Resumo estatística 1

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Mariana A. Michalichen AE2 
Prof Aldy || 2020.1 
Resumo estatística 1 
Fontes e tipos de dados: 
 
Amostra X População: 
● População:​ conjunto de pessoas, itens ou eventos. Possui pelo menos uma 
característica em comum. 
● Amostra​: ​subconjunto da população, quanto maior, mais precisa é. 
 
Variáveis: ​valores que assumem alguma característica na pesquisa. 
Elementos: ​componentes da amostra. 
Observação: ​algum dado extra em relação a cada elemento. 
 
Fontes de dados: 
● Dados primários:​ ​originais, específicos e flexíveis. 
○ Possuem​ amostras pequenas​, alto custo e podem não representar a realidade. 
Algo muito específico. 
● Dados secundários:​ ​já coletados e disponíveis. 
○ Amostras grande​s, baixo custo, mas podem estar desatualizados. ex: IBGE 
Tipos de dados: 
● Corte transversal:​ ​vários elementos em um mesmo período de tempo ​(ex.: PIB 2020) 
● Séries temporais: ​dados observados em diferentes instantes do tempo. ​(ex: PIB BR 
2019,2020) 
● Dados longitudinais: ​ ​observação de vários elementos em diferentes períodos de 
tempo. ​(ex.: PIB América 2019, 2020) 
 
Tipos de variáveis: 
 
Variáveis qualitativas: ​não podem ser contados, características da variável 
● Nominais:​ não podem ser contadas ​(ex.: região, CPF) 
● Ordinal:​ podem ser ordenadas ​(ex.: grau de satisfação, mês, escolaridade) 
Variáveis quantitativas: 
● Discreta: ​números inteiros, não há valor entre dois números consecutivos ​(ex.: nº de 
filhos) 
● Continua: ​ existem valores entre números consecutivos. ​(ex.: altura, nota da prova, 
lucro) 
 
Distribuição de frequências em variáveis qualitativas e quantitativas: 
 
Tabela de distribuição de frequências QUALITATIVAS: ​ ​dividido em três colunas 
● Variável 
● Freq. absoluta ​(ɳ​i): 
○ contagem em cada categoria​. 
○ Soma freq. absoluta = ​ɳ​ (tamanho da amostra) 
● Freq. relativa​ ​(ƒ​i): 
○ Proporção, porcentagem 
○ Medida decimal ou % 
 
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○ Soma freq. relativas = 1 ou 100% 
○ ​ƒi = ɳ​i / ​ɳ 
 
Tabela de distribuição de frequências QUANTITATIVAS: 
● Primeiro caso::​ há poucos resultados que se repetem.: 
○ Mesmo procedimento das variáveis qualitativas (calcular ​ɳ​i ​e ​ƒi​) 
● Segundo caso:​ muitos resultados sem grande repetição: 
○ Organização dos resultados em faixas: 
■ Achar o valor de ɳ 
■ O nº aprox. de faixas deve ser = √ɳ 
○ Construindo faixas de tamanho igual: 
■ Calcular amplitude: ​Ⲁ = (Max - Min) ​e dividir por .√ɳ 
 
Histograma: 
● Gráfico de colunas, utilizado apenas para variáveis ​quantitativas​; distribuição de 
frequência de ​variáveis contínuas 
○ Respeitando a escala e faixas. 
○ As faixas devem sempre estar uma grudada na outra. 
● Eixo X: ​valores da variável 
● Eixo Y: ​frequência - relativa (ƒi), absoluta (ɳi) ou densidade. 
● Montando histograma: 
1. Achar a amplitude e definir classe das faixas 
Gráfico de pizza: 
● Funciona bem com váriaveis ​qualitativas​, pois cada setor representa uma 
categoria. 
 
Medidas estatísticas: 
 
Medidas de posição: 
● Média: 
 
 
 
 
● Mediana​: ​posição central de uma série de dados, não sendo afetada por valores extremos. 
 
● Percentil:​ conjunto em ordem crescente; divide os dados em 100 partes iguais. 
○ Calcula o valor que deixa X% abaixo dele. 
○ Se P(x) não for inteiro, considerar o termo correspondente ao próx. nº inteiro. 
 ​ P(x)= ​ɳ*x% 
■ Ex.: P(10)=N*0,10 caso P(10) inteiro; então: 
P(10)=[x(n*0,10)+ x(n*0,10)+1]/2 
 caso não: considerar o próximo número inteiro 
 
● Quartil: ​divide os dados ordenados em 4 partes de 25% 
 
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Q1=n*0,25​ ​Q3=n*0,75 
 
 
 
 
 
Medidas de dispersão: 
➔ ​Essas medidas indicam o quanto os valores variam em relação a média. 
 
