Apostila_transmissão II (1)

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Transmissão de Energia 
Elétrica II
Profa Tatiana M. Lessa de Assis
1/2007
Universidade Federal Fluminense
Centro Tecnológico
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
TEE-04080
Aula 01
2CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Fluxograma do Curso
3CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Pré-Requisitos
• Quais são os pré-requisitos?
– Transmissão I
– Resistência dos Materiais
– Desenho de Projetos (co-requisito)
• É pré-requisito de quais disciplinas?
– Equipamentos Elétricos
– Subestações
– Análise I
4CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Transmissão I x Transmissão II
• Transmissão I
– Projeto elétrico
– Análise do desempenho elétrico
• Transmissão II
– Projeto mecânico
– Análise do desempenho mecânico
5CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Principais Tópicos (1)
• Introdução
– Visão geral: componentes do sistema de transmissão
• Conceitos básicos: comportamento mecânico 
dos cabos
– Vão
– Tração
– Flecha
– Catenária
• Análise de vãos nivelados e desnivelados
• Análise de vãos isolados e vãos contínuos
6CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Principais Tópicos (2)
• Influência de agentes externos no projeto 
mecânico
– Temperatura
– Vento
– Neve
– Manutenção
– Montagem
• Conceito de vão regulador
7CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Principais Tópicos (3)
• Hipóteses de carregamento adotadas no projeto 
mecânico
• Cabos utilizados em linhas aéreas de 
transmissão
– Tipos
– Materiais
– Características
– Utilização de espaçadores
8CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Principais Tópicos (4)
• Estruturas
– Tipos
– Materiais
– Características
• Vibrações
– Características
– Medição
– Amortecedores
9CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Principais Tópicos (5)
• Fundações
– Estudos e projeto
– Tipos
• Distâncias de segurança
• Tópicos adicionais
– Isoladores
– Ferragens
– Largura da faixa de passagem
10CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Principais Tópicos (6)
• Tópicos especiais
– Coordenação de isolamento
– Sinalizadores
– Procedimentos de rede do ONS
– PLS-CADD
11CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Bibliografia
• Projetos Mecânicos de Linhas Aéreas de Transmissão
– Rubens Dario Fuchs & Márcio Tadeu de Almeida
• NBR 5422 – Projeto de Linhas Aéreas de Transmissão 
de Energia Elétrica
• The Electric Power Engineering Handbook
– L.L. Grigsby, IEEE
• Artigos técnicos relacionados
– Informações ao longo do curso
12CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Avaliação
• Aprovação do curso
– Nota
– Freqüência
13CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Avaliação: Nota (1)
• Prova 01
– Data prevista: 10/05/2007
• Prova 02
– Data prevista: 05/07/2007
• Prova 03 - Opcional
– Data prevista: 12/07/2007
• Verificação Suplementar
– Data prevista: 19/07/2007
14CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Avaliação: Nota (2)
• Média Final (MF):
– Para quem não fizer a terceira prova →
– Para quem fizer a terceira prova →
• Se MF ≥ 6,0 → Aprovado ☺
• Se MF < 4,0 → Reprovado 
• Se 4,0 ≤ MF < 6,0 → V.S. 
• Reposição
– Consultar Resolução CEP/UFF No 294 de 27/09/2006 
(Regulamento de Cursos de Graduação)
2
2P1PMF +=
5
3P2P21P2MF +⋅+⋅=
15CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Avaliação: Freqüência
• Conforme Resolução CEP/UFF No 294 de 27/09/2006 
(Regulamento de Cursos de Graduação):
– O aluno estará aprovado por freqüência (f) se 
comparecer a pelo menos 75% das aulas dadas
• Se f ≥ 75% → Aprovado ☺
• Se f < 75% → Reprovado 
16CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Uso de Equipamentos Eletrônicos
• Durante as provas é totalmente vetado o 
uso de:
– Telefones celulares
– Palm-tops e similares
– Rádios, MP3 e similares
– Calculadoras gráficas ou com capacidade de 
armazenamento
– Exemplos: HP 48g, HP 48gll, HP 50g, etc...
17CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007
Dúvidas?
• Sala 422 – Bloco D
• Horário de atendimento
– Terças e quintas das 14h às 15h
– Após a aula
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Escola de Engenharia
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Transmissão de Energia 
Elétrica II
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TEE-04080
Aula 02
Introdução
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 3
Introdução (1)
• Sistema de 
transmissão do 
Sistema Interligado 
Nacional (SIN)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Introdução (2)
• Implantação de uma linha de transmissão
– Estudos
– Seleção dos diversos componentes
• Fatores importantes:
– Nível de tensão 
– Extensão
• Custo de implantação
• Custo de operação
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
Introdução (3)
• Por que eu preciso de uma nova linha?
• Quais são os objetivos?
• Estudos
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
Estudos (1)
• Traçado da linha
• Condições meteorológicas
• Determinação das sobretensões
• Fluxo de potência
• Estabilidade
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 7
Estudos (2)
• Levantamento topográfico
• Seleção do condutor
• Rádio-interferência
• Ruído audível
• Seleção das torres
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 8
Estudos (3)
• Coordenação de isolamento
– Surtos atmosféricos
– Surtos de manobra
• Equipamentos
– Instalações da subestação
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 9
Principais Componentes de uma LT
• Cabos condutores
• Cabos pára-raios
• Estruturas
• Fundações
• Cadeias de isoladores
• Ferragens
• Espaçadores
• Amortecedores
• Contrapeso
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 10
Cabos Condutores
• Função:
– Transporte da energia
• Camadas fios encordoados
• Materiais: alumínio, aço, ligas, ...
• Mais utilizado no Brasil:
– CAA ou ACSR: Condutor de alumínio com alma 
de aço
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Cabos Pára-Raios
• Função:
– Proteção da linha contra surtos atmosféricos
• Evitar que as descargas atmosféricas atinjam 
diretamente os cabos condutores
• Materiais: aço, alumínio, ...
