 
multiplicando é indicado pelo número 6 e o termo 
multiplicador pelo número 3.
Ao conjunto desses dois termos, multiplicando e 
multiplicador, denominamos de fatores. Por isso é que 
dizemos que a ordem dos fatores não altera o produto. 
O termo produto é indicado para o resultado da 
multiplicação.
Exemplo: 
 6 multiplicando
X 3 multiplicador
 18 produto
 
Fatores 
Os sinais de multiplicação podem ser representados 
por meio da letra “x” (-2) x (+5), ou por meio de 
um ponto “.” (-2) . (+5).
 
Fatores Fatores
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NÚMERO POSITIVO MULTIPLICANDO NÚMERO POSITIVO
FATORES COM SINAIS IGUAIS, PRODUTO POSITIVO
Quando multiplicamos dois fatores positivos, o produto 
sempre será um número positivo.
Exemplo: (+5) ⋅ (+5) = 25
Lembre-se de que uma das propriedades da multiplicação 
é a soma de parcelas iguais, ou seja, a multiplicação pode ser 
representada também na forma de adição de parcelas iguais:
Representação na reta numérica
(+4) ⋅ (+2) = +8 ou (+4) + (+4) = +8 ou (+2) + (+2) + (+2) + (2) 
= +8
NÚMERO POSITIVO MULTIPLICANDO NÚMERO 
NEGATIVO
FATORES COM SINAIS DIFERENTES, PRODUTO 
NEGATIVO
Em uma multiplicação de dois fatores em que um dos 
fatores é um número positivo e o outro um número negativo, 
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NÚMERO NEGATIVO MULTIPLICANDO NÚMERO 
NEGATIVO
FATORES COM SINAIS IGUAIS, PRODUTO POSITIVO
Para entender esse cálculo, podemos partir da ideia de 
algumas multiplicações já conhecidas. Observe a sequência 
das multiplicações:
4 ⋅ (-4) = -16
3 ⋅ (-4) = -12
2 ⋅ (-4) = -8
1 ⋅ (-4) = -4
0 ⋅(-4) = 0
Essa sequência tem um padrão, onde o primeiro fator 
vem decrescendo 1 unidade, o segundo fator é constante (-4) 
e o produto vem crescendo 4 unidades. Se seguirmos essa 
o produto é um número negativo.
Exemplo:
(+7) ⋅ (-6) = -42 
Representação na reta numérica
(+3) ⋅ (-2) = -6 ou (-2) + (-2) + (-2) = -6
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ideia e mantivermos o padrão, saberemos qual o resultado 
das próximas multiplicações. 
-1 ⋅ (-4) = +4
-2 ⋅ (-4) = +8
-3 ⋅ (-4) = +12
-4 ⋅ (-4) = +16
-5 ⋅ (-4) = +20
De acordo com o que acabamos de ver, podemos 
concluir que a multiplicação de dois números negativos será 
sempre um número positivo.
Multiplicação com zero em um dos fatores
Na multiplicação de dois fatores, em que um deles 
for zero, o resultado sempre será zero.
Exemplos:
(+5) ⋅ (0) = 0
(0) ⋅ (+7) = 0
(-9) ⋅ (0) = 0
(0) ⋅ (-6) = 0
A MULTIPLICAÇÃO COM O NÚMERO 1 (UM) E -1 EM UM 
DOS FATORES
A multiplicação de um número positivo ou negativo com 
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Fatores com sinais diferentes, produto com sinal 
negativo.
(+9) . (-1) = -9 
ou 
(-1) . ( +9) = -9
Fatores com sinais iguais, produto positivo.
(-8) . (-1) = +8 
ou 
(+1) . (+8) = +8
(+1) um positivo sempre será igual ao próprio número.
Exemplo: 87 ⋅ 1 = (+87) ⋅ (+1) = +87
Já quando um dos fatores for (-1) um negativo, 
precisamos verificar o sinal do outro fator, pois vamos lembrar 
das regras anteriormente citadas.
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DIVISÃO DOS NÚMEROS INTEIROS
A multiplicação e a divisão são operações inversas. 
Dessa forma, em relação aos sinais, divisão e 
multiplicação se comportam da mesma maneira.
Exemplo:
 (-136) ÷ 4 = -34 
Portanto, se (-136) ÷ 4 = -34,
 Então: 
 (-136) = -34 . 4
 
Quociente 
Divisor 
Dividendo 
Essas operações podem ser interpretadas assim: 
dividindo uma compra de 136 em 4 parcelas iguais, cada 
parcela corresponderá a uma dívida de 34.
Assim a divisão de um número negativo por um número 
positivo resultará em um quociente negativo.
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Divisão com sinais diferentes → quociente com sinal 
negativo.
1000 ÷ (-20) = -50
(-136) ÷ 4 = -34 
Divisão com sinais iguais → quociente com sinal 
positivo.
164 ÷ 4 = 41
(-81) ÷ (-3) = 27
O ZERO NA DIVISÃO
Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de 
zero, resultará sempre zero.
Exemplo: 
0 ÷ (-13) = 0
0 ÷ 87 = 0
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POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
É impossível dividir qualquer número por zero, pois 
não existe nenhum número que multiplicado por 
zero dê algum valor, vejamos:
Exemplo:
(-76) ÷ 0 = ? 
É impossível, pois não existe nenhum número que 
multiplicado por zero dê -76.
654 ÷ 0 = ? 
É impossível, pois não existe nenhum número que 
multiplicado por zero dê 654.
Uma multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na 
forma de potência
 
 
Exemplo: 3 . 3 . 3 . 3 = 34 = 81
 
Base: fator que se repete (fator que se multiplica);
Expoente: indica quantas vezes o fator se repete (quantas 
vezes o fator se multiplica);
Potência: resultado da potenciação (resultado da 
multiplicação).
 expoente
potência
base
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Lembrando a leitura das potenciações:
De acordo com o que estudamos anteriormente, devemos 
observar os sinais e os parênteses que acompanham os 
números inteiros.
BASE POSITIVA
Observe as potências a seguir:
(+8) = +8 (+7)² = (+7) ⋅ (+7) = +49 
(+2)³ = (+2) ⋅ (+2) ⋅ (+2) = +8 (+1)4 = (+1) ⋅ (+1) ⋅ (+1) ⋅ (+1) = +1
Sempre que a base for positiva o resultado será positivo.
BASE NEGATIVA
Observe as potências a seguir:
- 6² = 6 ⋅ 6 = -36
(-6)² = (-6) ⋅ (-6) = +36
20 = dois elevado ao expoente 
zero
91 = nove elevado à 
primeira potência
3² = três elevado ao quadrado 4³ = quatro elevado ao 
cubo
67 = seis elevado à sétima 
potência
0² = zero elevado ao 
quadrado
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(-6)³ = (-6) ⋅ (-6) ⋅ (-6) = -216
Por que essa diferença nas multiplicações?
Veja:
No primeiro exemplo, quem está elevado ao quadrado 
é somente o número 6, então 6 multiplicado por 6 é igual 
a 36, mas não se esqueça do sinal que está na frente, ele 
acompanha o resultado.
No segundo exemplo, quem está elevado ao quadrado 
é o -6 e multiplicações de dois números inteiros negativos 
resultam números positivos, assim -6 multiplicado por -6 é 
igual a + 36. 
No terceiro exemplo, observe que é o -6 que está sendo 
multiplicado e, como vimos anteriormente, o sinal multiplica 
com o valor numérico. Assim, -6 multiplicado por -6 é igual a 
+36, e este multiplicado por -6 é a multiplicação de um número 
positivo por um negativo e, lembrando que a multiplicação 
de um número positivo por um negativo é igual ao resultado 
negativo, assim +36 multiplicado por -6 é igual a -216.
Para resolvermos multiplicação e divisões de potência, 
utilizamos alguns recursos que as propriedades de 
potência nos oferecem.
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PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
Um produto de potências de mesma base pode ser 
reduzido a uma única potência, conservando a base e 
somando o expoente.
Exemplo:
Escrever o produto de 25 ⋅ 24 usando uma única potência.
 
25 ⋅ 24 = (2.2.2.2.2) ⋅ (2.2.2.2) = 29, 5 fatores iguais 
multiplicando mais quatro fatores iguais
ou
25 ⋅ 24 = (2.2.2.2.2.2.2.2.2) = 29, multiplicação de 9 fatores 
iguais
Como você pode observar, as propriedades da 
potência nos facilitam em determinados cálculos.
QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
Uma divisão composta por duas potências de mesma 
base, não nula, pode ser reduzida a uma única potência, 
conservando a base e diminuindo os expoentes, na ordem 
em que aparecem.
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Exemplo: 219 ÷ 216 =
Difícil não? Ter que calcular 219, depois 216 e ainda fazer 
uma divisão com os resultados! Calma...
Existe uma maneira mais simples de se resolver essa 
questão: é aplicando a propriedade anteriormente citada.
Agora, simplificamos essa fração dividindo numerador e 
denominador por 21. Fazemos isso seis vezes.
Podemos observar que é muito mais fácil usarmos a 
propriedade, certo?
Portanto, 219 ÷ 216 = 219-6 = 213 = 9261
POTÊNCIA DE POTÊNCIA
Uma potência de potência pode ser reduzida a uma única 
potência, conservando a base da primeira e multiplicando os 
expoentes.
Exemplo: 
(53)5 = 53 ⋅ 53 ⋅ 53 ⋅ 53 ⋅ 53 = 53+3+3+3+3 = 515
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ou
(53)5 = 53.5 = 515
Como podemos escrever a expressão (53)5 = 5³ ⋅ 5³ ⋅ 
5³ ⋅ 5³ ⋅ 5³ = 53+3+3+3 = 515, ou seja, o número 5³ se repete 
cinco vezes. Assim como vimos na propriedade de produto de 
mesma base, somamos os expoentes. E para tornarmos mais 
fácil, aplicamos a potência de potência onde multiplicamos os 
expoentes.
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
Um produto de mesmo expoente pode ser reduzido a 
uma única potência, multiplicando as bases e conservando o 
expoente comum.
Exemplo:
27 67 = (2 6)7 = 127
QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
Um quociente de mesmo expoente pode ser reduzido 
a uma única potência, dividindo a primeira pela segunda e 
conservando o expoente.
⋅ ⋅
33
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Exemplo:
(a) 703 ÷ 23 = 353
(b) , lembrando que toda fração é uma divisão
Para elevarmos uma fração a um expoente, basta elevar 
o numerador e denominador a esse expoente.
Exemplo:
EXPOENTE ZERO
Por que qualquer número inteiro, diferente de zero, 
elevado ao expoente zero é igual a um?
Veja:
a0 = para a ≠ 0
Podemos usaruma das propriedades da potenciação 
para justificar essa propriedade. Se a é um número inteiro 
diferente de zero e n é um número natural, temos: an ÷ an = 
an-n = a0
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Então:
Todo número diferente de zero dividido por ele mesmo 
dá 1, podemos escrever:
an ÷ an = 1
Comparando essa igualdade, podemos dizer que:
 
