Importância do Estudo do Fluxo em Obras de Engenharia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA 
CATARINA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
ECV5104 – Mecânica dos Solos I – 2015.1 
 
TRABALHO 1 
 
 
Aluno: Professor: 
Paula Magro Patrícia de Oliveira Faria 
 
 
Turma: 
06201 D 
 
 
 
Florianópolis, 08 de junho de 2015 
 
1. Solução matemática da equação de Laplace: 
 
Temos como equação de Laplace : 
 ∇²u=0 
Para problemas bidimensionais, com coordenadas cartesianas, 
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
 +
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
 = 0 
 
Diferença central: 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝑢(𝑥𝑖+1,𝑦𝑗)−𝑢(𝑥𝑖−1,𝑦𝑗)
𝑥𝑖+1−𝑋𝑖−1
 =
𝑢𝑖+1,𝑗−𝑢𝑖−1,𝑗
2ℎ
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝑢(𝑥𝑖,𝑦𝑗+1)−𝑢(𝑥𝑖,𝑦𝑗−1)
𝑦𝑖+1−𝑦𝑖−1
 =
𝑢𝑖,𝑗+1−𝑢𝑖,𝑗−1
2𝑙
 
 
Diferença de segunda ordem: 
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
=
𝑢(𝑥𝑖−1,𝑦𝑗)−2𝑢(𝑥𝑖, 𝑦𝑗)+𝑢(𝑥𝑖+1,𝑦𝑗)
𝑥𝑖+1−𝑋𝑖−1
 =
𝑢𝑖−1,𝑗−2𝑢𝑖,𝑗+𝑢𝑖+1,𝑗
ℎ²
 
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
=
𝑢(𝑥𝑖,𝑦𝑗−1)−2𝑢(𝑥𝑖, 𝑦𝑗)+𝑢(𝑥𝑖,𝑦𝑗+1)
𝑥𝑖+1−𝑋𝑖−1
 =
𝑢𝑖,𝑗−1−2𝑢𝑖,𝑗+𝑢𝑖,𝑗+1
𝑙²
 
 
Substituindo as diferenças de segunda ordem, obtemos: 
𝑢𝑖−1,𝑗−2𝑢𝑖,𝑗+𝑢𝑖+1,𝑗
ℎ²
 + 
𝑢𝑖,𝑗−1−2𝑢𝑖,𝑗+𝑢𝑖,𝑗+1
𝑙²
 = 0 
Considerando os incrementos h=l , podemos reescrever como: 
1
ℎ²
{𝑢𝑖−1,𝑗 + 𝑢𝑖+1,𝑗 − 4𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑖,𝑗−1 + 𝑢𝑖,𝑗+1} = 0 
 
Se escrevermos o valor da função u(x,y) em função de (𝑥𝑖 , 𝑦𝑗) 
𝑢𝑖,𝑗=
𝑢𝑖−1,𝑗+𝑢𝑖+1,𝑗+𝑢𝑖,𝑗−1+𝑢𝑖,𝑗+1
4
 
 
 
2. Importância do estudo do fluxo em obras de engenharia. 
 
O estudo do fluxo da agua nos solos é de extrema importância na engenharia pois 
com isso podemos quantificar a vazão que percola em um maciço. Devido ao 
movimento da agua uma força é exercida sobre os grãos provocando alterações no 
estado do maciço. Quando ocorre uma alteração no regime no fluxo, a tensão efetiva e 
pressão neutra também alteram, com o estudo do fluxo podemos evitar os efeitos 
nocivos da mudança do regime e controlar o movimento. 
 Como a agua ocupa grande parte dos vazios do solos, e esta se desloca devido à 
diferenças de potenciais, esse movimento pode interferir em elementos de contenção, 
obras de terra, estruturas hidráulicas e pavimentos, provocando insegurança e situações 
instáveis em relação a esses elementos. A percolação de água no solo interfere em 
vários problemas práticos, como drenagem, rebaixamento do nível d’água, cálculo de 
vazões, análise de recalques, estudo de estabilidade, entre outros. 
Conhecendo o fluxo podemos estimar a perda de agua do reservatório em uma 
barragem, dimensionar sistemas de drenagem e sistemas de contenção, analisar a 
estabilidade de um maciço e a possibilidade de infiltração e erosão e com isso 
desenvolver alternativas para evitar danos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
 EQUAÇÕES Diferenciais Parciais. Disponível em: 
<http://disciplinas.stoa.usp.br/pluginfile.php/106422/mod_resource/content/2/Equacoes
_diferenciais_parciais.pdf>. Acesso em: 8 jun. 2015 
 ELETROMAGNETISMO avançado: 4.1 Solução numérica da equação de Laplace. 
Disponível em: <https://www.ufpe.br/fontana/ee982/aulas/aula04.html>. Acesso em: 8 
jun. 2015. 
MARAGON, M. Hidráulica dos solos. Disponível em: 
<http://www.ufjf.br/nugeo/files/2009/11/ms2_unid01.pdf>. Acesso em: 8 jun. 2015. 
MOVIMENTO de água nos solos: Traçado de redes de fluxo. Disponível em: 
<http://www.ceset.unicamp.br/~mantelli/ST636A/2 ST 636 Fluxo Bidimensional - 
Redes de Fluxo 2009a.pdf>. Acesso em: 8 jun. 2015.