• OPGW
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Estruturas
• Deve garantir distâncias seguras
– Entre condutores, entre os condutores e o solo, 
entre os condutores e objetos externos
• Materiais: aço, concreto e madeira
• Função:
– Suporte dos cabos 
condutores e pára-raios
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 13
Fundações
• Função
– Fixação das estruturas
• Seu projeto depende de 
um estudo criterioso das 
características do solo
• Materiais: aço, concreto, ...
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Cadeia de Isoladores
• Função:
– Isolar eletricamente os cabos condutores 
das estruturas
• Materiais: vidro e porcelana
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Ferragens
• Função
– Fixação
• Cabos condutores, pára-
raios, cadeias de isoladores, 
estruturas
• Material: aço
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Espaçadores
• Função
– Manter o espaçamento adequado entre os 
subcondutores de um feixe
• Espaçadores amortecedores
• Materiais: aço ou alumínio
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Amortecedores
• Função
– Amortecer vibrações dos cabos (pára-raios e 
condutores) provocadas pela ação do vento
• Fadiga, rompimento e redução da vida útil
• Materiais: aço e alumínio
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Contrapeso
• Função
– Redução da resistência de aterramento das 
estruturas
– Melhoria do desempenho na presença de 
descargas atmosféricas
• Cabos enterrados conectados à estrutura
• Materiais:aço, ...
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Transmissão de Energia 
Elétrica II
Profa Tatiana M. Lessa de Assis
1/2007
TEE-04080
Aula 03
Conceitos Básicos: Comportamento 
Mecânico dos Cabos
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Introdução (1)
• Projeto mecânico:
“Dimensionamento de todos os elementos da 
linha de transmissão de forma a assegurar 
seu bom funcionamento face às solicitações 
de natureza mecânica a que é submetida”
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Introdução (2)
• Linhas de transmissão → Sistemas de alta 
tensão
– Normas rígidas:
• Preservar a integridade física dos seres vivos
• Assegurar altos índices de segurança
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
Análise de um Vão Isolado (1)
Situação hipotética: linha de transmissão composta por 
um único vão
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
Análise de um Vão Isolado (2)
a b
a e b → pontos de suspensão
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Análise de um Vão Isolado (3)
a b
a e b → pontos de suspensão
ab → vão: A [m]
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Análise de um Vão Isolado (4)
a b
Catenária → curva descrita pelo cabo
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 9
Análise de um Vão Isolado (5)
a b
Catenária → curva descrita pelo cabo
Ponto “o” → vértice da catenária: ponto mais baixo
o
da curva
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 10
Análise de um Vão Isolado (6)
a b
f → Flecha [m]: depende do comprimento do vão, 
o
da tração aplicada e do tipo de cabo
f
H → Altura dos pontos de suspensão [m]
H
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Análise de um Vão Isolado (7)
a b
hs → Altura de segurança [m]: estabelecida por normas
o
em função de diversos fatores, tais como a classe
f
H
de tensão da linha e as características do local de 
passagem
hs
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 12
Análise de um Vão Isolado (8)
a b
o
• São definidos também:
– Peso unitário do cabo: p [kgf/m]
– Comprimento do cabo: L [m]
• L > A
A
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Cálculo das Trações (1)
a b
o
• Situação de equilíbrio
• Cabo tracionado
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Cálculo das Trações (2)
a b
o
• Ponto “M” qualquer da catenária
• Como está a tração neste ponto?
M
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Cálculo das Trações (3)
a b
o
• A tração em qualquer ponto é tangente à curva 
no ponto
M
T’
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Cálculo das Trações (4)
a b
o
• E deslocando o ponto “M” até o ponto “o”?
M
T’
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Cálculo das Trações (5)
a b
o
• No ponto “o” não há componente vertical
M
T’
To
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Equações de Equilíbrio (1)
• Análise do trecho OM 
a b
o
M
T’
To
α’
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Equações de Equilíbrio (2)
• Σ FVERTICAIS = 0
• Σ FHORIZONTAIS = 0
a b
o
M
T’
To
α’
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 20
Equações de Equilíbrio (3)
• Σ FVERTICAIS = 0
( ) trecho no condutor do peso'sen'T =α⋅
a b
o
M
T’
To
α’
• Σ FHORIZONTAIS = 0
( ) To'cos'T =α⋅
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 21
Equações de Equilíbrio (4)
• Para M ≡ b
( )
2
LpsenT ⋅=α⋅( ) TocosT =α⋅
a b
o
T
To
α
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Equações de Equilíbrio (5)
• A força de tração T equilibra as demais forças 
atuantes 
( )
2
LpsenT ⋅=α⋅
( ) TocosT =α⋅
Força horizontal e constante
Força vertical que vale o peso do condutor no semi-vão 
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 23
Equações de Equilíbrio (6)
• Considerando que o comprimento do cabo 
relativo ao trecho OM vale “s”, então: 
a b
o
M
T’
To
α’
( ) sp'sen'T ⋅=α⋅
( ) To'cos'T =α⋅
( )
( ) To
sp
'cos'T
'sen'T ⋅
=
α⋅
α⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅=α −
To
sptg' 1
p.s
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 24
Equações de Equilíbrio (7)
• To → constante
• T’ → depende do ponto da curva
• Mínima ou máxima?
