ROTEIRO - MÉTODO DAS FORÇAS

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ESTÁTICA E SISTEMAS ESTRUTURAIS II 
 
 
 
 
MATERIAL DE APOIO: 
MÉTODO DAS FORÇAS PARA RESOLUÇÃO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF.: GUSTAVO MONTEBELER DE CASTILHO 
COLABORAÇÃO: IZABELA CHRISTINA DA SILVA PIEPER (ACADÊMICA) 
2020/2
 
DISCIPLINA: ESTÁTICA E SISTEMAS ESTRUTURAIS II PROF. GUSTAVO MONTEBELER DE CASTILHO 
MÉTODO DAS FORÇAS PARA RESOLUÇÃO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
Colaboração: Izabela Christina da Silva Pieper – Acadêmica do Curso de Engenharia Civil do UNESC. 
 
 
RESUMO DO MÉTODO: 
Para a resolução de estruturas tem-se três equações de equilíbrio: 
 
 
 
 
Quando o número de reações de uma estrutura é maior que o número de equações de equilíbrio, 
dizemos que temos uma estrutura hiperestática. Para esse tipo de estrutura, não é o possível a resolução 
através do método convencional, sendo necessário novos métodos para obter os valores das reações. 
O método aqui proposto é o método das forças, que consiste em substituir os vínculos existentes da 
estrutura por momentos ou forças unitárias, até que o número de incógnitas seja igual ao número de 
equações disponíveis para resolução do exercício. A diferença entre o número de incógnitas e o número de 
equações é chamado de grau de hiperestaticidade, e é quantidade de vínculos que deverão ser 
substituídos. 
Com isso, é possível montar o sistema principal da estrutura, que servirá como base para a solução dos 
casos básicos e é determinado pelo grau de hiperestaticidade definido anteriormente. 
Segundo Luiz Fernando Martha, a metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma 
estrutura hiperestática é somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, 
mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para a superposição 
restabelecer as condições de compatibilidade. 
 
1º passo: Grau de hiperestaticidade 
 
Em que, n°inc é o número de incógnitas e n°eq é o número de equações disponíveis. 
O grau de hiperestacidade será o número de vínculos que será preciso retirar da estrutura para que ela 
se torne isostática. 
 
DISCIPLINA: ESTÁTICA E SISTEMAS ESTRUTURAIS II PROF. GUSTAVO MONTEBELER DE CASTILHO 
MÉTODO DAS FORÇAS PARA RESOLUÇÃO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
Colaboração: Izabela Christina da Silva Pieper – Acadêmica do Curso de Engenharia Civil do UNESC. 
 
 
 
Grau de hiperestaticidade 
g = 5 – 3 ؞ g = 2 
2º passo: Montar o sistema principal 
O sistema principal será definido através do grau de hiperestaticidade, onde serão eliminados 
determinados vínculos para que a estrutura se torne isostática. 
 
 
DISCIPLINA: ESTÁTICA E SISTEMAS ESTRUTURAIS II PROF. GUSTAVO MONTEBELER DE CASTILHO 
MÉTODO DAS FORÇAS PARA RESOLUÇÃO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
Colaboração: Izabela Christina da Silva Pieper – Acadêmica do Curso de Engenharia Civil do UNESC. 
 
 
3º passo: Com base no sistema principal, cada um dos vínculos removidos deverá ser substituído por um 
carregamento unitário correspondente em direção e sentido. Podendo, assim, ser uma força ou um 
momento e serão chamados de “hiperestáticos”. 
No exemplo em questão serão estabelecidos: 
 Um momento unitário (X1) a substituir o vínculo de momento retirado do apoio inicialmente era 
um engaste; 
 Uma carga concentrada unitária (X2) a substituir o vínculo de deslocamento horizontal retirado do 
apoio que inicialmente era de 2º gênero. 
Os hiperestáticos, no entanto, não fazem parte do sistema principal. Serão utilizados adiante nos casos 
básicos. 
 
4º passo: Resolução da estrutura pela sobreposição de casos básicos, onde o grau de hiperestaticidade 
definirá a quantidade de casos, para cada caso básico deverá ser construído o seu respectivo diagrama. 
Para uma estrutura com um grau de hiperestaticidade igual a 2: 
 1° caso básico: Caso 0 – Corresponde ao carregamento externo da estrutura inicial, aplicado sobre 
o sistema principal, gerando um diagrama aqui denominado M0; 
 
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MÉTODO DAS FORÇAS PARA RESOLUÇÃO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
Colaboração: Izabela Christina da Silva Pieper – Acadêmica do Curso de Engenharia Civil do UNESC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÉTODO DAS FORÇAS PARA RESOLUÇÃO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
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Diagrama caso 0: 
 
 2° caso básico: Caso 1 – Hiperestático X1 no sistema Principal, tendo um diagrama do tipo M1; 
 
 
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Diagrama caso 1: 
 
 
 
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 3° caso básico: Caso 2 – Hiperestático X2 no Sistema Principal, tendo um diagrama do tipo M2. 
 
