Cálculo 2

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9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_1_E.pdf
SEÇÃO 10.1 CURVAS DEFINIDAS POR EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS  1
1-15
 (a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para 
traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a 
curva é traçada conforme t aumenta.
 (b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da 
curva.
 1. , y t 1x 2t 4 = −+=
 2. , , 1 t 4y 2t 3x 3 t= − = − − ≤ ≤
 3. 0 t 3y t 2 4x 1 2t ≤ ≤, ,= = +−
 4. , y 6 3tx t 2 == −
 5. , y 2 3tx 1 t= =− +
 6. , , 3 t 3y 2 tx 2t 1 ≤ ≤= =− − −
 7. , , 0 t 2y 2 5tx 3t 2 ≤ ≤== +
 8. , y t 2 1x 2t 1= =− −
 9. , , 0 2y 2 sen x 3 cos ≤ ≤== pi
 10. , y sen x cos2= =
 11. , , 0 t 1y tx e t ≤ ≤==
 12. , y e tx e t= =
 13. , y cos4tx cos2t ==
 14. , y
2t
1 t 2
x
1 t 2
1 t 2
= =
−
+ +
 15. , , 0 t 1y t 2x
1 t
1 t
≤ ≤==
−
+
16-19
 (a) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da 
curva. 
 (b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a 
curva é traçada conforme o parâmetro aumenta. 
 16. , , 0 2y 12 sen x 2 cos ≤ ≤ pi= =
 17. , y sen2x 2 cos ==
 18. , 2 2y tg sec ,x tg sec pi pi− −= =
 19. , y cos 2tx cos t ==
20-23 Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) 
conforme t varia no intervalo fornecido.
 20. , , 0 t 2y 2t 5x 4 4t ≤ ≤= =− +
 21. , 6 t 3y cotg tx tg t ≤ ≤ pipi,==
 22. , , 0 t 1y 2 tx 8t 3 ≤ ≤= =− −
 23. 6 t 1y cossec tx sen t ≤ ≤pi, ,==
24-26 Esboce x e y como funções de t e observe como x e y crescem 
ou decrescem conforme t cresce. Utilize estas observações para 
fazer um rascunho a mão da curva paramétrica. E então utilize um 
dispositivo gráfico para fazer seu esboço.
 24. , y t 3 3tx 3 t 2 3 == − −
 25. , y tg 1tx cos t= = −
 26. , y t 3 1x t 4 1 +== −
10.1 CURVAS DEFINIDAS POR EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.
Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_1_R.pdf
2  SEÇÃO 10.1 CURVAS DEFINIDAS POR EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
 1. (a)
(b) y 12 x 3
=
=−−
−
−=
 2. (a)
(b) y 3 2x
=
= −
−
−
−=
 3. (a)
(b) y 14 (x 1)
2 4
=
−
=
= − +
 4. (a)
(b) x 19 (y 6)
2
−=
−
=
= −
 5. (a)
(b) y 5 3x= −
 6. (a)
(b) x 2y 3,
−7 ≤ x ≤ 5
=+
−
−
 7. (a)
(b) x 325 (y 2)
2 ,
2 ≤ y ≤ 12
= −
 8. (a)
(b) y + 1 = 14 (x + 1)
2
−
−−
 9. (a)
(b) 19 x
2 1
4 y
2 1=+
= pi
 10. (a)
(b) x + y2 = 1,
−1 ≤ y ≤ 1
−
 11. (a)
(b) x = e y
2
, 0 ≤ y ≤ 1
Ou:
y = ln x , 1 ≤ x ≤ e
 12. (a)
0
(b) y = x , x > 0
 13. (a)
x0
(1, 1)
(b) y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
 14. (a)
x0
t = 1
1
(b) x 2 + y2 = 1, x = −1
t = 0
t = − 1
 15. (a)
x
(1, 0)
(0, 1)
0
 (b) x =
1 − y
1+ y
, 0 ≤ y ≤ 1
Ou:
y = 1 − x
1+ x
2
, 0 ≤ x ≤ 1
 16. (a)
x 2
22
+
y2
(1/ 2)2
= 1
(b)
=
=
pi
pi
−
 17. (a) y = 1 −
x 2
4
, −2 ≤ x ≤ 2
(b)
 
−
 18. (a) y = −1/x , x > 0
(b)
 19. (a) y + 1 = 2 x 2 ,
−1 ≤ x ≤ 1
(b) −
−
10.1 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
SEÇÃO 10.1 CURVAS DEFINIDAS POR EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS  3
 20. Move-se sobre y = − 12 x + 7 de (4, 5) para (−4, 9)
 21. Move-se pela ramificação do primeiro quadrante de y = 1/x, de
 
1
3 , 3 para 3,
1
3
 22. Move-se sobre x + 8y = 13 de (−3, 2) para (5, 1)
 23. Move-se para baixo da ramificação do primeiro quadrante de 
xy = 1 de 12 , 2 para (sen 1, cossec 1)
 24. 
−
−
−
−
7,5
7,5
, ,
 25. 
−
−
−
−
1,5
1,5
1,5
,
1,5
,
 26. 
,,−
−
−
−
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_1_S.pdf
4  SEÇÃO 10.1 CURVAS DEFINIDAS POR EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
 1. (a) x = 2t + 4, y = t − 1
t −3 −2 −1 0 1 2
x −2 0 2 4 6 8
y −4 −3 −2 −1 0 1
(b) x = 2 t + 4, y = t − 1 ⇒
x = 2 (y + 1) + 4 = 2y + 6 ou y = 12 x − 3
=
= − −
 −
 2. (a) x = 3 − t , y = 2t − 3, −1 ≤ t ≤ 4
t −1 0 1 2 3 4
x 4 3 2 1 0 −1
y −5 −3 −1 1 3 5
(b) x = 3 − t ⇒ t = 3 − x ⇒
y = 2t − 3 = 2 (3 − x ) − 3 ⇒ y = 3 − 2x
 −
 =
 =−
 −
 3. (a) x = 1 − 2t , y = t2 + 4, 0 ≤ t ≤ 3
t 0 1 2 3
x 1 −1 −3 −5
y 4 5 8 13
(b) x = 1 − 2t ⇒ 2t = 1 − x ⇒ t = 1 − x
2
⇒
y = t2 + 4 = 1 − x
2
2
+ 4 = 14 (x − 1)
2 + 4 ou
y = 14 x
2 − 12 x +
17
4
 =
 =
−
 4. (a) x = t2 , y = 6 − 3t
t −3 −2 −1 0 1 2 3
x 9 4 1 0 1 4 9
y 15 12 9 6 3 0 −3
(b) y = 6 − 3t ⇒ 3t = 6 − y ⇒ t = 6 − y
3
⇒
x = t2 = 6 − y
3
2
= 19 (y − 6)
2
 =−
 =
 −
 5. (a)
(b) x = 1 − t , y = 2 + 3t ⇒
y = 2 + 3 (1 − x ) = 5 − 3x , assim 3x + y = 5
 6. (a)
t −3 −2 1 0 1 2
x −7 −5 −3 −1 1 3
y 5 4 3 2 1 0
(b) x = 2 t − 1, y = 2 − t , −3 ≤ t ≤ 3 ⇒
x = 2 (2 − y) − 1 = 3 − 2y , logo x + 2y = 3,
com −7 ≤ x ≤ 5
 −
 −
 7. (a)
(b) x = 3 t2 , y = 2 + 5t , 0 ≤ t ≤ 2 ⇒
x = 3 y − 2
5
2
= 325 (y − 2)
2 , 2 ≤ y ≤ 12
10.1 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
SEÇÃO 10.1 CURVAS DEFINIDAS POR EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS  5
 8. (a)
(b) x = 2t − 1, y = t2 − 1 ⇒ y = x + 1
2
2
− 1,
logo y + 1 = 14 (x + 1)
2
−
− −
 9. (a)
(b) x = 3 cos θ, y = 2 sen θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi ⇒
x
3
2
+ y
2
2
= cos2 θ + sen2 θ = 1, ou
1
9 x
2 + 14 y
2 = 1
pi=
 10. (a)
(b) x = cos2 θ, y = sen θ ⇒
x + y2 = cos2 θ + sen2 θ = 1, −1 ≤ y ≤ 1
−
 11. (a)
(b) x = et , y = t ⇒ x = ey
2
, 0 ≤ y ≤ 1
Ou: y = ln x , 1 ≤ x ≤ e
 12. (a) y
0
(b) x = et , y = et ⇒ y = x , x > 0
 13. (a)
x
y
0
(1, 1)
(b) x = cos2 t , y = cos4 t ⇒ y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
 14. (a)
x
y
0
t = 1
1
(b) x = 1 − t
2
1+ t2
, y = 2t
1+ t2
⇒ x 2 + y2 = 1, x = −1
t = −1
t = 0
 15. (a)
(1, 0)
(0, 1)
0
(b) x = 1 − t
1 + t
, y = t2 , 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ x =
1 − y
1 + y
,
0 ≤ y ≤ 1
Ou: y = 1 − x
1 + x
2
, 0 ≤ x ≤ 1
y
x
 16. (a) x = 2 cos θ, y = 12 sen θ, 0 ≤ θ ≤ 2 .
1 = cos2 θ + sen2 θ = x
2
2
+
y
1/ 2
2
, logo
x 2
22
+
y2
(1/ 2)2
= 1.
(b)
pi
=
=
−
pi
pi
 17. (a) x = 2 cos θ, y = sen2 θ.
1 = cos2 θ + sen2 θ = x
2
2
+ y , assim y = 1 − x
2
4
,
−2 ≤ x ≤ 2. A curva está em (2, 0) sempre que
θ = 2pin .
(b)
 −
 18. (a) x = tg θ + sec θ, y = tg θ − sec θ, − pi2 < θ <
pi
2 .
xy = tg2 θ − sec2 θ = −1 ⇒ y = −1/x , x > 0.
(b)
6  SEÇÃO 10.1 CURVAS DEFINIDAS POR EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
 19. (a) x = cos t, y = cos 2t .
y = cos 2t = 2 cos2 t − 1 = 2x 2 − 1, logo y + 1 = 2x 2,
−1 ≤ x ≤ 1.
 (b) −
−
 20. x = 4 − 4t , y = 2 t + 5, 0 ≤ t ≤ 2.
x = 4 − 2 (2t) = 4 − 2 (y − 5) = −2y + 14, então a
partícula move-se sobre a curva y = − 12 x + 7 de (4, 5)
para (−4, 9).
 21. x = tg t , y = cotg t , pi6 ≤ t ≤
pi
3 . y = 1 /x para
1
3 ≤ x ≤ 3. A partícula move-se pela ramificação
do primeiro quadrante da hipérbole y = 1/x de 1
3 , 3
para 3, 13 .
 22. x = 8 t − 3, y = 2 − t , 0 ≤ t ≤ 1 ⇒
x = 8 (2 − y) − 3 = 13 − 8y , então a partícula
move-se
pela reta x + 8y = 13 de (−3, 2) para (5 , 1).
 23. y = cossec t = 1/ sen t = 1/x. A partícula desliza para baixo 
da ramificação do primeiro quadrante da hipérbole xy = 1 de 
1
2 , 2 para (sen 1, cossec 1) ≈ (0,84147, 1,1884) conforme t 
vai de pi6 para 1.
 24. A partir dos gráficos, parece que t → −∞, x → ∞ e y → 
−∞. Então, o ponto (x (t), y (t)) se moverá para longe do 
quarto quadrante conforme t aumenta. Em t = − 3, tanto 
x quanto y são 0, logo o gráfico passa pela origem. Depois 
de o gráfico passar pelo segundo quadrante (x é negativo, y é 
positivo), então intersecta o eixo x em x = −9 quando t = 0. 
Depois disto, o gráfico passa pelo terceiro quadrante, indo 
para a origem novamente em t = 3 e então quando t → ∞, 
e x → ∞ e y → ∞. Observe que para todos os pontos (x (t), y 
(t)) = (3 (t 2 − 3), t 3 − 3t), podemos substituir −t para chegar 
ao ponto correspondente 
 
(x (−t) , y (−t)) = 3 (−t)2 − 3 , (−t)3 − 3 (−t)
= (x (t) , −y (t))
 e então o gráfico é simétrico com respeito ao eixo x. A 
primeira figura é obtida usando x1 = t, y1 = 3 (t 2 − 3); x2 = t, 
y2 = t 3 − 3t; e −2p ≤ t ≤ 2p.
 
−
−
−
−
, ,
,
,
 25. Conforme t → −∞, y → − pi2 e x oscila entre 1 e −1. Então, 
conforme t aumenta através de 0, y aumenta enquanto 
x continua a oscilar e o gráfico passa através da origem. 
Então, quando t →∞, y → pi2 conforme x oscila.
 
−
−
−
−
1,5
1,5
1,5
1,5
1,251,25
 26. Como t → −∞, x → ∞ e y → −∞. O gráfico passa através 
da origem em t = −1 e então passa para o segundo quadrante 
(x negativo, y positivo), passando pelo ponto (−1, 1) em 
t = 0. Conforme t aumenta, o gráfico passa pelo ponto 
(0, 2) em t = 1 e então quando t → ∞, tanto x quanto y se 
aproximam de ∞. A primeira figura é obtida usando x1 = t, 
y1 = t 4 − 1; x2 = t, y2 = t 3 + 1; e −2pi ≤ t ≤ 2pi.
 