a b
o
M
T’
To
α’
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅=α −
To
sptg' 1
p.s
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 25
Equações de Equilíbrio (8)
• T’ é mínima para α’ = 0
– T’ = To
• T’ é máxima para α’ = α
– Pontos de suspensão “a” e “b”
– T’ = T a b
o
M
T’
To
α’
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=α=α −
To2
Lptg' 1
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 26
Observações
• Para tamanhos práticos de vãos, α assume 
valores “pequenos”
– T ≈ To
• Os máximos valores de tração aplicados 
deverão atender aos critérios de segurança 
estabelecidos em norma
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 27
Exemplo
• Linha de transmissão de 138 kV – Vão isolado
• O cabo é tracionado com To =1545 kgf
• Dados do cabo empregado:
– Tração de ruptura: 7735 kgf
– Seção transversal: 210,30 mm2
– Peso unitário 0,7816 kgf/m
• Calcular a tração nos pontos de suspensão para:
– Um vão de 350 m
– Um vão de 1000 m
• Admita que o comprimento do cabo é aproximadamente igual ao vão
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 28
Respostas
• Para A = 350 m
– T = 1551,04 kgf
• Para A = 1000 m
– T = 1593,66 kgf
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 29
Observações (1)
• Vão de 350 m
– Tamanho “normal” para uma LT de 138 kV
• Vão de 1000 m
– Muito grande
• Qual é a variação da tração nos pontos de 
suspensão em relação à To?
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 30
Observações (2)
• Para o vão de 350 m
– ΔT = 0,39%
• Para o vão de 1000 m
– ΔT = 3,15%
• Com qual valor de vão ocorreria a ruptura do 
cabo?
– 19394 m
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Elétrica II
Profa Tatiana M. Lessa de Assis
1/2007
TEE-04080
Aula 04
Equações dos Cabos Suspensos
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Equações Básicas
• Catenária
• Flecha
• Comprimento do Cabo
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Catenária (1)
a b
o
M
T’
To
α’
p.s
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
Catenária (2)
a b
o
M
T’
To
α’
p.s
x
y
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
Catenária (3)
dx
dyz =
( )
dx
dy'tg =α
a b
o
M
T’
To
α’
p.s
x
y
( ) sp'sen'T ⋅=α⋅
( ) To'cos'T =α⋅
( )
To
sp'tg ⋅=α
Mas,
Definindo:
To
spz ⋅=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 7
Catenária (4)
To
spz ⋅= ds
To
pdz ⋅=
( ) ( )22 dydxds +=
ds
dx
dy
Mas,
dxzdy ⋅=
( ) ( )22 dydx
To
pdz +⋅=
Como:
dx
dyz = ∴
∴
( ) ( )222 dxzdy ⋅=
(I)
(II)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 8
Catenária (5)
( ) dx
To
pz1zln 2 ⋅±=++±( ) ( )222 dxzdx
To
pdz ⋅+⋅=
2z1dx
To
pdz +⋅⋅=
dx
To
p
z1
dz
2
⋅=
+
Substituindo (II) em (I):
(III)
Integrando (III):
Ou ainda:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=++−
=++
⋅⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−
⋅⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
xTo
p
2
xTo
p
2
ez1z
ez1z (IV)
(V)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 9
Catenária (6)
dx
dyz =
2
eez
xTo
pxTo
p ⋅⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−⋅⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
−
=
∫ ⋅= dxzy
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
p
To
xsenhz
Subtraindo (V) de (IV): Como:
Ou ainda:
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 10
Catenária (7)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅= 1
p
To
xcosh
p
Toy
Equação da catenária:
a b
o
M
T’
To
α’
p.s
x
y
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 11
Catenária (8)
n
1
n
6
1
6
4
1
4
2
1
2
1 C!n
x...
C!6
x
C!4
x
C!2
x1C
xcosh +++++=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
p
ToC1 =
Função co-seno hiperbólico: Definindo: 
( )
!n
t...
!6
t
!4
t
!2
t1tcosh
n642
+++++=
OBS: Para linhas reais, a série é rapidamente 
convergente. Pode-se utilizar apenas dois termos. 
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 12
Catenária (9)
n
1
n
6
1
6
4
1
4
2
1
2
1 C!n
x...
C!6
x
C!4
x
C!2
x1
C
xcosh +++++=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅= 1
p
To
xcosh
p
Toy ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅= 2
1
2
1 C2
xCy
2x
To2
py ⋅
⋅
=
0
Voltando na equação da catenária: 
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 13
Catenária (10)
2x
To2
py ⋅
⋅
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅= 1
p
To
xcosh
p
Toy
Equações da catenária:
a b
o
M
T’
To
α’
p.s
x
y
Exata:
Aproximada:
Função hiperbólica
x
Parábola
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 14
Flecha (1)
a b
o
f
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 15
Flecha (2)
a b
o
f
x
y
y = ? x = ?
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 16
Flecha (3)
fy =
a b
o
f
x
y
2
Ax =**
A
Substituindo nas equações da catenária...
Ponto de suspensão
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 17
Flecha (4)
To8
Apf
2
⋅
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅= 1
C2
AcoshCf
1
1
Exata:
Aproximada:
a b
o
f
Equações da flecha:
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 18
Comprimento do Cabo (1)
• Comprimento de uma curva qualquer no plano xy:
∫ ⋅⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=
2
1
x
x
2
dx
dx
dy1L
x
y
x1 x2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
1C
xsenhz
dx
dy
∫ ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
2
1
x
x 1
2 dx
C
xsenh1L
Para a catenária:
(VI)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 19
Comprimento do Cabo (2)
• Integrando (VI):
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅=
1
1 C
xsenhCL
• Metade do cabo:
2
Ax = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅=
1
1 C2
AsenhCL
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅=
1
1 C2
AsenhC2L
Comprimento total:
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 20
Comprimento do Cabo (3)
n
1
n
n
5
1
5
5
3
1
3
3
11 C2!n
A...
C2!5
A
C2!3
A
C2
A
C2
Asenh
⋅
++
⋅
+
⋅
+
⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
Função seno hiperbólico: 
( )
!n
t...