a0 = 1 para a ≠ 0
POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS
No estudo das potências com expoente inteiro, iremos 
ampliar o estudo em relação aos números racionais, cujos 
expoentes são números inteiros negativos.
A partir do estudo das potenciações, podemos observar 
as regularidades que existem e os resultados das potências 
com expoentes inteiros negativos.
Exemplo: 
3³ = 27
3² = 9
3¹ = 3
30 = 1
Seguindo esse raciocínio, podemos inferir que:
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Realmente, a potência de uma base não nula e expoente 
negativo é igual ao seu inverso, conservando a base e 
trocando o sinal do expoente
 = um terço é o inverso de 3 elevado a -1.
 = um nono é igual a um terço elevado ao 
quadrado e é o inverso de três elevado a -2.
POTÊNCIAS DE BASE 10
Quando obtemos uma potência de base 10 e no expoente 
um número natural, podemos resolver pelo seguinte processo 
prático.
Exemplo: 
10² = 10 ⋅ 10 = 100 (1 seguido de dois zeros)
10³ = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000 (1 seguido de três zeros)
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Observe quatro casas depois 
da vírgula, 3 zeros seguido do 
um. 
107 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 10000000 (1 seguido 
de sete zeros)
100 = 1 (1 seguido de nenhum zero)
Para as potências com base 10 e expoente negativo 
temos o seu inverso.
Exemplo:
Observe que dez elevado a -1 é o mesmo que seu 
inverso, na forma de fração (um décimo), assim seu número 
decimal. 
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NOTAÇÃO CIENTÍFICA
A notação científica é utilizada para expressar números 
muito grandes ou muito pequenos de uma maneira mais 
sucinta. Consiste em expressar o número através de uma 
multiplicação por potências de base 10. 
Exemplo:
A distância média da Terra ao Sol é de aproximadamente 
150 000 000 km ou, em notação científica, 1,5 ⋅ 108 km (a 
vírgula desloca-se 8 casas para a direita)
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RAIZ QUADRADA DE NÚMERO INTEIRO
Raiz quadrada de um número positivo é o número 
positivo cujo quadrado é igual ao número dado.
Exemplo:
A raiz quadrada de um número inteiro positivo pertence 
ao conjunto dos números naturais.
a) , pois 3² é igual a 3 ⋅ 3 = 9 ainda podemos 
escrever 
b) , é impossível nos números inteiros, pois não 
existe número inteiro que, elevado ao quadrado, dê +10. (é 
uma raiz não exata)
c) , pois 0 ⋅ 0 = 0 que é igual a 0² = 0
A raiz quadrada de qualquer número inteiro negativo é 
impossível.
Exemplo:
, é impossível para os números inteiros, ou seja, 
não existe um número inteiro que elevado ao quadrado dê 
-81, pois - 9² = +81
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QUANDO A RAIZ NÃO FOR EXATA
 
A raiz quadrada de um número positivo não exata 
corresponde a um número irracional.
Nesse caso podemos trabalhar por tentativa ou pela 
simplificação da raiz.
, por tentativa sabemos que é um valor entre 3 e 4 
pois, está compreendido entre a raiz de e raiz de .
, nesse caso podemos simplificar a raiz, pois a raiz 
 pode ser escrita na forma porque a 
raiz de 4 pode ser extraída, sendo 2 e a raiz de 2 permanece, 
pois ela corresponde a um número irracional.
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RESUMO DO TÓPICO
Conjunto dos números inteiros Z
Z = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ...}
Números opostos ou simétricos são números que 
representam a mesma distância do ponto de origem, ou seja, 
são representadas através do módulo |-2| e |+2|. 
O menor número inteiro é aquele que se encontra mais 
à esquerda na reta numérica.
O maior número inteiro é aquele que se encontra mais à 
direita na reta numérica.
Números que se encontram no mesmo ponto da reta 
numérica são iguais.
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OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
Adição 
Propriedades da Adição
Comutativa: em uma adição de números positivos e 
negativos podemos trocar a ordem das parcelas que a soma 
não se altera. 
Associativa: em uma adição de números positivos 
e negativos, podemos associar as parcelas de maneiras 
diferentes que a soma não se altera. 
Subtração
Se a e b são números inteiros, a adição a + (-b) é 
equivalente à subtração a – b.
Multiplicação
Fatores com sinais diferentes, produto com sinal 
negativo.
(+9) ⋅ (-1) = -9 
ou 
(-1) ⋅ (+9) = -9
Fatores com sinais iguais, produto positivo.
(-8) ⋅ (-1) = +8 
ou 
(+1) ⋅ (+8) = +8
Divisão
Divisão com sinais diferentes, quociente com sinal 
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negativo.
1000 ÷ (-20) = -50
(-136) ÷ 4 = -34 
Divisão com sinais iguais, quociente com sinal 
positivo.
164 ÷ 4 = 41
(-81) ÷ (-3) = 27
Potenciação
Propriedades da Potenciação
 
Produto de potência de mesma base: conserva-se a 
base e soma-se o expoente.
Produto de potência de mesmo expoente: conserva-
se o expoente e multiplica-se a base.
Quociente de mesma base: conserva-se a base e 
subtrai-se o expoente.
Quociente de mesmo expoente: conserva-se o 
expoente e divide-se a base.
Potência de Potência: conserva-se a base e multiplica-
se o expoente.
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Potência de expoente inteiro: a potência de uma base 
não nula e expoente negativo é igual ao inverso da potência, 
conservando a base e trocando o sinal do expoente.
 
Radiciação
A raiz quadrada de um número inteiro positivo e do zero 
equivale à raiz quadrada exata.
Raiz quadrada de um número inteiro negativo é 
impossível nos números inteiros.
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1. Os números na reta podem representar temperaturas de 
um termômetro:
 
Nessa representação, os pontos A e B correspondem, 
respectivamente, aos números:
a) -2,18 e 1,3.
b) 2,18 e -1,3.
c) -3,78 e 1,3.
d) 3,78 e -1,3.
2. Qual a sentença verdadeira?
a) -21 > -17.
b) -21 < -17.
c) 3 < -5.
d) 0 < -6.
3. O saldo bancário de uma pessoa era de 300 reais negativos. 
Mesmo assim, fez uma retirada de trezentos e quarenta e 
sete reais. Para sabermos o novo saldo, assinale a alternativa 
correta:
A UTOATIVIDADE
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a) - 300 + 347 = 47.
b) - 300 - 347 = 647.
c) - 300 - 347 = - 647.
d) 300 + (- 347) = - 47.
4. Assinale a sentença verdadeira: 
a) (-15) ÷ (-3) = 5.
b) (-15) ÷ (-3) = -5.
c) (15) ÷ (-3) = 5.
d) (-15) ÷ (-5) = -3.
5. Considere o segmento na reta numérica:
Esse segmento é ampliado se for multiplicado por um 
número maior que 1 e é reduzido se for multiplicado por 
números entre 0 e 1.
Com base na situação que descrevemos, é correto 
afirmar que, multiplicando o segmento por:
a) -2 e, a seguir, por -3, seu sentido não muda.
b) 2 e, novamente, por -2, seu sentido, no final, é igual ao do 
início.
c) -2 e, depois, por -3, seu sentido, no final, é o oposto ao do 
início.
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d) 2 e, depois, por 3, inverte-se o sentido do segmento.
6. Efetuando a expressão , o resultado será: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
7. Assinale a sentença correta:
a) 
b) 
c) 
d) 
8. Observe as sentenças a seguir.
I) 
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II) 
III) 
IV) 
De acordo com as sentenças, é correto afirmar que:
( ) Todas as sentenças são verdadeiras.
( ) Somente as sentençasII, III e IV são verdadeiras.
( ) Somente a sentença IV é verdadeira.
( ) Somente as sentenças III e IV são verdadeiras.
9. Assinale a alternativa correta:
a) (-2)³ = +8.
b) (-2)³ = -8.
c) -2³ = +6.
d) -2³ = -6 .
10. Subtrair um número negativo (A) de um número positivo 
(B) é o mesmo que:
a) B – A.
b) – A – B.
c) +B – (-A).
d) + A + B.
é impossível em Z
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1. Colocamos números na reta, como se fossem temperaturas de um termômetro:
 
Nessa representação, os pontos A e B correspondem, respectivamente, aos 
números:
a) -2,18 e 1,3.
b) 2,18 e -1,3.
c) -3,78 e 1,3.
d) 3,78 e -1,3.
2. Qual a sentença verdadeira?
a) -21 > -17.
b) -21 < -17.
c) 3 < -5.
d) 0 < -6.
3. O saldo bancário de uma pessoa era de 300 reais negativos. Mesmo assim, fez 
uma retirada de trezentos e quarenta e sete reais. Para sabermos o novo saldo, 
assinale a alternativa correta:
- 300 + (-347) = 47
- 300 – 347 = - 647 assim a alternativa C é correta
a) - 300 + 347 = 47.
b) - 300 - 347 = 647.
c) - 300 - 347 = - 647.
d) 300 + (- 347) = - 47.
4. Assinale a sentença verdadeira: 
a) (-15) ÷ (-3) = 5.
b) (-15) ÷ (-3) = -5.
G ABARITO
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c) (15) ÷ (-3) = 5.
d) (-15) ÷ (-5) = -3.
5. Considere o segmento na reta numérica:
Esse segmento é ampliado se for multiplicado por um número maior que 1 
e é reduzido se for multiplicado por números entre 0 e 1.
Com base na situação que descrevemos, é correto afirmar que, 
multiplicando o segmento por:
a) -2 e, a seguir, por -3, seu sentido não muda.
b) 2 e, novamente, por -2, seu sentido, no final, é igual ao do início.
c) -2 e, depois, por -3, seu sentido, no final, é o oposto ao do início.
d) 2 e, depois, por 3, inverte-se o sentido do segmento.
6. Efetuando a expressão , o resultado será: 
Resposta: a) 
 
b) 
 
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c) 
 
d) 
7. Assinale a sentença correta:
a) 
b) 
c) 
d) 
8. Observe as sentenças a seguir.
I) 
II) 
III) 
IV) 
De acordo com as sentenças, é correto afirmar que:
( ) Todas as sentenças são verdadeiras.
(x) Somente as sentenças II, III e IV são verdadeiras.
( ) Somente a sentença IV é verdadeira.
( ) Somente as sentenças III e IV são verdadeiras.
é impossível em Z
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Desenvolvimento
a) Impossível pois 5 ⋅ 5 = + 25 ou 5² = 25
b) correto, pois (- 5) ⋅ (- 5) = +25 ou (- 5)² = 25
c) correto, pois não existe raiz de número negativo para o 
conjunto dos números inteiros.
d) correto, pois 5 ⋅ 5 = 25 ou 5² = 25
9. Assinale a alternativa correta:
a) (-2)³ = +8.
b) (-2)³ = -8.
c) -2³ = +6.
d) -2³ = -6.
(-2)³ = (-2) ⋅ (-2) ⋅ (-2) = -8 assim a sentença verdadeira é a letra B.
10. Subtrair um número negativo (A) de um número positivo (B) é o mesmo que:
a) B – A.
b) – A – B.
c) +B – (-A).
d) + A + B.
+B – (-A) = B + A assim a sentença verdadeira é a letra C.
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 NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Números racionais são os que podem ser escritos na 
forma fracionária, na forma decimal ou percentual. Como por 
exemplo , 0,5 ou 50%.
Iniciaremos os estudos na forma fracionária.
 