−
−
−
−
1,751,75
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_2_E.pdf
SEÇÃO 10.2 CÁLCULO COM CURVAS PARAMETRIZADAS  1
1-2 Encontre dy/dx.
 1. , y t 3 tx t t −= − = 2. , y sen2tx t ln t= =
3-6 Encontre uma equação da tangente à curva no ponto 
correspondente aos valores dados do parâmetro.
 3. , ; t 0y t 2 tx t 2 t= = =−
 4. ty t cos tx t sen t,= = = pi
 5. , ; t 4y tx t 2 t= + = =
 6. , ; 4y 3 cos x 2 sen = = = pi
7-10 Encontre uma equação da tangente à curva no ponto 
fornecido utilizando dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e 
(b) eliminando primeiramente o parâmetro.
 7. , ; 5, 3y t 2 2tx 2t 3= + = +
 8. = =, ; 3, 4y 5 sen tx 5 cos t
 9. , ; 1, 1y 1 t 2x 1 t= − = −
 10. , ; 1, 1y t 2x t 3= =
11-18 Encontre dy/dx e d 2y/dx2
 11. , y t 2 1x t 2 t= + = +
 12. , y sen (2t)x t 2 cos (t) += =
 13. , y t t 2x t 4 1= − = −
 14. , y 1 t 2x t 3 t 2 1= + + = −
 15. , y cos tx sen t= =pi pi
 16. , y cos 2tx 1 tg t= + =
 17. , y te 2 tx e t= =−
 18. , y t ln tx 1 t 2= + =
 19. Estime a área da região delimitada por cada laço da curva
y 1 sen t cos tx sen t 2 cos t= − = +
20-23 Defina, mas não avalie, uma integral que representa o 
comprimento da curva.
 20. , , 0 t 1y t 4x t 3= = ≤ ≤
 21. , , 0 t 2y 1 4tx t 2 ≤ ≤= = +
 22. , , 0 t 2y t cos tx t sen t ≤ ≤= = pi
 23. , , 1 t 1y te 2tx e t ≤ ≤= = −−
24-29 Encontre o comprimento da curva.
 24. , , 0 t 4y t 2x t 3 ≤ ≤= =
 25. , , 0 t 2y 3t 2x 3t t 3 ≤ ≤= =−
 26. , , 0 2y cos 2x 2 3 sen 2 ≤ ≤= − = pi
 27. , , 0 t 1y 3 2 cos tx 1 2 sen t ≤ ≤= + = −pi pi
 28. , , 0 t 2y 4 3t 2x 5t 2 1 ≤ ≤= + = −
 29. , , 0 ty e t sen tx e t cos t ≤ ≤= = pi
 30. Esboce a curva
 ty t sen t cos tx t cos t sen t= + = − − ≤ ≤pi pi
 E então utilize o SCA ou uma tabela de integrais para 
encontrar o comprimento exato da curva.
 31. Utilize a Regra de Simpson com n = 10 para estimar o 
comprimento da curva x = ln t, y = e−t, 1 ≤ t ≤ 2.
 32. Defina, mas não calcule, uma integral que representa a área 
da superfície obtida pela rotação da curva x = t 3, y = t 4, 
0 ≤ t ≤ 1 em torno do eixo x.
33-35 Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva 
fornecida em torno do eixo x.
 33. , , 1 t 9y 8 tx t 2 2 t= =+ ≤ ≤
 34. , , 0 t 2y e t sen tx e t cos t ≤ ≤ pi= =
 35. , y 2 sen sen 2x 2 cos cos 2= − = −
10.2 CÁLCULO COM CURVAS PARAMETRIZADAS
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.
Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_2_R.pdf
2  SEÇÃO 10.2 CÁLCULO COM CURVAS PARAMETRIZADAS
 1. 
3t2 − 1 2 t
1 − 2 t
 2. 2 sen t cos t
1 + ln t
 3. y = −x
 4. y = 1pi x − pi
 5. y =
1
36 x +
13
9
 6. y = −
3
2 x + 3 2
 7. y = 2x − 7
 8. − 34 x +
25
4y =
 9. y = 1
 10. y = 23 x +
1
3
 11. 1 −
1
2t + 1
, 2
(2t + 1)3
 12. 
2 cos 2t
1− 2 sen t
, 4 (cos t − sen2t + sen t sen 2t)
(1 − 2 sen t)3
 13. 14 t
− 3 − 12 t
− 2 , −3+ 4t
16t7
 14. −
2
3t + 2
, 6
t (3t + 2)3
 15. − tg pit , − sec3 pit
 16. −4 sen t cos3 t , 4 cos4 t 3 sen 2 t − cos2 t
 17. − (2t + 1) e3 t , (6t + 5) e4 t
 18. 1+ ln t
2t
, − ln t
4t3
 19. 2 55
 20. 10 t
2 9+ 16t2 dt
 21. 2 20 t2 + 4 dt
 22. pi/20 1+ t2 dt
 23. 1− 1 e− 2 t + e4 t (1 +2 t)
2 dt
 24. 827 37
3/2 − 1
 25. 14
 26. 13
 27. 2p
 28. 4 34
 29. 2 (epi − 1)
 30. 
pi pi2 + 4 + 4 ln pi + pi2 + 4 − 4 ln 2
 31. 0,7314
 32. 10 2pit
6 9 +16t2 dt
 33. 47 10415 pi
 34. 2 2pi5 (2e
pi − 1)
 35. 128 pi5
10.2 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_2_S.pdf
SEÇÃO 10.2 CÁLCULO COM CURVAS PARAMETRIZADAS  3
 1. x = t − t, y = t3 − t ⇒ dydt
= 3 t2 − 1,
dx
dt
=
1
2 t
− 1, e
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
3t2 − 1
1/ 2 t − 1
=
3t2 − 1 2 t
1 − 2 t
 2. x = t ln t , y = sen2 t ⇒
dy
dt
= 2 sen t cos t,
dx
dt
= t 1
t
+ (ln t) · 1 = 1+ ln t , e
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
2 sen t cos t
1+ ln t
 3. x = t2 + t , y = t2 − t ; t = 0.
dy
dt
= 2t − 1, dx
dt
= 2t + 1,
logo dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
2t − 1
2t + 1
. Quando t = 0, x = y = 0
e dy
dx
= −1. Uma equação da tangente é
y − 0 = (−1) (x − 0) ou y = −x .
 4. x = t sen t, y = t cos t ; t = pi.
dy
dt
= cos t − t sen t,
dx
dt
= sen t + t cos t , e dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
=
cos t − t sen t
sen t + t cos t
.
Quando t = pi, (x, y) = (0, −pi) e dy
dx
=
−1
−pi
=
1
pi
, então
a equação da tangente é y + pi = 1pi (x − 0) ou
y = 1pi x − pi.
 5. x = t2 + t , y = t ; t = 4.
dy
dt
=
1
2 t
, dx
dt
= 2t + 1, logo
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
=
1
2 t (2t + 1)
. Quando t = 4,
(x, y) = (20, 2) e dy
dx
=
1
36
, então a equação da tangente
é y − 2 = 136 (x − 20) ou y =
1
36 x +
13
9 .
 6. x = 2 sen θ, y = 3 cos θ; θ = pi4 .
dx
dθ
= 2 cos θ,
dy
dθ
= −3 sen θ, dy
dx
=
dy /dθ
dx/dθ
= − 32 tg θ. Quando θ =
pi
4 ,
(x, y) = 2, 3 22 , e dy /dx = −
3
2 , então a equação da
tangente é y − 3 22 = −
3
2 x − 2 ou y = −
3
2 x + 3 2.
 7. (a) x = 2t + 3, y = t2 + 2t ; (5 , 3). dy
dt
= 2t + 2, dx
dt
= 2,
e dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
= t + 1. Em (5 , 3), t = 1 e dy
dx
= 2,
então a tangente y − 3 = 2 (x − 5) ou y = 2x − 7.
 
(b) y = t2 + 2t = x − 3
2
2
+ 2 x − 3
2
=
(x − 3)2
4
+ x − 3
logo dy
dx
=
x − 3
2
+ 1. Quando x = 5, dy
dx
= 2, então
a equação da tangente é y = 2x − 7, como anteriormente.
 8. (a) x = 5 cos t , y = 5 sen t ; (3 , 4).
dy
dt
= 5 cos t ,
dx
dt
= −5 sen t , dy
dx
= dy /dt
dx/dt
= − cotg t. Em (3, 4),
t = tg− 1 y
x
= tg− 1 43 , logo
dy
dx
= −
3
4
, então a equação
da tangente é y − 4 = − 34 (x − 3) ou y = −
3
4 x +
25
4 .
(b) x 2 + y2 = 25, logo 2x + 2y dy
dx
= 0, ou dy
dx
= −
x
y
. Em
(3, 4), dy
dx
= −
3
4
, e como na parte (a), uma equação da
tangente é y = − 34 x +
25
4 .
 9. (a) x = 1.− t , y = 1 − t2 ; (1 , 1). dy
dt
= −2t , dx
dt
= −1,
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
= 2t . Em (1 , 1), t = 0, logo dy
dx
= 0,
e a tangente é y − 1 = 0 (x − 1) ou y = 1.
(b) y = 1 − t2 = 1 − 1 − x 2 = 2x − x 2 , logo
[dy /dx]x = 1 = [2 − 2x ]x − 1 = 0, e como na parte (a)
a tangente é y = 1.
 10. (a) x = t3 , y = t2 ; (1 , 1). dy
dt
= 2t , dx
dt
= 3t2 , e
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
2t
3t2
=
2
3t
(para t = 0). Em (1 , 1),
temos t = 1 e dy /dx = 23 , então a equação da tangente
é y − 1 = 23 (x − 1) ou y =
2
3 x +
1
3 .
(b) y = x 2/3, logo dy/dx = 23 x
−1/3. Quando x = 1,
dy /dx = 23 , então a tangente é y =
2
3 x +
1
3 como
anteriormente.
 11. x = t2 + t , y = t2 + 1.
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
2t
2t + 1
= 1 − 1
2t + 1
;
d
dt
dy
dx
=
2
(2t + 1)2
;
d2y
dx 2
=
d
dx
dy
dx
=
d (dy /dx) /dt
dx/dt
=
2
(2t + 1)3
10.2 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 10.2 CÁLCULO COM CURVAS PARAMETRIZADAS
 12. x = t + 2 cos t , y = sen 2t . dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
2 cos 2t
1 − 2 sen t
;
d
dt
dy
dx
=
(1 − 2 sen t) ( −4 sen 2t) − 2 cos 2t (−2 cos t)
(1 − 2 sen t)2
=
4 (cos t − sen 2 t + sen t sen 2t)
(1 − 2 sen t)2
;
d2y
dx 2
=
d (dy /dx ) /dt
dx/dt
=
4 (cos t − sen 2t + sen t sen 2t)
(1 − 2 sen t)3
 13. x = t4 − 1, y = t − t2 ⇒
dy
dt
= 1 − 2t , dx
dt
= 4t3 ,
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
1 − 2t
4t3
= 14 t
− 3 − 12 t
− 2 ;
d
dt
dy
dx
= − 34 t
− 4 + t− 3 ,
d2y
dx 2
=
d (dy /dx) /dt
dx/dt
=
− 34 t
− 4 + t− 3
4t3
·
4t4
4t4
=
−3+ 4t
16t7
.
 14. x = t3 + t2 + 1, y = 1 − t2 . dy
dt
= −2t ,
dx
dt
= 3t2 + 2t ; dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
−2t
3t2 + 2t
= −
2
3t + 2
;
d
dt
dy
dx
=
6
(3t + 2)2
;
d2y
dx 2
=
d (dy /dx) /dt
dx/dt
=
6
t (3t + 2)3
.
 15. x = sen pit , y = cos pit .
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
−pi sen pit
pi cos pit
= − tg pit ;
d2y
dx 2
=
d
dx
dy
dx
=
d (dy /dx) /dt
dx/dt
=
−pi sec2 pit
pi cos pit
= − sec3 pit .
 16. x = 1 + tg t , y = cos 2t ⇒
dy
dt
= −2 sen 2t ,
dx
dt
= sec2 t ,
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
−2 sen 2t
sec2 t
= −4 sen t cos t · cos2 t
= −4 sen t cos3 t ;
d
dt
dy
dx
= −4 sen t 3 cos2 t (−sen t) − 4 cos4 t
= 12 sen2 t cos2 t − 4 cos4 t ,
d2y
dx 2
=
d (dy /dx ) /dt
dx/dt
=
4 cos2 t 3 sen2 t − cos2 t
sec2 t
= 4 cos4 t 3 sen2 t − cos2 t .
 17. x = e− t , y = te 2 t .
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
(2t + 1) e2 t
−e− t
= − (2t + 1) e3 t ;
d
dt
dy
dx
= −3 (2t +1 ) e3 t − 2e3 t = − (6t + 5) e3 t ;
d 2y
dx 2
=
d
dx
dy
dx
=
d (dy /dx ) /dt
dx/dt
=
− (6t + 5) e3 t
−e− t
= (6t + 5) e4 t .
 18. x = 1 + t2 , y = t ln t . dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
=
1 + ln t
2t
;
d
dt
dy
dx
=
2t (1/t ) − (1 + ln t) 2
(2t)2
= −
ln t
2t2
;
d 2y
dx 2
=
d (dy /dx ) /dt
dx/dt
= −
ln t
4t3
.
 19. 
= − +tg pi
−
−
 O gráfico de x = sen t − 2 cos t, y = 1 + sen t cos t é 
simétrico em torno do eixo y. O gráfico intersecta o eixo y 
quando x = 0 ⇒ sen t − 2 cos t = 0 ⇒ sen t = 2 cos t ⇒ 
tg t = 2 ⇒ t = tg−1 2 + np. O ciclo esquerdo é traçado no 
sentido horário de t = tg−1 2 − p para t = tg−1 2, então a área 
do ciclo é dada (como no Exemplo 4) por 
 
