Aula 15 - Esforços nos Apoio de Pontes -rev3

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Aula 15
1Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Prof. M. Sc. João Paulo de Barros Cavalcante
E-mail: jpbarrosc@hotmail.com
Esforços nos Apoio de Pontes
Disciplina: Pontes
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2Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Relembrando...
“A necessidade ocorre porque quando duas peças
estruturais se apoiam uma sobre a outra, elas podem
girar (rotação) ou deslizar (translação) uma em relação
à outra. Estes movimentos de rotação e translação nem
sempre podem ser absorvidos por alguma das duas
peças, tornando assim necessário, um elemento
intermediário entre elas, que é o aparelho de apoio”.
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3Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Para analisar os esforços nos elementos dos apoios das
pontes, as ações podem ser divididas em dois grupos:
• Ações aplicadas na superestrutura que produzem
esforços nos apoios;
• Ações aplicadas diretamente nos elementos dos
apoios.
Essas ações podem ser de dois tipos:
• Verticais;
• Horizontais.
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4Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Ações verticais:
• Carga permanente
• Carga móvel
• Impacto vertical
Ações horizontais:
• Frenagem e aceleração da carga móvel; Empuxo de
terra e da sobrecarga; Força centrífuga; Impacto
lateral;
• Pressão do vento; Deformações do tabuleiro causadas
pela retração e fluência do concreto, pela variação de
temperatura, e pela Protensão; Pressão de água;
choque de veículos.
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5Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Constantes elásticas dos apoios
• Para o cálculo dos esforços nos apoios, provocados pelas
ações horizontais aplicadas na superestrutura, é feita a
hipótese de proporcionalidade entre os deslocamentos
horizontais e as reações horizontais.
• O fator de proporcionalidade é a constante elástica do
apoio, que pode ser definida de duas formas: rigidez e
flexibilidade.
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6Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Constantes elásticas dos apoios
• Rigidez ou coeficiente de rigidez é a força necessária para
produzir um deslocamento unitário.
𝑘 =
𝐹
∆
• Flexibilidade ou coeficiente de flexibilidade é o
deslocamento provocado por uma força unitária.
𝛿 =
∆
𝐹
Portanto:
𝑘 =
1
𝛿
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7Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Constantes elásticas dos apoios
• Aparelho de apoios de neoprene:
No caso de neoprene, as expressões de k e 𝛿 pode ser
deduzida com a aplicação da teoria da Resistência dos
Materiais que fornece as seguintes expressões:
∆= 𝛾ℎ
𝛾 =
𝜏
𝐺
𝜏 =
𝐹
𝐴
∆= 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝛾 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟çã𝑜
ℎ = 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑜𝑝𝑟𝑒𝑛𝑒
𝜏 = 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝐺 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑜𝑝𝑟𝑒𝑛𝑒
𝐹 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑚 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑜𝑝𝑟𝑒𝑛𝑒
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8Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Propriedades da resistência dos materiais:
Constantes elásticas dos apoios
• Aparelho de apoios de neoprene:
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9Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Constantes elásticas dos apoios
• Combinando as expressões anteriores, obtém-se:
∆=
𝐹 ℎ
𝐺 𝐴
Ou,
𝐹
∆
=
𝐺 𝐴
ℎ
Portanto:
𝑘 =
𝐺 𝐴
ℎ
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10Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Constantes elásticas dos apoios
• Pilar
No caso de pilar de seção transversal constante:
∆=
𝐹 ℎ³
3 𝐸𝐼
Implicando em:
𝐹
∆
=
3 𝐸𝐼
ℎ³
Portanto:
𝑘 =
3 𝐸𝐼
ℎ³
∆= 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝐹 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
h = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
𝐸 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙
𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
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11Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Constantes elásticas dos apoios
• Pilar
No caso de pilar de seção transversal variável:
∆= න
0
ℎ𝑀0 𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = න
0
ℎ 𝐹 𝑥 𝑥
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