Números Fracionários são todos os números resultantes 
da divisão de dois números inteiros. Como 0, 1, -2, -27, 35, 
, ..., podemos observar que o conjunto dos números racionais 
contêm os números inteiros. 
Analisando a fi gura a seguir, ela foi dividida em 8 
partes iguais, dizemos que ela representa um inteiro. Das 8 
partes iguais, três foram pintadas. A representação na forma 
fracionária é .
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Na representação da fração , temos que o número 3 
representa o numerador, o número 8 o denominador, e o traço 
de fração (divisão). Eles são chamados de termos da fração.
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM NÚMERO MISTO E 
VICE-VERSA
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM NÚMERO MISTO
1ª maneira
Observe a representação gráfi ca anterior, o número 
de vezes em que o todo está dividido é representado pelo 
denominador, por este motivo, mesmo na forma de número 
misto, o denominador não se altera.
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Fazendo a leitura da divisão: o quociente é o número 
inteiro que a fração representa, o divisor continua 
sendo o denominador e o resto é o numerador.
Então:
Transformação de número misto em fração
2ª maneira
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1ª maneira
2ª maneira
Atenção
Observe que foi efetuada a operação inversa da divisão 
do caso anterior, pois antes se dividia denominador por 
numerador e encontrava-se a forma do número misto. Agora 
multiplicamos a parte inteira pelo denominador e somamos 
com o numerador; lembrando que o denominador não se 
altera, pois ele continua dividindo o todo em partes iguais.
Novamente observe que o denominador não se altera, pois 
a quantidade de partes em que o todo está dividido é a mesma.
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FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são as que têm o mesmo valor em 
relação a uma fração para a outra, só que representada de 
forma equivalente (igual, mesmo valor).
Exemplo: 
, essas frações são frações equivalentes, pois todas 
equivalem à metade.
Vejamos isso em uma representação gráfi ca, cada parte 
representa uma parte de um todo.
Assim:
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒⇒ ⇒
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Para podermos entender um pouco melhor essa 
situação, vamos conhecer a simplifi cação de fração.
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO
Simplifi car uma fração é dividir o numerador e o 
denominador por um mesmo número natural, diferente de 
zero e de um, tornando essa fração mais simples. A fração 
estará na sua forma mais simples quando não é mais possível 
dividi-la, deixando-a em sua forma irredutível.
Exemplo:
(b) , a fração não pode ser simplifi cada, pois não existe 
um mesmo número que divida o 4 e o 7 simultaneamente. 
Sendo assim, é uma fração irredutível.
NÚMERO RACIONAL (Q)
Número Racional é todo número que pode ser 
representado por uma fração com numerador e denominador 
inteiros e denominador diferente de zero (não existe divisão 
por zero).
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Exemplo:
3 é um número racional, pois 3 = etc. 
1
3 ,
3
9 ,
2
6
-12,75 é um número racional, pois -12,75 = 
Todo número racional pode ser escrito na forma de um 
número decimal, por meio de uma decimal exata ou de uma 
dízima periódica.
Exemplo:
 
 
 = 0,333...
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
O conjunto formado pelos números racionais 
é indicado pela letra Q:
O símbolo dos números racionais Q vem da 
inicial da palavra quociente, que signifi ca razão ou 
fração.
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Então, para ser um número racional, deve ser um valorde x tal que x seja igual a uma fração com numerador e 
denominador inteiro e que o denominador seja diferente de 
zero.
A RELAÇÃO ENTRE OS CONJUNTOS DOS NÚMEROS
Observe através do diagrama a relação entre conjuntos
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, indica o conjunto dos números naturais;
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, indica o conjunto dos 
números inteiros;
Q =





 ∈∈= *Z b e Za|
b
a Q , indica o conjunto dos números 
racionais.
Com isso podemos dizer que todo número natural 
é também um número inteiro e todo número inteiro é 
um número racional, ou ainda, que N está contido em 
Z e que N e Z estão contidos em Q.
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COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAIS
Comparar dois números racionais signifi ca dizer se o 
primeiro é maior (>), menor (<) ou igual (=) ao segundo.
Exemplo:
, pois todo número negativo é menor que um número 
positivo.
, pois 0 é maior do que qualquer número negativo.
, pois quanto mais próximo do 0 maior será o número 
negativo.
A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS NA 
RETA NUMÉRICA
Como todo número racional pode ser representado na 
sua forma decimal, existe uma relação de ordem em Q e, 
portanto, podemos localizá-lo na reta real.
Lembrando que primeiramente precisamos localizar o 
ponto de origem na reta e, como acabamos de ver, os números 
inteiros estão dentro do conjunto dos números racionais.
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Depois de marcados os números inteiros na reta, 
podemos localizar os números racionais.
Exemplo:
(a)
 é um número racional entre 1 e 2, pois = 0,75
(b)
- 0,27 é um número racional entre – 1 e 0, pois – 0,27 
= - 
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MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO 
RACIONAL
Já estudamos módulo nos números inteiros. Só para 
relembrar: módulo é a distância do ponto que representa esse 
número até a origem.
Exemplo:
A distância do ponto A até a origem 0 (zero) é representada 
por 
 
que é de da unidade.
A distância do ponto B até a origem 0 (zero) é 
representada por 
 
que é de da unidade.
Então:
 
é um número racional, pois 
 
= – 1
 
= – 1,125
 
é um número racional, pois 
 
= 1
 
= 1,125 
A B
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NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Nesse mesmo exemplo, podemos identifi car também os 
números opostos ou simétricos, que são representados 
por dois pontos que estão à mesma distância da origem.
INVERSO DE UM NÚMERO RACIONAL
De todos os números racionais, o único que não tem 
inverso é o zero.
Exemplo:
, o inverso de .
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
A adição de números inteiros pode ser realizada pela 
redução das frações ao mesmo denominador positivo e pela 
soma dos numeradores, conservando o denominador.
Exemplo:
No entanto, se observarmos a fração , é uma fração 
equivalente a , ou seja, a primeira fração foi multiplicada por 
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2, por esse processo chegamos num mesmo denominador e, 
então, podemos fazer a soma dos numeradores, conservando 
o denominador.
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PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
COMUTATIVA
Numa adição de números racionais, a ordem das 
parcelas não altera seu resultado.
Exemplo:
ASSOCIATIVA
Na adição de mais de dois números racionais, não 
importa a ordem em que forem feitas as adições, pois podemos 
agrupar valores e chegarmos aos mesmos resultados.
Exemplo:
ou
ELEMENTO NEUTRO
Qualquer número racional somado ao 0 (zero), resulta 
nele mesmo.
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ou
OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Qualquer número racional somado ao seu oposto resulta 
em zero.
Exemplo:
 ou 
SUBTRAÇÃO
A subtração dos números racionais pode ser realizada 
somando o primeiro número com o oposto do segundo, desse 
modo resolvemos pelo mesmo método da adição.
Exemplo:
21 1
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OPERAÇÕES DE NÚMEROS RACIONAIS COM 
DECIMAIS
Para realizarmos este tipo de operação, podemos optar 
entre duas formas de resolução:
1ª maneira
Transformar todos os valores em fração
Exemplo:
Utiliza-se a simplifi cação de frações para tornar as 
operações mais fáceis.
2ª maneira 
Transformar todos os valores em decimal (usamos a 
regra do arredondamento no caso dos números decimais. 
Exemplo:
Observe:
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Toda fração é uma divisão, então transformar uma 
fração em número decimal é dividir o seu numerador 
pelo seu denominador.
MULTIPLICAÇÃO
Na multiplicação de números racionais, multiplicamos 
os numeradores e os denominadores da seguinte forma. 
Numerador multiplica numerador e denominador multiplica 
denominador.
Exemplo: 
ou 
 ou 
Para multiplicação de números racionais na forma 
decimal, basta multiplicar seus valores absolutos.
Exemplo:
(-0,876) . (-0,87) = +0,76212 ou (0,87) . (0,876) = + 
0,76212
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
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(0,876) . (-0,87) = - 0,76212 ou (-0,87) . (+0,876) = - 
0,76212
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
COMUTATIVA
Na multiplicação de números racionais, a ordem dos 
fatores não altera o produto
Exemplo:
(0,876) . (-0,87) = - 0,76212 ou (-0,87) . (+0,876) = - 0,76212
ASSOCIATIVA
 Na multiplicação de números racionais com mais de 
dois fatores, não importa a ordem em que efetuamos as 
multiplicações.
Exemplo: 
DISTRIBUTIVA
O produto de um número racional por uma soma 
ou 
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
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de racionais é igual à soma dos produtos resultantes da 
multiplicação entre o primeiro racional e cada uma das 
parcelas.
Exemplo:
ELEMENTO NEUTRO DA MULTIPLICAÇÃO
Como vimos na adição, o elemento neutro é o zero. Já 
na multiplicação, o elemento neutro é o 1 (um), pois qualquer 
número multiplicado por 1 resulta nele mesmo.
Exemplo:
 
 ou 35 . 1 = 35
Vejamos a pura álgebra desta propriedade.
INVERSO 
Todo número multiplicado pelo seu inverso resulta em 1.
d d
⋅ ⋅ ⋅
⋅
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Através da multiplicação de fração, multiplicamos o 
numerador pelo numerador. Assim, obtemos o produto 
do numerador e, multiplicando denominador pelo 
denominador, obtemos o produto do denominador, 
ou seja, a segunda fração deve ser invertida, veja os 
exemplos a seguir:
Exemplo:
 ou 
 ou
Exemplo:
, para cada fração pertencente aos números 
inteiros, representamos seu inverso por 
 
= 1
DIVISÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Na divisão de fração, trabalhamos com a multiplicação 
inversa. Você deve estar se perguntando: se é uma divisão, 
como vou resolver uma multiplicação?
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POTENCIAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Para elevarmos uma fração a um expoente, basta 
elevarmos o numerador e denominador a esse expoente.
Exemplo:
RADICIAÇÃO
Raiz enésima de um número 
Se considerarmos um número real x, para a raiz enésima 
desse número será representada da seguinte maneira:
 Índice radicando
A palavra Radical vem do latim radix, que signifi ca 
raiz. O símbolo √ de radical foi introduzido em 1525, 
por Christoff Rudolff.
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QUANDO O ÍNDICE FOR PAR
Exemplo:
, pois 9.9 = 9² = 81 e (-9) . (-9) = 81
, pois 3.3.3.3 = 34 = 81 e (-3)4 = 81 
– 2, pois 2.2.2.2.2.2.2.2 = 28 = 256 e (-2)8 = 256
A raiz quadrada dos números negativos não existe no 
conjunto dosnúmeros racionais. Isto também se estende a 
todas as raízes pares. Assim, qualquer número elevado ao 
quadrado resulta em um número positivo.
Exemplo:
 ( é o oposto de ) e não existe 
PARA ÍNDICES PARES no conjunto dos números Q!
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QUANDO O ÍNDICE FOR ÍMPAR
Exemplo:
 = 3, pois 3.3.3 = 3³ = 27
 = 2, pois 2.2.2.2.2.2.2 = 2
7 = 128
 = -3, pois, (-3).(-3).(-3) = (-3)³ = - 27
, pois (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = (-2)7 = - 128
Qualquer raiz de índice ímpar com radicando positivo ou 
negativo existe.
 
