MUV - movimento uniformemente variado

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Aula 4Aula 4: Movimentos uniformes e Aula 4Aula 4: Movimentos uniformes e Aula 4Aula 4: Movimentos uniformes e 
uniformemente variados, em uma ou duas uniformemente variados, em uma ou duas uniformemente variados, em uma ou duas 
dimensõesdimensõesdimensões
Física BásicaFísica BásicaFísica Básica
Prof. Anibal Livramento da Silva NettoProf. Anibal Livramento da Silva Netto
Colegiado de Engenharia Mecânica Colegiado de Engenharia Mecânica 
(CENMEC)(CENMEC)(CENMEC)
Movimento UniformeMovimento UniformeMovimento Uniforme
• Movimento onde a velocidade é constante (e nula • Movimento onde a velocidade é constante (e nula 
ou não)ou não)ou não)
• Aceleração nula• Aceleração nula
• A partir da velocidade é possível obter a equação • A partir da velocidade é possível obter a equação 
de movimento de uma partícula movendo-se com de movimento de uma partícula movendo-se com 
a aceleração constante.a aceleração constante.a aceleração constante.
Movimento Uniformemente Movimento Uniformemente Movimento Uniformemente 
VariadoVariadoVariado
• Movimento onde a velocidade NÃO • Movimento onde a velocidade NÃO 
é constante é constante é constante 
• Aceleração constante e não-nula• Aceleração constante e não-nula• Aceleração constante e não-nula
• A partir da aceleração é possível • A partir da aceleração é possível • A partir da aceleração é possível 
obter a equação de movimento de obter a equação de movimento de 
uma partícula movendo-se com a uma partícula movendo-se com a 
aceleração constante.aceleração constante.aceleração constante.
Queda LivreQueda LivreQueda Livre
tgv .−= tgv .−= tgv .−=
1 21 gtyy −= 20
1
gtyy −= 0 2
gtyy −= 0 2
Movimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétil
• Movimentos bidimensional pode ser • Movimentos bidimensional pode ser • Movimentos bidimensional pode ser 
decomposto em DOIS movimentos decomposto em DOIS movimentos 
unidimensionais e INDEPENDENTES.unidimensionais e INDEPENDENTES.
• Movimento uniforme na direção do alcance; • Movimento uniforme na direção do alcance; • Movimento uniforme na direção do alcance; 
uniformemente variado na subida e descida.uniformemente variado na subida e descida.uniformemente variado na subida e descida.
• Trajetória do projétil: parábola.• Trajetória do projétil: parábola.• Trajetória do projétil: parábola.
Movimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétil
Movimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétil
Movimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétil
Movimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétil
Movimento de um projétil: alcance Movimento de um projétil: alcance Movimento de um projétil: alcance 
e altura máximae altura máximae altura máxima
Quando analisamos o � Quando analisamos o Quando analisamos o 
movimento de um movimento de um 
projéctil, temos duas projéctil, temos duas 
características de características de características de 
interesse especial interesse especial 
� O alcance, R, é a � O alcance, R, é a 
distância horizontal distância horizontal distância horizontal 
entre o lançamento e a entre o lançamento e a 
queda do projéctilqueda do projéctil
� A máxima altura que o � A máxima altura que o 
projéctil alcança é hprojéctil alcança é hprojéctil alcança é h
Movimento de um projétil: alcance Movimento de um projétil: alcance Movimento de um projétil: alcance 
e altura máximae altura máximae altura máxima
Movimento circularMovimento circularMovimento circular
Espaço angular – φEspaço angular – φ
Espaço Linear – sEspaço Linear – sEspaço Linear – s
Relação s = φ RRelação s = φ RRelação s = φ R
Movimento circularMovimento circularMovimento circular
Um radiano é a medida do ângulo central φ que Um radiano é a medida do ângulo central φ que Um radiano é a medida do ângulo central φ que 
