Equações e Inequações Exponenciais

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M
a
t.
1 
Mat. 
 
Professor: Gabriel Miranda 
Luanna Ramos 
 
Monitor: Fernanda Aranzate 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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t.
1 
 
Equação e inequação exponencial 
10 
mai 
 
RESUMO 
 
 
 
Equação exponencial 
 
Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente. 
Um método usado para resolução de equações exponenciais consiste em reduzir ambos os membros da 
equação a potência de mesma base a (0<a≠ 1). 
 
 
 
Temos então pela propriedade que: 
 
x1=x2 
 
Quando isso é possível a equação fica mais fácil de ser resolvida. 
Ex: 
 
 
 
Portanto x=4. 
 
Inequação exponencial 
 
Uma inequação exponencial é aquela que apresenta incógnita no expoente de pelo menos uma de suas 
potências. 
Um método usado para resolver inequações consiste em reduzir ambos os membros da inequação a potência 
de mesma base a (0<a≠ 1)e daí aplicar a propriedade : 
 
Primeiro caso : a >1 ( crescente ) 
 
O sentido da desigualdade se mantém . 
Ex: 
 
 x<4 
 
Segundo caso : 0<a<1 
Como a base entá entre 0 e 1 temos que inverter o sentido da desigualdade 
 
 5>x 
 
 
 
 
 
 
 
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t.
1 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Quanto vale a soma de todas as soluções reais da equação abaixo? 
 
(5𝑥)2 − 26 . 5𝑥 + 25 = 0 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
2. Após um estudo em uma colmeia de abelhas, verificou-se que no instante t = 0 o número de abelhas 
era 1.000 e que o crescimento populacional da colmeia é dado pela função f, onde f é definida por 
( )
2
31000 .2
t
f t = em que t é o tempo decorrido em dias. Supondo que não haja mortes na colmeia, 
em quantos dias no mínimo essa colmeia atingirá uma população de 64.000 abelhas? 
a) 9 
b) 10 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
 
3. Se ( )
22
4 16.2x x= , o valor de xx é: 
a) 27 
b) 4 
c) 1 /4 
d) 1 
e) -1/ 27 
 
4. A inequação 10x + 10x+1 + 10x+2 + 10x+3 + 10x+4 < 11 111 em que x é um número real, 
a) não tem solução. 
b) tem apenas uma solução. 
c) tem apenas soluções positivas. 
d) tem apenas soluções negativas. 
e) tem soluções positivas e negativas. 
 
5. Os técnicos de um laboratório observaram que uma população de certo tipo de bactérias cresce 
segundo a função B(t) = 109 . 43t 
Qual o tempo necessário para que ocorra uma reprodução de 6,4 . 1010  bactérias? 
a) 1h 
b) 3h 
c) 4h 
d) 6h 
e) 16 h 
 
6. Se m/n é a fração irredutível que é solução da equação exponencial 9x 9x-1 = 1944, então, m - n é igual 
a: 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
 
 
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1 
7. O Conjunto solução da inequação ( )
3
23 2 4
x
x x
+
−  
  
 é: 
a) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|−1 < 𝑥 < 6} 
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < −6 > 1} 
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < −1 > 6} 
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|−6 < 𝑥 < 1} 
e) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|−√6 < 𝑥 < √6} 
 
8. Seja a, 0 < a < 1, um número real dado. Resolva a inequação exponencial a2x+1 > (1/a)x-3 . 
 
9. A solução real da equação 3x 3x-1 + 3x-3 3x-4 = 56, é: 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 4 
 
10. Sendo 10 0,00115
0,2 2,3
x−
= o valor de x² é igual a: 
a) 25 
b) 4 
c) 9 
d) 1 
e) 16 
 
 
Puzzle 
 
 
Nas férias passadas, meu primo veio ficar comigo na minha casa. Nós nos divertimos bastante e até ganhamos 
alguns chocolates. 
 
Todos os dias nós jogamos uma partida de xadrez. Aquele que perdesse teria que dar um chocolate ao outro. 
Depois que terminamos a última partida (no dia em que ele iria embora), nós contamos o número de jogos 
que cada um havia perdido ou ganho. Wow! Eu ganhei mais que ele! Então ele me deu 8 chocolates... embora 
ele fosse o vencedor em 13 jogos. 
 
Quantos dias o meu primo ficou na minha casa? 
 
 
 
 
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a
t.
1 
 
GABARITO 
 
 
 
Exercícios 
1. c 
Completando o quadrado, vem 
 
Portanto, a resposta é 0 2 2 
 
2. a 
Queremos calcular o menor valor de t para o qual se tem f(t) 64000. Assim, vem que 
 
3. b 
Como 
 
segue-se que xx = 22 = 4 
 
4. d 
Resolvendo a inequação, obtemos: 
 
Portanto, a inequação dada tem apenas soluções negativas. 
 
5. a 
Considerando B(t) = 6,4 . 1010 , temos a seguinte equação: 
 
6. d 
Resolvendo a equação, encontramos: 
 
 
M
a
t.
1 
 
Por conseguinte, temos m - n = 7 2 = 5 
 
7. c 
 
 
8. V = ] - 
f(x) é estritamente decrescente pois 0<a<1, ou seja, x1<x2  f(x1) > f(x2). Logo: 
𝑎2𝑥+1 > (
1
𝑎
)𝑥−3 ⇔ 𝑎2𝑥+1 > (𝑎−1)𝑥+3 ⇔ 2𝑥 + 1 < −𝑥 + 3 ⇔ 𝑥 <
2
3
 
V = ] - 
 
 
9. d 
Pode-se reescrever a equação acima utilizando as propriedades da potenciação: 
 
Fazendo x³ = y, pode-se escrever: 
 
 
Como 3x = y tem-se: 
 
 
10. e 
 
Logo, x² = 4² = 16. 
 
 
 
 
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t.
1 
Puzzle 
 
Meu primo ganhou 13 jogos. Se eu ganhei 8 chocolates, eu devo ter ganho 8 jogos a mais do que o meu 
primo ganhou. Então, eu ganhei um total de 21 jogos. 
Portanto, o número total de jogos que jogamos foi 34. E desde que nós jogamos um jogo a cada dia, este é 
o número de dias que o meu primo ficou na minha casa! 
 