RAIZ COM ÍNDICE NATURAL E ZERO NO RADICANDO
Para raízes com o radicando zero e qualquer índice, o 
resultado sempre será zero.
 Exemplo:
, pois 0 . 0 = 0
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita 
na forma de radical e todo radical pode ser escrito na forma 
de uma potência com expoente fracionário.
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Exemplo:
 ou ou 
Os números inteiros também são racionais, por 
isso as propriedades estudadas para expoentes inteiros 
devem ser preservadas para os expoentes racionais.
Exemplo:
, ou seja,
 
27
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PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
 COM EXPOENTE FRACIONÁRIO
Multiplicação de potências de mesma base; conserva a 
base e soma os expoentes.
Exemplo:
Divisão de potências de mesma base; conserva a base 
e subtrai os expoentes.
Exemplo:
Potência de potência
Exemplo:
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
No conjunto dos números reais existem expressões 
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que apresentam um radical no denominador, nesse caso 
precisamos racionalizar os denominadores. Para racionalizar, 
precisamos transformar o denominador em um denominador 
racional, mantendo o valor da expressão. Lembre que 
uma expressão em forma de fração não se altera quando 
multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador 
pelo mesmo número, diferente de zero.
Exemplo:
(a)
 = 
(b)
 = 
Potência de um produto
Exemplo:
29
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REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE
Reduzir ao mesmo índice signifi ca atribuir dois radicais, 
de mesmo índice, de tal forma que o primeiro seja equivalente 
ao segundo.
Exemplo:
Ou seja,
PROPRIEDADES DOS RADICAIS
1ª Propriedade
Se um radical tem o índice igual ao expoente do 
radicando, seu valor é igual à base do radicando.
Exemplos:
 = 9, pois 9.9.9 = 9³ = 729 e a = 9
30
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 = 3, pois .3.3.3 = 3³ = 27 e a = 3
Não se esqueça, porém, das condições impostas à 
existência dos radicais envolvidos.
Exemplo:
 não é igual a -1, (-1)4 = 1, ou seja, = 1 pois 
2ª Propriedade
O valor do radical não se altera quando multiplicamos 
ou dividimos o índice e o expoente do radicando pelo mesmo 
número.
Exemplos:
(a)
(b)
(c)
1 3
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3ª Propriedade
Um radical que tem um produto no radicando pode ser 
decomposto em um produto de radicais de mesmo índice, 
com cada fator do primeiro produto em um radical. 
Exemplo:
4ª Propriedade
Se um radical tem um quociente em seu radicando, ele 
pode ser decomposto em um quociente de dois radicais com 
o mesmo índice. 
Exemplo:
32
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OPERAÇÕES COM RADICAIS
SIMPLIFICANDO RADICAIS
Se o valor do radicando tiver o expoente igual ao valor 
do índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do 
radicando e escritos como fatores externos.
Exemplo:
737².37.9 ==
555².5³5 ==
Lembrando também que um fator externo pode ser 
introduzido como fator no radicando, bastando para isso 
escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.
Exemplo:
7.97².373 ==
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Na adição e subtração de radicais, só podemos escrever 
o resultado num só radical se os termos forem semelhantes, 
pois, então, podemos usar a propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição e subtração.
33
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Exemplo:
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
Exemplo:
Se os índices forem iguais, basta usar a 3ª e a 4ª 
propriedades.
Se os índices forem diferentes, devemos inicialmente 
reduzir os radicais ao mesmo índice para depois resolver. 
RESUMO DO TÓPICO
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Número Racional é todo número que pode ser 
34
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representado por uma fração com numerador e denominador 
inteiros e denominador diferente de zero (não existe divisão 
por zero).
Q = 





 ∈∈= *Z b e Za|
b
a Q 
FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são as que têm o mesmo valor 
em relação a uma fração, só que representada de forma 
equivalente (igual, mesmo valor).
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO
Simplifi car uma fração é poder dividir o numerador e o 
denominador por um mesmo número natural, diferente de 
zero e de um, tornando-a na sua forma irredutível.
COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAIS
Comparar dois números racionais signifi ca dizer se o 
primeiro é maior do que (>), menor do que (<) ou igual (=) ao 
segundo.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
A adição de números inteiros pode ser realizada pela 
redução das frações ao mesmo denominador positivo e pela 
soma dos numeradores, conservando o denominador.
35
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PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
Comutativa: a ordem das parcelas não altera seu 
resultado.
Associativa: não importa a ordem em que forem feitas 
as adições, pois podemos agrupar valores e chegarmos aos 
mesmos resultados.
Elemento Neutro: qualquer número racional somado ao 
0 (zero), resulta nele mesmo.
Oposto ou Simétrico: qualquer número racional somado 
a seu oposto resulta em zero.
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Na multiplicação de números racionais, multiplicamos 
os numeradores e os denominadores da seguinte forma: 
numerador multiplica numerador e denominador multiplica 
denominador.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto.
Associativa: não importa a ordem em que efetuamos as 
multiplicações.
Distributiva: o produto pela soma dos racionais é igual 
à soma dos produtos resultantes da multiplicação entre o 
primeiro racional e cada uma das parcelas.
Elemento Neutro: na multiplicação o elemento neutro é 
o 1 (um), pois qualquer número multiplicado por 1 resulta nele 
36
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mesmo.
Inverso: todo número multiplicado pelo seu inverso resulta 
em 1.
RADICIAÇÃO
Se considerarmos um número real x, para a raiz enésima 
desse número será representada da seguinte maneira:
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Para racionalizar, precisamos transformar o denominador 
em um denominador racional, mantendo o valor da expressão.
OPERAÇÕES COM RADICAIS
SIMPLIFICANDO RADICAIS: quando o valor do 
radicando tiver o expoente igual ao valor do índice do radical, 
esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos 
como fatores externos.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: só podemos escrever o 
resultado num só radical se os termos forem semelhantes.
37
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1. Quando x = -5 e y = 4, a expressão , qual seu valor 
numérico:
a) Seu valor será 
b) Seu valor será 
c) Seu valor será -3 
d) Seu valor será 3
2. São dadas as igualdades:
I.
II.
III.
IV.
De acordo com as igualdades, é correto afi rmar que:
( ) Todas as igualdades são verdadeiras.
( ) Somente as igualdades I, II e IV são verdadeiras.
( ) Somente a igualdade II é verdadeira.
( ) Somente as igualdades I e II são verdadeiras.
3. O resultado de )64).(46( +− é:
a)0
b) 
A UTOATIVIDADE
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c) 2 
d) 2
4. Simplifi cando o Radical , obtém-se:
a) 
b) 
c) 
d) 
5. Racionalizando o denominador de , o resultado será:
a) 
b) 
c) 
d) 
39
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a)
b)
c)
d)
6. Se você dividir por , obterá:
7. O número racional -2,7 pode ser escrito na forma de fração, 
assinale a opção correta:
a) 
b) 
c) 
d) 
40
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8. O número racional fi ca entre quais os inteiros 
consecutivos?
a) Entre os consecutivos -4 e -3. 
b) Entre os consecutivos -4 e -5.
c) Entre os consecutivos 4 e 3.
d) Entre os consecutivos 4 e 5. 
9. A expressão numérica , pode ser 
simplifi cada por qual expressão?
a) 
b) 
c) 
d) 
10. Determine o radical corresponde à potência 20,3, 
assinalando a opção correta:
a)
b)
c)
d)
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1. Quando x = -5 e y = 4, a expressão , qual seu valor numérico:
a) Seu valor será 
b) Seu valor será 
c) Seu valor será 
d) Seu valor será 3
2. São dadas as igualdades:
I.
II.
III.
IV.
De acordo com as igualdades, é correto afi rmar que:
( ) Todas as igualdades são verdadeiras.
( ) Somente as igualdades I, II e IV são verdadeiras.
( x ) Somente a igualdade II é verdadeira.
( ) Somente as igualdades I e II são verdadeiras.
G ABARITO
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3. O resultado de )64).(46( +− é:
a) 0
b) 
c) 2 
d) 2
4. Simplifi cando o Radical , obtém-se:
a) 
b) 
c) 
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d) 
5. Racionalizando o denominador de , o resultado será:
a) 
b) 
c) 
d) 
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6. Se você dividir por , obterá:
a)
b)
c)
d)
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7. O número racional -2,7 pode ser escrito na forma de fração, assinale a opção 
correta:
a) 
b) 
c) 
d) 
8. O número racional fi ca entre quais os inteiros consecutivos?
a) Entre os consecutivos -4 e -3. 
b) Entre os consecutivos -4 e -5.
c) Entre os consecutivos 4 e 3.
d) Entre os consecutivos 4 e 5.
9. A expressão numérica , pode ser simplifi cada, assinale 
a sentença verdadeira:
46
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a) 
b) 
c) 
d) 
10. Determine o radical corresponde à potência 20,3, assinalando a opção correta:
a)
b)
c)
d)
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Revisão:
Diógenes Schweigert
José Rodrigues
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Proibida a reprodução total ou parcial da obra de acordo com a Lei 9.610/98.
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 EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Equação é uma sentença matemática representada por 
uma igualdade em que há pelo menos uma letra representando 
um número desconhecido. Essa letra é chamada de incógnita 
ou variável. Resolver uma equação é encontrar o valor 
desconhecido da incógnita, ou seja, obter a solução ou a raiz 
da equação.
Então, uma equação é do 1º grau quando apresenta 
apenas uma incógnita, quando pode ser escrita na forma: 
ax = b, com a ≠ 0(zero).
Para entendermos o que é esse valor desconhecido, 
vamos pensar em uma situação bem simples, veja:
Exemplo:
Comprei 70 maçãs e custaram R$ 17,00. Quanto custa 
cada maçã?
Nesse exemplo queremos saber quanto custou cada 
maçã. Se fôssemos montar em equação, veja como fi caria: 
esse símbolo (?) vai representar nossas maçãs.
4
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70 ⋅ ? = 17,00
 ? = 17,00 ÷ 70
 ? ≅ 0,25
Isso quer dizer que cada maçã custou R$ 0,25.
Em uma equação, cada lado em relação ao sinal 
de igual é chamado de membro. Resolver uma equação 
é determinar qual o valor da incógnita, ou seja, do valor 
desconhecido (x) da solução. 
4x = 12
1º membro incógnita (x) 2º membro
 