!5
t
!3
tttsenh
n53
++++=
OBS: Para linhas reais, a série é rapidamente 
convergente. Pode-se utilizar apenas dois termos. 
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 21
Comprimento do Cabo (4)
n
1
n
n
5
1
5
5
3
1
3
3
11 C2!n
A...
C2!5
A
C2!3
A
C2
A
C2
Asenh
⋅
++
⋅
+
⋅
+
⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
To8
pAf
2
⋅
⋅
= A3
f8AL
2
⋅
⋅
+=
0
Voltando na equação do comprimento do cabo: 
Como: 
2
32
To24
ApAL
⋅
⋅
+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅=
1
1 C2
AsenhC2L
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 22
Comprimento do Cabo (5)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅=
1
1 C2
AsenhC2L
Exata:
Aproximada:
Equações do comprimento do cabo:
A3
f8AL
2
⋅
⋅
+=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 23
Exemplo Anterior
• Calcular:
– Flecha
– Comprimento do cabo
• Considerar os vãos de:
– 350 m
– 1000 m
• Comparar as equações exata e aproximada
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 24
Respostas (1)
• Para o vão de 350 m:
– Comprimento do cabo
– Lexata = 350,4573 m
– Laproximada = 350,4572 m
• Flecha
– fexata = 7,7515 m
– faproximada = 7,7464 m
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 25
Respostas (2)
• Para o vão de 1000 m:
– Comprimento do cabo
– Lexata = 1010,6977 m
– Laproximada = 1010,6635 m
• Flecha
– fexata = 63,5741 m
– faproximada = 63,2363 m
Universidade Federal Fluminense
Centro Tecnológico
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia 
Elétrica II
Profa Tatiana M. Lessa de Assis
1/2007
TEE-04080
Aula 05
Análise de Vãos Desnivelados
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 3
Vão Desnivelado – Isolado (1)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Vão Desnivelado – Isolado (2)
a
b
o
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
Vão Desnivelado – Isolado (3)
a
b
o
A
Vão: A
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
Vão Desnivelado – Isolado (4)
a
b
o
Desnível: h
A
h
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 7
Vão Desnivelado – Isolado (5)
a
b
o
Vão 
equivalente: 
Ae
A
h
Ae
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 8
Vão Equivalente (1)
a
b
o
A
h
AeAe = A + A’
A’
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 9
Vão Equivalente (2)
a
b
o
A
h
Ae
x
y
A’
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 10
Vão Equivalente (3)
a
b
o
A
h
Ae
x
y 11
22
A’
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 11
Vão Equivalente (4)
a
b
o
A
h
Ae
x
y 11
22
A’
• Ponto 1
– (x1,y1)
• Ponto 2
– (x2,y2)
x1x2
y1
y2
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 12
Vão Equivalente (5)
• O cálculo do vão equivalente pode ser feito a 
partir da equação da catenária:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅= 1
C
xcoshCy
1
1
21 yyh −=
Desnível:
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 13
Vão Equivalente (6)
21 yyh −=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅= 1
C
xcoshCy
1
1
11
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅= 1
C
xcoshCy
1
2
12
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 14
Vão Equivalente (7)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅= 1
C
xcoshC1
C
xcoshCh
1
2
1
1
1
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅=
1
2
1
1
1 C
xcosh
C
xcoshCh
Mas,
'Axx
Axx
21
21
=−
=+
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 15
Vão Equivalente (8)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅=
11
1 C2
'Asenh
C2
AsenhC2h
• Aplicando as relações das funções hiperbólicas e 
manipulando algebricamente, chega-se a:
• Aplicando as relações das funções hiperbólicas e 
expandindo em série, chega-se a:
1CA
h2'A ⋅⋅=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 16
Vão Equivalente (9)
• Como:
1CA
h2'A ⋅⋅=
'AAAe += 1CA
h2AAe ⋅⋅+=
Ou:
pA
Toh2AAe
⋅
⋅⋅
+=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 17
Flechas em Vãos Desnivelados (1)
• Flecha equivalente
• Flecha maior
• Flecha menor
a
b
o
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 18
Flechas em Vãos Desnivelados (2)
• Flecha equivalente
– É a flecha correspondente ao vão equivalente [fe]
– Da expressão de vãos nivelados:
To8
pAefe
2
⋅
⋅
= fe
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 19
Flechas em Vãos Desnivelados (3)
• Flecha maior ou flecha máxima
– É a maior distância vertical entre a linha que liga os pontos de 
suspensão e a catenária [fs]
– É possível mostrar que:
To8
pAfs
2
⋅
⋅
=
A flecha máxima em um vão 
desnivelado tem o mesmo 
valor da flecha em um vão 
igual, nivelado.
fs
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 20
Flechas em Vãos Desnivelados (4)
• Flecha menor
– É a menor distância entre as linhas horizontais que passam 
pelo suporte inferior e pelo vértice [fo] 
– É possível mostrar que:
2
fs4
h1fsfo ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−⋅=
fo
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 21
Análise dos Esforços Atuantes: 
Vãos Desnivelados
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 22
Esforços Atuantes (1)
a
b
o
A
Ae
A’
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 23
Esforços Atuantes (2)
a
b
o
A
Ae
A’
Ta
To
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 24
Esforços Atuantes (3)
a
b
o
A
Ae
A’
ToTo
Ta
Tb
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 25
Esforços Atuantes (4)
a
b
o
A
Ae
A’
ToTo
Tb
To
To
Va
Ta
Vb
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 26
Forças Verticais (1)
• A força vertical no ponto de 
suspensão superiorsuperior vale [kgf]:
2
LepVa ⋅=
2
AepVa⋅≈
2
pA
Toh2A
pVa
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅
+
⋅=
Ae
A
Toh
2
pAVa ⋅+⋅=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 27
Forças Verticais (2)
• A força vertical no ponto de suspensão inferiorinferior
vale [kgf]:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅=
2
LeLpVb
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅≈
2
AeApVb
Como:
'AAAe +=
'A
2
Ae
2
AeA −=−
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 28
Forças Verticais (3)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅= 'A
2
AepVb
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅
+⋅⋅=
pA
Toh2
pA
Toh2A
2
1pVb
Ae A’
A
Toh
2
pAVb ⋅−⋅=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 29
Forças Verticais (4)
• Resumindo:
– Ponto de suspensão superiorsuperior
– Ponto de suspensão inferiorinferior
A
Toh
2
pAVb ⋅−⋅=
A
Toh
2
pAVa ⋅+⋅= Qual dos Qual dos 
suportes suportes éé mais mais 
solicitado?solicitado?