𝐹
𝐸
න
0
ℎ 𝑥²
𝐼
𝑑𝑥
Portanto:
𝑘 =
𝐸
0׬
ℎ 𝑥²
𝐼
𝑑𝑥
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12Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Constantes elásticas dos apoios
Esforços gerados em pilares, com seção retangular constante e
variável, submetidos a uma força horizontal
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13Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Constantes elásticas dos apoios
• Pilar com aparelho de apoio de neoprene
∆= ∆𝑝 + ∆𝑛
Onde,
∆𝑛=
𝐹 ℎ𝑛
3
𝐺 𝐴
= 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑡𝑜𝑝𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
∆𝑝=
𝐹ℎ𝑝
3
3 𝐸𝐼
= 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑡𝑜𝑝𝑜 𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑜𝑝𝑟𝑒𝑛𝑒
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14Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Constantes elásticas dos apoios
• Pilar com aparelho de apoio de neoprene
Portanto:
∆=
𝐹 ℎ𝑝
3
3 𝐸𝐼
+
𝐹 ℎ𝑛
3
𝐺 𝐴
= 𝐹
ℎ𝑝
3
3 𝐸𝐼
+
ℎ𝑛
3
𝐺 𝐴
E
𝑘 =
1
ℎ𝑝
3
3 𝐸𝐼
+
ℎ𝑛
3
𝐺 𝐴
=
1
1
𝑘𝑝
+
1
𝑘𝑛
=
1
𝛿𝑝 + 𝛿𝑛
=
1
𝛿
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15Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Constantes elásticas dos apoios
• Pilar com aparelho de apoio de neoprene
∆= ∆𝑝 + ∆𝑛
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16Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Constantes elásticas dos apoios
• Pilar com aparelho de apoio de neoprene
Os aparelhos de apoio mais comuns em pontes são:
Aparelho de apoio móvel: 𝑘𝑛 = 0
Aparelho de apoio fixo: 𝑘𝑛 = ∞
Aparelho de apoio neoprene: 𝑘𝑛 = 𝐺𝐴/ℎ
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17Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
• Efeito de uma força horizontal longitudinal
▪ Para o cálculo das reações nos apoios provocadas por uma
força horizontal longitudinal aplicada no tabuleiro, pode-se
supor que esse tabuleiro seja rígido, e que ocorre uma
translação do tabuleiro ao longo do eixo longitudinal da
ponte.
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18Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
▪ Com essa hipótese, os deslocamento horizontais no topo de
todos os apoios terão o mesmo valor, e as reações serão
proporcionais à rigidez de cada apoio
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19Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
▪ Para cada apoio i pode-se escrever:
𝑘𝑖 =
𝑅𝑖
∆𝑖
Onde,
𝑘𝑖 é a rigidez de cada apoio na direção longitudinal
𝑅𝑖 é a reação horizontal
∆𝑖 é o deslocamento horizontal do topo do apoio
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20Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
▪ Como ∆𝑖= ∆ (igual em todos os apoios): 𝑅𝑖 = ∆ 𝑘𝑖
▪ As condições de equilíbrio permitem escrever:
𝐹 = 𝑅1 + 𝑅2 +⋯+ 𝑅𝑛 =෍𝑅𝑖
Substituindo obtém-se:
𝐹 =෍𝑅𝑖 =෍∆ 𝑘𝑖 = ∆෍𝑘𝑖 𝑜𝑢 ∆=
𝐹
σ𝑘𝑖
Portanto:
𝑅𝑖 = ∆ 𝑘𝑖=
𝐹
σ𝑘𝑖
𝑘𝑖 = 𝐹
𝑘𝑖
σ𝑘𝑖
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21Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
• Efeito de uma força horizontal transversal
▪ O cálculo pode ser feito com raciocínio análogo ao do caso
anterior, considerando agora a rigidez dos apoios na direção
transversal.
▪ Além disso, existe a possibilidade de ocorrer também a
rotação do tabuleiro.
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22Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
• Efeito de uma força horizontal transversal
▪ Então, sob a ação da força horizontal transversal, o
tabuleiro rígido poderá sofrer uma translação e uma rotação
(Próxima figura).
▪ A rotação se dará em torno de um ponto que será
denominado centro elástico transversal (CET), que é o
baricentro das rigidezes dos apoios na direção transversal.
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23Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes deTabuleiro reto ortogonal contínuo
• Efeito de uma força horizontal transversal
Efeito de uma força horizontal transversal aplicada num tabuleiro
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24Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
▪ O CET poderá ser determinado com o processo usual para
cálculo de baricentro, isto é, impondo que:
෍𝑘𝑡𝑖 𝑥𝑡𝑖 = 0
Onde,
𝑘𝑡𝑖 é a rigidez de cada apoio na direção transversal
𝑥𝑡𝑖 é a distância de cada apoio ao CET
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25Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
▪ Os deslocamentos ∆𝑖 de cada apoio podem ser divididos em
duas parcelas: a primeira referente ao efeito da translação
(𝛼) e a segunda ao efeito da rotação (𝛽𝑥𝑡𝑖).