A = tg
−1 2
tg−1 2− pi y dx
≈ 1,1071− 2,0344 (1 + sen t cos t) ( cos t + 2 sen t) dt
≈ 0,8944
 Esta integral pode ser avaliada exatamente, seu valor é 25 5.
 20. L = 10 (dx/dt )
2 + (dy /dt )2dt
e dx/dt = 3 t2 , dy /dt = 4 t3 ⇒
L = 10 9t4 + 16t6 dt =
1
0 t
2 9 + 16t2 dt
 21. L = 20 (dx/dt)
2 + (dy /dt)2 dt e dx/dt = 2 t,
dy/dt = 4, então L = 20 4t2 + 16dt = 2
2
0 t2 + 4dt.
 22. dx
dt
= sen t + t cos t e dy
dt
= cos t − t sen t ⇒
L = pi/20 (sen t + t cos t)
2 + (cos t − t sen t)2dt
= pi/20 1 + t2 dt
 23. dx/dt = −e− t e dy/dt = e2 t + 2te 2 t = e2 t (1 + 2t), então
L = 1−1 e− 2 t + e4 t (1 +2 t)
2 dt .
 24. x = t3, y = t2, 0 ≤ t ≤ 4.
(dx/dt)2 + (dy /dt)2 = 3t2 2 + (2t)2 = 9t4 + 4t2 .
L = 40 (dx/dt )
2 + (dy /dt )2 dt
= 40 9t4 + 4t2 dt =
4
0 t 9t2 + 4 dt
= 118
148
4 u du (onde u = 9t
2 + 4)
= 118
2
3 u
3/2
148
4
= 127 148
3/2 − 43/2
= 827 37
3/2 − 1
SEÇÃO 10.2 CÁLCULO COM CURVAS PARAMETRIZADAS  5
 25. x = 3t − t3 , y = 3t2 , 0 ≤ t ≤ 2.
dx
dt
2
+
dy
dt
2
= 3 − 3t2 2 + (6t)2
= 9 1+ 2t2 + t4 = 3 1 + t2 2
L = 20 3 1+ t
2 dt = 3t + t3 20 = 14
, ,
 26. x = 2 − 3 sen2 θ, y = cos 2θ, 0 ≤ θ ≤ pi2 .
(dx/dθ)2 + (dy /dθ)2 = (−6 sen θ cos θ)2 + (−2 sen 2θ)2
= (−3 sen 2θ)2 + (−2 sen2θ)2
= 13 sen2 2θ
⇒
L = pi/20 13 sen 2θdθ = −
13
2 cos 2θ
pi/2
0
= − 132 (−1 − 1) = 13
 27. x = 1 + 2 sen pit , y = 3 − 2 cos pit , 0 ≤ t ≤ 1.
dx
dt
2
+
dy
dt
2
= (2pi cos pit )2 + (2pi sen pit )2 = 4pi2
⇒ L = 10 (dx/dt)
2 + (dy /dt2) dt = 10 2pi dt = 2pi
 28. x = 5 t2 + 1, y = 4 − 3t2 , 0 ≤ t ≤ 2.
dx
dt
2
+
dy
dt
2
= (10t)2 + (−6t)2 = 136t2⇒
L = 20 136t2 dt =
2
0 136 t dt
= 12 · 2 34 t
2 2
0 = 4 34
 29. x = et cos t , y = et sen t , 0 ≤ t ≤ pi.
dx
dt
2
+
dy
dt
2
= et (cos t − sen t) 2
+ et (cos t + sent) 2
= e2 t 2 cos2 t + 2 sen2 t = 2e2 t
⇒ L = pi0 2 e
t dt = 2 (epi − 1)
 30. x = t cos t + sen t , y = t sen t − cos t , −pi ≤ t ≤ pi.
dx/dt = −t sen t + 2 cos t e dy /dt = t cos t + 2 sen t , assim
(dx/dt)2 + (dy /dt)2 = t2 sen2 t − 4t sen t cos t +
4 cos2 t + t2 cos2 t + 4t sen t cos t + 4 sen2 t = t2 + 4 e
 
L = pi− pi t2 + 4dt = 2
pi
0 t2 + 4dt
21= 2 12 t t2 + 4+ 2 ln t + t2 + 4
pi
0
= 2 pi2 pi2 + 4+ 2 ln pi + pi2 + 4 − 2 ln 2
= pi pi2 + 4+ 4ln pi + pi2 + 4 − 4 ln 2
≈ 16,633506
 31. x = ln t e y = e− t ⇒
dx
dt
=
1
t
e dy
dt
= −e− t ⇒
L = 21 t− 2 + e− 2 t dt . Utilizando a Regra de Simpson com
n = 10, ∆ x = (2 − 1) / 10 = 0,1 e f (t) = t− 2 + e− 2 t
obtemos L ≈ 0 ,13 [ f (1 ,0) + 4 f (1,1) + 2 f (1 ,2) +
· ··+ 2 f (1 ,8) + 4 f (1 ,9) + f (2 ,0)] ≈ 0,7314
 32. x = t3 e y = t4 ⇒ dx/dt = 3t2 e dy /dt = 4t3.
Logo S = 10 2pit
4 9t4 + 16t6 dt = 10 2pit
6 9+ 16t2 dt .
 33. dx
dt
2
+
dy
dt
2
= 2t − 2
t2
2
+
4
t
2
= 4t2 + 8
t
+
4
t4
= 4 t + 1
t2
2
S =
9
1
2piy dx
dt
2
+
dy
dt
2
dt
= 2pi
9
1
8 t 2 t + 1
t2
dt
= 32pi 91 t
3/2 + t− 3/2 dt = 32pi 25 t
5/2 − 2t− 1/2
9
1
= 32pi 25 (243) − 2
1
3 −
2
5 (1) − 2 (1)
= 47 10415
pi
 34. x = et cos t , y = et sen t , 0 ≤ t ≤ pi2 .
dx
dt
2
+
dy
dt
2
= et (cos t − sen t) 2
+ et (cos t + sen t) 2
= e2 t 2 cos2 t + 2 sen2 t = 2e2 t , assim
S =
pi/ 2
0
2piy dx
dt
2
+
dy
dt
2
dt
= pi/20 2pie
t sen t 2et dt 98= 2 2pi pi/ 20 e
2 t sen t dt
= 2 2pi e
2 t
5
(2 sen t − cos t)
pi/2
0
= 2 25 pi [2e
pi − (−1)] = 2 2pi5 (2e
pi − 1)
6  SEÇÃO 10.2 CÁLCULO COM CURVAS PARAMETRIZADAS
 35. dx
dθ
2
+
dy
dθ
2
= (−2 senθ + 2 sen 2θ)2 + (2 cos θ − 2 cos 2θ)2
= 4 sen2 θ − 2 senθ sen 2θ + sen2 2θ
+ cos2 θ − 2 cos θ cos 2θ + cos2 2θ
= 4 [1+ 1− 2 (cos 2θ cos θ + sen2θ senθ)]
= 8 [1− cos (2θ − θ)] = 8 (1 − cos θ)
 Observe que x (2p − θ) = x (θ) e y (2p− θ) = −y (θ), 
logo a parte da curva de θ = 0 a θ = p gera a 
mesma superfície que a parte de θ = p a θ = 2p. 
Além disto, y = 2 sen θ − sen 2θ = 2 sen θ (1 − cos θ). 
Logo
 
S = pi0 2pi · 2 sen θ (1 − cos θ) 2 2 1 − cos θ dθ
= 8 2pi pi0 (1 − cos θ)
3/2 sen θ dθ
= 8 2pi 20 u3 du (u = 1 − cos θ, du = sen θ dθ)
= 8 2pi 25 u
5/2
2
0
=
128pi
5
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_3_E.pdf
SEÇÃO 10.3 COORDENADAS POLARES  1
1-5 Trace o ponto cujas coordenadas polares foram fornecidas. 
Então encontre dois outros pares de coordenadas polares deste 
ponto, um com r > 0 e um com r < 0.
 1. (−1, p/5) 2. (2, −p/7)
 3. (−1, p) 4. (4, −2p/3)
 5. (−2, 3p/2)
6-9 Trace o ponto cujas coordenadas polares foram fornecidas. 
Então encontre as coordenadas cartesianas deste ponto.
 6. (4, −7p/6) 7. (−4, 5p/4)
 8. pi( 2, 4 9. (1,5, 3p/2)
10-11 As coordenadas cartesianas do ponto são fornecidas. 
Encontre as coordenadas polares (r, θ) do ponto, onde r > 0 
e 0 ≤ θ < 2p.
 10. (−1, 1) 11. (3, 4)
12-16 Esboce a região no plano que consiste nos pontos cujas 
coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas.
 12. r > 1 13. 0 ≤ θ ≤ p/4
 14. 0 ≤ r ≤ 2, p/2 ≤ θ ≤ p
 15. 1 ≤ r < 3, −p/4 ≤ θ ≤ p/4
 16. 3 < r < 4, −p/2 ≤ θ ≤ p
17-23 Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela 
equação polar fornecida.
 17. r sen θ = 2 18. r = 2 sen θ
 19. =r
1
1 cos 20. 
=r
5
3 4 sen 
 21. =
+
r
1
1 2 sen
 22. r2 = sen 2θ
 23. r2 = θ
24-28 Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela 
equação polar fornecida. 
 24. y = 5 25. y = 2x − 1
 
 26. x2 + y2 = 15 27. x2 = 4y
 28. 2xy = 1
 29. Esboce o gráfico de r = −2 sen θ convertendo-o para equação 
cartesiana.
30-50 Esboce a curva com a equação polar fornecida.
 30. r = 5 31. θ = 3p/4
 32. r = θ/2, −4p ≤ θ ≤ 4p
 33. r = 1/θ 34. =r
 35. r = 2 sen θ 36. r = −4 sen θ
 37. r = −cos θ 38. r = 2 sen θ + 2 cos θ
 39. r = 3(1 − cos θ) 40. r = 1 + cos θ
 41. r = 1 − 2 cos θ 42. r = 2 + cos θ
 43. r = cos θ − sen θ 44. r = 2(1 − sen θ)
 45. r = 3 + 2 sen θ (caracol de Pascal ou limaçon)
 46. r = 3 − 4 sen θ (caracol de Pascal ou limaçon)
 47. r = −3 cos 2θ
 48. r = sen 3θ (rosácea polar de três pétalas)
 49. r = sen 4θ (rosácea polar de oito pétalas)
 50. r = −cos 5θ (rosácea polar de cinco pétalas)
51-53 Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar 
fornecida no ponto indicado pelo valor de θ.
 51. r = 3 cos θ, θ = p/3
 52. r = cos θ + sen θ, θ = p/4
 53. r = 2 + 4 cos θ, θ = p/6
54-55 Utilize um dispositivo gráfico para traçar a curva polar. 
Escolha um intervalo de parâmetro para assegurar que produziu a 
curva inteira.
 54. r = sen(9θ/4)
 55. r = 1 + 4 cos(θ/3)
10.3 COORDENADAS POLARES
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.
Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_3_R.pdf
2  SEÇÃO 10.3 COORDENADAS POLARES
 1. 
O
1, 6pi5 , −1
pi
, 11 pi5
 2. 
pi
pi
O
2, 13 pi7 , −2,
6pi
7
 3. 
O (−1, pi)
(−1, 3pi), (1, 0)
 4. 
O
(4, )
2pi
3
−
2pi
3
−
4, 4pi3 , −4,
pi
3
 5. 
O
3pi_
2(−2, 
 
 )
2, pi2 , −2, −
pi
2
 6. _
Ο
7
6
_(4, pi
_7
6
_ pi
)
−2 3, 2
 7. _5
6
_ pi
_5
6
_ pi
Ο
(−2, )
2 2, 2 2
 8. 
pi
pi
O
(1, 1)
 9. 
pi,
O
0, − 32
 10. 2, 3pi4 11. 5, tg
− 1 4
3
 12. 13. 
 14. 15. 
 16. 
r = 4
r = 3
O
 17. y = 2 18. x2 + y2 = 2y 19. y2 = 1 + 2x
 20. 9x2 = 7y2 + 40y + 25 21. 
y − 23
2
1
3
2 −
x 2
1
3
2 = 1
 22. (x2 + y2)2 = 2yx 23. tg (x2 + y2) = y/x
 24. r sen θ = 5 25. r =
1
2 cos θ − senθ
 26. r = 5 27. r = tg θ sec θ 28. r2 = cossec 2θ
 29. x2 + (y + 1)2 = 1
 