determina, na circunferência, um arco de comprimento determina, na circunferência, um arco de comprimento determina, na circunferência, um arco de comprimento 
igual ao raio R (s=R)igual ao raio R (s=R)igual ao raio R (s=R)
Movimento circularMovimento circularMovimento circular
Radiano Comprimento de arcoRadiano Comprimento de arcoRadiano Comprimento de arco
1 rad ---------------------------------- arco = R1 rad ---------------------------------- arco = R1 rad ---------------------------------- arco = R
φ rad -------------------------------- arco = s φ rad -------------------------------- arco = s 
s = φ Rs = φ Rs = φ R
O comprimento da circunferência é 2πR substituindo –se O comprimento da circunferência é 2πR substituindo –se 
em s = φ R , vem:em s = φ R , vem:
2πR = φ R � φ = 2 π rad2πR = φ R � φ = 2 π rad2πR = φ R � φ = 2 π rad
Movimento circularMovimento circularMovimento circular
Aceleração angular – γAceleração angular – γAceleração angular – γ
γ = ∆ω/∆tγ = ∆ω/∆tγ = ∆ω/∆t
γ - rad/s2γ - rad/s2γ - rad/s
Relação a = γ RRelação a = γ RRelação a = γ R
aceleração linear aaceleração linear a
Movimento circularMovimento circularMovimento circular
ω = ∆φ/∆tω = ∆φ/∆tω = ∆φ/∆t
ω - rad/sω - rad/sω - rad/s
Relação v = ω RRelação v = ω RRelação v = ω R
Velocidade linear v Velocidade linear v 
Movimento circular uniforme Movimento circular uniforme Movimento circular uniforme 
(MCU)(MCU)(MCU)
O MCU é um movimento periódico. Seu período O MCU é um movimento periódico. Seu período O MCU é um movimento periódico. Seu período 
(T) é o intervalo de tempo de uma volta completa. (T) é o intervalo de tempo de uma volta completa. (T) é o intervalo de tempo de uma volta completa. 
O número de voltas na unidade de tempo é a sua O número de voltas na unidade de tempo é a sua O número de voltas na unidade de tempo é a sua 
freqüência f:freqüência f:freqüência f:
f = 1/T f = 1/T 
unidade de freqüência hertz (Hz) = 1/sunidade de freqüência hertz (Hz) = 1/sunidade de freqüência hertz (Hz) = 1/s
Movimento circular uniforme Movimento circular uniforme Movimento circular uniforme 
(MCU)(MCU)(MCU)
A função horária do MU é: S = S+ VtA função horária do MU é: S = S0 + VtA função horária do MU é: S = S0 + Vt
Dividindo tudo pelo raio:Dividindo tudo pelo raio:Dividindo tudo pelo raio:
ϕ ϕ ωS/R = S0/R + Vt/R � ϕ = ϕ0 + ωt S/R = S0/R + Vt/R � ϕ = ϕ0 + ωt 0 0
Esta é a função horária angular do MCUEsta é a função horária angular do MCUEsta é a função horária angular do MCU
Movimento circular uniforme Movimento circular uniforme Movimento circular uniforme 
(MCU): aceleração centrípeta(MCU): aceleração centrípeta(MCU): aceleração centrípeta
No MCU a aceleração tangencial é igual a zero, mas temos No MCU a aceleração tangencial é igual a zero, mas temos No MCU a aceleração tangencial é igual a zero, mas temos 
também um outro tipo de aceleração, a chamada também um outro tipo de aceleração, a chamada 
aceleração centrípeta (a ).aceleração centrípeta (ac).aceleração centrípeta (ac).
ReferênciasReferênciasReferências
• NUSSENZVEIG, H.M., Curso de Física Básica, vol. 1, • NUSSENZVEIG, H.M., Curso de Física Básica, vol. 1, • NUSSENZVEIG, H.M., Curso de Física Básica, vol. 1, 
Editora Blücher (São Paulo), 4ª edição, revista (2002).Editora Blücher (São Paulo), 4ª edição, revista (2002).
• SERWAY, A.R., JEWETT JR., J.W., Princípios de Física, , • SERWAY, A.R., JEWETT JR., J.W., Princípios de Física, , 
vol. 1, Editora Thomson Learning (São Paulo), 2007.vol. 1, Editora Thomson Learning (São Paulo), 2007.vol. 1, Editora Thomson Learning (São Paulo), 2007.
• HALLIDAY, D., RESNICK, R. E WALKER, J., Fundamentos • HALLIDAY, D., RESNICK, R. E WALKER, J., Fundamentos 
de física, Editora LTC (Rio de Janeiro), 8ª edição (2008).de física, Editora LTC (Rio de Janeiro), 8ª edição (2008).de física, Editora LTC (Rio de Janeiro), 8ª edição (2008).