Temos, portanto:
∆𝑖= 𝛼 + 𝛽𝑥𝑡𝑖
Logo:
𝑅𝑡𝑖 = ∆𝑖𝑘𝑡𝑖 = (𝛼 + 𝛽𝑥𝑡𝑖)𝑘𝑡𝑖
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26Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
▪ A condição de equilíbrio de forças permite escrever:
𝐹 =෍𝑅𝑡𝑖
▪ Substituindo obtém-se:
𝐹 =෍ (𝛼 + 𝛽𝑥𝑡𝑖)𝑘𝑡𝑖 = 𝛼෍𝑘𝑡𝑖 + 𝛽෍ 𝑥𝑡𝑖𝑘𝑡𝑖
▪ Como:
෍ 𝑥𝑡𝑖𝑘𝑡𝑖 = 0
▪ Resulta:
𝐹 = 𝛼෍𝑘𝑡𝑖 𝑜𝑢 𝛼 =
𝐹
σ𝑘𝑡𝑖
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27Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
▪ A condição de equilíbrio de momentos permite escrever:
𝐹 ∗ 𝑥 =෍𝑅𝑡𝑖 𝑥𝑡𝑖
Onde x é a distância da força F ao CET.
▪ Substituindo a expressão de 𝑅𝑡𝑖 deduzida anteriormente,
obtém-se:
𝐹 ∗ 𝑥 =෍ (𝛼 + 𝛽𝑥𝑡𝑖)𝑘𝑡𝑖𝑥𝑡𝑖 = 𝛼෍𝑘𝑡𝑖𝑥𝑡𝑖 + 𝛽෍ 𝑘𝑡𝑖𝑥𝑡𝑖
2
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28Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
▪ Como:
෍ 𝑥𝑡𝑖𝑘𝑡𝑖 = 0
▪ Obtém-se que:
𝐹 ∗ 𝑥 = 𝛽෍𝑘𝑡𝑖𝑥𝑡𝑖
2 𝑜𝑢 𝛽 =
𝐹 ∗ 𝑥
σ𝑘𝑡𝑖𝑥𝑡𝑖
2
▪ Sendo:
෍ 𝑘𝑡𝑖 = 𝐾 𝑒 ෍𝑘𝑡𝑖𝑥𝑡𝑖
2 = 𝐽
▪ Pode-se escrever:
𝑅𝑡𝑖 =
𝐹
𝐾
+
𝐹 ∗ 𝑥
𝐽
𝑥𝑡𝑖 𝑘𝑡𝑖
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29Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
• Efeito da deformação longitudinal do tabuleiro
▪ As deformações no tabuleiro podem ser provocadas por:
➢ Ação da retração;
➢ Ação da fluência;
➢ Variação de temperatura;
➢ Protensão.
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30Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
• Efeito da deformação longitudinal do tabuleiro
▪ Os apoios que têm articulações fixas ou elásticas, se opõem a
essa deformação resultando em reações e deslocamentos
horizontais no topo desses apoios.
▪ Os deslocamentos dos pontos do tabuleiro se processam nos
dois sentidos da direção longitudinal, existindo portanto um
ponto onde o deslocamento será nulo.
▪ Esse ponto é o baricentro das rigidezes dos apoios na direção
longitudinal, e que será denominado Centro Elástico
Longitudinal (CEL).
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31Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
• Efeito da deformação longitudinal do tabuleiro
▪ O CEL poderá ser determinado de maneira análoga à
determinação do CET, apresentada anteriormente:
෍ 𝑥𝑖𝑘𝑖 = 0
Onde,
𝑥𝑖 é a rigidez de cada apoio na direção longitudinal
𝑘𝑖 é a distância de cada apoio ao CEL
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32Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
• Efeito da deformação longitudinal do tabuleiro
▪ O deslocamento ∆𝑖 de cada apoio é proporcional à distância
𝑥𝑖:
∆𝑖= 𝜀𝑥𝑖
Onde 𝜀 é a deformação específica do tabuleiro.
▪ Portanto:
𝑅𝑖 = ∆𝑖𝑘𝑖 = 𝜀𝑥𝑖𝑘𝑖
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33Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal contínuo
• Efeito da deformação longitudinal do tabuleiro
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34Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pontes de Tabuleiro reto ortogonal descontínuo
▪ O caso mais usual de ponte de tabuleiro reto ortogonal
descontínuo é aquele em que os tramos são simplesmente
apoiados;
▪ Constituídos normalmente de vigas pré-moldadas
protendidas, apoiadas sobre os pilares, em articulações do
tipo elástico (neoprene).
▪ Nesse caso, o cálculo das reações horizontais nos apoios pode
ser por processo de propagação, em que a ação aplicada no
tabuleiro é distribuída entre os apoios, através de
coeficientes de propagação que por sua vez, são obtidos a
partir dos coeficientes de rigidez dos apoios.