● Variância:​ (S^2): c​alcula a variação de X em relação a X 
 
 
 
 
○ Propriedades da variância: 
■ Var(X + a)= Var(X) 
■ Var(aX)= Var(X) a2 
 
 
● Desvio padrão: (S) 
 
 
 
 
 
● Coeficiente de variação: (CV)​ ​compara conjunto de dados com diferentes medidas. 
C1<C2, indica que C2 é mais amplo. 
 
 
 
 
 
Outliers e padronização: 
 
● Regra empírica:​ ​utilizada em variáveis que possuem distribuição simétrica 
 
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Os 0,3% restantes, são considerados outliers. 
 
● Z-SCORE:​ padronização a partir do desvio padrão de uma variável. 
 
 
 
 
 
● Outliers: 
○ valores extremos que podem identificar erro na coleta de dados ou 
valores muito raros. 
○ Identificação de outliers: 
1. Regra impírica​ (Score Z)​- distribuição simétrica 
valores​ Z >3​ ou ​Z - 3 
 
2. Boxplot​.- ​quando não há distribuição simétrica 
 ​Q1 = 0,25 
 Q2 = 0,5 
 Q3= 0,75 
 
 Limite inferior: ​=Q1 - 1,5 * IIQ 
 Limite superior: ​=Q3 + 1,5* IIQ 
 ​ ​ IIQ = Q3-Q1​ ​(intervalo interquartil) 
(no excel: mediana INCLUSIVA) 
 
 
 
 
Análise bidimensional:​ ​análise de duas variáveis ao mesmo tempo, explorando o nível de 
. associação entre elas. 
 
Quali X Quali: 
 
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● Tabela feita através de​ tabelas de freq. ​do excel. 
 
● Análise vertical: 
○ Observar os dados de acordo com a coluna que 
pertencem. 
○ Dividir o dado de cada linha pelo total da coluna 
○ Ler de tal modo: coluna e depois relacionar com a 
linha. ex.: “26,67% das mulheres possuem ensino 
superior” 
 
● Análise horizontal: 
○ Observar os dados de acordo o total da linha; dividindo cada coluna pelo total 
da linha. 
○ Leitura: “x% do ensino superior são do gênero 
feminino” 
 
 
 
 
 
Quali X Quanti: 
1. Separação em grupos - QUALI 
2. Análise das medidas descritivas (média, variância e DP) - QUANTI 
3. Comparação dos boxplots ​(permite analisar a variabilidade de uma maneira visual) 
 
● Buscar a associação entre as variáveis: há associação quando: 
1. A ​média ​dos grupos é bem ​diferente 
2. O ​desvio padrão​ de cada grupo é ​menor​ que o ​desvio padrão total​. 
3. Boxplot diferentes​ (boxplots diferentes mostram associação) 
Obs:​ ​gráficos de barra não demonstram a associação entre variáveis. 
 
coluna = quali || linha = quanti 
 
 
Quanti X Quanti: 
● Gráfico de dispersão: ​representação gráfica da relação entre 2 variáveis quanti. 
○ Gráfico composto por pontos, como se fosse um gráfico ordenado. 
exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
● Associação linear:​ mostra como 2 variáveis estão associadas. 
 
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○ Tipos: ​ positiva​ (sinais iguais) 
 ↳ ( - / - ) ou ( + / + ) 
 ​negativa​ (sinais opostos na tendência de crescimento) 
 ↳ ( - / - ) ou ( + / + ) 
nula​ (o valor de uma variável não interfere no crescimento da outra) 
 ↳ não é possivel identificar padrão entre X e Y 
 
 
 
 
 
 
● Medidas de associação:​ utilizadas, pois nem sempre é possível observar apenas 
através do gráfico. 
○ Covariância:(​S​xy)​ mostra se associação é positiva, negativa ou nula. 
■ Calcula a variação de X de acordo com os valores de Y 
 
 
 
 
■ Associação entre variáveis: 
cov( X, Y ) > 0 = positiva 
cov( X, Y ) < 0 = negativa 
cov( X, Y ) = 0 = nula 
■ Não informa se a associação é forte ou fraca, pois ela depende da 
escala das variáveis! 
Se houver congelamento da variável 
Y e aumento proporcional na 
correlvariável X; portanto após um 
tempo as médias continuarão iguais 
e não haverá mudança na 
covariância.. 
 