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 30
Forças Axiais (1)
a
b
o ToTo
Tb
To
To
Va
Ta
Vb
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 31
Forças Axiais (2)
222 VbToTb +=
a
b
o ToTo
Tb
To
To
Va
Ta
Vb
222 VaToTa +=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 32
Forças Axiais (3)
• Desenvolvendo as expressões, chega-se a:
– Para o suporte superiorsuporte superior:
– Para o suporte inferiorsuporte inferior:
pfeToTa ⋅+=
( ) phfeToTb ⋅−+=
Universidade Federal Fluminense
Centro Tecnológico
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia 
Elétrica II
Profa Tatiana M. Lessa de Assis
1/2007
TEE-04080
Aula 06
Exercício
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 3
Exemplo Anterior com Desnível
• Mesma linha do exemplo anterior
• Desnível: 40 m
• Determine:
– Esforços verticais nos pontos de suspensão
– Esforços axiais nos pontos de suspensão
• Dados:
– Tração horizontal: 1545 kgf
– Peso unitário do cabo: 0,7816 kgf/m
– Vão: 350 m
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Solução (1)
• Forças Verticais:
– Ponto de suspensão superiorsuperior
– Ponto de suspensão inferiorinferior
A
Toh
2
pAVb ⋅−⋅=
A
Toh
2
pAVa ⋅+⋅=
2
AepVa ⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅=
2
AeApVb
ouou
ouou
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
Solução (2)
• Forças Verticais:
– Ponto de suspensão superiorsuperior
– Ponto de suspensão inferiorinferior
kgf 35,313Va =
kgf 79,39Vb −=
Qual Qual éé o o 
significado do significado do 
valor negativo?valor negativo?
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
Solução (1)
a
b
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 7
Solução (2)
a
b
Ta
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 8
Solução (3)
a
b
To
Va
Ta
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 9
Solução (4)
a
b
Tb
To
Va
Ta
VbVb < 0< 0
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 10
Solução (5)
a
b
Tb
To
Va
Ta
VbVb < 0< 0
To
Vb
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 11
Solução (6)
a
b
Tb
To
Va
Ta
VbVb < 0< 0
To
Vb
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 12
Solução (7)
a
b
Tb
To
Va
Ta
VbVb < 0< 0
To
Vb
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 13
Solução (8)
a
b
Tb
To
Va
Ta O vO véértice da catenrtice da catenáária ria 
estestáá fora do vãofora do vão
To
Vb o
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 14
Solução (9)
a
b
Tb
To
Va
Ta
To
Vb o
A
Ae/2
A força vertical no suporte inferior será
negativa sempre que o vão for menor 
do que o semi-vão equivalente
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 15
Solução (10)
• Forças Axiais:
– Ponto de suspensão superiorsuperior
– Ponto de suspensão inferiorinferior
ouou
ouou 222 VbToTb +=
222 VaToTa +=pfeToTa ⋅+=
( ) phfeToTb ⋅−+=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 16
Solução (11)
• Forças Axiais:
– Ponto de suspensão superiorsuperior
– Ponto de suspensão inferiorinferior
kgf 77,1576Ta =
kgf 51,1545Tb =
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 17
Solução (12)
• Forças Axiais:
– Ponto de suspensão superiorsuperior
– Ponto de suspensão inferiorinferior
To2%ToTa ⋅+=kgf 77,1576Ta =
kgf 51,1545Tb = To0,03%ToTb ⋅+=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 18
Equações dos Comprimentos 
dos Cabos
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 19
Vão Desnivelado
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅+=
1
22
1
2
C2
AsenhC4hL
Exata:
Aproximada:
Equações do Comprimento do Cabo:
a
b
o
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
+⋅+= 2
1
2
22
C12
A1AhL
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 20
Exemplo Anterior
• Comprimento do cabo
– Lexata = 352,73 m
– Laproximada = 352,73 m
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Transmissão de Energia 
Elétrica II
Profa Tatiana M. Lessa de Assis
1/2007
TEE-04080
Aula 07
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 2
Análise de Vãos Contínuos
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 3
Linhas de Transmissão Reais
• Sucessão de um grande número de vão
• Os esforços são transmitidos de um vão a outro
– Suportes de mesma altura
– Suportes de diferentes 
alturas
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Vãos Contínuos com Suportes 
de Mesma Altura
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
Caso 1: Vãos Iguais (1)
• “n” vãos de tamanho “a”
a a a a
... ...
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
Caso 1: Vãos Iguais (2)
• “n” vãos de tamanho “a”
a a a a
... ...
A
n
Aa =
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 7
Caso 1: Vãos Iguais (3)
a a a a
... ...
o o o o
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 8
To ToTo ToTo To
Caso 1: Vãos Iguais (4)
a a a a
... ...
o o o oTo To
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 9
To ToTo ToTo To
Caso 1: Vãos Iguais (5)
a a a a
... ...
o o o oTo To
Estruturas Terminais?