 
 
 
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1 
Mat. 
 
Professor: Gabriel Miranda 
Luanna Ramos 
 
Monitor: Fernanda Aranzate 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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t.
1 
 
Logaritmos: Definição, condição de 
existência e consequências da 
definição 
10 
mai 
 
RESUMO 
 
 
Definição: 
 
Definimos como logaritmo de um número positivo a na base b o valor do expoente da potência de base b 
que tem como resultado o número a. Ou seja: 
 
logb a = X ↔ bx = a 
 
Chamamos a de logaritmando, sendo a > 0, 
 
Ex: log2 8 = 3, pois 2
3 = 8. 
 
Condição de existência: 
 
Para que log𝑏 𝑎 esteja definido duas condições devem ser atendidas: 
{
𝐵𝑎𝑠𝑒: 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1 
𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑎 > 0
 
Essas condições são fundamentais na resolução de equações e inequações logarítmicas, bem como para 
determinar o domínio das funções logarítmicas. 
 
Consequências da definição: 
 
a) logb 1 = 0. 
logb 1 = x b
x = 1 x = 0 
 
b) logb b = 1. 
logb b = x b
x = b1 x = 1 
 
c) blogba = a 
Fazendo bLogb
a = bx, temos que logb a = x e, da definição desse logaritmo, temos que b
x = a. Portanto: 
bLogb
a = x = a 
 
Sistemas de logaritmos: 
 
1) Sistema decimal (base 10): 
Nos exercícios, é mais usual usarmos logaritmos na base 10. Dessa maneira, podemos omiti-la. 
Ex: log 100 = log10 100 = 2, pois 10² = 100. 
 
2) Sistema neperiano (base e): 
O número e, chamado de número de euler, pertence ao conjunto dos números irracionais e vale, 
aproximadamente, 2,7. 
e ≅ 2,71828... 
O logaritmo neperiano, também chamado de logaritmo natural, é o logaritmo de base e e é 
apresentado pela letra n: 
ln x ↔ loge x 
 
 
 
 
M
a
t.
1 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é 
a) o número ao qual se eleva a para se obter b. 
b) o número ao qual se eleva b para se obter a. 
c) a potência de base b e expoente a. 
d) a potência de base a e expoente b. 
e) a potência de base 10 e expoente a. 
 
2. O valor CORRETO da expressão 
3
2
0,001 1
log 8
10000 2
E
−
 
= + +  
 
é: 
a) 10000. 
b) 11,0000001. 
c) 11  10 7 . 
d) 11. 
e) 1 
 
3. O número log2 7 está entre 
a) 0 e 1. 
b) 1 e 2. 
c) 2 e 3. 
d) 3 e 4. 
e) 4 e 5. 
 
4. A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 
por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos 
terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a 
escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a 
escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. Mw e M se relacionam pela fórmula: 
10 0
2
10,7 log ( )
3
wM M= − + 
Onde M0 é o momento sísmico (usualmenteestimado a partir dos registros de movimento da superfície, 
através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de 
janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade 
científica internacional. Teve magnitude Mw = 7,3 
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o 
momento sísmico Mw do terremoto de Kobe (em dina.cm)? 
a) 10-5,10. 
b) 10-0,73. 
c) 1012,00. 
d) 1021,65. 
e) 1027,00. 
 
5. A acidez de frutas cítricas é determinada pela concentração de íons hidrogênio. Uma amostra de polpa 
de laranja apresenta pH = 2,3. Considerando log2 = 0,3, a concentração de íons hidrogênio nessa 
 
Obs: pH = - log[H+] 
a) 0,001 
b) 0,003 
c) 0,005 
d) 0,007 
 
 
 
M
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t.
1 
6. No dia 6 de junho de 2000, um terremoto atingiu a cidade de Ancara, na Turquia, com registro de 5,9 
graus na escala Richter e outro terremoto atingiu o oeste do Japão, com registro de 5,8 graus na escala 
Richter. Considere que m1 e m2 medem a energia liberada sob a forma de ondas que se propagam pela 
crosta terrestre por terremotos com registros, na escala Richter, r1 e r2, respectivamente. Sabe-se que 
estes valores estão relacionados pela fórmula r1 r2 = log10(m1 / m2). 
 
Considerando-se que r1 seja o registro do terremoto da Turquia e r2 o registro do terremoto do Japão, 
pode-se afirmar que (m1 / m2) é igual a: 
 
a) 10-1 
b) 
c) (0,1)10 
d) 
e) 
 
7. O domínio da função y = log ( x2 + 2x + 3) é: 
a) [ 1, 3] 
b) ] , 1 [ ] 3, + [ 
c) ] 1,3[ 
d) ] 1,3] 
e) [ 1,3[ 
 
 
8. Calcule o valor de S: 
𝑆 = log4(log3 9) + log2(log81 3) + log0,8 (log16 32) 
 
9. Determine o valor de x na equação 𝑦 = 2log3(𝑥+4), para que y seja igual a 8. 
 
10. Calcule o valor de: 
a) 8log2 5 
b) 71+ log7 4 
c) 32− log3 6 
d) 92− log3 √2 
 
PUZZLE 
 
 
A distância entre a Estação Atena e a Estação Barcena é 90 milhas. Um trem sai de Atena em direção a 
Barcena. Um pássaro sai ao mesmo tempo de Barcena bem em direção ao trem em movimento. Ao 
alcançar o trem, ele imediatamente dá meia volta e retorna a Barcena. O pássaro faz essas viagens de 
Barcena até o trem e de volta a Barcena continuamente até que o trem chegue em Barcena. O pássaro 
então finalmente volta a Barcena e descansa. Calcule a distância total em milhas que o pássaro viaja no 
seguinte caso: 
O pássaro voa a 90 milhas por hora e a velocidade do trem é 60 milhas por hora 
 
 
 
 
 
 
M
a
t.
1 
 
GABARITO 
 
 
 
Exercícios 
 
1. b 
Dados dois números reais 
onde são positivos, e 
Denotamos o logaritmo de na base por 
 
onde 
 é a base do logaritmo; 
 é o logaritmando. 
Esse logaritmo é o expoente ao qual devemos elevar a base para se obter como resultado: 
 
Opção c. É o número ao qual se eleva b para se obter a. 
 