O
 30. 
O
 31. 
O
 32. 33. 
10.3 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
SEÇÃO 10.3 COORDENADAS POLARES  3
 34. 35. 
O
 36. 
O
 37. 
O
 38. 
O
 39. 
O
 40. 
O
 41. 
O
 42. 
O
 43. 
O
pi_
4θ =
 44. 
O
 45. 
O
 46. 
O
3pi_
2(7, )
(3, 0) 47. pi_
4θ =
 48. pi_
3θ =
O
 49. pi_
4θ =
 50. 
3pi
10θ =
3pi
10θ =
 51. 1
3
 52. −1
 53. −
4+ 3 3
11
 54. 
,
,
,
,
 55. 
,
, ,
,
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_3_S.pdf
4  SEÇÃO 10.3 COORDENADAS POLARES
 1. −1, pi5
O
1, 6pi5 , −1,
11pi
pi
5
 2. 
pi
pi
2,− pi7
O
2, 13pi7 , −2,
6pi
7
 3. (−1,pi)
O (−1, pi)
(−1, 3pi), (1 , 0)
 4. 4, − 2pi3
− 2pi3
− 2pi3
O
(4, )
4, 4pi3 , −4,
pi
3
 5. −2, 3pi2
−2, 3pi2
O
2, pi2 , −2,−
pi
2
 6. 
O
(4, )7pi6_
7pi
6
_
x = 4 cos − 7pi6
= 4 − 32 = −2 3
y = 4 sen − 7pi6
= 4 · 12 = 2
 7. 
− 5pi6
− 5pi6
Ο
(−2, )
x = −4 cos 5pi4 = 2 2
y = −4 sen 5pi4 = 2 2
 8. 
pi
pi
O
x = 2 cos pi4 = 1,
y = 2 sen pi4 = 1
 9. 
O
0,− 32
 10. (x, y) = (−1, 1), r = (−1)2 + 12 = 2,
tg θ = y/ x = −1 e (x, y) está no quadrante II, então θ = 3pi4 .
Coordenadas 2, 3pi4 .
 11. (x, y) = (3 , 4), r = 9+ 16 = 5, tg θ = y/ x = 43 , assim
θ = tg − 1 .5, tg− 1 43
4
3
.
 12. r > 1 13. 0 ≤ θ < pi4
 14. 0 ≤ r ≤ 2, pi2 ≤ θ ≤ pi 15. 1 ≤ r < 3, −pi4 ≤ θ ≤
pi
4
 16. 3 < r < 4, − pi2 ≤ θ ≤ pi
r = 4
r = 3
O
 17. Uma vez que y = r sen θ, a equação r sen θ = 2 se torna 
y = 2.
 18. r = 2 sen θ ⇒ r2 = 2r sen θ ⇒ x2 + y2 = 2y
 19. r =
1
1 − cos θ
⇔ r − r cos θ = 1
r = 1 + r cos θ ⇔ r 2 = (1+ r cos θ)2
x 2 + y2 = (1+ x )2 = 1 + 2x + x 2 ⇔ y2 = 1 + 2x
 20. r =
5
3 − 4 senθ
⇒ 3r − 4r senθ = 5 ⇒
3r = 5 + 4r senθ ⇒ 9r 2 = (5+ 4r senθ)2 ⇒
9 x 2 + y2 = (5+ 4y)2 ⇒ 9x 2 = 7y2 + 40y + 25
10.3 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
SEÇÃO 10.3 COORDENADAS POLARES  5
 21. r = 1
1+2 sen θ
⇒ r + 2r sen θ = 1 ⇔
r = 1 − 2r sen θ ⇔ x 2 + y2 = 1 − 2y ⇒
x 2 + y2 = 1 − 4y + 4y2 ⇔ 3y2 − 4y − x 2 = −1
⇔ 3 y2 − 43 y +
4
9 − x
2 = 43 − 1 ⇔
3 y − 23
2 − x 2 = 13 ⇔ 9 y −
2
3
2 − 3x 2 = 1 ⇔
y − 23
2
1
3
2 −
x 2
1
3
2 = 1. Esta é uma hipérbole 
centralizada
em 0, 23 .
 22. r2 = sen 2θ = 2 sen θ cos θ ⇔ r4 = 2r sen θ rcos θ ⇔
x 2 + y2 2 = 2yx
 23. r2 = θ ⇒ tg r2 = tg θ ⇒
tg x 2 + y2 = y/ x
 24. y = 5 ⇔ r sen θ = 5
 25. y = 2x − 1 ⇔ r sen θ = 2r cos θ − 1 ⇔
r (2 cos θ − senθ) = 1 ⇔ r = 1
2 cos θ − senθ
.
(Podemos dividir por 2 cos θ − sen θ, pois este termo deve
ser diferente de zero para que o produto com r seja
igual a 1.)
 26. x 2 + y2 = 25 ⇔ r2 = 25 ⇒ r = 5
 27. x 2 = 4y ⇔ r2 cos2 θ = 4r sen θ ⇔
r cos2 θ = 4 sen θ ⇔ r = 4 tg θ sec θ
 28. 2xy = 1 ⇔ 2r cos θ r sen θ = 1 ⇔ r 2 sen 2θ = 1
⇔ r2 = cossec 2θ
 29. r = −2 sen θ ⇔ r2 = −2r sen θ
(uma vez que a possibilidade r = 0 
está englobada pela equação r = −2 sen θ) ⇔
x 2 + y2 = −2y ⇔ x 2 + y2 + 2y + 1 = 1 ⇔
x 2 + (y + 1)2 = 1.
O
 32. r = θ/2, −4pi ≤ θ ≤ 4pi
 33. r = 1/θ
 34. r = θ. A curva é uma espiral.
 35. r = 2 sen θ ⇔
r2 = 2r sen θ ⇔
x 2 + y2 = 2y ⇔
x 2 + (y − 1)2 = 1
O
 36. r = −4 sen θ ⇔
r2 = −4r sen θ ⇔
x 2 + y2 = −4y ⇔
x 2 + (y + 2)2 = 4
O
 37. r = − cos θ ⇔
r2 = −r cos θ ⇔
x 2 + y2 = −x ⇔
x + 12
2 + y2 = 14
O
 38. r = 2 senθ + 2 cos θ ⇔
r2 = 2r senθ + 2r cos θ
⇔ x 2 + y2 = 2y + 2x
⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2
O
 30. r = 5 representa o círculo 
com centro O e raio 5.
 
O
 31. θ = 3pi4 é uma linha que 
passa através da origem. 
 
O
6  SEÇÃO 10.3 COORDENADAS POLARES
 39. r = 3 (1 − cos θ)
O
 40. r = 1 + cos θ
O
 41. r = 1 − 2 cos θ
O
 42. r = 2 + cos θ
O
 43. r = cos θ − senθ ⇔ r2 = r cos θ − r senθ ⇔
x 2 + y2 = x − y ⇔ x − 12
2 + y + 12
2 = 12
O
pi_
4θ =
 44. r = 2 (1 − sen θ)
x
y
0 pi 2pi
2
4
O
 45. 
pi 2pi
r = 3 + 2 senθ
x
y
0
1
3
5
O
 46. 
pi 2pi
r = 3 − 4 senθ
x
y
0
3
7
−1
O
3pi_
2(7, )
(3, 0)
 47. 
pi 2pi
pi_
4
r = −3 cos 2θ
x
y
0
3
−3
θ =
 48. 
pi
2pi
pi_
3
θ =
r = sen 3θ
0
1
−1
y
x O
 49. 
pi 2pi
pi_
4
θ =
r = sen4θ
x
y
0
1
−1
 50. 
pi 2pi
2pi_
5
pi_
10
θ =
3pi
10
θ =
r = − cos 5θ
x
y
0
1
−1
SEÇÃO 10.3 COORDENADAS POLARES  7
 51. Usando a Equação 3 com r = 3 cos θ, temos
dy
dx
=
dy /dθ
dx/dθ
=
(dr /dθ) ( senθ)+ r cos θ
(dr /dθ) ( cos θ) − r senθ
=
−3 senθ senθ + 3 cos θ cos θ
−3 senθ cos θ − 3 cos θ senθ
=
3 cos2 θ − sen2 θ
−3 (2 senθ cos θ)
= −
cos 2θ
sen 2θ
= − cotg 2θ = 13 quando θ =
pi
3
Outra solução: r = 3 cos θ ⇒
x = r cos θ = 3 cos2 θ, y = r senθ = 3 sen θ cos θ ⇒
dy
dx
=
dy /dθ
dx/dθ
=
−3 sen2 θ + 3 cos2 θ
−6 cos θ senθ
=
cos 2θ
−sen 2θ
= − cotg 2θ = 13 quando θ =
pi
3
 52. Usando a Equação 3 com r = cos θ + sen θ, temos
dy
dx
=
(dr /dθ) sen θ + r cos θ
(dr /dθ) cos θ − r senθ
=
(− senθ + cos θ) sen θ + (cos θ + sen θ) cos θ
(− senθ + cos θ) cos θ − (cos θ + sen θ) sen θ
= −1 quando θ = pi4
Outra Solução:
r = cos θ + sen θ ⇒ x = r cos θ = (cos θ + sen θ) cos θ,
y = r senθ = (cos θ + sen θ) sen θ ⇒
dy
dx
=
dy /dθ
dx/d θ
=
senθ (− senθ + cos θ)+ (cos θ + senθ) cos θ
cos θ (− senθ + cos θ) − (cos θ + senθ) sen θ
= −1 quando θ = pi4
 53. r = 2 + 4 cos θ ⇒ x = r cos θ = (2+ 4 cos θ) cos θ,
y = 4 senθ = (2+ 4 cos θ) sen θ ⇒
dy
dx
=
dy /d θ
dx/d θ
=
−4 sen2 θ + (2+ 4 cos θ) cos θ
−4 senθ cos θ − (2 + 4 cos θ) sen θ
= −
2 cos 2θ + cos θ
2 sen2θ + sen θ
= −
2 12 +
3
2
2 32 +
1
2
= −
4+ 3 3
11
quando θ = pi6 .
 54. r = sen (9θ/4). O intervalo 
do parâmetro é [0, 8p].
,
,
,
,
 55. r = 1 + 4 cos (θ/3). 
O intervalo do parâmetro 
é [0, 6p].
,
,,
,
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_4_E.pdf
SEÇÃO 10.4 ÁREAS E COMPRIMENTOS EM COORDENADAS POLARES  1
1-8 Encontre a área da região que é limitada pelas curvas dadas e 
está no setor especificado. 
 1. = ≤ ≤ pi, 0r
 2. = ≤ ≤pi pi, 2 2r e
 3. = ≤ ≤ pi, 0 6r 2 cos 
 4. = ≤ ≤pi pi, 6 5 6r 1
 5. = ≤ ≤ pisen , 0 6r 2
 6. = ≤ ≤ pipi, 12 12r cos 3
 7. = ≤ ≤pi pisen , 4 3 4r 3 
 8. = ≤ ≤ pipi, 2 3 2r 2
9-16 Esboce a curva e calcule a área limitada por ela. 
 9. = senr 5 10. =r 4 sen
 11. =r sen 3 12. =r 4 1 cos
 13. =r 2 cos 14. =r 1 sen+
 15. =r 3 cos 16. =r sen 4
 17. Trace a curva r = 2 + cos 6θ e calcule a área limitada por ela. 
 18. A curva com equação polar r = 2 sen θ cos2 θ é chamada 
bifólio. Trace a curva e calcule a área limitada por ela.
19-22 Encontre a área da região dentro de um laço da curva. 
 19. =r cos 3 20. =r 3 2sen
 21. = senr 5 22. =r 2 3 cos (volta interna) +
23-24 Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e 
fora da segunda curva. 
 23. = =, r 32r 1 cos
 24. = =, r 2 cosr 3 cos 
 25. Encontre a área dentro do laço maior e fora do laço menor do 
caracol de Pascal r = 3 + 4 sen θ.
 26. Esboce a curva =r 1 0,8 sen2 (hipópede) e o círculo 
r = sen θ e encontre a área exata da região entre as curvas.
27-32 Calcule o comprimento exato da curva polar. 
 27. = ≤ ≤ pi, 0 3 4r 5 cos 
 28. = ≤ ≤ pi, 0 2r 2
 29. =r 1 cos+
 30. = ≤ ≤ pi, 0 3r e
 31. =r cos2 4
 32. =r cos2 2
33-34 Use uma calculadora ou um computador para encontrar o 
comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. 
 33. Um laço da rosa de quatro pétalas r = cos 2θ.
 34. Um laço do conchoide r = 4 + 2 secθ.
10.4 ÁREAS E COMPRIMENTOS EM COORDENADAS POLARES
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.
Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_4_R.pdf
2  SEÇÃO 10.4 ÁREAS E COMPRIMENTOS EM COORDENADAS POLARES
 1. 16 pi
3 2. 14 e
pi − e− pi
 3. pi6 +
3
4 4. 
12
5pi
 5. 34pi− 396 6. 
1
24 (pi + 2)
 7. 98 (pi + 2) 8. 
121
160 pi
5
 9. 
25
4 pi
 10. 
33 pi
2
 11. 
pi
4
 12. 
O
24pi
pi
 13. 
O
(2, 0)
pi
 14. 
O
3pi
2
 15. 
19 pi
2
 16. 
pi
2
 17. 
9pi
2
,
,
,
,
 18. 
pi
8
, ,
,
 19. pi12 20. 
9pi
8
 21. pi20 22. 
17
2 cos
− 1 2
3 − 3 5
 23. 9 38 −
1
4 pi 24. 3 3
 25. 34 sen− 1 34 + 9 7
 26. 
,
,
,
,
3
10 pi −
1
10 arcsen
5
3 −
1
5 5
 27. 154 pi 28. 
1+ ln2 2 22pi − 1
ln 2
 29. 8 30. 2 1 − e− 3pi
 31. 163 32. 4
 33. 2,4221 34. 5,8128
10.4 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_4_S.pdf
SEÇÃO 10.4 ÁREAS E COMPRIMENTOS EM COORDENADAS POLARES  3
 1. A = pi0
1
2 r
2 dθ = pi0
1
2 θ
2 dθ = 16 θ
3 pi
0 =
1
6 pi
3
 2. A = pi/2−pi/2
1
2 e
2θ dθ = 14 e
2θ pi/2
−pi/2 =
1
4 e
pi − e−pi
 3. A = pi/60
1
2 (2 cos θ)
2 dθ = pi/ 60 (1 + cos 2θ) dθ
= θ + 12 sen 2θ
pi/6
0 =
pi
6 +
3
4
 4. A = 5pi/6pi/6
1
2 (1/θ)
2 dθ = [−1/ (2θ)]5pi/6pi/6 =
12
5pi
 5. A = pi/ 60
1
2 sen
2 2θ dθ = 14
pi/6
0 (1 − cos 4θ) dθ
= 14 θ −
1
16 sen 2θ
pi/6
0 =
4pi− 3 3
96
 6. A = 2 pi/120
1
2 cos
2 3θ dθ = 12
pi/12
0 (1 + cos 6θ) dθ
= 12 θ +
1
6 sen 6θ
pi/12
0 =
1
24 (pi
+ 2)
 7. A = 3pi/4pi/4
1
2 (3 senθ)
2 dθ = 2 pi/2pi/4
9
4 (1 − cos 2θ) dθ
= 92 θ −
1
2 sen 2θ
pi/2
pi/4 =
9
8 (pi + 2)
 8. A = 3pi/2pi/2
1
2 θ
2 2 dθ = 110 θ
5 3pi/2
pi/2 =
121
160 pi
5
 9. 
 