 
○ Correlação:( ​r​xy)​ obtida a partir da padronização das variáveis. FORÇA 
 
 
 
 
 
■ Obtém valores entre​ -1 e 1 
➔ mais próximo de ​1​ = + forte e ​positiva​ é a associação. 
➔ mais próximo de ​-1 ​= + forte e ​negativa​ é a associação. 
■ A​ força​ é medida a partir do quão próximo está dos​ extremos. 
■ Quanto mais linear, mais associadas 
 
 
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■ Se houver congelamento da variável Y e aumento proporcional na variável X; 
portanto após um tempo as médias continuarão iguais e não haverámudança na correlação 
 
 
● Linha de tendência: 
○ Se as retas possuem associação linear, é possível ajustar uma reta a elas. 
○ A reta que melhor se ajusta é aquela que minimiza a soma dos quadrados 
das distâncias de cada observação até a reta. 
 
 
○ Equação da reta:​ é a equação da linha de tendência que a partir do X, 
permite com que encontremos o Y. 
Y = AX + B 
 
● Coeficiente de determinação (R^2): 
○ Valor entre ​0 e 1​. 
○ Quanto mais próximo de 1, maior a correlação 
○ R^2 é interpretado como a ​porcentagem da 
variabilidade de Y​, que​ ​é ​explicada pela 
variável X. 
 
 
❏ Quando dobra todos os valores o dp também dobra 
❏ E quando você soma o dp para todos os valores o dp não muda 
❏ Quando multiplicada por X todos os valores o dp e a média também multiplicam por 
X 
E quando você soma um valor fixo a todas as variáveis a média aumenta esse valor 
e o dp não muda 
 
Probabilidade:​ uma função de probabilidade determina todos os valores que uma 
variável aleatória X pode assumir e suas respectivas probabilidades 
 
● f(x) = ​Função probabilidade​ → variáveis discretas 
○ Tipos: Uniforme; Bernoulli; Binomial e Poisson 
● f(x) = ​Função densidade de probabilidad​e (f.d.p.) → variáveis contínuas. 
○ Tipos: Uniforme;​ Normal​ e Exponencial 
 
 
 
 
● Propriedades da função probabilidade: 
 
 
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○ A soma de todas as 
probabilidades = 1 
 
 
 
 
○ Qualquer valor de f(x)>=0 
 
 
 
 
 
 
Esperança e Variância 
 
● Esperança:​ média ponderada da 
variável (valor esperado) 
● Variância: 
 
 
 
 
 
 
● Propriedades: 
1. E( ax+b ) = a*E(x) + b 
2. Var( ax+b ) = (a²)* Var(x) 
3. DP( ax+b ) = a* DP(x) 
 
 
Função Probabilidade → variáveis discretas 
 
Ensaio de Bernoulli: 
● Modelo de distribuição de probabilidade para variáveis discretas 
● Usado quando: 
○ Existem 2 possíveis resultados 
■ Sucesso → resultado desejado 
■ Fracasso → resultado não 
desejado 
○ A variável não se repete, ou seja, 
acontece só uma vez 
ex.: lançar uma moeda e você esperar 
que caia cara (sucesso) 
 
 
 
Distribuição binomial: 
● Usado quando: 
○ Existem 2 possíveis resultados 
■ Sucesso → resultado desejado 
■ Fracasso → resultado não desejado 
○ A variável se repete (acontece várias vezes) 
 
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ex.: lançar uma moeda 3 vezes ​→ gera uma árvore com número de possibilidades 
 
● Calculando a distribuição binomial 
EXCEL: ​=DISTR.BINOM(VZS;TOTAL;PROBABIL;2) 
→Com essa fórmula é capaz de encontrar 
a probabilidade Y de sucessos 
 
 
 
 
● Esperança e Variância na DIstribuição binominal: 
○ E(y) = n*p 
○ Var(y) = n*p*( 1-p) 
 
Distribuição de Poisson: 
● Usa a taxa média da variável por um intervalo de espaço contínuo (tempo, 
distância,etc.) → μ 
● Calculando a distribuição de poisson: 
 ​No EXCEL: ​=DIST.POISSON(x;média;acumulativo) 
 
 
 
● Esperança e Variância na Distribuição de Poisson: 
○ E(x) = Var(x) = μ 
 
 
Função densidade de probabilidade ​(f.d.p) ​ → variáveis contínuas 
● A área embaixo de f(x) = 1 
 
 
 
 
● Para calcular a probabilidade de X estar 
entre os pontos A e B → calcular a 
integral de f(x) entre o pontos 
 
Exemplo:​ para X<1 
 
 
 
 
 
 
 
 
● Esperança e Variância: 
 