2. b 
 
 
3. c 
 
 
4. e 
Basta substituir na fórmula as informações dadas no enunciado: 
MW = 7,3. 
Substituindo na equação das escalas, vamos obter, 7,3 = -10,7 + 2/3 log(M0). Operando: 
7,3 + 10,7 = 2/3 log(M0) 
18 = 2/3 log(M0) 
9= 1/3 log(M0) 
27 = log(M0) 
Agora, podemos aplicar a definição de logarítmo: 
1027 = M0 
 
5. c 
A concentração de íons hidrogênio dessa fruta pode ser denotada como [H+]. 
 
Portanto: 
 
 
M
a
t.
1 
 
 
Como log10 2 = 0,3, tem-se 10
0,3 = 2. Logo 
 
 
 
 
6. b 
R1 = 5,9 
R2 = 5,8 
R1 R2 = log10 (m1/m2) 
5,9 5,8 = log10 (m1/m2) 
0,1 = log10 (m1/m2) 
m1/m2 = 100,1 
 
 
7. c 
Sabemos que o logaritmando sempre é positivo. 
Assim, x2 + 2x + 3 > 0 
Achando as raízes desta equação, achamos x = 3 ou x = -1. 
 
Como a expressão precisa ser positiva, temos que -1 < x < 3. 
 
8. 𝑆 = log4 2 + log2
1
4
+ log4
5
5
4
 
𝑆 = 
1
2
+ (−2) + (−1) 
𝑆 = 
1
2
 3 
S = − 
5
2
 
 
9. 2log3(𝑥+4) = 23 (equação exponencial) 
log3(𝑥 + 4) = 3, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 > −4 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎) 
x + 4 = 33 
x = 27 4 
x = 23 
 
 
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t.
1 
 
10. a) (23)log2 5 = (2log2 5)3 = 53 = 125 
b) 71. 7log7 4 = 7 . 4 = 28 
c) 32 : 3log3 6 = 9 : 6 = 1,5 
d) (32)2− log3 √2 = 34: (3log3 √2)2 = 81 : (√2)2 = 81 : 2 = 40,5 
 
 
 
Puzzle 
 
O trem (à velocidade de 60 milhas por hora) viaja 60 milhas em 60 minutos. 
Portanto, o trem viaja de Atena para Barcena (90 milhas) em 90 minutos. 
Importante que o pássaro viaja continuamente pelo mesma quantidade de tempo (90 minutos). 
Portanto, a distância total percorrida pelo pássaro 
= 90 milhas por hora × 90 minutos = 90 × 90 / 60 milhas = 135 milhas. 
 10
0
log ( )
I
R
I
=
 
 
 β
β β
1
10
 
 
 
 
 
 
10
1
( ) 20.log ( )h p
p
=
a) 5. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 11. 
e) 12. 
 log ( 3) log ( 2) 2x xx x+ + − =
 
 
50
10
0 0
5
32000
log ( ) log( ) log 32000 log 32.1000 log 32 log1000 log 2 log10³
log 2 log10³ 5log 2 3log10 5(0,3) 3(1) 1,5 3 4,5
II
R
I I
= = = = = + = +
+ = + = + = + =
 
 
𝑃(𝑥) = 6000 ( 1 + 20%)ˣ−1996
𝑃(𝑥) = 3 × 6000
( 1,2)ˣ−1996 = 3 
log(1,2)𝑥−1996 = 𝑙𝑜𝑔3
(𝑥 − 1996) × 𝑙𝑜𝑔(1.2) = 𝑙𝑜𝑔(3) 
(𝑥 − 1996) = 𝑙𝑜𝑔 (3) / (𝑙𝑜𝑔(12) − 1 ) = 𝑙𝑜𝑔(3)/(𝑙𝑜𝑔(2² × 3) − 1) = 𝑙𝑜𝑔(3)/(2𝑙𝑜𝑔(2) + 𝑙𝑜𝑔(3) − 1) 
 
1
1
1
4
1
80 120 10log
8 12 log
log 4
10
I
I
I
I −
= +
= +
= −
=
2
2
2
6
2
60 120 10log
6 12 log
log 6
10
I
I
I
I −
= +
= +
= −
=
4 6
6 4
10 10
100
10 10
−
−
= =
 
8
8
log 5, 4.10
[log 54 /10 log10 ]
[log 54 log10 8log10]
[log 9.6 log10 8log10]
[log 9 log 6 log10 8log10]
[log 3² log 2.3 log10 8log10]
[2 log 3 log 2 log 3 log10 8log10]
[2.0, 48 0,3 0, 48
pH
pH
pH
pH
pH
pH
pH
pH
−
−
= −
= − +
= − − −
= − − −
= − + − −
= − + − −
= − + + − −
= − + + −1 8]
[ 7, 26] 7, 26pH
−
= − − =
 
log 72 log8.9 log8 log9 log 2³ log3² 3log 2 2log3
Substituindo log2 = x e log3 = y, temos:
log 72 3 2x y
= = + = + = +
= +
 
15 15 15 15 15
15 15 15 15 15 15 15 15 15
log 2 log 2 log 2 log 2 log 2
log 2
log 10 log 5.2 log 5 log 2 log 15 / 3 log 2 log 15 log 3 log 2
log 2
1
b
a b
= = = = =
+ + − +
=
− +
 
2log 3
2
1 1
2 2
log 3
x
x
   
   
   

2
2 2
2 2
2 2
log 3
log 3log 2
log log 2³
log log 8
8
x
x
x
x
x





 
1
10
1
(0,4) 20.log ( ) 20log(0,4) 20( log 0,4)
0,4
(0,4) 20( log 4 /10) 20[ (log 4 log10)] 20[ (log 2² log10)]
(0,4) 20[ (2log 2 log10) 20[ (2.0,3 1)] 20[ (0,6 1)]
(0,4) 20[ ( 0,4)] 20.0,4 8 atm
h
h
h
h
−= = = −
= − = − − = − = −
= − − = − − = − −
= − − = =
 
 
 
M
a
t.
1 
Mat. 
 