A = pi0
1
2 (5 sen θ)
2 dθ = 254
pi
0 (1 − cos 2θ) dθ
= 254 θ −
1
2 sen 2θ
pi
0 =
25
4 pi
 10. 
 
A = 2 pi/2−pi/2
1
2 (4 − senθ)
2 dθ
= pi/2−pi/2 16 − 8 senθ + sen
2 θ dθ
= pi/2−pi/2 16 + sen
2 θ dθ [pelo Teorema 5.5.7(b)]
= 2 pi/20 16 + sen
2 θ dθ [pelo Teorema 5.5.7(a)]
= 2 pi/20 16 +
1
2 (1 − cos 2θ) dθ
= 2 332 θ −
1
4 sen 2θ
pi/2
0 =
33 pi
2
 11. 
 
A = 6 pi/60
1
2 sen
2 3θ dθ = 3 pi/60
1
2 (1 − cos 6θ) dθ
= 32 θ −
1
6 sen 6θ
pi/6
0 =
pi
4
 12. 
O
 
A = 2 pi0
1
2 [4 (1 − cos θ)]
2 dθ
= 16 pi0 1 − 2 cos θ + cos
2 θ dθ
= 8 pi0 (3 − 4 cos θ + cos 2θ) dθ
= 4 [6θ − 8 senθ + sen 2θ]pi0 = 24pi
 13. 
(2, 0)
 
A = 2 pi/20
1
2 (2 cos θ)
2 dθ = 2 pi/20 (1 + cos 2θ) dθ
= 2 θ + 12 sen 2θ
pi/2
0 = pi
 14. 
 
A = 2 pi/2−pi/2
1
2 (1 + sen θ)
2 dθ
= pi/2−pi/2 1+ 2 sen θ + sen
2 2θ dθ
= [θ − 2 cos θ]pi/2−pi/2 +
pi/2
−pi/2
1
2 (1 − cos 2θ) dθ
= pi + 12 θ −
1
2 sen 2 θ
pi/2
−pi/2 = pi +
pi
2 =
3pi
2
10.4 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 10.4 ÁREAS E COMPRIMENTOS EM COORDENADAS POLARES
 15. 
Α = 2 pi0
1
2 (3 − cos θ)
2 dθ
= pi0 9 − 6 cos θ + cos
2 θ dθ
= 9θ − 6 sen θ + 12 θ +
1
4 sen 2θ
pi
0 =
19 pi
2
 16. 
Α = 8 pi/40
1
2 sen
2 4θ dθ = 2 pi/40 (1 − cos 8θ) dθ
= 2θ − 14 sen 8θ
pi/4
0 =
pi
2
 17. 
,
,
,
,
 Pela simetria, a área total é o dobro da área delimitada acima 
do eixo polar, logo
 
A = 2 pi0
1
2 r
2 dθ = pi0 [2+ cos 6θ]
2 dθ
= pi0 4+ 4 cos 6θ + cos
2 6θ dθ
= 4θ + 4 16 sen 6θ +
1
24 sen 12θ +
1
2 θ
pi
0
= 4pi + pi2 =
9pi
2
 18. 
, ,
,
 Observe que a curva completa r = 2 sen θ cos2 θ é gerada 
cos θ ∈ [0, p]. O raio é positivo neste intervalo, então a área 
delimitada é 
 
A = pi0
1
2 r
2 dθ = pi0
1
2 2 senθ cos
2 θ 2 dθ
= 2 pi0 sen
2 θ cos4 θ dθ = 2 pi0 (sen θ cos θ)
2 cos2 θ dθ
= 2 pi0
1
2 sen 2θ
2 cos2 θ dθ
= 14
pi
0 sen
2 2θ (cos 2θ + 1) dθ
= 14
pi
0 sen
2 2θ cos 2θ dθ + pi0 sen
2 2θ dθ
= 14
1
2 θ −
1
4 sen 4θ
pi
0 (a primeira integral desaparece) =
pi
8
 19. A = 2 pi/60
1
2 cos
2 3θ dθ = 12
pi/6
0 (1 + cos 6θ) dθ
= 12 θ +
1
6 sen 6θ
pi/6
0 =
pi
12
 20. A = 2 pi/40
1
2 (3 sen 2θ)
2 dθ = 92
pi/4
0 (1 − cos 4θ) dθ
= 92 θ −
1
4 sen 4θ
pi/4
0 =
9pi
8
 21. A = pi/50
1
2 sen
2 5θ dθ = 14
pi/5
0 (1 − cos 10θ) dθ
= 14 θ −
1
10 sen 10θ
pi/5
0 =
pi
20
 22. 
 
2+ 3 cos θ = 0 ⇒ cos θ = − 23 ⇒ θ = cos
− 1 − 23
ou 2pi − cos− 1 − 23 . Seja α = cos
− 1 − 23 . Então
A = 2 piα
1
2 (2 + 3 cos θ)
2 dθ
= piα 4+ 12 cos θ + 9 cos
2 θ dθ
= piα
17
2 + 12 cos θ +
9
2 cos 2θ dθ
= 172 θ + 12 sen θ +
9
4 sen 2θ
pi
α
= 172 (pi − α) − 12 sen α−
9
2 sen α cosα
= 172 pi − cos
− 1 − 23 − 12
5
3 −
9
2
5
3 −
2
3
= 172 cos
− 1 2
3 − 3 5
 23. 
 
1 − cos θ = 32 ⇒ cos θ = −
1
2 ⇒ θ =
2pi
3 ou
4pi
3 ⇒
A = 2 pi2pi/3
1
2 (1 − cos θ)
2 − 32
2 dθ
= pi2pi/3 −
5
4 − 2 cos θ + cos
2 θ dθ
= − 54 θ − 2 senθ
pi
2pi/3 +
1
2
pi
2pi/3 (1 + cos 2θ) dθ
= − 512 pi + 3+
1
2 θ +
1
2 sen 2θ
pi
2pi/ 3
= − 512 pi + 3+
1
6 pi +
3
8 =
9 3
8 −
1
4 pi
 
SEÇÃO 10.4 ÁREAS E COMPRIMENTOS EM COORDENADAS POLARES  5
 24. 
 
3 cos θ = 2 − cos θ ⇒ cos θ = 12 ⇒ θ = ±
pi
3 ⇒
A = 2 pi/ 30
1
2 (3 cos θ)
2 − (2 − cos θ)2 dθ
= pi/30 8 cos
2 θ + 4 cos θ − 4 dθ
= pi/30 (4 cos 2θ + 4 cos θ) dθ
= [2 sen2θ + 4 sen θ]pi/30 = 3 3
 25. 
4 sen= +
pi
sen
 
A curva cruza a si mesma quando 3 + 4 sen θ = 0 ⇔
sen θ = − 34 . Tomando α = sen
− 1 3
4 , a área desejada é
A = 2 pi/2−α
1
2 (3 + 4 senθ)
2 dθ
− −α−pi/2
1
2 (3 + 4 sen θ)
2 dθ
Agora
(3 + 4 senθ)2 dθ = 9θ − 24 cos θ+ 8θ − 4 sen 2θ+ C, logo
A = 34α + 48 cos α − 16sen α cosα= 34 sen− 1 34 + 9 7.
 26. 
,
,
,
,
 
Os pontos de intersecção ocorrem quando
1 − 0,8 sen2 θ = sen θ ⇔ 1,8 sen2 θ = 1 ⇔
θ = arcsen 59 (= α, logo cosα =
2
3 ). Assim a área é 
A = 2 α0
1
2 sen
2 θdθ + 2 pi/ 2α
1
2 1 − 0,8 sen
2 θ
2
dθ
= 12 θ −
1
4 sen 2θ
α
0 + θ − 0,8
1
2 θ −
1
4 sen 2θ
pi/ 2
α
= 12 α −
1
4 (2 sen α cosα)+ 0,6 ·
pi
2
− [0,6α + 0,2 (2 senα cosα)]
= 12 arcsen
5
3 −
1
2 3
2
3 + 0,3pi
−0,6 arcsen 3 − 0,4 · 3
2
3
= 310 pi −
1
10 arcsen
5
3 −
1
5 5 ≈ 0,411
5
5 5
 27. L = ba r2 + (dr /dθ)
2 dθ
= 3pi/40 (5 cos θ)
2 + (−5 sen θ)2 dθ
= 5 3pi/40 cos2 θ + sen
2 θ dθ
= 5 3pi/40 dθ =
15
4 pi
 28. L = ba r2 + (dr /dθ)
2 dθ
= 2pi0 (2θ )
2 + [(ln 2) 2θ ]2 dθ = 2pi0 2
θ 1 + ln2 2 dθ
= 1 + ln2 2 2
θ
ln 2
2pi
0
=
1 + ln2 2 22pi − 1
ln 2
 29. L = 2 pi0 (1 + cos θ)
2 + (− sen θ)2 dθ
= 2 2 pi0 1 + cos θ dθ = 2 2
pi
0 2 cos2 (θ/2) dθ
= [8 sen (θ/ 2)]pi0 = 8
 30. L = 3pi0 (e−θ)
2 + (−e−θ)2 dθ
= 2 3pi0 e
−θ dθ = 2 1 − e− 3pi
 31. L = 2 2pi0 cos8
1
4 θ + cos6
1
4 θ sen
2 1
4 θ dθ
= 2 2pi0 cos
3 1
4 θ cos2
1
4 θ + sen
2 1
4 θ dθ
= 2 2pi0 cos
3 1
4 θ dθ
= 8 pi/20 cos
3 u du (onde u = 14 θ)
= 8 sen u − 13 sen
3 u pi/20 =
16
3
Observe que a curva é retraçada após cada intervalo de 
comprimento 4pi.
 32. L = 2 pi0 cos2
1
2 θ
2 + − cos 12 θ sen
1
2 θ
2 dθ
= 2 pi0 cos
1
2 θ dθ = 4 sen
1
2 θ
pi
0 = 4
 33. Da Figura 4 no Exemplo 1, 
L = pi/4−pi/4 r2 + (r )
2 dθ
= 2 pi/40 cos2 2θ + 4 sen
2 2θ dθ
≈ 2 (1,211056) ≈ 2,4221
 34. 
 
4 + 2 sec θ = 0 ⇒ sec θ = −2
⇒ cos θ = − 12 ⇒ θ =
2pi
3 ,
4pi
3 .
L = 4pi/32pi/3 (4 + 2 sec θ)
2 + (2 sec θ tg θ)2dθ ≈ 5,8128
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_5_E.pdf
SEÇÃO 10.5 SEÇÕES CÔNICAS  1
1-8 Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu 
gráfico.
 1. x 2 −8y= 2. x 5y 2= −
 3. y 2 x= 4. 2x 2 y=
 5. x 1 2 y 3 2+ = − 6. x 2 6x 8y 7+ =−
 7. 2x y 2 8y 12 0+ + =− 
 8. x 2 12x y 39 0+ + =−
9-10 Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce 
seu gráfico. 
 9. 
x 2
16
y 2
4
1+ = 10. 25x 2 9y 2 225+ =
11-12 Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e 
esboce seu gráfico. 
 11. 9y 2 x 2 9=− 12. x 2 y 2 1=−
13-15 Encontre os vértices e os focos cônicos e esboce seu gráfico. 
No caso da hipérbole, encontre as assíntotas.
 13. 
x 4
4
y 2
25
1+ = 14. x 2 4y 2 4+ =
 15. y
2
25
x 2
144
1=−
16-22 Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as 
condições dadas.
 16. Parábola, foco (0, 3), diretriz y = −3
 17. Parábola, foco (−2, 0), diretriz x = 2
 18. Parábola, foco (3, 0), diretriz x = 1
 19. Parábola, foco (1, −1), diretriz y = 5
 20. Elipse, focos (3, ±1), vértices (3, ±3)
 21. Elipse, focos
(±1, 2), comprimento do eixo principal 6
 22. Elipse, focos (±1, 0), vértices (±2, 0)
 23. Elipse, focos (0, ±4), vértices (0, ±5)
 
10.5 SEÇÕES CÔNICAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_5_R.pdf
2  SEÇÃO 10.5 SEÇÕES CÔNICAS
 1. (0 , 0), (0 ,−2), y = 2 2. (0 , 0), − 120 , 0 , x =
1
20
 3. (0 , 0), 14 , 0 , x = −
1
4 4. (0, 0), 0,
1
8 , y = −
1
8
 5. (−1, 3), − 78 , 3 , x = −
9
8 6. (3, 2), (3, 0), y = 4
 7. (2 , 4), 32 , 4 , x =
5
2 8. (−6, 3), −6,
13
4 , y =
11
4
 9. (±4, 0), ±2 3, 0
foco
 10. (0, ±5), (0, ±4)
 11. (0 ,±1), 0,± 10 ,
y = ± 13 x
 12. (±1, 0), ± 2, 0 , y = ±x
 13. (0 ,±5), 0,± 21
foco
 14. (±2, 0), ± 3, 0
 15. (0 ,±5), (0 ,±13), y = ± 512 x
 16. x 2 = 12y
 17. y2 = −8x
 18. y2 = 4 (x − 2)
 19. x 2 − 2x + 12y − 23 = 0
 20. 18 (x − 3)
2 + 19 y
2 = 1
 21. 19 x
2 + 18 ( y − 2)
2 = 1
 22. 14 x
2 + 13 y
2 = 1
 23. 19 x
2 + 125 y
2 = 1
10.5 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_5_S.pdf
SEÇÃO 10.5 SEÇÕES CÔNICAS  3
 1. x2 = −8y. 4p = −8, logo p = −2. O vértice é (0, 0), o foco é 
(0,−2) e a diretriz é y = 2.
 