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 10
To ToTo ToTo To
Caso 1: Vãos Iguais (6)
a a a a
... ...
o o o oTo To
To
T
V
To
T V
Estruturas Terminais
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 11
To ToTo ToTo To
Caso 1: Vãos Iguais (7)
2
lpV ⋅=
a a a a
... ...
o o o oTo To
To
T
V
To
T V
Estruturas Terminais
“l” → comprimento do cabo no vão “a” 2
apV ⋅≈
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 12
To ToTo ToTo To
Caso 1: Vãos Iguais (8)
2
lpV ⋅=
a a a a
... ...
o o o oTo To
To
T
V
To
T V
Estruturas Intermediárias?
“l” → comprimento do cabo no vão “a” 2
apV ⋅≈
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 13
To ToTo ToTo To
Caso 1: Vãos Iguais (9)
2
lpV ⋅=
a a a a
... ...
o o o oTo To
To
T
V
To
T V
Estruturas Intermediárias
“l” → comprimento do cabo no vão “a” 2
apV ⋅≈
To
T V
To
T V
To
T V
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 14
To ToTo ToTo To
Caso 1: Vãos Iguais (10)
a a a a
... ...
o o o oTo To
To
T
V
To
T
V
To
T
V
To
T
V
To
T V
To
T V
To
T V
To
T V
2
lpV ⋅=“l” → comprimento do cabo no vão “a” 2
apV ⋅≈
Estruturas Intermediárias
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 15
Caso 1: Vãos Iguais (11)
• As forças horizontais se anulam
• As forças verticais se somam
... ...
o o o o
To
T
V
To
T
V
To
T V
To
T V
Estruturas Intermediárias
lpV2 ⋅=⋅ apV2 ⋅≈⋅
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 16
Cálculo da Nova Flecha (1)
• Considerando que o comprimento total do 
cabo não se alterou:
• Lembrando que, para um vão isolado:
n
Ll =
A3
f8AL
2
⋅
⋅
+=
a3
'f8al
2
⋅
⋅
+=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 17
Cálculo da Nova Flecha (2)
• Mas,
n
Ll =
a3
'f8al
2
⋅
⋅
+=
n
Aa =e
n
A3
'f8
n
A
n
L 2
⋅
⋅
+=
( )
A3
'fn8AL
2
⋅
⋅⋅
+= n
f'f =
CTC/EE/TEE – Transmissão de EnergiaElétrica II – 1/2007 18
Exemplo (1)
• O vão de 1000 m do exercício anterior é subdividido em 
5 vãos iguais através da colocação de 4 estruturas 
adicionais. Determine:
– Os esforços nas estruturas terminais
– Os esforços nas estruturas intermediárias
– A flecha
• Dados:
– To = 1545 kgf (vão isolado)
– p = 0,7816 kgf/m
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 19
Exemplo (2)
• Quanto vale a tração no vão reduzido?
• Já foi visto que:
( )'Ton8
Apf
2
⋅⋅
⋅
=
'To8
ap'f
2
⋅
⋅
=
'To8
n
Ap
n
f
2
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅
=
n
To'To =
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 20
Exemplo (3)
• Estruturas terminais:
2
apV ⋅=
n
To'To = kgf 309
5
1545'To ==
2
2007816,0V ⋅= kgf 16,78V =
kgf 72,318T =
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 21
Exemplo (4)
• Estruturas intermediárias:
V2VTOTAL ⋅= kgf 32,156V =
• Flecha:
'To8
ap'f
2
⋅
⋅
= m 65,12'f = Vãos curtos Vãos curtos 
xx
Vãos longos?Vãos longos?
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 22
Caso 2: Vãos Diferentes (1)
a b c
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 23
Caso 2: Vãos Diferentes (2)
a b c
To
TIVI
To
TF
VF
Estruturas Terminais
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 24
Caso 2: Vãos Diferentes (3)
a b c
To
TIVI
To
TF
VF
Estruturas Intermediárias
To To
T23V23 V21
T21
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 25
Caso 2: Vãos Diferentes (4)
• Estruturas terminais
– As forças verticais são proporcionais aos 
semi-vãos vizinhos
• Estruturas intermediárias
– As forças verticais valem a soma do peso do 
condutor nos semi-vãos adjacentes
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 26
Caso 2: Vãos Diferentes (5)
21232 VVV +=
a b c
To
TIVI
To
TF
VF
To To
T23V23 V21
T21
2
2
ap
2
bpV2 ⋅+⋅=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 27
Exercício
• Considere a estrutura “B” no trecho de linha indicado. 