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○ E(x) = f ( x )dxμ = ∫
 
 
x 
○ Var(x) =​ (x μ)² f (x)dx ∫
 
 
− * 
 
 
Distribuição Normal: 
● É uma distribuição simétrica que utiliza média, variância (ou DP) como parâmetro 
● A curva normal divide a partir da média em 50%/50% 
 
Distribuição Normal Padronizada: 
● Média = 0 
● Variância = 1 
● Valores Z→ tabela que tem os valores padronizados 
 
Tabela Z ou Tabela normal: 
● O valor encontrado na tabela corresponde a área do gráfico que vai de 0 até o Z 
procurado. 
● Utilizando a tabela: 
1. Calcular o valor Z correspondente ao termo X da variável 
 z = σ
x− μ
 
2. Desenhar a área que representa a probabilidade que deseja 
a. Z > 0→ quando for depois da média → ​0,5 + valor da tabela 
b. Z < 0 → antes da média → ​0,5 - valor da tabela 
c. a < Z < b → calcular o Z-score para ambos os números → 
i. Fazer o mesmo processo das letras a. e b. e subtrair uma da 
outra (​ex. a - b) ​→ [0,5+ valor tabela (z = a)] - [0,5+ valor da 
tabela (z=b)] 
3. Consultar a tabela 
● É possível calcular quando: 
○ Z < 0 
○ Z > 0 
○ a < Z < b 
● No excel: 
○ Calculando a probabilidade a partir de valores: 
=DIST.NORM.N(P;MÉDIA;DP;VERDADEIRO) 
ex.1: P(x<40) = DIST.NORM.N(40; MÉDIA; DP; ​VERDADEIRO​) ​→​ X < Y 
ex.2: P( X>40) =​1-​ ​DIST.NORM.N(40; MÉDIA; DP; ​VERDADEIRO​) ​→ ​X > Y 
ex.3: P(20<X<50) = DIST.NORM.N(50; MÉDIA; DP; ​VERDADEIRO​) ​- 
DIST.NORM.N(20; MÉDIA; DP; ​VERDADEIRO​) ​→​ Y < X < W 
 
○ Calculando valores a partir da probabilidade: 
=INV.NORM.N(%; MÉDIA; DP) =dist.t(x;g.l;verdadeiro) 
→ Sempre colocar na função a probabilidade dos números serem menores 
 
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ex: se quiser achar os 95% maiores, colocar o 5% na fórmula. 
 
 
 
Amostragem:​ Calcula uma estimativa dos valores das populações correspondentes 
● Métodos de amostragem: 
○ Não probabilísticos ​→ não é possível estimar de maneira válida sobre a 
população 
○ Probabilísticos​ → permitem inferências estatísticas(intervalo de confiança, 
margem de erro) válidas sobre a população 
● Determinando o tamanho da amostra: 
 
○ Parâmetro desejado a 
estimar? 
○ Como selecionará a 
amostra? 
○ Margem de erro desejada 
Nível de confiança do intervalo de 
confiança desejado 
→ Para encontrar o N necessário, basta isolá-lo na fórmula do intervalo de 
confiança. 
● Tamanho da Amostra para Média Populacional: 
- E → margem de erro desjada 
- Quando 𝝈 é desconhecido pode-se usar a Tabela- 
Z ( não precisa usar a distribuição t-student) 
 
 
● Tamanho da amostra para Proporção Populacional 
○ (1- a) → Nível de confiança 
○ Quando p não é ​conhecido​, pode-se 
adotar o valor de ​0,5 ​ → valor que maximiza o 
tamanho da amostra necessária. 
 
● Métodos probabilístico​ → coleta amostras probabilísticas 
○ Todos os elementos de uma população devem ter uma ​probabilidade positiva 
e conhecida​ de serem selecionados para a amostra. 
 
○ Amostragem aleatória simples ​ → todos os indivíduos têm a mesma 
probabilidade de serem selecionados 
○ Amostragem aleatória estratificada ​ → dividir a população em subgrupos 
(estrato) e ​aplicar a amostragem aleatória simples​ em cada estrato 
○ Amostragem sistemática ​ → selecionar um indivíduo aleatoriamente em 
uma população e depois selecionar para uma amostra cada enésimo 
indivíduo disponível 
 
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● Métodos não probabilísticos​ →​não permitem realizar inferências estatísticas 
válidas sobre a população. 
○ Amostragem por conveniência ​ → selecionar uma amostra da população 
acessível. → não é uma amostra aleatória (probabilística) 
○ Amostragem voluntária ​ → quando os indivíduos da população se 
oferecem para participar da pesquisa 
○ Amostragem por julgamento ​ → alguns indivíduos são escolhidos 
intencionalmente com base em alguns critérios estabelecido pelo 
pesquisador. 
 