 2. x = −5y2 ⇒ y2 = − 15 x ⇒ 4p = −
1
5 ⇒
p = − 120 ⇒ vértice (0, 0), foco −
1
20 , 0 , diretriz 
x = 120
 
 3. y2 = x . p = 14 e o vértice é (0, 0), então o foco é 
1
4 , 0
e a diretriz é x = − 14 .
 
 4. x 2 = 12 y ⇒ p =
1
8 ⇒ vértice (0, 0), foco 0,
1
8 ,
diretriz y = − 18
 
 5. x + 1 = 2 ( y− 3)2 ⇒ ( y− 3)2 = 12 (x + 1 ) ⇒
p = 18 ⇒ vértice (−1, 3), foco −
7
8 , 3 , diretriz 
x = − 98
 
 6. x 2 − 6x + 8y = 7 ⇔
(x − 3)2 = −8y + 16 = −8 (y − 2) ⇒ p = −2 ⇒
vértice (3 , 2), foco (3 , 0), diretriz y = 4
 
 7. 2x + y2 − 8y + 12 = 0 ⇒ (y − 4)2 = −2 (x − 2) ⇒
p = − 12 ⇒ vértice (2 , 4), foco 
3
2 , 4 , diretriz x =
5
2
 
 8. x 2 + 12x − y + 39 = 0 ⇔ (x + 6)2 = y − 3 ⇒
p = 14 ⇒ vértice (−6, 3), foco −6,
13
4 , diretriz 
y = 114
 
 9. x 2/16 + y2/4 = 1 ⇒ a = 4 , b = 2,
c = 16 − 4 = 2 3 ⇒ centro (0 , 0), vértices (±4,0),
focos ±2 3,0
 
foco
 10. 25x 2 + 9y2 = 225 ⇔ 19 x
2 + 125 y
2 = 1 ⇒ a = 5,
b = 3, c = 4 ⇒ centro (0, 0), vértices (0 ,±5), focos 
(0 ,±4)
 
10.5 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 10.5 SEÇÕES CÔNICAS
 11. 9y2 − x 2 = 9 ⇒ y2 − 19 x
2 = 1 ⇒ a = 1, b= 3,
c = 10 ⇒ centro (0, 0), vértices (0,±1), focos 
0,± 10 , assíntotas y = ± 13 x
 
 12. x 2 − y2 = 1 ⇒ a = b= 1, c = 2 ⇒ centro (0, 0),
vértices (±1, 0), focos ± 2, 0 , assíntotas y = ±x
 
 13. x 2 / 4 + y2 / 25 = 1 ⇒ a = 5, b = 2,
c = 25 − 4 = 21 ⇒ centro (0, 0), vértices (0,±5),
focos 0,± 21
 
foco
 14. x 2 + 4y2 = 4 ⇔ 14 x
2 + y2 = 1 ⇒ a = 2, b= 1,
c = 3 ⇒ centro (0, 0), vértices (±2, 0), focos ± 3, 0
 
 15. 
y2
25
−
x 2
144
= 1 ⇒ a = 5, b= 12, c = 13 ⇒ centro 
(0, 0), vértices (0,±5), focos (0,±13), assíntotas 
y = ± 512 x
 
 16. Vértice em (0, 0), p = 3, aberto para cima ⇒
x 2 = 4py = 12y
 17. Vértice (0, 0),a parábola se abre para a esquerda ⇒
p =−2 ⇒ y2 = 4px = −8x
 18. Vértice em (2, 0), p = 1, aberto para a direita ⇒
y2 = 4p (x − 2) = 4 (x − 2)
 19. Vértice (1, 2), a parábola abre-se para baixo ⇒ p = −3 ⇒
(x − 1)2 = 4p ( y− 2) = −12 ( y− 2) ⇔
x 2 − 2x + 12y − 23 = 0
 20. Centro (3, 0), c = 1, a = 3 ⇒ b= 8 = 2 2 ⇒
1
8 (x − 3)
2 + 19 y
2 = 1
 21. Centro (0, 2), c = 1, a = 3, eixo horizontal principal ⇒
b= 2 2 e 19 x
2 + 18 ( y− 2)
2 = 1
 22. Centro (0, 0), c = 1, a = 2 ⇒ b= 22 − 12 = 3 ⇒
1
4 x
2 + 13 y
2 = 1
 23. Centro (0, 0), c = 4, a = 5, eixo vertical principal ⇒ b= 3
e 19 x
2 + 125 y
2 = 1 
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_6_E.pdf
SEÇÃO 10.6 SEÇÕES CÔNICAS EM COORDENADAS POLARES  1
1-8 Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na 
origem e com os dados fornecidos. 
 1. Elipse, excentricidade 23, diretriz x = 3
 2. Hipérbole, excentricidade 43, diretriz x = −3
 3. Parábola, diretriz y = 2
 4. Elipse, excentricidade 12, diretriz y = −4
 5. Hipérbole, excentricidade 4, diretriz r = 5 sec θ
 6. Elipse, excentricidade 0,6; diretriz r = 2 cossec θ
 7. Parábola, vértice em (5, p/2)
 8. Elipse, excentricidade 0,4; vértice em (2, 0)
 
9-16 (a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) dê 
uma equação de diretriz e (d) esboce a cônica.
 9. r
4
1 3 cos +
=
θ
 10. r
2
1 cos
=
− θ
 11. r
6
2 sen+
=
θ
 12. r
7
2 5 sen
=
− θ
 13. r
8
3 3 cos +
=
θ
 14. r
10
3 2 sen
=
− θ
 15. r
5
2 3 sen
=
− θ
 16. r
8
3 cos+
=
θ
10.6 SEÇÕES CÔNICAS EM COORDENADAS POLARES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_6_R.pdf
2  SEÇÃO 10.6 SEÇÕES CÔNICAS EM COORDENADAS POLARES
 1. r =
6
3+ 2 cos θ 2. 
r = 12
3 − 4 cos θ
 3. r =
2
1+ sen θ 4. 
r = 4
2 − sen θ
 5. r =
20
1+ 4 cos θ 6. 
r = 6
5+ 3 sen θ
 7. r =
10
1+ sen θ 8. 
r = 8
5+ 2 cos θ
 9. (a) 3 (b) Hipérbole (c) x = 43
 (d) 
 10. (a) 1 (b) Parábola (c) x = −2
 
(d)
 11. (a) 12 (b) Elipse (c) y = 6
 
(d)
 12. (a) 52 (b) Hipérbole (c) y = −
7
5
 
(d)
 
 13. (a) 1 (b) Parábola (c) x = 83
 
(d)
foco
 14. (a) 23 (b) Elipse (c) y = −5
 
(d)
 15. (a) 32 (b) Hipérbole (c) y = −
5
3
 
(d)
 16. (a) 13 (b) Elipse (c) x = 8
 
(d)
10.6 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/10/Se��o 10_6_S.pdf
SEÇÃO 10.6 SEÇÕES CÔNICAS EM COORDENADAS POLARES  3
 1. r =
ed
1+ e cos θ
=
2
3 · 3
1+ 23 cos θ
=
6
3+ 2 cos θ
 2. r = ed
1 − e cos θ
=
4
3 · 3
1 − 43 cos θ
=
12
3 − 4 cos θ
 3. r = ed
1+ e sen θ
=
1 · 2
1+ sen θ
=
2
1+ sen θ
 4. sen θ sen θ sen θ
r = ed
1 − e
=
1
2 · 4
1 − 12
=
4
2 −
 5. r = 5 sec θ ⇔ x = r cos θ = 5 , logo 
r = ed
1 + e cos θ
= 4 · 5
1 + 4 cos θ
= 20
1 + 4 cos θ
 6. r = 2 cossec θ ⇔ y = r sen θ = 2 , logo
r = ed
1 + e sen θ sen θ sen θ
=
3
5 · 2
1 + 35
= 6
5 + 3
 7. 
sen θ sen θ
Foco (0, 0), vértice 5, pi2 ⇒ diretriz y = 10 ⇒
r = ed
1+ e
=
10
1+
 8. A diretriz é x = 4, logo 
r = ed
1+ e cos θ
=
2
5 · 4
1+ 25 cos θ
=
8
5+ 2 cos θ
 9. r = 41 + 3 cos θ
(a) e = 3
(b) Uma vez que e = 3 > 1, a cônica é uma hipérbole.
(c) ed = 4 ⇒ d = 43 ⇒ diretriz x =
4
3
(d) Os vértices são (1, 0) e (−2,pi) = (2, 0); o centro
é 32 , 0 ; as assíntotas são paralelas a 
θ = ± cos− 1 − 13 .
 
 10. r = 2
1 − cos θ
(a) e = 1
(b) Parábola
(c) ed = 2 ⇒ d = 2 ⇒ diretriz x = −2
(d) Vértice (−1, 0) = (1,pi)
 
 11. r = 3
1 + 12 sen θ
(a) e = 12
(b) Elipse
(c) ed = 3 ⇒ d = 6 ⇒ diretriz y = 6
(d) Vértices 2, pi2 e 6,
3pi
2 ; centro 2,
3pi
2
 
 12. r =
7/ 2
1 − 52 sen θ
(a) e = 52
(b) Hipérbole
(c) ed = 72 ⇒ d =
7
5 ⇒ diretriz y = −
7
5
(d) Centro 53 ,
3pi
2 ;
vértices −
7
3 ,
pi
2 =
7
3 ,
3pi
2 e
1, 3pi2
 
10.6 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 10.6 SEÇÕES CÔNICAS EM COORDENADAS POLARES
 13. r = 8 /3
1 + cos θ
(a) e = 1
(b) Parábola
(c) ed = 83 ⇒ d =
8
3 ⇒ diretriz x =
8
3
(d) Vértice 43 , 0
 
foco
 14. r =
10 /3
1 − 23 sen θ
(a) e = 23
(b) Elipse
(c) ed = 103 ⇒ d = 5 ⇒ diretriz y = −5
(d) Vértices 10, pi2 e 2,
3pi
2 ; centro 4,
pi
2
 
 15. 
sen θ
r = 5/ 2
1 − 32
(a) e = 32
(b) Hipérbole
(c) ed = 52 ⇒ d =
5
3 ⇒ diretriz y = −
5
3
(d) Vértices −5, pi2 = 5,
3pi
2 e 1,
3pi
2 ; centro 3,
3pi
2 ;
focos (0, 0) e 6, 3pi2
 
 16. r = 8/ 3
1 + 13 cos θ
(a) e = 13
(b) Elipse
(c) ed = 83 ⇒ d = 8 ⇒ diretriz x = 8
(d) Vértices (2, 0) e (4,pi); centro (−1, 0)
 
9788522112593_Problemas_Arquivados/11/Se��o 11_10_E.pdf
SEÇÃO 11.10 SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN  1
1-2 Encontre a série de Maclaurin de f (x) usando a definição de 
uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma 
série de potências. Não mostre que Rn(x) → 0.] Também encontre o 
raio de convergência associado.
 1. f x
1
1 x 2+
= 2. f x
x
1 x−
=
3-6 Encontre a série de Taylor de f (x) centrada no valor dado de 
a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não 
mostre que Rn(x) → 0.]
 3. , a 1f x 1 x= =
 4. , a 4f x x= =
 5. , a 4f x sen x= = pi
 6. , a 4f x cos x= = pi
7-13 Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de 
Maclaurin da função dada. 
 7. f x e 3x= 8. f x sen 2x=
 9. f x x 2 cos x= 10. f x cos x 3=
 11. f x x sen x 2= 12. f x xe x=
 13. f x
1
2
1 cos x
x 2
se x 0
se x 0
−
=
=
=
14-15 Encontre a série de Maclaurin de f (por qualquer método) e 
seu raio de convergência. Trace f e seus primeiros polinômios de 
Taylor na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre 
esses polinômios e f ?
 14. f x 1 1 2x+= 15. f x 1 x 3+=
 16. Use a série de Maclaurin de ln(1 + x) e para calcular ln 1,1 
com precisão de cinco casas decimais. 
17-18 Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
 17. sen x 2 dx 18. e x 3 dx
 