Professor: Gabriel Miranda e 
Luanna Ramos 
Monitor: Roberta Teixeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
a
t.
1 
Porcentagem 
24 
mai 
 
 
RESUMO 
 
 
1)Definição: 
𝑥% 𝑑𝑒 𝑦 = 
𝑥
100
= 𝑦 
 Porcentagem é uma fração de denominador 100. 
Ex.: 
3
100
 = 3% 
37
100
 = 37% 
 
Mas e se a fração não tiver denominador 100? É só transformarmos essa fração em uma que tenha 
denominador 100. 
Ex.: 
2
5
 = 
40
100
 = 40%. 
3 42,9
7 100
= = 42,9% 
 
2)Fatores multiplicativos: 
 
Para facilitar o cálculo de um valor resultante de um aumento ou desconto percentual, utilizam-se os fatores 
multiplicativos. 
 Imagine uma quantidade C que será aumentada de x%. O resultado desse aumento pode ser calculado por: 
 Valor Final = .
100
x
C C+ = (1 )
100
x
C + 
Agora imaginemos que C sofra uma redução de x%. 
Assim, temos que: 
Valor final = .
100
x
C C− = (1 )
100
x
C − 
 Resumindo: 
 Fator de aumento = 1
100
x
+ 
Fator de desconto = 1
100
x
− 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
1. Uma concessionária de automóveis revende atualmente três marcas de veículos, A, B e C, que são 
responsáveis por 50%, 30% e 20%, respectivamente, de sua arrecadação. Atualmente, o faturamentomédio mensal dessa empresa é de R$ 150 000,00. A direção dessa empresa estima que, após uma 
campanha publicitária a ser realizada, ocorrerá uma elevação de 20%, 30% e 10% na arrecadação com 
as marcas A, B e C, respectivamente. 
 
 
M
a
t.
1 
Se os resultados estimados na arrecadação forem alcançados, o faturamento médio mensal da empresa 
passará a ser de 
a) R$ 180 000,00. 
b) R$ 181 500,00. 
c) R$ 187 500,00. 
d) R$ 240 000,00. 
e) R$ 257 400,00. 
 
2. O tipo mais comum de bebida encontrado nos supermercados não é o suco, mas o néctar de frutas. 
Os fabricantes de bebida só podem chamar de suco os produtos que tiverem pelo menos 50% de 
polpa, a parte comestível da fruta. Já o néctar de frutas é mais doce e tem entre 20% e 30% de polpa 
de frutas. 
Superinteressante, São Paulo, ago. 2011. 
 
Uma pessoa vai ao supermercado e compra uma caixa de 1 litro de bebida. Em casa ela percebe que 
 
Se essa caixa fosse realmente de suco, necessitaria de um aumento percentual de polpa de, 
aproximadamente, 
a) 20%. 
b) 67%. 
c) 80%. 
d) 167%. 
e) 200%. 
 
3. Quanto tempo você fica conectado à internet? Para responder a essa pergunta foi criado um 
miniaplicativo de computador que roda na área de trabalho, para gerar automaticamente um gráfico 
de setores, mapeando o tempo que uma pessoa acessa cinco sites visitados. Em um computador, foi 
observado que houve um aumento significativo do tempo de acesso da sexta-feira para o sábado, nos 
cinco sites mais acessados. A seguir, temos os dados do miniaplicativo para esses dias. 
 
Analisando os gráficos do computador, a maior taxa de aumento no tempo de acesso, da sexta-feira 
para o sábado, foi no site 
a) X. 
b) Y. 
c) Z. 
d) W. 
e) U. 
 
4. Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus 
produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão 
fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras. 
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não 
possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia 
adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de 
a) 15,00. 
b) 14,00. 
c) 10,00. 
d) 5,00. 
e) 4,00. 
 
 
M
a
t.
1 
 
5. O Brasil é o quarto produtor mundial de alimentos e é também um dos campeões mundiais de 
desperdício. São produzidas por ano, aproximadamente, 150 milhões de toneladas de alimentos e, 
desse total, 2/3 são produtos de plantio. Em relação ao que se planta, 64% são perdidos ao longo da 
cadeia produtiva (20% perdidos na colheita, 8% no transporte e armazenamento, 15% na indústria de 
processamento, 1% no varejo e o restante no processamento culinário e hábitos alimentares). 
O desperdício durante o processamento culinário e hábitos alimentares, em milhão de tonelada, é 
igual a 
a) 20. 
b) 30. 
c) 56. 
d) 64. 
e) 96. 
 
6. Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que 
a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação central receberá 60% da 
carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros dois pontos de 
sustentação. 
No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, 
respectivamente, 
a) 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t. 
b) 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t. 
c) 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t. 
d) 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t. 
e) 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t. 
 
7. Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em 
centímetros, mostradas na figura. 
 
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de 
sua base sejam 25% maiores que as da lata atual. 
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em 
a) 14,4% 
b) 20,0% 
c) 32,0% 
d) 36,0% 
e) 64,0% 
 
8. Uma organização não governamental divulgou um levantamento de dados realizado em algumas 
cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os resultados indicam que somente 36% do esgoto 
gerado nessas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de esgoto sem nenhum 
tratamento são lançados todos os dias nas águas. Uma campanha para melhorar o saneamento básico 
nessas cidades tem como meta a redução da quantidade de esgoto lançado nas águas diariamente, 
sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos meses. 
 