Para a resolução da equação, podemos usar dois 
princípios: princípio aditivo e princípio multiplicativo.
No princípio aditivo, a igualdade não se altera ao 
adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número nos dois 
membros da equação. 
No princípio multiplicativo, a igualdade se mantém ao 
multiplicarmos ou dividirmos os dois membros da equação 
pelo mesmo número diferente de zero.
5
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Exemplos:
(a) Esse exemplo será resolvido através dos princípios citados 
anteriormente
Vamos resolver a equação 2x + 3 = 6 e encontrar sua 
solução:
Primeiramente resolveremos essa equação pelo 
princípio da adição. Temos que verifi car um elemento oposto 
ao que temos para reduzir a equação; nesse caso, podemos 
verifi car a existência do +3 – assim, seu oposto é -3 –, depois 
de adicionarmos o -3, resolvemos as operações obtidas, e 
com isso chegamos à forma da equação ax = b, agora
2x + 3 = 6 adicionamos (-3) a ambos os membros;
2x + 3 – 3 = 6 – 3 resolvemos as subtrações. 
2x = 3 
x = 
ou 
2x . = 3 . se multiplicarmos ambos os termos por , que 
 signifi ca dividir os dois membros por 2;
x = 
x = 
6
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x = 
Portanto, x = é solução ou raiz da equação.
(b)
Vamos resolver a equação 7x - = 3x - 3 e encontrar sua 
solução:
Adicionamos (-3x) a ambos os membros da equação, para 
satisfazer o princípio da adição onde podemos, com isso, 
cancelar um dos termos.
7x - 3x - = 3x - 3x - 3 resolve-se os termos semelhantes
4x - = - 3
agora adicionamos (+ ) em ambos 
os membros
4x - + = - 3 + resolve-se os termos semelhantes
4x = -3 + 
multiplicamos os dois membros por ¼ 
(princípio multiplicativo) que equivale 
dividir os dois membros por 4
4x . ¼ = -3 + . ¼ 
x = 
7
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Portanto, x = , é a solução ou raiz dessa equação.
(c)
Vamos resolver a equação 2(x + 3) = 2 - 4(2 + x) + 4 e encontrar 
sua solução:
Eliminamos os parênteses usando a propriedade distributiva;
2x + 6 = 2 – 8 – 4x + 4 adicionamos (-6) a ambos os 
membros
2x + 6 – 6 = 2 – 8 – 4x + 4 – 6 agora adicionamos 4 x em ambos 
os membros
2x + 4x = 2 – 8 – 4x + 4x + 4 – 6 
6x = 2 – 8 + 4 – 6 
6x = -8
x = dividimos ambos os membros por 2, equivale a
 multiplicá-lo por 
x = 
Portanto, 
 
é solução ou raiz da equação.
(d)
Vamos resolver a equação e encontrar 
sua solução:
8
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 reduzimos todos os termos ao 
mesmo denominador
 multiplicamos a equação 
por 8, eliminando 
os denominadores
2(x – 1) – 4(2x + 1) = 2x – 2 – 3 agora o procedimento é o 
 mesmo visto anteriormente
2x – 2 – 8x – 4 = 2x – 2 – 3
2x – 8x – 2x = – 2 – 3 + 2 + 4
- 8x = 1
- x = (-1) multiplicamos ambos os membros por -1
 x = – 
Assim, x = – é a solução da equação.
SITUAÇÕES-PROBLEMA QUE ENVOLVEM A 
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA 
VARIÁVEL
Dicas para obter sucesso no desenvolvimento da situação-
problema:9
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• sempre leia com atenção a situação proposta e verifi que o 
que se conhece e o que vai ser determinado, ou seja, vá 
anotando o que o problema pede e os dados que ele traz;
• sempre que você não souber o valor desconhecido, 
represente-o por uma letra minúscula;
• quando for montar a equação, use essa letra que você 
determinou;
• faça a prova real da situação para ver se o valor desconhecido 
encontrado é o correto;
• escreva a resposta do problema.
10
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Exemplo:
(a)
(DANTE-2010 p. 129 nº 56) Francisca tinha certa quantia 
em dinheiro e ganhou de sua mãe o dobro do que tinha. Com 
isso, cada uma fi cou com R$ 186,00. Quanto de dinheiro tinha 
cada uma no início?
 Prova Real
x + 2x = 186 62 + 2.62 = 186
3x = 186 62 + 124= 186
x = 186 = 186
x = 62
Francisca tinha no começo R$ 62,00 e sua mãe R$ 310,00
Porque, se Francisca tinha 62 e sua mãe lhe deu o dobro, 
que é 124, e agora as duas têm o mesmo valor, no início sua 
mãe tinha 310 (124 + 186 = 310).
(b)
(DANTE-2010 p. 129 nº 49) 
Você conhece essa charada? O gavião chega ao pombal 
e diz:
- Adeus, minhas 100 Pombas! As pombas respondem em 
coro:
- 100 pombas não somos nós; com mais dois tantos de 
nós e com você, meu caro gavião, 100 pássaros seremos 
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nós. Quantas pombas estavam no pombal?
Resolução:
Veja: 100 é o total, quer dizer nossa igualdade.
Com mais dois tantos de nós e com você: quer dizer: 
não sabemos quanto vale esse quem somos nós, então ele 
é nosso valor desconhecido (x); como são mais dois tantos, 
temos (2x) mais 1 do gavião.
Equação: x + 2x + 1 = 100
Resolvendo: vamos lembrar-nos das operações inversas 
e dos princípios.
x + 2x + 1 = 100
3x = 100 – 1
3x = 99
x = x = 33 Resposta: Havia 33 pombas no pombal.
EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
São as equações que podem ser escritas na forma ax + 
by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0.
Alguns exemplos:
3x – 6y = 9 -4x + 3y = 6 x + 3m = 7 a – b = 15
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Uma das maneiras de resolver a equação do 1º grau 
com duas incógnitas é através dos valores possíveis 
de x e y. Para isso montaremos uma tabela com esses 
valores possíveis.
Veja: se tivermos a equação x + y = 6, iremos atribuir 
valores para x, assim acharemos valores para y.
x y x + y = 6 x y x+ y = 6
4 4 + y = 6 4 2 4+ y = 6
3 3 + y = 6 3 3 3+ y = 6
2 2+ y = 6 2 4 2+ y = 6
1 1+ y = 6 1 5 1+ y = 6
Os sistemas de equação não têm solução única para 
uma equação com duas incógnitas, mas, para os números 
inteiros, têm.
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Assim temos valores de x e y, as soluções da equação 
com duas incógnitas podem ser representadas por pares 
ordenados (x, y) e representados grafi camente. Em relação à 
equação x = y = 6, os pares ordenados são (4,2), (3,3), (2,4), 
(1,5) e correspondem a algumas soluções.
Sendo assim, podemos atribuir infi nitos valores para 
x, obtendo infi nitos pares ordenados. No plano cartesiano, 
esses pares ordenados são representados por pontos que 
constituem uma reta.
Exemplo:
FIGURA 1: GRÁFICO WINPLOT DA EQUAÇÃO X + Y = 6 COM SEUS PARES 
ORDENADOS
FONTE: A autora
14
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SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM 
DUAS INCÓGNITAS
Demonstração através de uma situação-problema.
Em um sítio, temos galinhas e cachorros. Todavia, só 
sabemos que temos 11 cabeças e 36 pés. Quantas galinhas 
e quantos cachorros há no sítio?
Para resolvermos esse problema, usamos o sistema de 
equação com duas incógnitas.
Iremos anotar os dados do problema, veja:
Sendo galinhas (x) e cachorros (y), representados por x 
e y, sabemos que são 11, e que as galinhas têm dois pés (2x) 
e os cachorros quatro (4x), totalizando 36 pés.
Com esses dados, podemos montar o sistema:
 Isso ocorre porque as duas equações serão 
satisfeitas ao mesmo tempo:
Solução do Sistema
Os sistemas de equação não têm solução única para 
uma equação com duas incógnitas, mas, sim, para os 
números inteiros.
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Para resolvermos esses sistemas, existem duas maneiras: 
uma através do método da substituição e outra através 
do método da adição.
Método da substituição
Exemplo:
1º passo: isolamos o primeiro membro de uma das equações.
Nesse caso, pela primeira equação
x + y = 11
x = 11 – y isso quer dizer que o x agora vale 11 – y
2º passo: na outra equação, iremos substituir x por 11 – y.
2x + 4y = 36
2(11 – y) + 4y = 36 veja: ao substituirmos x por 11 – y, temos uma 
equação com uma incógnita;
22 – 2y + 4y = 36 agora o procedimento é o mesmo visto 
anteriormente
-2y + 4y = 36 – 22 
A solução do sistema é um par ordenado que satisfaça 
simultaneamente as duas equações.
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2y = 24
y = 
y = 7
3º passo: como temos o valor de y, voltamos à primeira 
equação para acharmos o valor de x.
x = 11 – y Para tirarmos a prova real, é só
x = 11 – 7 substituir os valores na segunda
x = 4 para obtermos uma igualdade:
 Veja: 2x + 4y = 36
 2.4 + 4.7 = 36
 8 + 28 = 36 
 36 = 36
Resposta: No sítio temos 4 galinhas e 7 cachorros. 
(b)
Exemplo:
1º Isolamos uma das equações: 
5x + 4y = 12
5x = 12 – 4y
x = , temos uma fração na substituição do (x).
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2º Substituição de x por na segunda equação:
2x – y = 16
2. 
 
