determine a equação vetorial da curva obtida da interseção da superficie X^2+y^2+z^2=1 com x+y+z=0

asdasd

Primeiramente, é preciso identificar que tipo de superfície as equações representam. Vamos começar pela primeira equação:

Superfícies quadráticas são definidas por equações de segundo grau em . As superfícies quadráticas básicas são elipsoides, paraboloides, cones elípticos e hiperboloides.

Esferas são casos especiais de elipsoides que apresentam equação geral:

Se todos os três semieixos são iguais, a superfície é uma esfera (que é o caso da equação I). Assim, a equação de uma esfera pode ser escrita da seguinte maneira:

Onde ,e são as coordenadas do centro da esfera e é o raio da esfera.

Portanto, comparando as equações I e II, ,e e. Assim, podemos concluir que a superfície é uma esfera de raio igual a 1 e centro com coordenadas como mostrado na figura 1 abaixo.

Figura 1 – esfera

Agora vamos analisar a segunda equação que nos foi fornecida:

Equações no formato são do tipo equação geral para um plano que passa por e possuem vetor normal . Portanto, a equaçãorepresenta um plano que passa pela origem e seu vetor normal é . O plano está representado na figura 2 que segue.

Figura 2 – Plano e seu vetor normal.

Agora que conhecemos as superfícies envolvidas, podemos entender melhor qual vai ser a curva obtida da interseção entre o plano e a esfera. Olhando primeiro apenas para a imagem formada pela intersecção na figura 3, é possível perceber que a curva formada se trata de uma circunferência com mesmo vetor normal do plano e mesmo raio que a esfera.

Figura 3 – Interseção entre o plano e a esfera.

Para encontrar sua equação, primeiro vamos isolar o termo em ambas equações para encontrar a sua projeção no plano :

Substituindo o valor de da equação obtida na equação , encontramos a equação da projeção da intersecção no plano , que se trata de uma elipse rotacionada, como mostra a figura 4:

Figura 4 – Projeção da intersecção no plano .

Agora precisamos parametrizar essa curva obtida. Para isso, vamos usar um novo sistema de coordenadas , que é o eixo cartesiano só que rotacionado em no sentido anti-horário. Considere que as coordenadas de um ponto em seja . Já as coordenadas desse mesmo ponto em são , como mostra a figura a seguir:

Figura 5 – novo sistema de coordenadas .

Note que podemos relacionar as coordenadas de em e em usando as seguintes relações:

Essa será justamente a parametrização que iremos utilizar para encontrar a equação vetorial da elipse.

Substituindo o resultado da equação da parametrização na equação da projeção:

Para que a identidade seja mantida, então :

Assim, substituindo os valores na equação :

E fazendo da equação do plano, temos:

Logo, se substituirmos na forma vetorial , obtemos a parametrização da circunferência:

Figura 6 – Intersecção e sua parametrização.

Portanto, uma equação vetorial possível para a intersecção é:

Referências:

Figura 1 – Autoria própria.

Figura 2 – Autoria própria.

Figura 3 – Autoria própria.

Figura 4 – Autoria própria.

Figura 5 – Autoria própria.

Figura 6 – Autoria própria.

Primeiramente, é preciso identificar que tipo de superfície as equações representam. Vamos começar pela primeira equação:

Superfícies quadráticas são definidas por equações de segundo grau em . As superfícies quadráticas básicas são elipsoides, paraboloides, cones elípticos e hiperboloides.

Esferas são casos especiais de elipsoides que apresentam equação geral:

Se todos os três semieixos são iguais, a superfície é uma esfera (que é o caso da equação I). Assim, a equação de uma esfera pode ser escrita da seguinte maneira:

Onde ,e são as coordenadas do centro da esfera e é o raio da esfera.

Portanto, comparando as equações I e II, ,e e. Assim, podemos concluir que a superfície é uma esfera de raio igual a 1 e centro com coordenadas como mostrado na figura 1 abaixo.

Figura 1 – esfera

Agora vamos analisar a segunda equação que nos foi fornecida:

Equações no formato são do tipo equação geral para um plano que passa por e possuem vetor normal . Portanto, a equaçãorepresenta um plano que passa pela origem e seu vetor normal é . O plano está representado na figura 2 que segue.

Figura 2 – Plano e seu vetor normal.

Agora que conhecemos as superfícies envolvidas, podemos entender melhor qual vai ser a curva obtida da interseção entre o plano e a esfera. Olhando primeiro apenas para a imagem formada pela intersecção na figura 3, é possível perceber que a curva formada se trata de uma circunferência com mesmo vetor normal do plano e mesmo raio que a esfera.

Figura 3 – Interseção entre o plano e a esfera.

Para encontrar sua equação, primeiro vamos isolar o termo em ambas equações para encontrar a sua projeção no plano :

Substituindo o valor de da equação obtida na equação , encontramos a equação da projeção da intersecção no plano , que se trata de uma elipse rotacionada, como mostra a figura 4:

Figura 4 – Projeção da intersecção no plano .

Agora precisamos parametrizar essa curva obtida. Para isso, vamos usar um novo sistema de coordenadas , que é o eixo cartesiano só que rotacionado em no sentido anti-horário. Considere que as coordenadas de um ponto em seja . Já as coordenadas desse mesmo ponto em são , como mostra a figura a seguir:

Figura 5 – novo sistema de coordenadas .

Note que podemos relacionar as coordenadas de em e em usando as seguintes relações:

Essa será justamente a parametrização que iremos utilizar para encontrar a equação vetorial da elipse.

Substituindo o resultado da equação da parametrização na equação da projeção:

Para que a identidade seja mantida, então :

Assim, substituindo os valores na equação :

E fazendo da equação do plano, temos:

Logo, se substituirmos na forma vetorial , obtemos a parametrização da circunferência:

Figura 6 – Intersecção e sua parametrização.

Portanto, uma equação vetorial possível para a intersecção é:

Referências:

Figura 1 – Autoria própria.

Figura 2 – Autoria própria.

Figura 3 – Autoria própria.

Figura 4 – Autoria própria.

Figura 5 – Autoria própria.

Figura 6 – Autoria própria.