 
 
 
M
a
t.
1 
Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha se concretizar, o 
percentual de esgoto tratado passará a ser 
a) 72% 
b) 68% 
c) 64% 
d) 54% 
e) 18% 
 
9. O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no terreno dos recursos naturais, dispondo de 
uma das maiores áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas calculam que, dos 853 milhões 
de hectares do país, as cidades, as reservas indígenas e as áreas de preservação, incluindo florestas e 
mananciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares. Aproximadamente 280 milhões se destinam 
à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80 milhões para a agricultura, somadas as lavouras anuais 
e as perenes, como o café e a fruticultura. 
De acordo com os dados apresentados, o percentual correspondente à área utilizada para agricultura 
em relação à área do território brasileiro é mais próximo de 
a) 32,8% 
b) 28,6% 
c) 10,7% 
d) 9,4% 
e) 8,0% 
 
10. Os vidros para veículos produzidos por certo fabricante têm transparências entre 70% e 90%, 
dependendo do lote fabricado. Isso significa que, quando um feixe luminoso incide no vidro, uma 
parte entre 70% e 90% da luz consegue atravessá-lo. Os veículos equipados com vidros desse 
fabricante terão instaladas, nos vidros das portas, películas protetoras cuja transparência, dependendo 
do lote fabricado, estará entre 50% e 70%. Considere que uma porcentagem P da intensidade da luz, 
proveniente de uma fonte externa, atravessa o vidro e a película. 
De acordo com as informações, o intervalo das porcentagens que representam a variação total possível 
de P é 
a) [35; 63]. 
b) [40; 63]. 
c) [50; 70]. 
d) [50; 90]. 
e) [70; 90]. 
 
 
PUZZLE 
 
 
 
Um jogo de dados individual é jogado da seguinte forma: A cada rodada, um par de dados é lançado. A 
pontuação é calculada com o produto, ao invés da soma, como normalmente é feito, dos dois números 
resultantes do lançamento. 
Imagine o seguinte caso: A pontuação do segundo lançamento é 5 números maior que a pontuação do 
primeiro lançamento; a pontuação do terceiro lançamento é 6 números menor que a do segundo; a 
pontuação do quarto lançamento é 11 números maior que a do terceiro, e a pontuação do quinto lançamento 
é 8 números menos que a do quarto lançamento. Qual foi a pontuação em cada um desses 5 lançamentos? 
 
 
 
 
M
a
t.
1 
 
GABARITO 
 
 
Exercícios 
 
1. b 
Faturamento da marca A: 150 000×50% = 75 000,00. Com aumento de 20%, 75 000×1,2 = 90 000,00. 
Faturamento da marca B: 150 000×30% = 45 000. Com aumento de 30%, 45 000×1,3 = 58 500,00. 
Faturamento da marca C: 150 000×20% = 30 000. Com aumento de 10%, 30 000×1,1 = 33 000,00. 
 
Novo faturamento = 90 000 + 58 500 + 33 000 = 181 500,00. 
 
2. b 
Primeiramente, é importante observar o que a questão considera como suco (no caso, 50% de polpa) 
 
Considerando que os 30% de polpa é o total que há na caixa, pode-se dizer que correspondem a 100% 
do "real". O "desejável" é que se obtenha mais que os 100%, ou seja, os 50%. Dessa forma: 
 
30% ------ 100% 
50% ------ x 
 
x = 167% 
 
Esse seria o total obtido, tem-se que diminuir 100%, pois ele pede o aumento percentual, ou seja, 67%. 
 
3. a 
Considere as taxas de aumento de cada um dos sites: 
X: 9/12 =0,75 
Y: 21/30=0,7 
Z: 1/10=0,1 
W: 19/38= 0,5 
U: 16/40 = 0,4 
 
Logo a maior taxa de aumento é a do site X. 
 
4. e 
Por não ter o cartãofidelidade, esse cliente pagará pelo produto: (100% 20%) . 50 = 0,80 . 50 = 40 reais 
Se tivesse o cartão fidelidade ele teria ainda um desconto adicional de 10%, ou seja, pagaria: (100% 
10%) . 40 = (1 0,1) . 40 = 36 reais. 
A economia adicional desse cliente seria de: (40 36) = 4 reais. 
 
5. a 
150×2/3 = 100 toneladas no plantio 64% de perda dos quais 20% são perdidos na colheita, 8% no 
transporte e armazenamento, 15% na indústria de processamento, 1% no varejo e o restante no 
processamento culinário e hábitos alimentares. 
20 + 8 + 15 + 1 + c = 64 
c = 20% 
20% são devido ao desperdício no processamento culinário e habitos alimentares 100×20/100= 20 
toneladas 
 
6. c 
A carga máxima suportada pela ponte é de 12 toneladas, assim, o ponto de sustentação central receberá 
12% dessa carga, logo, 12/100 . 12 = 7,2 toneladas. Os outros pontos de sustentação receberão o resto da 
 
 
M
a
t.
1 
carga igualmente, assim, 12 7,2 = 4,8 toneladas, como cada um vai receber a mesma quantidade, 2,4 
toneladas cada um. 
 
7. d 
Sendo x a taxa de redução da altura da lata atual e sabendo que houve um aumento de 25% nas 
dimensões, temos: 
24.24.40 = (5/4 . 24).(5/4 . 24).(1 x).40 
5/4 . 5/4 . (1 x) = 1 
x = 1 0,64 = 0,36 = 36%. 
8. b 
Temos que, do volume V de esgoto, 36% é tratado, logo, 64% é não tratado, assim: 
64% . V = 8 bi 
V = 12,5 bi 
O esgoto não tratado lançado irá reduzir para 4 bi, então o volume de esgoto tratado será de 8,5 bi, logo, 
o percentual de esgoto tratado será de: 8,5 / 12,5 = 0,68 = 68%. 
9. d 
Usando as informações do enunciado, temos que a área utilizada para agricultura em relação a área do 
território brasileiro é de: 
80 milhões / 853 
10. a 
Considerando L como sendo a intensidade da luz que sai da fonte externa, a quantidade mínima que 
passa do vidro é de 70% . 50% . L = 35% L e quantidade máxima é dada por 90% . 70% . L = 63% L. Logo 
a porcentagem P da intensidade da luz que ultrapassa o vídro está num intervalo de 35% a 63%. 
 
Puzzle 
1° lançamento: 10. 
2° lançamento: 15. 
3° lançamento: 9. 
4° lançamento: 20. 
5° lançamento: 12. 
 
