Trigonometria Geral

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1
TRIGONOMETRIA
TRIÂNGULO RETÂNGULO
2
TRIGONOMETRIA
Triângulo Retângulo
sen  = 
cos  = 
tg  = 
b
a
c
a
b
c
Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa 
que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. 
Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 3
e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, 
que a rampa formará com o solo. 
m
12m
34

3
3
αtg
12
34
αtg
=
=
 = 30o
3
( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x
30° 60°
A
B
CD
AD = x DC= x - 38 BD = y
tg 30o = 
x x – 38 
y
60o30o
y
x
3
3 y
x
tg 60o = 
y
x – 38 
3 =
x – 38 
y
(x – 38) 3 = y
=
3
3
=
(x – 38) 3
x
x = 3(x – 38)
x = 3x – 114
114 = 2x
57 = x
4
TRIGONOMETRIA
SENO COSSENO TANGENTE E DEMAIS 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
5
SENO E COSSENO E TANGENTE
SENO
+ 1
– 1
+ +
__
COSSENO
+ 1– 1
+
+
_
_
TANGENTE
+
+
_
_
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2x + cos2 x = 1
tg x = 
sen x
cos x
x sen
 = x cossec
1
x cos
 = x sec
1
x sen
x cos
x tg
 = x cotg
1
=
6
a) cos x
sen2x + cos2 x = 1
1cos
25
16 2 =+ x
25
16
1cos2 −=x
25
9
cos2 =x
5
3
xcos =
1xcos
5
4 2
2
=+





−
tg x = 
sen x
cos x
5
3
5
4
xtg
−
=
3
4
xtg −=
b) tg x
c) cotg x
Sendo sen  = 
5
4
− e 

2
2
3
 , calcule:
4
3
xtg
1
xcotg −==
d) sec x
3
5
xcos
1
xsec ==
e) cossec x
4
5
xcos
1
xcossec −==
SENO
+ +
__
COSSENO
+
+
_
_
TANGENTE
+
+
_
_
7
Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
 180o 
x 225
o 
225o  = x.180o
4
5
=x
01. A medida em radianos de um arco de 225º é rad
6
11π
F
02. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para 2  m  3
– 1  2m – 5  1 
– 1 + 5  2m  1 + 5 
4  2m  6
2  m  3
V
8
04. Se sen x > 0, então cossec x < 0
sen 30o = 1/2 cossec 30o = 2
sen 210o = - 1/2 
F
FP
180o
160o
200o
cossec 210o = - 2 
08. Se tg 20º = a, o valor de 2- é
o
oo
tg200
tg340tg160 +
F
360o
340o
tg 160o =
tg 200o =
tg 340o =
– tg 20o = 
tg 20o = 
– tg 20o = 
– a 
a 
– a 
+
+
_
_
o
oo
tg200
tg340tg160 +
a
a)(a- −+
a
2a−
– 2 
V
9
16. Para todo x  1o quadrante, a expressão 
(sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x é igual a cos2x 
(sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x
xsen
x
xsen
xx
xsen
x
2
coscos
1
.
coscos
1
−





+





−
xsen
x
xsen
x
xsen 2
cos
1
.
cos
1
−




 +





 −
xsen
x
xsen 2
2
22
cos
1
−




 −
xsen
x
xsen 2
2
2
cos
1
−




 −
xsen
x
x 2
2
2
cos
cos
−





sen2x + cos2 x = 1
sen2x = 1 – cos2 x
cos2x = 1 – sen2 x
1 – sen2 x 
cos2 x 
V
10
6
 
6
 5 
32. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para 0  x  2 é
x = ou x = 
2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0
 = b2 – 4ac
 = 32 – 4.2.(-2)
 = 25
a
b
x
2
−
=
4
53−
=xsen
2
2
1
−== xsenouxsen
2
1
=xsen
++
30o150o






=
6
5
,
6

S
V
11
( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o 
valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é: 
cossec x = 
4
5
sen x = 
5
4
sen2x + cos2 x = 1
1cos
5
4 2
2
=+





x
1cos
25
16 2 =+ x
25
16
1cos2 −=x
25
9
cos2 =x
5
3
cos =x
3
5
sec =x
tg x = 
sen x
cos x
5
3
5
4
=xtg
3
4
=xtg
9.(sec2 x + tg2 x)