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35Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Distribuição dos Esforços
Após as definições de rigidez e deformabilidade e a
determinação da rigidez de cada elemento da meso ou
infraestrutura, pode ser feita a distribuição dos esforços que
atuam na laje/viga principal para os conjuntos aparelho de
apoio/pilar ou tubulão.
Resumindo:
➢ Esforços externos indiretos
• Estes esforços correspondem às ações da frenagem e/ou
aceleração, empuxo na cortina e vento.
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36Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Distribuição dos Esforços
➢ Esforços externos diretos
• Os esforços externos diretos correspondem às ações do solo e
da água sobre os pilares, portanto não há distribuição de
esforços.
➢ Esforços internos diretos
• Estes esforços correspondem à ação da temperatura, fluência
e retração.
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37Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Exercícios
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38Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio (Neoprene)
O dimensionamento de aparelhos de apoio de neoprene consiste
em:
• Fixar as dimensões em planta (a e b)
• Estabelecer a espessura da placa ou das placas
• Determinar o número de placas de neoprene (para
neoprene cintado)
• Verificar as diversas condições de segurança.
Nos casos usuais, faz-se inicialmente o pré-dimensionamento, e
em seguida são feitas as verificações.
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39Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pré-dimensionamento dos Aparelhos de Apoio 
(Neoprene) das Longarinas
• O dimensionamento de aparelhos de neoprene é
essencialmente baseado na limitação das tensões cisalhantes
que se desenvolvem no elastômero ao nível dos planos de
fretagem.
Tensões Admissíveis X Estados Limites
• As tensões cisalhantes são provocadas pelas deformações e
tensões normais impostas.
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40Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pré-dimensionamento dos Aparelhos de Apoio 
(Neoprene) das Longarinas
• Sabendo que a área em planta do aparelho de apoio (S)
pode ser escrita em função da tensão normal ao seu plano
médio (𝜎𝑁) e da solicitação normal (N) respectiva a esta
tensão, então:
𝑆 =
𝑁
𝜎𝑁
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41Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pré-dimensionamento dos Aparelhos de Apoio 
(Neoprene) das Longarinas
• Desta forma pode-se fixar uma tensão normal limite máxima
(𝜎𝑁,𝑚𝑎𝑥) e a partir da solicitação normal máxima (𝑁𝑚𝑎𝑥 )
obter a área mínima necessária (𝑆𝑚𝑖𝑛), assim:
𝑆𝑚𝑖𝑛 =
𝑁𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑁,𝑚𝑎𝑥
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42Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Pré-dimensionamento dos Aparelhos de Apoio 
(Neoprene) das Longarinas
• SETRA (1974) descrito por Almeida (1986) recomenda que
a tensão máxima deve ser adotada como 10MPa.
• Um critério que normalmente é utilizado, é que a menor
dimensão (a) em planta do aparelho de neoprene representa
75% da maior dimensão (b), esta última foi fixada a fim de
se encontrar a primeira a partir da área mínima (𝑆𝑚𝑖𝑛).
• Exemplo: 600 mm x 450 mm
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43Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio (Neoprene)
• Tabela 42: Relação entre a espessura da chapa de fretagem
e altura da camada de elastômero (NBR-9783)
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44Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio (Neoprene)
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45Pontes:Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio (Neoprene)
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46Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio (Neoprene)
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47Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio (Neoprene)
A durabilidade do Neoprene é boa, como se pode ver na tabela abaixo de
autoria de William D. Callister, Jr , em “Materials Science and Engineering
–Introdution” - 4th edition –Wiley -1997.
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48Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio (Neoprene)
Composição:
➢ Policloroprene > 60%;
➢ Negro de fumo < 25%;
➢ Aditivos < 15%.
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49Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio (Neoprene)
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50Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio (Neoprene)
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51Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio (Neoprene)
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52Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio (Neoprene)
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53Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Aparelhos de Apoio - (Neoprene)
• Dimensões em planta
𝑎 ∗ 𝑏 ≥
𝑁𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 7𝑀𝑃𝑎 para 
Neoprene simples
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 11𝑀𝑃𝑎 para 
Neoprene cintado
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54Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
Exercício
Considerando a seção transversal, a ½ vista inferior e o esquema estrutural
indicados a seguir, verificar os esforços solicitantes. Considerar uma ponte
na qual a base do sistema é um veículo-tipo de 450 kN de peso total.
Adotar um concreto C35.
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55Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
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56Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
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57Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
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58Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes
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59Pontes: Esforços nos Apoio de Pontes