 - y = 16 lembre das propriedades vistas 
anteriormente, nesse caso primeira distributiva
- y = 16 reduzimos todos os termos ao 
 mesmo denominador
 multiplicamos a equação por 5, 
eliminando os denominadores
24 – 8y – 5y = 80
- 8y – 5y = 80 – 24
- 13y = 56
- y = .(-1) multiplicamos ambos os membros 
por – 1 
y = 
3º voltamos à primeira equação para encontrarmos o valor do 
x, pois tempos que y = .
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x = 
x = 
x = 
x = 
x = = 
x = A solução dessa equação x = e y = .
MÉTODO DA ADIÇÃO
156 + 224________
 13________
 5
380___
 13___
 5
380___ 5 ÷
13
380___
 65
76___
 13
19
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assim, poderemos cancelar o x pelo 
método da adição.
Vamos utilizar o exemplo citado anteriormente das 
galinhas e dos cachorros para você escolher qual a maneira 
que achar mais conveniente para resolver.
Para resolvermos esse sistema, primeiramente temos 
que multiplicar uma das equações por um valor que cancele 
um dos valores da segunda ou vice-versa. Nesse caso, 
iremos multiplicar todos os membros da primeira por (-2), pois 
para podermos cancelar um valor temos que nos lembrar dos 
números opostos.
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e, para encontrarmos o valor de x, é só substituir na equação 
que não foi multiplicada. Nesse caso, a segunda equação:
2x + 4y = 36 como y = 7
2x + 4.7 = 36
2x + 28 = 36
2x = 36 – 28
2x = 8
x = 
2
8
x = 4
Solução x = 4 e y = 7; sendo assim, temos 4 galinhas e 7 
cachorros, como visto anteriormente.
Gráfi co ou geometricamente, a solução de um sistema de 
duas equações do 1º grau com duas incógnitas é o ponto de 
intersecção das duas retas, correspondentes às equações, 
lembrando que a equação do 1º grau nos traz uma reta como 
solução.
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FIGURA 2: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ONDE X = 4 E Y = 7 PONTO DEINTERSECÇÃO DAS RETAS.
FONTE: A autora 
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INEQUAÇÕES
As desigualdades que contêm letras são chamadas 
de inequações. Essas inequações do 1º grau podem 
ser escritas na forma ax > b ou ax < b ou ax ≥ b ou 
ax ≤ b, com a ≠ 0 (zero). 
Alguns sinais que identifi cam as desigualdades:
≥: maior que ou igual a ≤: menor que ou igual a
>: maior que <: menor que
≠: diferente de
Resolver uma inequação é descobrir todas as suas 
soluções, diferente da equação, onde encontrávamos apenas 
uma solução para cada valor desconhecido.
Exemplo:
2x – 4 > 9 a resolução tem o mesmo princípio das 
equações, mas agora uma desigualdade
2x > 9 + 4
2x > 13
x > 
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S= 
Assim, as soluções da inequação são todos os números 
racionais maiores que .
Na representação gráfi ca, também observamos, pois 
todas as soluções possíveis são a partir de um determinado 
valor.
 Observe:
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PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
 PARA INCÓGNITAS NEGATIVAS
Temos que tomar cuidado na resolução ao aplicar 
o princípio multiplicativo das inequações, pois, quando a 
incógnita for negativa, multiplicamos todos os membros por 
(-1) e a desigualdade também.
Observe antes de resolver a inequação os seguintes 
exemplos:
-1 > -2 e 1 < 2, 
-7 < 0 e 0 > -7 
-9 < -8 e -8 > -9 
Exemplo:
– 5 – 9x < 13 somamos aos dois termos 5
– 5 + 5 – 9x < 13 + 5
0 – 9x < 18
– 9x < 18 . (- 1) 
9x > - 18 
 
x > 
x > -2 
S = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
ATENÇÃO: multiplicamos 
todos os membros por (-1) 
quando primeiro termo for 
negativo. Assim, temos 
que inverter o sinal da 
desigualdade.
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Logo, a solução da inequação são todos os valores 
maiores que -2. 
Temos que tomar cuidado com os sinais de desigualdades 
na hora da solução da inequação:
Exemplos:
(a)
x ≥ 3 solução, S = {3, 4, 5, 6, 7, ...}
x > 3 solução, S = {4, 5, 6, 7, ...}
Observe que o sinal maior igual inclui o três, já no sinal 
maior é a partir do três.
(b)
x ≤ -6 solução, S = {..., -7, -6,}
x < -6 solução, S = {..., -8, -7}
Novamente o sinal menor igual inclui o -6 já no sinal 
menor é a partir do -6.
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Em relação aos números positivos, quanto mais próximo 
do zero (ponto de origem) o número estiver, menor 
é a quantidade que ele representa. Já em relação aos 
números negativos, quanto mais próximo do zero (ponto 
de origem) o número estiver, maior é a quantidade 
que ele representa. Por isso, tome cuidado, pois quanto 
menor o número negativo for, mais distante do zero 
(ponto de origem) ele estará.
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COMPARAÇÃO DE NÚMEROS NEGATIVOS
-11 > -12 -6 < -4 0 > -1 -2 < 0 -7 > -9 -11 < -3
Exemplo:
Prova Real substitui o x por qualquer valor da solução:
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RESUMO DO TÓPICO
EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA
Então, uma equação é do 1º grau quando apresenta 
uma incógnita, quando pode ser escrita na forma: ax = b, com 
a ≠ 0 (zero). Porque não existe divisão por zero.
 
Para a resolução da equação, podemos usar dois 
princípios: 
No princípio aditivo, a igualdade não se altera ao 
adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número nos dois 
membros da equação. 
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No princípio multiplicativo, a igualdade se mantém ao 
multiplicarmos ou dividirmos os dois membros da equação 
pelo mesmo número, diferente de zero.
Dicas para obter sucesso no desenvolvimento da 
situação-problema:
* sempre leia com atenção a situação proposta e 
verifi que o que se conhece e o que vai ser determinado, ou 
seja, vá anotando o que o problema pede e os dados que ele 
traz;
* sempre que você não souber o valor desconhecido, 
represente-o por uma letra minúscula;
* quando for montar a equação, use essa letra que você 
determinou;
* faça a prova real da situação para ver se o valor 
desconhecido encontrado é o correto;
* escreva a resposta do problema.
EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
São as equações que podem ser escritas na forma ax + 
by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0.
SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM 
DUAS INCÓGNITAS
Os sistemas podem ser resolvidos de duas maneiras: 
pelo método da adição ou pelo método da substituição.
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Gráfi co ou geometricamente, a solução de um sistema 
de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é o 
ponto de intersecção das duas retas, correspondentes às 
equações, lembrando que a equação do 1º grau nos traz uma 
reta como solução.
INEQUAÇÕES
As desigualdades que contêm letras são chamadas de 
inequações. Essas inequações do 1º grau podem ser escritas 
na forma ax > b ou ax < b ou ax ≥ b ou ax ≤ b, com a ≠ 0 (zero). 
Alguns sinais que identifi cam as desigualdades:
≥: maior que ou igual a ≤: menor que ou igual a
>: maior que <: menor que
≠: diferente de
Lembrando que, quando multiplicamos valores por um 
negativo (-1), inverte-se o sinal da desigualdade, observe: -5 
< -2 . (-1) = 5 > 2
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1. Determine qual será a solução de cada equação, x – 1 = 
7 – 2x:
a) 
b) 
c) 6
d) – 6 
2. Determine qual será a solução de cada equação: 3(x + 3) 
– 1 = 2:
a) 0
b) – 2
c) 1
d) – 1 
3. Encontre a raiz da equação 5(2x + 7) – 1 = 4(x – 5) + 9:
a) 
b) 
A UTOATIVIDADES
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c) 
d) 
4. Encontre a raiz da equação :
a) 
b) 7
c) 7,35
d) – 
5. A idade de Carlos é o quíntuplo da idade de Álvaro, e a 
soma das idades dos dois é 36 anos. Qual a idade de Carlos?
a) 30 anos
b) 13 anos
c) 26 anos
d) 43 anos
6. Mauro tem 6 anos e seu irmão o triplo da sua idade mais 
três. Quantos anos o irmão de Mauro tem?
a) 12 anos
b) 17 anos
c) 21 anos
d) 18 anos
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7. Ana comprou 18 canetas, a R$ 3,50 cada uma, e 32 lápis. 
Se o valor total da compra foi de R$ 87,00, o preço de cada 
lápis foi:
a) A metade do preço de cada caneta.
b) A quarta parte do valor da caneta.
c) O triplo de R$ 0,25.
d) Nenhuma das alternativas.
8. A expressão “a metade da soma de um número inteiro com 
o seu sucessivo”, simbolicamente, pode ser representada por:
a)
b)
c)
d)
9. As soluções possíveis da inequação, 
é:
34
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a)
b)
c)
d) Nenhuma das alternativas
10. O número 2 é a solução de qual inequação?
a) x – 8 > 0
b)
c)
d)
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1. Determine qual será a solução de cada equação, x – 1 = 7 – 2x:
x – 1 = 7 – 2x
x + 2x = 7 + 1
3x = 8
x = assim a sentença verdadeira é a letra A.
a) 
b) 
c) 6
d) – 6 
2. Determine qual será a solução de cada equação: 3(x + 3) – 1 = 2:
3(x + 3) – 1 = 2
3x + 9 – 1 = 2
3x = 2 – 9 + 1 
3x = – 7 + 1
3x = – 6
x = 3
6
−
 
x = - 2 assim a sentença verdadeira é a letra B 
a) 0
b) – 2
c) 1
d) – 1 
G ABARITO
36
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3. Encontre a raiz da equação 5(2x + 7) – 1 = 4(x – 5) + 9:
5(2x + 7) – 1 = 4(x – 5) + 9
10x + 35 – 1 = 4x – 20 + 9
10x + 34 = 4x – 11
10 x – 4x = - 11 – 34 
6x = – 45 
x = 
Assim a sentença verdadeira é a letra A lembre-se que foi utilizada a simplifi cação 
de fração.
a) 
b) 
c) 
d) 
4. Encontre a raiz da equação :
assim a sentença verdadeira é a letra A
37
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5. A idade de Carlos é o quíntuplo da idade de Álvaro, e a soma das idades dos 
dois é 36 anos. Qual a idade de Carlos?
Idade de Álvaro = x
Idade de Carlos = 5x
x + 5x = 36
6x = 36
x = 
x = 6 assim a sentença verdadeira é a letra A.
a) 30 anos
b) 13 anos
c) 26 anos
d) 43 anos
6. Mauro tem 6 anos e seu irmão o triplo da sua idade mais três. Quantos anos o 
irmão de Mauro tem?
Mauro = 6 anos 
Irmão de Mauro = 3.6 + 3 = x
x = 3.6 + 3
x = 18 + 3
x = 21 Assim a sentença verdadeira é a letra C
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a) 12 anos
b) 17 anos
c) 21 anos
d) 18 anos
7. Ana comprou 18 canetas, a R$ 3,50 cada uma, e 32 lápis. Se o valor total da 
compra foi de R$ 87,00, o preço de cada lápis foi:
18 . 3,50 + 32.x = 87
63 + 32x = 87
32x = 87 – 63
32x = 24
x = assim a sentença verdadeira é a letra C
x = 0,75
a) A metade do preço de cada caneta.
b) A quarta parte do valor da caneta.
c) O triplo de R$ 0,25.
d) Nenhuma das alternativas.
8. A expressão “a metade da soma de um número inteiro com o seu sucessivo”, 
simbolicamente, pode ser representada por:
a)
b)
c)
d)
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9. As soluções possíveis da inequação, 
é:
Desenvolvimento
a)
b)
c)
d) Nenhuma das alternativas
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10. O número 2 é a solução de qual inequação?
Nessa questão é necessário desenvolver todas para saber a correta:
a) x > 0 + 8 
 x > 8
b) 
c) 
d) 
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a) x – 8 > 0
b)
c)
d)
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RAZÕES E PROPORÇÕES
Razão de dois números é o quociente simplifi cado do 
primeiro pelo segundo, sendo o segundo diferente de zero.
Quando falamos
de quociente, estamos falando da divisão de dois 
números, e o quociente é o resultado dessa divisão; 
assim, o segundo precisa ser diferente de zero, pois 
não existe divisão por zero.
Proporção é a igualdade de duas razões.
Exemplo:
Há quatro números em uma sequência: 1, 4, 3, 12. 
Nessa ordem, formam uma proporção. Assim:
, lê-se: 1 está para 4, assim como 3 está para 12.
A razão do primeiro está para o segundo e a razão do 
terceiro está para o quarto. 
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Então, os números 1, 4, 3 e 12 formam uma proporção, 
assim:
Então: 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, ou vice-versa.
 