+





22
3
4
3
5
9




+
9
16
9
25
9




9
41
9 41
12
TRIGONOMETRIA
OPERAÇÃO COM ARCOS
13
Adição e Subtração de Arcos
sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a
cos (a  b) = cos a . cos b sen a . sen b
sen 75º =
sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a
2
3
.
2
2
2
2
.
2
1
+
sen 75º =
4
62 +
cos 15º =
cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b
cos 15º =
4
62 +
2
1
.
2
2
2
3
.
2
2
+
14
O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o. sen 35º, é: 
sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a
cos (a  b) = cos a . cos b sen a . sen b
cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b
cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35ºcos (10º + 35o) = 
cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35ºcos 45o = 
= cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º
2
2
15
Seno e Cosseno do arco duplo
sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a
cos (a  b) = cos a . cos b sen a . sen b
sen (2x) = 2sen x . cos x
cos (2x) = cos2 x - sen2 x
sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x
cos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x
16
Cálculo do sen x
sen2x + cos2 x = 1
1
25
16
xsen2 =+
25
16
1xsen2 −=
25
9
xsen2 =
5
3
xsen −=
1
5
4
 xsen
2
2 =





+
Sendo cos x = 
5
4
e 

2
2
3
 x , calcule sen 2x e cos 2x:
sen (2x) = 2sen x . cos x
cos (2x) = cos2 x - sen2 x
sen (2x) = 











−
5
4
.
5
3
.2
sen (2x) =
25
24
−
cos (2x) =
25
9
25
16
−
cos (2x) =
25
7
17
TRIGONOMETRIA
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS GRÁFICOS
18
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO SENO y = sen x
sen x




2
2
3
2
0
0 + 1 0 - 1 0
0o 90o 180o 270o 360o
x 
x 
IMAGEM: 
DOMÍNIO: REAIS
[-1, 1]
CRESCENTE:
DECRESCENTE:
1º. e 4º. q
2º. e 3º. q
PERÍODO: 2
19
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO COSSENO y = cos x
cos x




2
2
3
2
0
+1 0 - 1 0 +1
0o 90o 180o 270o 360o
x 
x 
IMAGEM: 
DOMÍNIO: REAIS
[-1, 1]
CRESCENTE:
DECRESCENTE:
3º. e 4º. q
1º. e 2º. q
PERÍODO: 2
20
FUNÇÕES DA FORMA: 
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto 
imagem de:
a) y = 2 + sen x
sen x




2
2
3
2
0
0 + 1 0 - 1 0
0o 90o 180o 270o 360o
x 
x 
2 + sen x 2 3 2 1 2
IMAGEM: [1, 3]
PERÍODO: 2
21
FUNÇÕES DA FORMA: 
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto 
imagem de:
b) y = 3sen x
sen x




2
2
3
2
0
0 + 1 0 - 1 0
0o 90o 180o 270o 360o
x 
x 
3sen x 0 3 0 -3 0
IMAGEM: [-3, 3]
PERÍODO: 2
22
FUNÇÕES DA FORMA: 
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
IMAGEM DA FUNÇÃO SENO E COSSENO: [a – b; a + b]
CONCLUSÕES: a → desloca o gráfico
b → estica o gráfico
Determinar a imagem da 
função f(x) = 2 + 3sen x
f(x) = 2 + 3 sen x
f(x) = 2 + 3 (-1)
f(x) = 2 + 3 (1)
= - 1
= 5
IMAGEM: [-1, 5]
Determinar a imagem da 
função f(x) = 5 + 2cos x
f(x) = 5 + 2 cos x
f(x) = 5 + 2 (-1)
f(x) = 5 + 2 (1)
= 3
= 7
IMAGEM: [3, 7]
23
PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO
m
2π
T =Período
Determinar o período da função 
f(x) = sen 2x
FUNÇÕES DA FORMA: 
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
==
2
2π
TPeríodo
Determinar o período da função 
f(x) = 3sen x/2
4==
2
1
2π
TPeríodo
24
Determine o período da função f(x) = cos4x – sen4x é: 
Um pouquinho de matemática
básica
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(x + 3)(x – 3) = x2 – 9
= x2 – 25(x + 5)(x – 5)
= cos4x – sen4x(cos2x + sen2x )(cos2x – sen2x)
= cos4x – sen4x(1)(cos2x)
f(x) = cos4x – sen4x 
f(x) = cos 2x 
==
2
2π
TPeríodo
m
2π
T =Período
= cos4x – sen4xcos2x
fórmulas do arco duplo
sen 2x = 2sen x.cos x
cos 2x = cos2 x – sen2 x
25
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO TANGENTE y = tg x
tg x




2
2
3
2
0
0 não 0 não 0
existe existe 
0o 90o 180o 270o 360o
x 
x 
IMAGEM: 
DOMÍNIO: 
REAIS
CRESCENTE: SEMPRE
PERÍODO: 
{x  |x 
2

+ k}
O domínio da função f(x) = tg 2x é:
24
2
2
2
2





k
x
k
x
kx
+
+

+