19-20 Use uma série para aproximar a integral definida com 
precisão de três casas decimais. 
 19. 
1
0
 sen x 2 dx 20. 
0,5
0
 cos x 2 dx
 21. Use multiplicação ou divisão de séries de potências para 
encontrar os três primeiros termos diferentes de zero na série 
de Maclaurin de
 
y
ln 1 x
e x
−
=
22-24 Encontre a soma da série.
 22. 
x 3n 1
n!
+∞
n=2
 23. 
xn 1
n 1 !+
+∞
n=0
 24. 
xn
2 n n 1 !+
∞
n=0
 25. Mostre que ex > 1 + x para todo x > 0.
 26. Mostre que x 1 12 x 2+≥ para todo x.
27-32 Use a série binomial para expandir a função como uma série 
de potência. Diga o raio de convergência.
 27. 3 1 x 2 28. 
x
1 x
 29. 
1
2 x 30. 
x 2
1 x3
 31. 
x
1 x
5
 32. 5 x 1
 33. (a) Expanda 1 1 x+ como uma série de potências. 
 (b) Utilize a parte (a) para estimar 1 1,1 com precisão de 
três casas decimais.
 34. (a) Expanda 3 8 x como uma série de potências. 
 (b) Utilize a parte (a) para estimar 3 8,2 com precisão de 
quatro casas decimais.
11.10 SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.
Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/11/Se��o 11_10_R.pdf
2  SEÇÃO 11.10 SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN
 1. 
∞
n=0
(−1)n (n + 1) x n, R = 1
 2. 
∞
n=1
x n, R = 1
 3. 
∞
n=0
(−1)n (x − 1)n, R = 1
 4. 2+
x − 4
4
+
∞
n=2
(−1)n−1 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 3)
23n − 1n !
(x − 4)n ,
R = 4
 5. 
2
2
∞
n=0
(−1)n 1
(2n )!
x − pi
4
2n
+
1
(2n + 1 )!
x − pi
4
2n+1
, R = ∞
 6. 
2
2
∞
n=0
(−1)n (n − 1) / 2 x + pi4
n
n !
, R = ∞
 7. 
∞
n=0
3n x n
n !
, R = ∞
 8. 
∞
n=0
(−1)n 22n+1 x 2n+1
(2n + 1)!
, R = ∞
 9. 
∞
n=0
(−1)n x 2n+2
(2n )!
, R = ∞
 10. 
∞
n=0
(−1)n x 6n
(2n )!
, R = ∞
 11. 
∞
n=0
(−1)n x 2n+2
(2n + 1)!22n+1
, R = ∞
 12. 
∞
n=1
(−1)n−1 x n
(n − 1)!
, R = ∞
 13. 
∞
n=0
(−1)n x 2n
(2n + 2)!
, R = ∞
 14. 
∞
n=0
(−1)n 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)
n !
x n , R = 12 .
 ,
 15. 
∞
n=0
(−1)n (n + 1) (n + 2) x n
2
, R = 1
 
,
 16. 0,09531
 17. C +
∞
n=0
(−1)n x 4n+3
(4n + 3) ( 2n + 1)! 18. 
C +
∞
n=0
x 3n+1
(3n + 1) n !
 19. 0,310 20. 0,497 21. −x + x
2
2
−
x 3
3
+ · · ·
 22. x ex
3
− 1 − x 3 23. ex− 1 24. 2
x
ex/2 − 1
 27. 1 +
x 2
3
+
∞
n=2
(−1)n − 1 · 2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 4) x 2n
3n n !
,
R = 1
 28. x +
∞
n=1
1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)
2n n !
x n+1, R = 1
 29. 
2
2
1+
∞
n=1
(−1)n · 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x n
22n · n !
, R = 2
 30. x 2 +
∞
n=1
1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x 3n+2
2n · n !
, R = 1
 31. 
∞
n=0
(n + 4)!
4! · n !
x n+5 , R = 1
 32. −1+
x
5
+
∞
n=2
4 · 9 · · · (5n − 6) x n
5n · n !
, R = 1
 33. (a) 1+
∞
n=1
(−1)n 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)
2n · n !
x n
(b) 0,953
 34. (a) 2 1+
x
24
+
∞
n=2
(−1)n−1 · 2 · 5 · · · · · (3n − 4) x n
24n · n !
(b) 2,0165
11.10 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/11/Se��o 11_10_S.pdf
SEÇÃO 11.10 SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN  3
 1. 
n f (n ) (x ) f (n ) (0)
0 (1 + x )− 2 1
1 −2 (1+ x )− 3 −2
2 2 · 3 (1+ x )− 4 2 · 3
3 −2 · 3 · 4 (1 + x )− 5 −2 · 3 · 4
4 2 · 3 · 4 · 5 (1 + x )− 6 2 · 3 · 4 · 5
· · · · · · · · ·
Logo f ( n ) (0) = (−1)n (n + 1)! e
1
(1 + x )2
=
∞
n = 0
(−1)n (n + 1)!
n !
x n
=
∞
n = 0
(−1)n (n + 1) x n
Se an = (−1)n (n + 1) x n, então lim
n →∞
an +1
an
= |x |,
logo R = 1.
 2. 
n f (n ) (x ) f (n ) (0)
0 x/ (1 − x ) 0
1 (1 − x )− 2 1
2 2 (1 − x )− 3 2
3 3 · 2 (1 − x )− 4 3 · 2
4 4 · 3 · 2 (1 − x )− 5 4 · 3 · 2
· · · · · · · ··
f (n ) (0) = n ! exceto quando n = 0, então
x
1 − x
=
∞
n =1
n !
n !
x n =
∞
n =1
x n . lim
n→∞
an +1
an
= |x | < 1
para convergência, então R = 1.
 3. 
n f (n ) (x ) f (n ) (1)
0 x− 1 1
1 −x− 2 −1
2 2x− 3 2
3 −3 · 2x− 4 −3 · 2
4 4 · 3 · 2x− 5 4 · 3 · 2
· · · · · · · · ·
Então f (n ) (1) = (−1)n n !, e
1
x
=
∞
n =0
(−1)n n !
n !
(x − 1)n =
∞
n =0
(−1)n (x − 1)n . Se
an = (−1)n (x − 1)n, então lim
n→∞
an +1
an
= |x − 1| < 1
para convergência, logo 0 < x < 2 e R = 1.
 4. 
n f (n ) (x ) f (n ) (4)
0 x 1 / 2 2
1 12 x
− 1 / 2 2− 2
2 − 14 x
− 3 / 2 −2− 5
3 38 x
− 5 / 2 3 · 2− 8
4 − 1516 x
− 7 / 2 −15 · 2− 11
· · · · · · · ··
f (n ) (4) = (−1)
n − 1 1 · 3 · 5 · ·· · · (2n − 3)
23n − 1
para n ≥ 2, então
x = 2+ x − 4
4
+
∞
n =2
(−1)n − 1 1 · 3 · 5 · ·· · · (2n−3)
23n − 1n !
(x− 4)n
lim
n→∞
an +1
an
=
|x − 4|
8
lim
n→∞
2n − 1
n + 1
=
|x − 4|
4
< 1
para convergência, então |x − 4| < 4 ⇒ R = 4.
 5. 
n f (n ) (x ) f (n ) pi4
0 sen x 2/2
1 cos x 2/2
2 −sen x − 2/2
3 − cos x − 2/2
4 sen x 2/2
· · · · ·· · · ·
sen x = f pi4 + f
pi
4 x −
pi
4 +
f pi4
2!
x − pi4
2
+
f (3) pi4
3!
x − pi4
3 +
f (4) pi4
4!
x − pi4
4 + · ··
= 22 1+ x −
pi
4 −
1
2! x −
pi
4
2
− 13! x −
pi
4
3 + 14! x −
pi
4
4 + · ··
= 22 1 −
1
2! x −
pi
4
2 + 14! x −
pi
4
4 − ·· ·
+ 22 x −
pi
4 −
1
3! x −
pi
4
3 + · ··
= 22
∞
n =0
(−1)n 1(2n)! x −
pi
4
2n
+ 1(2 n + 1 )! x −
pi
4
2n + 1
As séries também podem ser escritas em uma forma mais elegante:
sen x = 2
2
∞
n =0
(−1)n (n − 1) / 2 x − pi4
n
n !
. Se
an =
(−1)n (n − 1) / 2 x − pi4
n
n !
, então
lim
n→∞
an +1
an
= lim
n→∞
x − pi4
n + 1
= 0 < 1 para todo x, então
R = ∞.
11.10 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 11.10 SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN
 6. 
 
n f (n ) (x ) f (n ) − pi4
0 cos x 22
1 − sen x 22
2 − cos x − 22
3 sen x − 22
4 cos x 22
· · · · · · · · ·
f (n ) − pi4 = (−1)
n (n − 1) / 2 2
2 , então
cos x =
∞
n =0
f (n ) − pi4
n !
x + pi4
n
=
2
2
∞
n =0
(−1)n (n − 1) / 2 x + pi4
n
n !
com R = ∞ pelo Teste da Razão (como no Problema 5).
 7. e3x =
∞
n=0
(3x )n
n !
=
∞
n=0
3n x n
n !
, com R = ∞.
 8. sen2x =
∞
n=0
(−1)n (2x )2n+1
(2n + 1)!
=
∞
n=0
(−1)n 22n+1 x 2n+1
(2n + 1)!
,
R = ∞
 9. x 2 cos x = x 2
∞
n=0
(−1)n x 2n
(2n )!
=
∞
n=0
(−1)n x 2n+2
(2n )!
,
R = ∞
 10. cos x 3 =
∞
n=0
(−1)n x 3 2n
(2n )!
=
∞
n=0
(−1)n x 6n
(2n )!
, R = ∞.
 11. x sen
x
2
= x
∞
n=0
(−1)n (x/2)2n+1
(2n + 1)!
=
∞
n=0
(−1)n x 2n+2
(2n + 1)!22n+1
com R = ∞.
 12. xe − x = x
∞
n=0
(−x )n
n !
=
∞
n=0
(−1)n x n+1
n !
=
∞
n=1
(−1)n−1 x n
(n − 1)!
, R = ∞.
 13. 1 − cos x
x 2
= x−2 1 −
∞
n=0
(−1)n x 2n
(2n )!
= x−2 −
∞
n=1
(−1)n x 2n
(2n )!
=
∞
n=1
(−1)n+1 x 2n− 2
(2n )!
=
∞
n=0
(−1)n x 2n
(2n + 2 )!
 uma vez que a série é igual a 12 quando x = 0; R = ∞.
 14. 
 n f (n ) (x ) f (n ) (0)
0 (1 + 2x )− 1 / 2 1
1 − 12 (1 + 2x )
− 3 / 2 (2) −1
2 32 (1 + 2x )
− 5 / 2 (2) 3
3 −3 · 52 (1 + 2x )
− 7 / 2 (2) −3 · 5
· ·· · · · · · ·
f (n ) (0) = (−1)n 1 · 3 · 5 · 7 · ·· · · (2n − 1), então
(1 + 2x )− 1 / 2 =
∞
n =0
f ( n ) (0)
n !
x n
=
∞
n =0
(−1)n 1 · 3 · 5 · ·· · · (2n − 1)
n !
x n
lim
n →∞
an +1
an
= lim
n →∞
2n + 1
n + 1
|x | = 2 |x | < 1
para convergência, logo R = 12 .
Outro método: Utilize a série binominal.
,
 15. f (x ) = (1 + x )− 3 = −
1
2
d
dx
1
(1 + x )2
= −
1
2
d
dx
∞
n =0
(−1)n (n + 1) x n doProblema 1
= −
1
2
∞
n =1
(−1)n n (n + 1) x n − 1
=
∞
n =0
(−1)n (n + 1) (n + 2) x n
2
com R = 1 uma vez que é o R no Problema 1.
,
SEÇÃO 11.10 SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN  5
 16. ln (1 + x ) =
dx
1 + x
= (−1)n x n dx
= C +
∞
n=0
n=0
(−1)n x
n+1
n + 1
=
∞
n=1
(−1)n−1 x n
n
com C = 0 e R = 1, então ln (1,1) =
∞
∞
n=1
4
n=1
(−1)n−1 (0,1)n
n
.
Esta é uma série alternada com
b5 =
(0,1)5
5
= 0,000002, logo, até cinco casas decimais,
ln (1,1) ≈ (−1)
n−1 (0,1)n
n
≈ 0,09531.
 17. sen x 2 dx =
∞
n=0
(−1)n
x 2 2n+1
(2n + 1)!
dx
=
∞
n=0
(−1)n x 4n+2
(2n + 1)!
dx
= C +
∞
n=0
(−1)n x 4n+3
(4n + 3) (2n + 1)!
 18. ex
3
dx =
∞
n=0
x 3 n
n !
dx = C +
∞
n=0
x 3n+1
(3n + 1) n !
com
R = ∞.
 19. Usando a série do Problema 17, obtemos
 