 Produto dos meios
 Produto dos extremos
 
REGRA DE TRÊS
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
A regra de três simples é utilizada para resolver situações 
que envolvam grandezas diretamente proporcionais, isso 
quer dizer que, ao aumentar uma delas, a outra aumenta 
na mesma proporção.
5
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O que caracteriza duas grandezas diretamente 
proporcionais é a razão entre dois valores, uma delas é igual 
à razão entre os valores correspondentes da outra.
Vamos pensar na situação do consumo de energia 
elétrica de alguns aparelhos domésticos. Partindo do fato de 
que, quanto mais você usar, mais energia irá pagar, assim:
Exemplo:
TABELA 1 – CONSUMO DE ENERGIA POR APARELHOS DOMÉSTICOS
Aparelho Tempo de uso por dia Consumo (KWh)
Geladeira 8h 210
Computador 12h 50,4
TV 7h 18,9
Chuveiro 1h 46,6
FONTE: O autor
De acordo com a tabela 01, podemos observar que, quanto 
maior é o tempo de uso dos eletrodomésticos, maior será o consumo 
de energia de cada um. Isso quer dizer que tempo e consumo são 
grandezas diretamente proporcionais.
Se o uso da TV fosse de 15 horas por dia, qual seria o 
consumo? Veja que a energia é indicada por (x).
Tempo de uso Consumo (KWh)
7h 18,9
15h x
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Isso quer dizer que a proporção é de ; para 
obtermos o valor do (x), basta multiplicar numerador da 
primeira fração pelo denominador da segunda fração, e vice-
versa, veja:
Ou seja, a TV vai consumir 40,5 (KWh) se fi car ligada 
15 horas.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Em duas grandezas inversamente proporcionais, a 
razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da 
razão entre os dois valores.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando 
ao aumentar ou diminuir o valor de uma delas certo 
número de vezes, o valor da outra diminui ou aumenta 
na mesma proporção.
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Exemplo:
Para colher 500 caixas de maçãs foram necessárias 15 
pessoas trabalhando durante 7 dias. Quantas pessoas seriam 
necessárias para colher as mesmas 500 caixas em 5 dias?
Analisando essas informações, podemos perceber que, 
quanto menos dias, mais pessoas serão necessárias. Sendo 
assim, podemos dizer que as grandezas, quantidades de 
pessoas e dias são inversamente proporcionais.
A resolução segue o mesmo procedimento: nesse caso, 
o (x) será o número de pessoas necessárias.
 pessoas dias
As grandezas são inversamente proporcionais, pois 
quanto mais pessoas, menos dias trabalhados.
Temos:
 
, observe que, conforme as fl echas indicaram, 
são inversamente proporcionais.
5.x = 15. 7
5x = 105
x = 21 
8
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Resposta: Serão necessárias 21 pessoas.
Ou seja, se quisermos colher em menos dias, 
precisaremos mais pessoas.
PORCENTAGEM
Porcentagem é qualquer razão 
b
a
, na qual o b é igual 
a 100. A porcentagem é indicada pelo símbolo %, que 
indica uma divisão por 100.
Exemplo:
Toda porcentagem pode ser escrita na forma de fração 
e na forma decimal.
27% = = 0,27
8,5 % = = 0,085
150% = = 1,5
9
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No entanto, quando queremos saber a porcentagem 
de um desconto ou a quantidade que a porcentagem indica, 
resolvemos pela regra de três simples.
Exemplo:
(a)
Superoferta de refrigeradores de R$ 3.045,00, com 
desconto de 42%. Qual será o desconto?
Lembre: nesse caso o (x) é o valor do desconto.
Porcentagem % Valor
100 3.045
42 X
O desconto será de R$ 1.278,90.
(b)
Na compra de uma geladeira que custa R$ 1.296,00 
o desconto será de R$ 150,00. Esse desconto equivale a 
quantos por cento?
O (x) agora é a nossa porcentagem do desconto.
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ou seja, o desconto foi de aproximadamente 11,6 %.
- Você já percebeu que, quando tratamos do valor 
total, ele é representado por 100% = 
100
100 = 1. 
Assim podemos evidenciar várias situações onde a 
aplicabilidade da porcentagem é utilizada.
A mesma situação serve para quando tratamos dados 
numa tabela e queremos saber a porcentagem de cada item. 
Usamos a regra de três.
De acordo com a tabela 2, uma fábrica de conservas 
vendeu em seis meses 15 mil vidros de pepinos. Observe os 
dados:
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 TABELA 2 – QUANTIDADE CONSERVAS DE PEPINO
Meses
(2010)
Vidros
Vendidos
%
mês
Agosto 1.892
Setembro 3.612
Outubro 4.327
Novembro 1.918
Dezembro 3.251
∑=15000
 FONTE: O Autor
Para sabermos qual foi a porcentagem de cada mês, 
resolvemos através da regra de três.
Agosto Setembro Outubro
 
 
100
x
15000
4327
=
15000⋅x = 1892⋅100 15000⋅x = 3612⋅100 15000⋅x=4327⋅100
15000x = 189200 15000x = 361200 15000x = 432700
x = 
15000
325100
x = 
15000
361200
x = 
15000
432700
x ≅ 12,61 x ≅ 24,08 x ≅ 28,85
1892
100
x
15000
1918
=
3612
100
x
15000
3251
=
189200
12
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Novembro Dezembro
100
x
15000
1918
=
100
x
15000
3251
=
15000.x = 1918.100 15000.x =3251.100
15000x = 191800 15000x = 325100
x = 
15000
191800
x = 
15000
325100
x ≅ 12,79 x ≅ 21,67
TABELA 2 – QUANTIDADE CONSERVAS DE PEPINO
Meses
(2010)
Quantidade de vidros 
vendidos
%
mês
Agosto 1.892 12,61
Setembro 3.612 24,08
Outubro 4.327 28,85
Novembro 1.918 12,79
Dezembro 3.251 21,67
∑=15000 ∑= 100
FONTE: O Autor
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(c)
O preço da gasolina vai aumentar 7%. Calcule de 
quantos reais será esse aumento, sabendo-se que atualmente 
a gasolina custa R$ 3,12.
Observe que o que queremos saber, nesse caso, é o 
valor do aumento: ele será nosso (x).
3,12
x
100
7
= 
100.x = 21,84
x = 
x = 0,2184 
Ou seja, a gasolina terá um aumento de aproximadamente 
R$ 0,22 
Toda vez que calcularmos porcentagem em uma tabela, 
temos que tomar cuidado com os arredondamentos, 
pois o somatório da porcentagem sempre terá que 
ser 100%. Observe que, quando resolvemos a regra 
de três, sempre temos que observar os dados que a 
tabela ou a situação-problema nos traz.
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REGRA DE TRÊS
Grandezas diretamente proporcionais: ao aumentar uma 
delas, a outra aumenta na mesma proporção. Mais consumo 
de energia, maior a fatura de energia.
Grandezas inversamente proporcionais: ao aumentar 
uma, a outra diminui na mesma proporção. Numa colheita 
mais pessoas trabalhando, menos dias de colheita.
PORCENTAGEM
Porcentagem é qualquer razão 
b
a , na qual o b é igual 
a 100. A porcentagem é indicada pelo símbolo %, que indica 
uma divisão por 100.
R ESUMO DO TÓPICO
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1. Num treino de handebol, Sandro fez 500 arremessos e 
acertou 415. Rafael fez 400 arremessos e errou 89.
a) Calcule a porcentagem de acertos de cada um.
b) Quem teve a maior porcentagem de acertos?
Assinale a alternativa correta:
a) 83% e 22,25%, Sandro maior pontuação.
b) 83% e 77,75%, Sandro maior pontuação.
c) 8,3% e 7,77%, Rafael maior pontuação.
d) 8,3% e 22,25%, Rafael maior pontuação.
2. A classe de Luiz tem 30 alunos: 4 com 8 anos, 14 com 9 
anos e 12 com 10 anos. Calcule a porcentagem dos alunos 
que têm 10 anos.
Assinale a alternativa correta:
a) 50 % dos alunos.
b) 40% dos alunos.
c) 12% dos alunos.
d) 36% dos alunos.
3. No início de uma corrida, havia 312 atletas. Depois de 
15 minutos, um terço dos atletas deixou a corrida. Dos que 
sobraram, metade desistiu. Dos que restaram, apenas 15% 
conseguiram chegar até o fi nal. Assim, concluíram a prova:
A UTOATIVIDADE
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a) Aproximadamente 16 atletas.
b) Aproximadamente 80 atletas.
c) Aproximadamente 45 atletas.
d) Aproximadamente 8 atletas.
4. Em uma classe de 26 alunos, faltaram 6. Qual a porcentagem 
dos alunos presentes?
a) Aproximadamente 77%
b) Aproximadamente 23%
c) Aproximadamente 6%
d) Aproximadamente 20%
5. Durante uma competição, um tenista disputou 47 
jogos e venceu 29 deles. Qual foi seu aproveitamento em 
porcentagem?
a) Aproximadamente 62%
b) Aproximadamente 38%
c) Aproximadamente 29%
d) Aproximadamente 47%
6. Uma empresa teve um faturamento de R$ 145.000,00 
durante o último semestre de 2010, sendo que o gerente 
gostaria de ter uma tabela com suas respectivas porcentagens/
mês. De acordo com a tabela, verifi que a porcentagem/mês 
dessa empresa.
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Meses (2010) Vendas/Mês
%
mês
Agosto 25.012,00
Setembro 30.545,26
Outubro 43.270,02
Novembro 19.188,22
Dezembro 26.984,50
Observação, as porcentagens estão em ordem de 
agosto a dezembro.
Assinale a alternativa correta:
a) 17%, 21%, 30%, 13%, 19%
b) 13%, 20%, 32%, 19%, 16%
c) 32%, 18%, 20%, 13%, 17%
d) 15%, 25%, 10%, 30%, 20% 
7. De acordo com a tabela a seguir, foram vendidos 36.548 
automóveis durante um feirão. A tabela nos mostra em 
porcentagem a venda desses veículos. Calcule quantos 
veículos de cada marca foram vendidos.
Frota de Veículos Vendas Feirão % Vendas
Volkswagen 33
Fiat 21
Ford 27
Chevrolet 17
Outras 2
∑= ∑=
∑=∑=
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Os valores estão na ordem de VW a Outras.
Assinale a alternativa correta:
a) Aproximadamente 12.061, 7.675, 9.868, 6.213, 731 carros.
b) Aproximadamente 3.300, 2.100, 2.700, 1.700, 200 carros.
c) Aproximadamente 33.061, 21.675, 9.868, 16.213, 2.731 
carros.
d) Aproximadamente 13.530, 11.536, 9.857, 827, 798, carros.
8. Para a pintura de um muro, são necessários, para pintar 
em 10 dias, 30 pintores. Para fazer o mesmo serviço em 6 
dias, quantos pintores serão necessários?
a) Serão necessários 50 pintores.
b) Serão necessários 18 pintores.
c) Serão necessários 36 pintores.
d) Serão necessários 40 pintores.
9. Uma casa é construída em 90 dias, por uma equipe de 
13 pedreiros. Em quanto tempo fi caria pronta a mesma casa 
com uma equipe de 26 pedreiros?
a) Em 45 dias.
b) Em 60 dias.
c) Em 108 dias.
d) Em 180 dias.
10. Em um campeonato de reciclagem, a turma de Maristela 
trouxe 615 kg de papel e a turma de Clara trouxe 13% a mais. 
Quantos quilos a turma de Clara trouxe?
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Assinale a alternativa correta:
a) Aproximadamente 695 kg. 
b) Aproximadamente 800 kg.
c) Aproximadamente 628 kg.
d) Aproximadamente 211 kg.
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1. Num treino de handebol, Sandro fez 500 arremessos e acertou 415. Rafael fez 
400 arremessos e errou 89.
a) Calcule a porcentagem de acertos de cada um.
b) Quem teve a maior porcentagem de acertos?
Sandro (acerto)
500 = 100
415 = x
Assim: 
500x =41500
x = 41500/500
x = 83%
Rafael (erro)
400 = 100
89 = x
Assim: 
400x =8900
x = 8900/400
x = 22,25% 
Como queremos saber a quantidade de acertos 100 - 22,25 = 77,75% acertos de 
Rafael.
Assim Sandro teve 83 % e Rafael 77,75% de acertos.
Assinale a alternativa correta:
a) 83% e 22,25%, Sandro maior pontuação.
b) 83% e 77,75%, Sandro maior pontuação.
c) 8,3% e 7,77%, Rafael maior pontuação.
d) 8,3% e 22,25%, Rafael maior pontuação.
2. A classe de Luiz tem 30 alunos: 4 com 8 anos, 14 com 9 anos e 12 com 10 anos. 
Calcule a porcentagem dos alunos que têm 10 anos.
30 = 100
12 = x
Assim: 
30x =1200
G ABARITO
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x = 1200/30
x = 40%
Assinale a alternativa correta:
a) 50% dos alunos.
b) 40% dos alunos.
c) 12% dos alunos.
d) 36% dos alunos.
3. No início de uma corrida, havia 312 atletas. Depois de 15 minutos, um terço dos 
atletas deixou a corrida. Dos que sobraram, metade desistiu. Dos que restaram, 
aproximadamente 15% conseguiram chegar até o fi nal. Assim, concluíram a prova:
Desenvolvimento
104x
x
3
312
x
3
1312.
=
=
=
 