 
 
M
a
t.
2
 
Mat. 
 
Professores: Alex Amaral 
Luanna Ramos 
 
Monitor: Gabriella Teles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
Área do círculo e suas partes 
09/11 
mai 
 
RESUMO 
 
 
Área do círculo: 
 
Dado um círculo de raio r, sua área é A= ²r 
 
Área do setor circular: 
 
Para saber a área do setor basta lembrar que um setor é um pedaço do círculo e pode assim pode usar regra 
de 3 para saber. 
 
Por exemplo: Para saber a área de um setor circular de 180° e raio igual a 2 cm basta lembrar que o círculo 
completo tem 360° logo a área do setor será a metade da área do círculo. Nesse caso. A área do círculo será 
4 cm² e, portanto, a do setor será 2 cm². 
 
 
Área da coroa circular 
 
A área coroa circular é a área do círculo de raio R menos a área do círculo de área r. 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
 
 
1. Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas 
quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas 
medias e 16 tampas pequenas. 
 
 
 
Área do circulo: πr² 
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, medias e pequenas dessa empresa são 
doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir 
dessas informações, pode-se concluir que: 
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. 
b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. 
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. 
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. 
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material. 
 
2. A figura representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados consecutivos de um quadrado. 
Sabendo-se que a diagonal do quadrado mede 3 8 cm, a área da figura, em centímetros quadrados, 
e igual a: 
 
 
a) 72. 
b) 63. 
c) 54. 
d) 45. 
e) 30. 
 
3. Os círculos desenhados na figura abaixo são tangentes dois a dois. 
 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
 
A razão entre a área de um círculo e a área da região sombreada e: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3
4 −
 
d) 
4

−
 
e) 
2
4

−
 
 
4. Seja  a circunferência que passa pelo ponto B com centro no ponto C e β a circunferência que passa 
pelo ponto A com centro no ponto C, como mostra a figura dada. A medida do segmento AB e igual 
a medida do segmento BC e o comprimento da circunferência α 
delimitado pelas circunferências  e β (região escura) e, em cm², igual a: 
 
 
a) 108 
b) 144 
c) 72 
d) 36 
e) 24 
 
 
5. Cada um dos 7 círculos menores da figura a seguir tem raio 1 cm. Um círculo pequeno e concêntrico 
com o círculo grande, e tangencia os outros 6 círculos pequenos. Cada um desses 6 outros círculos 
pequenos tangencia o círculo grande e 3 círculos pequenos. Na situação descrita, a área da região 
sombreada na figura, em cm², e igual a: 
a) 
b) 
3
2

 
c) 2 
d) 
5
2

 
e) 3 
 
6. O retângulo ABCD, representado a seguir, tem área cuja medida e de 18 cm². Qual e a razão entre a 
 
 
 
a) 1/4. 
b) 1/5. 
c) 1/6. 
d) 1/7. 
e) 1/8. 
 
 
 
M
a
t.
2
 
 
 
7. Na figura, AB , BC e CD são lados, respectivamente, de um octógono regular, hexágono regular e 
quadrilátero regular inscritos em uma circunferência de centro P e raio 6 cm. 
 
 
 
A área do setor circular preenchido na figura, em cm², e igual a: 
 
b) 
33
2

 
 
d) 
35
2

 
 
 
8. Uma circunferência de raio 2 tangencia outra e dois de seus raios, conforme figura seguinte. 
 
 
 
O valor da área hachurada e: 
a) 2 2 
b) 3 ( 2 1) − 
c) 2 ( 2 3) − 
d) (2 2 1) − 
 
9. Um garçom precisa escolher uma bandeja de base retangular para servir quatro taças de espumante 
que precisam ser dispostas em uma única fileira, paralela ao lado maior da bandeja, e com suas bases 
totalmente apoiadas na bandeja. A base e a borda superior das taças são círculos de raio 4 cm e 5 cm, 
respectivamente. 
 
 
M
a
t.
2
 
 
 
A bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mínima, em centímetro quadrado, igual a 
a) 192. 
b) 300. 
c) 304. 
d) 320. 
e) 400. 
 
10. Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão por uma nova, mais potente. As áreas 
de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se 
tangenciam no ponto O, como mostra a figura. 
 
 
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja 
circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. 
Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi 
ampliada em 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
M
a
t.
2
 
 
GABARITO 
 
 
Exercícios de aula 
 
 
1. e 
Sejam r1, r2 e r3 os raios das tampas. Temos: r1 = 1, r2 = 
1
2
, r3 = 
1
4
 
 
Como os círculos são tangentes, segue que o raio de cada um dos três tipos de tampa é dado por: 
2/2.n=1/n 
 
Cálculo das sobras: 
 
4 − 𝜋 . 12 = 4 − 𝜋 
4 − 4 . 𝜋 . (
1
2
)
2
= 4 − 𝜋 
E 
4 − 16 . 𝜋 . (
1
4
)
2
= 4 − 𝜋 
 
PORTANTO AS TRÊS RECEBEM A MESMA QUANTIDADE DE MATERIAL. 
 
2. b 
A ÁREA PEDIDA É A SOMA DAS ÁREAS DO QUADRADO DE LADO 6CM E DO CÍRCULO DE RAIO 3CM 
PORTANTO A ÁREA É IGUAL A : 
62 + 𝜋 . 32 = 36 + 3 . 9 = 36 + 27 = 63 
 
 
3. d 
Área do círculo/área hachurada = 
𝜋𝑅2
(2𝑅)2−𝜋𝑅2
= 
𝜋𝑅2
4𝑅2−𝜋𝑅2
=
𝜋
4−𝜋
 
 
 
 
4. a 
CB=AB=x 
 
x=6 
 
Logo a área será: 
 
²-6² 
 
 
5. c 
Seja r o raio do círculo maior. 
De acordo com as informações,temos que R=3cm. Portanto, como a área pedida é a área do círculo 
maior subtraída da área dos 7 círculos menores, segue o resultado 
𝜋32 − 7 . 𝜋 . 12 = 9𝜋 − 7𝜋 = 2𝜋𝑐𝑚2 
 
6. e 
calculando: 
 
 
M
a
t.
2
 
raio =x 
 
Área do semicírculo= 
3𝑥²
2
 
 
área do retângulo= 2𝑥2 = 18 ⇒ 𝑥2 = 9 = 𝑏𝑥 = 3 
 
área hachurada = 18 −
3 . 32
4
= 18 −
27
4
=
45
4
 
9
4
 
 
A razão então será de área hachurada/ área do retângulo= 
45
4
18
=
45
4
 .
1
18
=
1
8
 
 
Observe que no final tivemos que fazer uma divisão entre duas frações. 
 