 
 
 
 
 
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Diagrama caso 2: 
 
5º passo: Calcular os deslocamentos através de combinações entre os diagramas obtidos nos casos 
básicos, de acordo com a tabela em anexo X. 
Nota-se que o δ 21 e o δ 12 serão iguais pois os diagramas em análise serão os mesmos. 
 δ 10 = M1 e M0 : Deslocamento 1 do caso 0 é a combinação do diagrama do caso 1 e do caso 0; 
 
 
 
 
 
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 δ 20 = M2 e M0 : Deslocamento 2 do caso 0 é a combinação do diagrama do caso 2 e do caso 0; 
 
 
 
 
 
 δ 11 = M1 e M1 : Deslocamento 1 do caso 1 é a combinação do diagrama do caso 1; 
 
 
 
 
 
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 δ 21 = δ 12 = M2 e M1 : Deslocamento 2 do caso 1 é a combinação do diagrama do caso 2 e do 
caso 1; 
 
 
 
 
 
 δ 22 = M2 e M2 : Deslocamento 2 do caso 2 é a combinação do diagrama do caso 2. 
 
 
 
 
 
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6º passo: Aplicas os deslocamentos na fórmula, e resolver o sistema. 
 
 
 
 
 
 
7º passo: Após determinados os valores de X1 e X2 deverá voltar para a estrutura original substituindo 
os valores encontrados, e assim, encontrar as incógnitas restantes com as equações já conhecidas: 
 
 
 
 
 
 
 
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 8º passo: Construção dos diagramas de esforço normal, cortante e momento fletor. 
o Esforço Normal 
 
 
 
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o Esforço Cortante 
 
o Momento Fletor 
 
 
 
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Exemplo 2 
 
1º passo: grau de hiperestaticidade 
g = 5 – 3 ؞ g = 2 
2º passo: Montar o sistema principal 
 
 
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3º passo: Substituição dos vínculos hiperestáticos no sistema principal 
 
4º passo: Resolução dos casos básicos 
 Caso 0: carregamentos da estrutura original no sistema principal 
 
 
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Diagrama caso 0: 
 
 
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 Caso 1: Hiperestático 1 no sistema principal 
 
 
 
 
 
 
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Diagrama Caso 1: 
 
 Caso 2: Hiperestático 2 no sistema principal 
 
 
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Diagrama caso 2: 
 
 
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5º passo: Calcular os deslocamentos através da tabela 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 
 
 
 
 
 
 
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6º passo: Aplicar na fórmula 
 
 
 
 
 
 
7º passo: Achar as outras incógnitas 
 
 
 
 
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8º passo: Construção dos diagramas 
 Esforço Normal 
 
 
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 Esforço Cortante 
 
 Momento Fletor 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3 
 
1º passo: grau de hiperestaticidade 
g = 5 – 3 ؞ g = 2 
2º passo: Montar o sistema principal 
 
3º passo: Substituição dos vínculos hiperestáticos no sistema principal 
 
4º passo: Resolução dos casos básicos 
 Caso 0: carregamentos da estrutura original no sistema principal 
 
 
 
 
 
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Diagrama caso 0: 
 
 Caso 1: Hiperestático 1 no sistema principal 
 
 
 
 
Diagrama Caso 1: 
 
 
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 Caso 2: Hiperestático 2 no sistema principal 
 
 
 
 
Diagrama caso 2: 
 
5º passo: Calcular os deslocamentos através da tabela 
 
 
 
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 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 
 
 
 
 
6º passo: Aplicar na fórmula 
 
 
 
 
 
7º passo: Achar as outras incógnitas 
 
 
 
 
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8º passo: Construção dos diagramas 
 Esforço Cortante 
 
 Momento Fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
Martha, Luiz Fernando. "Métodos básicos da análise de estruturas." Rio de Janeiro: Campus (2010) 
Süssekind, J. C. "Curso de Análise Estrutural–Vol. 2: Deformações em Estruturas, Método das Forças–Vol. 3: Método 
das Deformações, Processo de Cross." (1977).