Determine:
– Os esforços atuantes nesta estrutura
– Os flechas nos vãos adjacentes
300 m 500 m
B
• Dados:
– To = 1545 kgf
– p = 0,7816 kgf/m
Universidade Federal Fluminense
Centro Tecnológico
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia 
Elétrica II
Profa Tatiana M. Lessa de Assis
1/2007
TEE-04080
Aula 08
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 2
Respostas do Exercício
• Respostas
– Força vertical: 312,64 m
– Forças axiais:
• T300 = 1549,44 kgf
• T500 = 1557,31 kgf
– Flechas:
• f300 = 5,69 m
• f500 = 15,81 m
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 3
Análise de Vãos Contínuos com 
Suportes em Desnível
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Linhas Reais
• Caso geral:
– Vãos diferentes
– Suportes com diferentes alturas
• Exemplo
– Trecho com 5 estruturas
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
11
22
33
44
55
Trecho de Linha (1)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
11
22
33
44
55
Estrutura Estrutura 
TerminalTerminal
Estruturas Estruturas 
IntermediIntermediááriasrias
Trecho de Linha (2)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 7
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
Localização dos Vértices
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
To
V12
T12
Esforços Atuantes: Estrutura 1
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
To
V12
T12
Esforços Atuantes: Estrutura 2
To
To V21
V23
T21
T23
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
To
V12
T12
Esforços Atuantes: Estrutura 3
To
To V21
V23
T21
T23
To To
V34 V32
T32T34
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
To
V12
T12
Esforços Atuantes: Estrutura 4
To
To V21
V23
T21
T23
To To
V34 V32
T32T34
To To
V45 V43
T43T45
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
To
V12
T12
Esforços Atuantes: Estrutura 5
To
To V21
V23
T21
T23
To To
V34 V32
T32T34
To To
V45 V43
T43T45
To To ≡ T54
V56
T56
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
h45
h34
h23
h12
To
To
To
To To
To To
To To ≡ T54
V12
V21
V23
V34 V32
V45 V43
V56
T56
T43T45
T32T34
T21
T23
T12
Desníveis
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
a12 a23 a34 a45
h45
h34
h23
h12
To
To
To
To To
To To
To To ≡ T54
V12
V21
V23
V34 V32
V45 V43
V56
T56
T43T45
T32T34
T21
T23
T12
Vãos
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
a12 a23 a34 a45
h45
h34
h23
h12
To
To
To
To To
To To
To To ≡ T54
V12
V21
V23
V34 V32
V45 V43
V56
T56
T43T45
T32T34
T21
T23
T12
Distâncias
• À direita: nij
• À esquerda: mij
n12
n23
m12
n34 m34 n45m23
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
a12 a23 a34 a45
n23
n12 m12
m23 n34 m34 n45
h45
h34
h23
h12
To
To
To
To To
To To
To To ≡ T54
V12
V21
V23
V34 V32
V45 V43
V56
T56
T43T45
T32T34
T21
T23
T12
Cálculo dos Esforços
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 17
Equações para um Vão Desnivelado
• Lembrando:
– Ponto de suspensão superiorsuperior
– Ponto de suspensão inferiorinferior
A
Toh
2
pAVb ⋅−⋅=
A
Toh
2
pAVa ⋅+⋅= pfeToTa ⋅+=
( ) phfeToTb ⋅−+=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 18
Estrutura 1: Terminal
12
1212
12 a
Toh
2
paV ⋅−⋅=
pnV 1212 ⋅=
p
2
AeAVINFERIOR ⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
p)hfe(ToT 121212 ⋅−+=
ou
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 19
Estrutura 2: Intermediária (1)
23212 VVV −=
23
2323
23 a
Tohp
2
aV ⋅−⋅=
pnV 2323 ⋅=
• Forças verticais
p
2
AeAVINFERIOR ⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=ou
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 20
Estrutura 2: Intermediária (2)
• Forças verticais
12
1212
21 a
Tohp
2
aV ⋅+⋅=
23212 VVV −=
ou p
2
AeVSUPERIOR ⋅=
pmV 2121 ⋅=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 21
Estrutura 2: Intermediária (3)
• Forças axiais
pfeToT 1221 ⋅+=
p)hfe(ToT 232323 ⋅−+=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 22
Estrutura 3: Intermediária (1)
• Forças verticais
p
2
AeAVINFERIOR ⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=ou
34
3434
34 a
Tohp
2
aV ⋅−⋅=
pnV 3434 ⋅=
34323 VVV −=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 23
Estrutura 3: Intermediária (2)
• Forças verticais
ou p
2
AeVSUPERIOR ⋅=
23
2332
32 a
Tohp
2
aV ⋅+⋅=
pmV 2332 ⋅=
34323 VVV −=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 24
Estrutura 3: Intermediária (3)
• Forças axiais
pfeToT 2332 ⋅+=
p)hfe(ToT 343434 ⋅−+=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 25
Estrutura 4: Intermediária (1)
• Forças verticais
ou
45434 VVV +=
45
4545
45 a
Tohp
2
aV ⋅+⋅=
pnV 4545 ⋅=
p
2
AeVSUPERIOR ⋅=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 26
Estrutura 4: Intermediária (2)
• Forças verticais
p
2
AeVSUPERIOR ⋅=ou
45434 VVV +=
34
3434
43 a
Tohp
2
aV ⋅+⋅=
pmV 3443 ⋅=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 27
Estrutura 4: Intermediária (3)
• Forças axiais
pfeToT 3443 ⋅+=
pfeToT 4545 ⋅+=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 28
Estrutura 5: Intermediária
• O vértice “O4” coincide com o ponto de suspensão
• Forças verticais
• Forças axiais
565 VV =
ToT54 =
2
56
2
56 VToT +=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 29
Outros Conceitos
• Arrancamento
• Vão médio
• Vão gravante
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 30
o
o
Situação de Arrancamento
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 31
Vão Médio
• Média aritmética dos vãos adjacentes
2
aa
a jim
+
=
o o
ai aj
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 32
Vão Gravante ou Vão de Peso (1)
• Vão fictício que, multiplicado pelo peso 
unitário do condutor, fornece o valor da 
força vertical transmitida à estrutura
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 33
Vão Gravante ou Vão de Peso (2)
21g XXa N +=
21N XpXpV ⋅+⋅≈
o o
X1 X2
( )21N XXpV +⋅≈
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
a12 a23 a34 a45
n23
n12 m12
m23 n34 m34 n45
h45
h34
h23
h12
To
To
To
To To
To To
To To ≡T54
V12
V21
V23
V34 V32
V45 V43
V56
T56
T43T45
T32T34
T21
T23
T12
Quais são os vãos de peso?