 
7. b 
 
Temos que PÂB=45°, PBC=60° E PCD=90°. Logo PDA=360°-195°=165° 
Portanto, como o raio da circunferência mede 6cm, segue que a área pedida é dada por: 
𝜋. 62. 165°
360°
=
33𝜋
2
𝑐𝑚2 
8. d 
2 2=OB (diagonal) 
 
Logo o raio do setor será 2 2 2+ 
 
Calculando a área assinalada: 
 
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
4
8 8 2 4
. 4
4
4 2 2 2 1
. 4
4
2 2 1
+
= −
+ +
= −
+ +
= −
= −
 
 
 

A
A
A
A
 
 
9. c 
 
Observe vista superior das taças organizadas sobre a bandeja. 
 
 
Os diâmetros das bases das taças medem 8cm. São quatro taças. Mais 1cm de distância entre a borda da 
taça e a extremidade da base da mesma. 
9 9 
9 
9 
 
 
M
a
t.
2
 
 
Logo, a área é dada por: 
 
A = 8x(8×4+6) = 304 
 
10. a 
². 
 
 
área = 2.2² 
 
Já a área coberta pela nova antena 4² 
 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
Mat. 
 
Professores: Alex Amaral 
Luanna Ramos 
 
Monitoras: Gabriella Teles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
Lei dos Senos e Lei dos Cossenos 
23/25 
mai 
 
 
RESUMO 
 
 
Lei dos cossenos 
 
Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, 
menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. Ou seja: 
 
 
 
 
Lei dos senos 
 
Seja um triângulo qualquer, com lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C, 
respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma 
constante igual a 2r, em que r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é: 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Um piso plano é revestido de hexágonos regulares congruentes cujo lado mede 10 cm. 
Na ilustração de parte desse piso, T, M e F são vértices comuns a três hexágonos e representam os 
pontos nos quais se encontram, respectivamente, um torrão de açúcar, uma mosca e uma formiga. 
 
 
 
M
a
t.
2
 
 
 
Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no mesmo instante, com velocidades constantes, para 
alcançá-lo. Admita que a mosca leve 10 segundos para atingir o ponto T. Despreze o espaçamento 
entre os hexágonos e as dimensões dos animais. 
A menor velocidade, em centímetros por segundo, necessária para que a formiga chegue ao ponto T 
no mesmo instante em que a mosca, é igual a: 
a) 3,5 
b) 5,0 
c) 5,5 
d) 7,0 
 
2. Para se calcular a distância entre duas árvores , representadas pelos pontos A e B, situados em margens 
opostas de um rio, foi escolhido um ponto C arbitrário, na margem onde se localiza a árvore A. As 
medidas necessárias foram tomadas , e os resultados obtidos foram os seguintes: AC = 70 m, 
BAC = 62º e ACB = 74º. Sendo cos 28º = 0,88 , sen 74º = 0,96 e sen 44º = 0,70 , podemos afirmar que a 
distância entre as árvores é : 
 
a) 48 metros 
b) 78 metros 
c) 85 metros 
d) 96 metros 
e) 102 metros 
 
3. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele 
se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua 
proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela 
atividade humana. 
 
 
M
a
t.
2
 
 
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45° e o ângulo C mede 75°. Uma 
maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância 
do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
4. No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O 
seno do ângulo B vale: 
a) 1/2 
b) 2/3 
c) 3/4 
d) 4/5 
e) 5/6 
 
5. Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 10 m, formando um ângulo de 60°, 
conforme a figura abaixo: 
 
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, em metros, é: 
 
 
 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
 
6. Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do 
trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. Se o ângulo XYZ é o 
dobro do ângulo XWZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é: 
 
a) 7,5. 
b) 5,7. 
c) 4,7. 
d) 4,3. 
e) 3,7. 
 
7. Determine a distância d indicada na figura. 
 
 
 
8. A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na 
prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, 
uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado 
na figura. 
 
 
 
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? 
a) 2,29. 
b) 2,33. 
c) 3,16. 
d) 3,50. 
e) 4,80. 
 
 
 
M
a
t.
2
 
9. Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha até o topo, representado na figura abaixo 
pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A. 
 
 
 
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em relação 
a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, 
a) 190. 
b) 234. 
c) 260. 
d) 320. 
 
10. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, 
o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela 
anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o 
pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e BCD valem 30°, e o ACB vale 105°, como mostra a figura: 
 
a) 12,5. 
b) 
c) 25,0. 
d) 
e) 35,0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
 
GABARITO 
 
 
Exercícios 
 
1. d 
Como queremos a distância mínima temos que : 
 
 
 
Como queremos a velocidade: 
 
 
2. d 
 
 
3. b 
 
 
4. b 
 
 
5. e 
 
 
 
M
a
t.
2
 
Como queremos o perímetro temos que: 
 
 
6. e 
Logo, o lado YZ possui a mesma medida de 3,7km do outro lado. 
 
 
7. discursiva 
 
300
𝑠𝑒𝑛60º
=
𝑑
𝑠𝑒𝑛45º
 
 
 
 
8. d 
 
 
9. b 
= 25 + 5√𝑥 
 
 
M
a
t.
2
 
 
 
10. b 
 
 
 
M
a
t.
2
 
Mat. 
 
 
Professores: Alex Amaral 
Monitoras: Gabriella Teles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
Ciclo trigonométrico 
30 
mai 
 
 
RESUMO 
 
 
Considere uma circunferência de raio = 1 e centro (0,0). Essa circunferência é chamada de ciclo 
trigonométrico. 
 
