Aula 8 ano - revisão Geometria

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TRIÂNGULO
Classificação
Cevianas
Congruência de triângulos
Soma das medidas dos ângulos internos dos triângulos
Propriedades
Professora: Letícia Lima
O triângulo é um polígono de 3 lados.
Representamos um triângulo qualquer de vértices A, B e C por: ΔABC.
Na figura ao lado, destacamos alguns elementos do triângulo:
Vértices: A. B e C
Lados: , e 
Ângulos internos: , e 
Ângulos externos: , e 
Recordando:
Cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente:
med() + med() = 180°
med() + med() = 180°
med() + med() = 180°
Considerando ΔABC abaixo, podemos indicar as medidas dos seus lados e dos seus ângulos internos: 
med() = a	med() = AB = y
med() = b 	med() = AC = z
med() = c 	med() = BC = x
O perímetro de um triângulo é a soma das medidas de seus lados. No triângulo ABC abaixo, temos:
Perímetro (ΔABC) = AB + AC + BC = y + z + x
Condição de existência:
“ Em um triângulo, a medida de qualquer um dos lados é menor que a soma das medidas dos outros dois lados.”
|b – c | < a < b + c
|a – c | < b < a + c
|a – b | < c < a + b
Classificação dos triângulos
Podemos classificar os triângulos quanto às medidas dos lados e dos ângulos.
Quanto às medidas dos lados:
Quanto às medidas dos ângulos:
Cevianas notáveis
É qualquer seguimento com uma extremidade em um vértice de um triângulo e outra na reta suporte do lado oposto a esse vértice.
c: ceviana relativa ao lado 
Mediana
No triângulo acima, é a mediana relativa ao lado ; logo, e têm medidas iguais.
É uma ceviana que une um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto a esse vértice.
Baricentro
Em qualquer triângulo, as 3 medianas se cruzam em um ponto, denominado baricentro (G).
O ponto G é o baricentro do ΔABC e divide as medianas na razão de 1 para 2, ou seja: = = = 
Altura
Nos dois triângulos acima, é a altura relativa ao lado .
É uma ceviana perpendicular à reta suporte de um lado do triângulo.
Ortocentro
As retas suportes das 3 alturas se cruzam em um ponto, denominado ortocentro (H).
Bissetriz
É uma ceviana que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.
No triângulo acima, é a bissetriz interna relativa ao ângulo BÂC.
No triângulo acima, é a bissetriz externa relativa ao ângulo ê.
Incentro
Ponto de encontro das 3 bissetrizes internas de um triângulo qualquer. 
O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Observações:
Em um triângulo, a altura, a bissetriz e a mediana relativas a um mesmo lado partem de um único vértice. Todo triângulo tem 3 medianas, 3 alturas e 3 bissetrizes internas.
 é altura relativa ao lado 
 é bissetriz relativa ao lado 
 é mediana relativa ao lado 
Denomina-se mediatriz de um segmento a reta que passa pelo seu ponto médio e é perpendicular à sua reta suporte. Cada lado de um triângulo tem uma mediatriz.
As mediatrizes dos lados de um triângulo encontram-se em um mesmo ponto – chamado circuncentro (O) – que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
Pontos notáveis de um triângulo
Ortocentro
Baricentro
Incentro
Circuncentro
Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes quando seus lados e seus ângulos têm a mesma medida.
ΔABC ≅ ΔDEF
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Propriedades da congruência
Reflexiva: todo triângulo é congruente a si mesmo.
ΔABC ≅ ΔABC
Simétrica: se um triângulo ABC é congruente a um triângulo A’B’C’, então o triângulo A’B’C’ é congruente ao triângulo ABC.
ΔABC ≅ ΔA’B’C’ ΔA’B’C’ ≅ ΔABC
Transitiva: se um triângulo ABC é congruente a um triângulo DEF, e o triângulo DEF é congruente a um triângulo A’B’C’, então o triângulo ABC é congruente ao triângulo A’B’C’.
ΔABC ≅ ΔDEF e ΔDEF ≅ ΔA’B’C’ ΔABC ≅ ΔA’B’C’ 
Casos de congruência
LAL (Lado – Ângulo – Lado)
Dois triângulos que têm 2 lados e o ângulo compreendido entre eles respectivamente congruente são congruentes.
Casos de congruência
ALA (Ângulo – Lado – Ângulo)
Dois triângulos que têm 1 lados e 2 ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.
Casos de congruência
LLL (Lado – Lado – Lado)
Dois triângulos que possuem os 3 lados respectivamente congruentes são congruentes.
Casos de congruência
LAAo (Lado – Ângulo – Ângulo oposto)
Dois triângulos que possuem 1 lado, 1 ângulo adjacente e 1 ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.
Teorema angular de Tales
A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes.
 180°
Demonstração:
 = 180° -  ou  = 180° - â
Substituindo  por 180° - â temos:
180° - â + 180°
â = 
Propriedades dos triângulos isósceles
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
Demonstração:
Se traçarmos a mediana (mediana relativa a base ). Então:
 ≅ 
 ≅ 
 ≅ 
ΔABM ≅ ΔBCM
Então, concluímos que: ≅ 
Caso LLL
Propriedades dos triângulos isósceles
Em qualquer triângulo isósceles, a mediana, a bissetriz e a altura relativa à base coincidem.
ΔABM é isósceles
 é a mediana relativa a base 
Podemos demonstrar que:
Sendo:
	ΔABM ≅ ΔACM, x ≅ y. Sendo x e y adjacente e congruentes: a = b = 90°. Logo ┴ , ou seja , é a altura relativa a base .
Sendo:
 	ΔABM ≅ ΔACM, z ≅ w. 
Propriedades dos triângulos retângulos
Dois triângulos retângulos que possuem a hipotenusa e um cateto respectivamente congruentes, são congruentes.
Nos triângulos acima, temos: 
med(Â) = med(Â’) = 90° | ≅ | ≅ 
Então podemos demonstrar que: ΔABC ≅ ΔA’B’C’ 
Propriedades dos triângulos retângulos
Demonstração:
Ao justapor o ΔABC ao ΔA’B’C’, formamos o ΔCBC’, que é isósceles ( ≅ ≅ ).
Logo, a altura de é também mediana. Portanto ≅ 
	
	Assim, ΔABC ≅ ΔA’B’C’ (caso LLL)
Propriedades dos triângulos retângulos
Os ângulos agudos de qualquer triângulo retângulo são complementares.
ΔABC é retângulo em A. Podemos demonstrar que: 
a + b + c = 180° 
a = 90°
Substituindo a por 90° temos:
90° + b + c = 180°
b + c = 180° - 90°
b + c = 90° 
Teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
a² = b² + c²