1
0
sen x 2 dx =
∞
n=0
(−1)n x 4n+3
(4n + 3) ( 2n + 1)!
1
0
=
∞
n=0
(−1)n
(4n + 3) ( 2n + 1)!
e |c3 | =
1
75 600
< 0,000014, logo, pelo Teorema
da Estimativa da Série Alternada, temos
2
n=0
(−1)n
(4n + 3) ( 2n + 1)!
=
1
3
−
1
42
+
1
1320
≈ 0,310
(correta até três casas decimais).
 20. cos x 2 =
∞
n=0
(−1)n x 2 2n
(2n )!
, logo
0,5
0
cos x 2 dx =
0,5
0
∞
n=0
(−1)n x 4n
(2n )!
dx
=
∞
n=0
(−1)n x 4n+1
(4n + 1) ( 2n )!
0,5
0
= 0,5 − (0,5)
5
5 · 2!
+
(0,5)9
9 · 4!
− · · ·
mas (0,5)
9
9 · 4!
≈ 0,000009, logo, pelo Teorema da Estimativa 
da Série Alternada, temos
0,5
0 cos x
2 dx ≈ 0,5 − (0,5)
5
5 · 2!
≈ 0,497 (correta até
três casas decimais).
 21. −x + 12 x
2 − 13 x
3 + · · ·
1+ x + 12 x
2 + 16 x
3 + · · · −x − 12 x
2 − 13 x
3 − · · ·
−x − x 2 − 12 x
3 − · · ·
1
2 x
2 + 16 x
3 − · · ·
1
2 x
2 + 12 x
3 + · · ·
− 13 x
3 + · · ·
− 13 x
3 + · · ·
· · ·
A partir do Exemplo 6 na Seção 11.9, temos
ln (1 − x ) = −x − 12 x
2 − 13 x
3 − · · · , |x | < 1. Portanto,
y = ln (1 − x )
ex
=
−x − 12 x
2 − 13 x
3 − · · ·
1+ x + 12 x 2 +
1
6 x 3 + · · ·
. Então, pela
divisão acima, ln (1 − x )
ex
= −x + x
2
2
−
x 3
3
+ · · · ,
|x | < 1.
 22. 
∞
n=2
x 3n+1
n !
= x
∞
n=2
x 3 n
n !
= x
∞
n=0
x 3 n
n !
− 1 − x 3
= x ex
3
− 1 − x 3 por (11)
 23. 
∞
n=0
x n+1
(n + 1)!
=
x
1!
+
x 2
2!
+
x 3
3!
+ · · ·
= 1+ x
1!
+
x 2
2!
+
x 3
3!
+ · · · −1
= ex − 1 por (11)
 24. 
∞
n=0
x n
2n (n + 1)!
=
∞
n=0
(x/2)n
(n + 1)!
=
2
x
∞
n=0
(x/2)n
(n + 1 )!
=
2
x
(x/2) + (x/2)
2
2!
+
(x/2)3
3!
+ · · ·
=
2
x
ex/2 − 1
 25. Por (11), ex = 1 + x + x
2
2!
+
x 3
3!
+
x 4
4!
+ · · ·, mas para 
 x > 0, todos os termos após dos dois primeiros no RHS são 
positivos, logo ex > 1 + x para x > 0. 
 26. Para os Exercícios 12 e 24 no texto, 
cosh x = 1 + 12 x
2 + 124 x
6 + · · · ≥ 1 + 12 x
2 para todo x uma 
vez que existem somente potências pares de x no RHS, logo 
todos os termos remanescentes da expansão são positivos.
 27. 1 + x 2 1 / 3 =
∞
n=0
1
3
n
x 2n
= 1 + x
2
3
+
1
3 −
2
3
2!
x 4 +
1
3 −
2
3 −
5
3
3!
x 6 + · · ·
= 1 + x
2
3
+
∞
n=2
(−1)n−1 · 2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 4) x 2n
3n n !
com R = 1.
6  SEÇÃO 11.10 SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN
 28. [1+ (−x )]− 1 / 2 =
∞
n=0
− 12
n
(−x )n
= 1 + − 12 (−x )+
− 12 −
3
2
2!
(−x )2 + · · ·
= 1 + x
2
+
1 · 3
222!
x 2 + 1 · 3 · 5
233!
x 3 + 1 · 3 · 5 · 7
244!
x 4 + · · ·
= 1 +
∞
n=1
1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)
2n n !
x n
logo x
1 − x
= x +
∞
n=1
1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)
2n n !
x n+1 com
R = 1.
 29. (2 + x )− 1 / 2 = 1
2
1+ x
2
− 1 / 2
=
2
2
∞
n=0
− 12
n
x
2
n
=
2
2
1+ − 12
x
2
+
− 12 −
3
2
2!
x
2
2
+ · · ·
=
2
2
1+
∞
n=1
(−1)n · 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x n
22n · n !
com |x/2| < 1, então |x | < 2 e R = 2.
 30. 1 + −x 3 − 1 / 2 =
∞
n=0
− 12
n
−x 3 n
= 1 + − 12 −x
3 +
− 12 −
3
2
2!
−x 3 2 + · · ·
= 1 +
∞
n=1
1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x 3n
2n · n !
então x
2
1 − x 3
= x 2 +
∞
n=1
1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x 3n+2
2n · n !
com R = 1.
 31. (1 − x )− 5 = 1 + (−5) (−x )+ (−5) (−6)
2!
(−x )2
+
(−5) (−6) (−7)
3!
(−x )3 + · · ·
= 1 +
∞
n=1
5 · 6 · 7 · · · (n + 4)
n !
x n =
∞
n=0
(n + 4)!
4! · n !
x n
⇒
x 5
(1 − x )5
=
∞
n=0
(n + 4)!
4! · n !
x n+5 ou
∞
n=0
(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)
24
x n+5 , com R = 1.
 32. 5 x − 1 = − [1+ (−x )]1 / 5 = −
∞
n=0
1
5
n
(−x )n
= − 1+ 15 (−x )+
( 15 )(− 45 )
2! (−x )
2
+ (
1
5 )(− 45 )(− 95 )
3! (−x )
3 + · · ·
= −1+ x
5
+
∞
n=2
4 · 9 · · · (5n − 6) x n
5n · n !
com R = 1.
 33. (a) (1 + x )− 1 / 2 = 1 + − 12 x +
− 12 −
3
2
2!
x 2
+
− 12 −
3
2 −
5
2
3!
x 3 + · · ·
= 1 +
∞
n=1
(−1)n 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)
2n · n !
x n
(b) Tome x = 0,1 nas séries acima.
1 · 3 · 5 · 7
24 4! (0 ,1)
4 < 0,.00003, logo
1
1,1 ≈ 1 −
0,1
2 +
1 · 3
22 · 2! (0,1)
2 − 1 · 3 · 523 · 3! (0,1)
3 ≈ 0,953
 34. (a) (8 + x )1 / 3 = 2 1 +
x
8
1 / 3
= 2
∞
n=0
1
3
n
x
8
n
= 2 1 + 1
3
x
8
+
1
3 −
2
3
2!
x
8
2
+
1
3 −
2
3 −
5
3
3!
x
8
3
+ · · ·
= 2 1 + x
24
+
∞
n=2
(−1)n−1 · 2 · 5 · · · · · (3n − 4) x n
24n · n !
(b) (8 + 0,2)1 / 3 = 2 1 + 0,224 −
(0,2)2
24 2 +
2 · 5(0,2)3
24 3 ·3! − · · ·
≈ 2 1 + 0,224 −
(0,2)2
242
uma vez que 2 · 2 · 5 ( 0,2 )
3
24 3 · 3! ≈ 0,000002, logo
3 8,2 ≈ 2,0165.
9788522112593_Problemas_Arquivados/11/Se��o 11_11_E.pdf
SEÇÃO 11.11 APLICAÇÕES DE POLINÔMIOS DE TAYLOR  1
1-6 Encontre o polinômio de Taylor Tn(x) da função f centrada no 
número a. Faça o gráfico de f e Tn na mesma tela. 
 1. , , n 3a 9f x x= = =
 2. , , n 3a 8f x 1 3 x= = =
 3. , , n 3a 3f x sec x= = =pi
 4. , , n 4a 0f x tg x= = =
 5. , , n 4a 4f x tg x= = =pi
 6. , , n 3a 0f x e x sen x= = =
 
7-10
 (a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no 
número a.
 (b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da 
aproximação f (x) ≈ Tn(x) quando x estiver no intervalo 
dado. 
 (c) Verifique seu resultado na parte (b) traçando .Rn x
 7. , , , 0 x 2n 5a 4f x sen x= = = pi≤ ≤pi
 8. , , , x 0,5n 2a 0f x 3 1 x 2= = =+ ≤
 9. , , , 15 x 17n 3a 16f x x 3 4= = = ≤ ≤
 10. , , , 3 x 5n 3a 4f x ln x= = = ≤ ≤
11.11 APLICAÇÕES DE POLINÔMIOS DE TAYLOR 
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.
Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/11/Se��o 11_11_R.pdf
2  SEÇÃO 11.11 APLICAÇÕES DE POLINÔMIOS DE TAYLOR 
 1. 3+ 16 (x − 9) −
1
216 (x − 9)
2 + 13888 (x − 9)
3
 2. 12 −
1
48 (x − 8) +
1
576 (x − 8)
2 − 741472 (x − 8)
3
,
 3. 2+ 2 3 x − pi3 + 7 x −
pi
3
2 + 23 33 x −
pi
3
3
,
 4. x + x
3
3
 
 5. 1+ 2 x − pi4 + 2 x −
pi
4
2 + 83 x −
pi
4
3 + 103 x −
pi
4
4
,
 6. x + x 2 + 13 x
3
,
,,
 7. (a) 22 +
2
2 x −
pi
4 −
2
4 x −
pi
4
2
− 212 x −
pi
4
3 + 248 x −
pi
4
4 + 2240 x −
pi
4
5
(b) 0,00033
 8. (a) 1+ 13 x
2
(b) 0,014895
 9. (a) 8+ 38 (x − 16) −
3
1024 (x − 16)
2 + 565 536 (x − 16)
3
(b) 0,000003
 10. (a) ln 4+ 14 (x − 4) −
1
32 (x − 4)
2 + 1192 (x − 4)
3
(b) 0,0031
11.11 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
9788522112593_Problemas_Arquivados/11/Se��o 11_11_S.pdf
SEÇÃO 11.11 APLICAÇÕES DE POLINÔMIOS DE TAYLOR  3
 1. 
n f (n ) (x ) f (n ) (9)
0 x 1 / 2 3
1 12 x
− 1 / 2 1
6
2 − 14 x
− 3 / 2 − 1108
3 38 x
− 5 / 2 1
648
T3 (x ) =
3
n =0
f (n ) (9)
n !
(x − 9)n
= 3 + 16 (x − 9) −
1
216 (x − 9)
2 + 13888 (x − 9)
3
 2. 
n f (n ) (x ) f (n ) (8)
0 x− 1 / 3 12
1 − 13 x
− 4 / 3 − 148
2 49 x
− 7 / 3 1
288
3 − 2827 x
− 10 / 3 − 76912
T3 (x ) =
3
n =0
f (n ) (8)
n !
(x − 8)n
= 12 −
1
48 (x − 8) +
1
576 (x − 8)
2 − 741472 (x − 8)
3
,
 
 3. 
n f (n ) (x ) f (n ) pi3
0 sec x 2
1 sec x tg x 2 3
2 sec x tg 2 x + sec3 14
3 sec x tg 3 x + 5 sec3 x tg x 46 3
T3 (x ) =
3
n =0
f (n ) pi3
n !
x − pi
3
n
= 2 + 2 3 x − pi3 + 7 x −
pi
3
2 + 23 33 x −
pi
3
3
,
 4. n f (n ) (x ) f (n ) (0)
0 tg x 0
1 sec2 x 1
2 2 sec2 x tg x 0
3 4 sec2 x tg 2 x + 2 sec4 x 2
4 8 sec2 x tg 3 x + 16 sec4 x tg x 0
T4 (x ) =
4
n =0
f (n ) (0)
n !
x n = x + 2x
3
3!
= x + x
3
3
11.11 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 11.11 APLICAÇÕES DE POLINÔMIOS DE TAYLOR 
 5. 
n f (n ) (x ) f (n ) pi4
0 tg x 1
1 sec2 x 2
2 2 sec2 x tg x 4
3 4 sec2 x tg 2 x + 2 sec4 x 16
4 8 sec2 x tg 3 x + 16 sec4 x tg x 80
T4 (x ) =
4
n =0
f (n ) pi4
n !
x − pi4
n
= 1 + 2 x − pi4 + 2 x −
pi
4
2
+ 83 x −
pi
4
3 + 103 x −
pi
4
4
,
 6. 
,
,
,
n f (n) (x ) f (n ) (0)
0 ex sen x 0
1 ex (sen x + cos x ) 1
2 2ex cos x 2
3 2ex (cos x − sen x ) 2
T3 (x ) =
3
n =0
f (n ) (0)
n !
x n = x + x 2 + 13 x
3
 7. f (x ) = sen x f pi4 =
2
2
f (x ) = cos x f pi4 =
2
2
f (x ) = − sen x f pi4 = −
2
2
f (x ) = − cos x f pi4 = −
2
2
f (4) (x ) = sen x f (4) pi4 =
2
2
f (5) (x ) = cos x f (5) pi4 =
2
2
f (6) (x ) = − sen x
 
(a) sen x ≈ T5 (x )
= 22 +
2
2 x −
pi
4 −
2
4 x −
pi
4
2
− 212 x −
pi
4
3 + 248 x −
pi
4
4 + 2240 x −
pi
4
5
(b) |R 5 (x )| ≤
M
6!
x − pi4
6 , onde f (6) (x ) ≤ M. Agora,
0 ≤ x ≤ pi2 ⇒ x −
pi
4
6 ≤ pi4
6 , e
seja x = pi2 dado M = 1 , portanto
|R 5 (x )| ≤ 16!
pi
4
6 = 1720
pi
4
6 ≈ 0,00033.
 
(c)
|R 5 (x )| = |sen
,
x − T5 (x )|, parece
que o erro é menor que 0,00026 em 0, pi2 .
A partir do gráfico de
 8. f (x ) = 1+ x 2 1/ 3 f (0) = 1
f (x ) = 23 x 1+ x
2 − 2/ 3 f (0) = 0
f (x ) = 23 1 −
1
3 x
2 1+ x 2 − 5/ 3 f (0) = 23
f (x ) = 8x
3 − 72x
27 (1 + x 2 )8/ 3
(a) 3 1+ x 2 ≈ T2 (x ) = 1+ 13 x
2
 (b) |R 2 (x )| ≤
M
3!
|x |3, onde | f (x )| ≤ M . Ao examinar 
um gráfico de | f (x )|, vamos que o máximo é 
 aproximadamente 0,71495314. Assim, 
 
|R 2 (x )| ≤
0,71495314
3!
(0,5)3 ≈ 0,014895.
 (c) ,
, ,
 Parece que o erro é menor que 0,0061 em [-0,5, 0,5].
 9. f (x ) = x 3/ 4 f (16) = 8
f (x ) = 34 x
− 1/ 4 f (16) = 38
f (x ) = − 316 x
− 5/ 4 f (16) = − 3512
f (x ) = 1564 x
− 9/ 4 f (16) = 1532 768
f (4 ) (x ) = − 135256 x
− 13/ 4
(a) x 3/ 4 ≈ T3 (x )
= 8 + 38 (x − 16) −
3
1024 (x − 16)
2 + 565 536 (x − 16)
3
SEÇÃO 11.11 APLICAÇÕES DE POLINÔMIOS DE TAYLOR  5
 (b) |R 3 (x )| ≤
M
4!
|x − 16|4 , onde f (4) (x