- Convencionou-se como sentido positivo dos arcos o sentido anti-horário. 
- Os eixos coordenados dividem o ciclo trigonométrico em 4 quadrantes: 
 
Determinação principal 
 
Quando marcamos um arco AB no ciclo, sabemos que o arco tem origem no ponto A e a extremidade no 
ponto B, mas não temos certeza da quantidade de voltas que foram dadas no ciclo para que, saindo da 
origem, cheguemos ao ponto B. 
 
Neste caso, AB = 30°. Porém, podemos dizer que AB = 30° + 360° = 390°. Ou então, que AB = 30° - 360° = -
330°. 
Desta forma, dizemos que o arco AB possui infinitas determinações: 
(...-330°, 30°, 390°...) 
 
 
M
a
t.
2
 
 
Arcos côngruos 
 
São arcos que possuem as extremidades num mesmoponto. Para que isso ocorra, a diferença entre as suas 
medidas deve ser uma quantidade inteira de voltas, ou seja, ser múltiplo de 360° 
 
Ex: Acima, vimos que 30° e 390° são arcos côngruos. 
 
Podemos deduzir uma expressão geral dos arcos côngruos: 
 
AB = α α em radianos. 
AB = α + 360°.K; α em graus. 
 
Linhas trigonométricas no ciclo 
 
Á partir do ciclo trigonométrico, definem-se as principais linhas trigonométricas: seno, cosseno e tangente, 
da seguinte maneira: 
 
Percebemos que o sinal do seno, cosseno e tangente de um ângulo mudam de acordo com o quadrante em 
que o ângulo se encontra. 
 
 
Relações Trigonométricas 
 
Analisando o ciclo, podemos deduzir algumas relações: 
sen²α + cos² α = 1 
tg² α + 1 = sec² α 
 cotg² α + 1 = cossec² α 
 
→ Relembrando: 
 
tangente = 
cotangente = 
cossecante = 
secante = 
 
 
 
M
a
t.
2
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Quanto ao arco 4555°, é correto afirmar. 
a) Pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o ângulo de 55° 
b) Pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 75° 
c) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 195° 
d) Pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo de 3115° 
e) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 4195° 
 
2. Se sen x = -1 , então o valor de sen 3x é :? 
a) -1/3 
b) 0 
c) 1 
d) -1 
e) -3 
 
3. O arco que tem medida x em radianos é tal que e . O valor do seno de x é: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
4. O círculo da figura tem centro O e raio R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
Sabendo-se que equivale a e é tangente ao círculo no ponto P, calcule o valor de 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
5. Considerando os valores de θ, para os quais a expressão é definida, é CORRETO 
afirmar que ela está sempre igual a 
a) 1 
b) 2 
c) sen θ 
d) cos θ 
 
6. Considere dois ângulos agudos cujas medidas a e b, em graus, são tais que a + b = 90° e 4sen(a) - 
10sen(b) = 0. Nessas condições é correto concluir que 
a) tg a = 1 e tg b = 1. 
b) tg a = 4 e tg b =1/4. 
c) tg a = 1/4 e tg b = 4. 
d) tg a =2/5 e tg b =5/2. 
e) tg a = 5/2 e tg b = 2/5. 
 
7. Se , assinale a alternativa que pode indicar o valor de sen(x) cos(x). 
 
a) 1 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
8. Assinale a alternativa correta: 
a) sen(1000°) < 0 
b) sen(1000°) > 0 
c) sen(1000°) = cos(1000°) 
d) sen(1000°) = - sen(1000°) 
e) sen(1000°) = - cos(1000°) 
 
9. O seno de um arco de medida 2340° é igual a: 
a) -1 
b) -1/2 
c) 0 
d) ½ 
10. Sobre os ângulos 150°, e e, é correto afirmar que suas tangentes possuem valores, 
respectivamente: 
a) negativo, positivo, negativo. 
b) positivo, positivo, negativo. 
c) negativo, negativo, negativo. 
d) negativo, positivo, positivo. 
e) positivo, negativo, negativo. 
 
11. Se sen(x) cos(x) = 1/2, o valor de sem(x).cos(x). é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
12. Se sec(x) + tg(x) = 0,5, o valor de sec(x) tg(x): 
a) não pode ser determinado 
b) é -2 
c) é -0,5 
d) é 0,5 
e) é 2 
 
13. Obtenha a menor determinação positiva dos arcos cujas medidas são: 
a) 800 graus 
b) 
 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
14. Calcule o valor das expressões. 
a) º180cos
º330senº120cos
E
+
=
 
 
b) º1080senº630sen
º900cosº810cos
E
+
+
=
 
 
 
15. Determine tgx sabendo que 


2
2
3
 x
 e 13
5
=senx -
. 
a) 9/5 
b) 6/8 
c) 3/2 
d) -5/12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
a
t.
2
 
 
GABARITO 
 
 
Exercícios 
 
1. e 
 
 
2. c 
 
 
3. d 
 
Pelo relação fundamental: 
 
 
4. e 
 
 
5. a 
 
 
M
a
t.
2
 
 
Temos que: 
 
Substituindo 
 
Pela relação fundamental temos que: 
 
X=1 
 
6. e 
 
 
7. b 
Sabemos que 
 
Queremos o valor de senx-cosx , precisamos fazer aqui um produto notável afim de retirar alguma 
informação: 
 
 
M
a
t.
2
 
 
 
 
8. a 
 
 
9. c 
 
 
10. a 
Pelo ciclo trigonométrico temos que os ângulos estão representados respectivamente : 
 
 
Laranja -> 150° 
Verde->60° 
Roxo->320° 
 
11. c 
Elevando os dois lados ao quadrado temos: 
 
Desenvolvendo: 
 
Logo podemos concluir, utilizando do teorema fundamental: 
 
 
M
a
t.
2
 
 
 
que 
 
12. e 
 
 
13. 800=360.2+80 -> logo a terminação é 80 
960=360.2+240 -> logo 240=4pi/3 
 
14. 
 
 
15. d