Primeiramente precisamos saber quantos sobraram depois dos 15 minutos, ou 
seja 208 atletas.
Desses 104 metade desistiu então: 
E por fi m desses 104 atletas somente 15% concluíram a prova, então 104 ⋅ 0,15 
= 15,6 atletas.
a) Aproximadamente 16 atletas.
b) Aproximadamente 80 atletas.
c) Aproximadamente 45 atletas.
d) Aproximadamente 8 atletas.4. Em uma classe de 26 alunos, faltaram 6. Qual a porcentagem dos alunos 
presentes?
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26 = 100
6 = x
Assim,
26x = 600
x = 600 / 26
x = 23,08% estes são os que faltaram, assim, os que compareceram 
100 – 23,08 = 76,92 ou seja aproximadamente 77 %
a) Aproximadamente 77%
b) Aproximadamente 23%
c) Aproximadamente 6%
d) Aproximadamente 20%
5. Durante uma competição, um tenista disputou 47 jogos e venceu 29 deles. Qual 
foi seu aproveitamento em porcentagem?
47 = 100
29 = x
Assim, 
47x = 2900
x = 2900 / 47
x = 61,70%
a) Aproximadamente 62%
b) Aproximadamente 38%
c) Aproximadamente 29%
d) Aproximadamente 47%
6. Uma empresa teve um faturamento de R$ 145.000,00 durante o último semestre 
de 2010, sendo que o gerente gostaria de ter uma tabela com suas respectivas 
porcentagens mês. Verifi que na tabela a porcentagem mês dessa empresa:
Meses (2010) Vendas/Mês
%
mês
Agosto 25.012,00
Setembro 30.545,26
Outubro 43.270,02
Novembro 19.188,22
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Dezembro 26.984,50
∑= ∑=
Desenvolvimento
Primeiro saber o faturamento semestral que é o somatório dos últimos 6 
meses assim, 145.000,00
Para calcularmos o percentual de cada mês utilizamos a regra de três:
Assim, 
Mês Agosto
145.000,00 = 100
 25.012,00 = x
145.000,00x = 2.501.200,00
x = 2.501.200,00 /145.000,00
x = 17,25 %
Mês Setembro
145.000,00 = 100
 30.545,26 = x
145.000,00x = 3.054.526,00
x = 3.054.526,00 /145.000,00
x = 21,07 %
Mês Outubro
145.000,00 = 100
 43.270,02 = x
145.000,00x = 4.327.002,00
x = 4.327.002,00 /145.000,00
x = 29,84 %
Mês Novembro
145.000,00 = 100
 19.188,22 = x
145.000,00x =1.918.822,00
x = 1.918.822,00 /145.000,00
x = 13,23 %
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Mês Dezembro
145.000,00 = 100
 26.984,50 = x
145.000,00x =2.698.450,00
x = 2.698.450,00 /145.000,00
x = 18,61 %
Lembre-se que quando vamos montar uma tabela o total da porcentagem 
deve ser 100 % por isso tome cuidado com os arredondamentos. 
Então as porcentagens mês:
Agosto 17,25 %
Setembro 21,07 %
Outubro 29,84 %
Novembro 13,23 %
Dezembro 18,61%
Assim o total é de 17,25 + 21,07 + 29,84 + 13,23 + 18,61 = 100 
Meses (2010) Vendas Mês %
mês
Agosto 25.012,00 17,25
Setembro 30.545,26 21,07
Outubro 43.270,02 29,84
Novembro 19.188,22 13,23
Dezembro 26.984,50 18,61
∑= 145.000,00 ∑= 100
 
Observação, as porcentagens estão em ordem de agosto a dezembro.
Assinale a alternativa correta:
a) 17%, 21%, 30%, 13%, 19%
b) 13%, 20%, 32%, 19%, 16%
c) 32%, 18%, 20%, 13%, 17%
d) 15%, 25%, 10%, 30%, 20% 
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7. De acordo com a tabela a seguir, foram vendidos 36.548 automóveis durante 
um feirão. A tabela nos mostra em porcentagem a venda desses veículos. Calcule 
quantos veículos de cada marca foram vendidos.
Frota de Veículos Vendas Feirão % Vendas
Volkswagen 33
Fiat 21
Ford 27
Chevrolet 17
Outras 2
∑= ∑=
Volkswagen
36548 = 100
 x = 33
100x = 1.206.084
x = 1.206.084/ 100
x = 12.060,84
Fiat
36548 = 100
 x = 21
100x = 767.508
x = 767.508/ 100
x = 7.675,08 
Chevrolet 
36548 = 100
 x = 27
100x = 986.796
x = 986.796/ 100
x = 9.867,96 
Ford
36548 = 100
 x = 17
100x = 621.316
26
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x = 621.316/ 100
x = 6.213,16 
Outros
36548 = 100
 x = 2
100x = 73.096
x = 73.096/ 100
x = 730,96 
A soma dos valores de vê ser 365548 
Assim, 12.060,84 + 7.675,08 + 9.867,96 + 6.213,16 + 730,96 = 36.548
Lembrando que como estamos exemplifi cando veículos temos que arredondar os 
valores, para preenchermos a tabela:
Então:
 Aproximadamente
VW = 12.061
Fiat = 7.675
Chevrolet = 9.868
Ford = 6.213
Outros = 731
Frota de Veículos Vendas Feirão % Vendas
Volkswagen 12.061 33
Fiat 7.675 21
Ford 9.868 27
Chevrolet 6.213 17
Outras 731 2
∑= 36.548 ∑= 100
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Os valores estão na ordem de VW a Outras.
Assinale a alternativa correta:
a) Aproximadamente 12.061, 7.675, 9.868, 6.213, 731 carros.
b) Aproximadamente 3.300, 2.100, 2.700, 1.700, 200 carros.
c) Aproximadamente 33.061, 21.675, 9.868, 16.213, 2.731 carros.
d) Aproximadamente 13.530, 11.536, 9.857, 827, 798, carros.
8. Para a pintura de um muro, são necessários 30 pintores para pintá-lo em 10 
dias. Para fazer o mesmo serviço em 6 dias, quantos pintores serão necessários?
Para esse desenvolvimento vamos utilizar a regra de três inversa
30 = 10
x = 6
Assim:
30 = 6
x = 10
6x = 10 . 30
6x = 300
x = 300/6
x = 50 Assim com menos dias serão necessários mais pintores.
a) Serão necessários 50 pintores.
b) Serão necessários 18 pintores.
c) Serão necessários 36 pintores.
d) Serão necessários 40 pintores.
9. Uma casa é construída em 90 dias, por uma equipe de 13 pedreiros. Em quanto 
tempo fi caria pronta a mesma casa com uma equipe de 26 pedreiros?
Para esse desenvolvimento vamos utilizar a regra de três inversa.
90 = 13
 x = 26
Assim:
90 = 26
x = 13
26x = 13 . 90
26x = 1170
x = 1170/26
x = 45 Assim com mais pedreiros menos dias serão necessários.
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a) Em 45 dias.
b) Em 60 dias.
c) Em 108 dias.
d) Em 180 dias.
10. Em um campeonato de reciclagem, a turma de Maristela trouxe 615 kg de 
papel e a turma de Clara trouxe 13% a mais. Quantos quilos a turma de Clara 
trouxe?
615 . 0,13 = 79,95
Como 13 % representam 79,95 kg somando a quantidade de Maristela temos 615 
+ 79,95 = 694,95 kg
Assinale a alternativa correta:
a) Aproximadamente 695 kg.
b) Aproximadamente 800 kg.
c) Aproximadamente 628 kg.
d) Aproximadamente 211 kg.