● Grau de confiança e margem de erro: 
○ Nível de confiança: a probabilidade da estimativa amostral diferir do valor real 
em no máximo uma quantidade fixa. Indica a extensão do risco 
○ Erro amostral máximo aceitável:​ |x | E = − u 
 
Inferência: 
Parâmetro, estimador e estimativa: 
● Parâmetro ​ → é uma grandeza fixa que se refere a uma população. 
ex.: média populacional 
● Estimador ​ → fórmula que vai ser aplicada na amostra 
ex.: média amostral 
● Estimativa ​ → valor que os estimador assume para uma amostra 
ex.: o valor assumido para essa amostra 
a partir do estimador 
Propriedade dos estimadores: viesados ou nao 
● Viciados​ → os dados estão deslocados média ​Não viciados​ → dados 
centralizados 
● Precisos ​→ dados mais próximos d ​Imprecisos​ →dados espalhados dp grande 
 
Intervalos de confiança: 
● A partir da distribuição da média amostral, são calculados os intervalos de confiança 
para a média populacional. 
 
Teorema do Limite Central:​ → ​Quanto maior a amostra, mais a distribuição tende à 
distribuição normal. 
● Conforme do tamanho da amostra aumenta​,​ a distribuição amostral de sua média se 
aproxima cada vez mais de uma distribuição normal. 
● É importante pois com a distribuição normal é possível usar a tabela -Z 
● Geralmente com n>40 é possível aplicar o teorema e assumir que a distribuição é 
normal. Não é regra, mas normalmente funciona. 
● Calculando o DP amostral: 
 
 
● Calculando o TLC: 
1. média da amostra → 
 
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2. Calcula a probabilidade: 
EXCEL: ​=NORMDIST(a; n; n; ) μ σ 
=dist.norm.n 
a. = → 1 - P ​=(.....;1) x ) ( > a x a) ( ≤ x a) ( ≤ 
b. → P =(.....;2) x ) ( < a x ) ( < a 
 
Margem de erro: 
● Diferença máxima entre a média amostral e a média populacional, dentro de 
determinada probabilidade. 
● Para encontrar o ​valor- Z na tabela​ deve-se sempre ​dividir a probabilidade por 2 
antes de consultar a tabela. 
● 
 
Retorno esperado e risco de carteira: 
● Retorno esperado em carteiras: ​ 50% de uma empresa e 50% de outra 
E(0,5*X + 0,5*Y) = 0,5*E(X + Y) 
● Risco em carteiras: ​50% de uma empresa e 50% de outra 
Var(0,5*X + 0,5*Y) = 0,25* Var(X + Y) 
○ Caso geral:​ ​Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y) + 2ab*Cov(X;Y) 
○ Usando correlação: 
Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y) + 2ab*DP(X)*DP(Y)*Corr(X;Y) 
 
 
Intervalos de confiança: ​mostra que ao coletar muitos intervalos de confiança, Y% 
deles conteriam o valor real da média populacional. 
● Fórmula para ​calcular o intervalo de confiança para a média populacional com o DP 
conhecido. 
 
 
 
 
● Margem de erro para probabilidade Y% = 
 
● Calculando IC com DP desconhecido: 
○ Melhor estimador para DP amostral: 
 
Obs: é preciso ajustar os valores de s e , pois costumam ser σ 
diferentes. 
 
 
● Calculo do IC p/ média populacional com DP desconhecido: 
○ TABELA Z = POPULACIONAL 
○ TABELA T = AMOSTRA 
○ →(margem de erro)E σ√n = 
 
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● Usar a tabela T-Student, quando maior a amostra, mais a distribuição t-student será 
normal. 
● Encontrando valores T no excel: 
= INV.T( (1- %)/2; G.L.) 
● Encontrando valores Z no excel: 
= INV.NORMP.N( (1- %)/2) 
 
● IC para proporção populacional: 
○ indivíduos devem ser selecionados aleatoriamente 
○ A população deve ser no mínimo 10X maior que a amostra 
○ A proporção amostral deve possuir distribuição normal. Isso acontece 
quando: np >10 e n(1-p)>10 
 p = proporção amostral 
(1 - a) = nível de confiança 
 Z(a/2) = valor Z p/ o nível de confiança 
especificado 
n = tamanho da amostra 
(raiz inteira) = erro padrão 
 
 
● Quando não tiver P, usar 0,5 
■ O uso do P linh a(0,5), sempre gerará uma probabilidade 
menor que 0,25 
 
 
● Se não souber o sigma, usar um valor alto
 
 
 
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