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 35
Vãos de Peso
n565
m34 + n454
m23 + n343
m12 – n232
n121
Vão GravanteEstrutura
Universidade Federal Fluminense
Centro Tecnológico
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia 
Elétrica II
Profa Tatiana M. Lessa de Assis
1/2007
TEE-04080
Aula 09
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 2
Exemplo
o1
o3
o4
o2
11
22
33
44
55
a12 a23 a34 a45
n23
n12 m12
m23 n34 m34 n45
h45
h34
h23
h12
To
To
To
To To
To To
To To ≡ T54
V12
V21
V23
V34 V32
V45 V43
V56
T56
T43T45
T32T34
T21
T23
T12
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Exemplo (1)
• Na figura anterior, foram medidos:
– Vãos:
• a12 = 234 m a23 = 181 m
• a34 = 487 m a45 = 152 m
– Desníveis:
• h12 = 15,45 m h23 = 25,30 m
• h34 = 14,75 m h45 = 8,20 m
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
Exemplo (2)
– Distâncias:
• n12 = 31m n23 = 95 m
• n34 = 197 m n45 = 152 m
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
Exemplo (3)
• Considerando:
– To = 1020 kgf
– p = 0,7816 kgf/m
• Determine para as estruturas 1, 2, 3 e 4:
– O vão médio
– O vão gravante
– Os esforços verticais e axiais
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 7
Exemplo (4)
• Vãos médios e vãos gravantes:
ag4 = (487-197) + 152 = 442 mam4 = (487 + 152)/2 = 319,5 m4
ag3 = (181 + 95) + 197 = 473 mam3 = (181 + 487)/2 = 334 m3
ag2 = (234 – 31) – 95 = 108 mam2 = (234 + 181)/2 = 207,5 m 2
ag1 = 31 mam1 = (234 + 0)/2 = 117 m1
Vão GravanteVão MédioEstrutura
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 8
Exemplo (5)
• Esforços verticais (resultantes)
• Basta utilizar os vãos de peso
345,474
369,703
84,412
24,231
V [kgf]Estrutura
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 9
Exemplo (6)
• Esforços axiais – Estrutura 1:
m 33,406
pa
Toh2aAe
12
12
1212 =⋅
⋅⋅
+=m 81,15
To8
Aepfe
2
12
12 =⋅
⋅
=
kgf 28,1020T12 =2212 )22,24()1020(T +=
p)hfe(ToT 121212 ⋅−+=
Ou:
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 10
Exemplo (7)
• Esforços axiais – Estrutura 2:
pfeToT 1221 ⋅+= p)hfe(ToT 232323 ⋅−+=
kgf 36,1032T21 = m 83,545
pa
Toh2aAe
23
23
2323 =⋅
⋅⋅
+=
m 54,28
To8
Aepfe
2
23
23 =⋅
⋅
=
kgf 53,1022T23 =
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 11
Exemplo (8)
• Esforços axiais – Estrutura 3:
pfeToT 2332 ⋅+=
kgf 31,1042T32 =
p)hfe(ToT 343434 ⋅−+=
m 05,566
pa
Toh2aAe
34
34
3434 =⋅
⋅⋅
+=
m 69,30
To8
Aepfe
2
34
34 =⋅
⋅
=
kgf 46,1032T34 =
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 12
Exemplo (9)
• Esforços axiais – Estrutura 4:
pfeToT 3443 ⋅+=
kgf 00,1044T43 =
pfeToT 4545 ⋅+=
m 80,292
pa
Toh2aAe
45
45
4545 =⋅
⋅⋅
+=
m 21,8
To8
Aepfe
2
45
45 =⋅
⋅
=
kgf 42,1026T45 =
Universidade Federal Fluminense
Centro Tecnológico
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia 
Elétrica II
Profa Tatiana M. Lessa de Assis
1/2007
TEE-04080
Aula 10
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 2
Influência dos Agentes 
Externos
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 3
Classificação
• Esforços permanentes
• Esforços transitórios
– Freqüentes
– Montagem/manutenção
– Esforços que “nunca” ocorrem ⇒ associados 
a uma baixíssima probabilidade de ocorrência
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Freqüentes ou Normais
• São esforços transitórios associados a 
fatores meteorológicos
– Ação do vento
– Variação de temperatura (redução)
– Gelo
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
Montagem e Manutenção
• Montagem
– Durante o processo de montagem da linha, 
os cabos são submetidos a cargas 
provisórias decorrentes de procedimentos e 
técnicas empregadas no seu lançamento
• Manutenção
– Carrinhos de linha
– Operários
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
Esforços que “Nunca” Ocorrem
• Associados a sobrecargas excepcionais 
ou acidentais
• Rompimento de um dos cabos
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 7
Efeito da Variação da Temperatura
• Temperatura dos condutores
– Extremamente dinâmica
– Aumento x redução
•• Calor recebidoCalor recebido
– Efeito Joule associado à circulação de corrente na linha (varia 
com a carga do sistema)
– Incidência do sol (varia ao longo do dia, varia com a estação do 
ano, etc.)
•• Calor perdidoCalor perdido
– Irradiação e convecção
– Condições ambientais (temperatura, vento,...)
• Resultado: ΔT ≠ 0
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 8
Análise de um Vão Isolado (1)
• A variavariaçção da temperaturaão da temperatura acarreta na mudanmudançça do a do 
comprimento do cabocomprimento do cabo, com conseqüente alteraalteraçção ão 
das tradas traççõesões
• Dilatação térmica linear: )( 121 ttLL tA −⋅⋅=Δ α
L1 ⇒ Comprimento inicial, à temperatura t1
αt ⇒ Coeficiente de dilatação térmica linear do 
condutor [1/oC]
t2 ⇒ Temperatura final [oC]
t1 ⇒ Temperatura inicial [oC]
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 9
Análise de um Vão Isolado (2)
• Como a deformação elástica do cabo é proporcional às 
trações aplicadas (Lei de Lei de HookeHooke):
SE
TTL
LB ⋅
−⋅
=Δ
)( 01021
E ⇒ Módulo de elasticidade do condutor [kgf/mm2]
S ⇒ Seção transversal do condutor [mm2]
T02 ⇒ Tração à temperatura t2 [kgf]
T01 ⇒ Tração à temperatura t1 [kgf]
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 10
Análise de um Vão Isolado (3)
• O novo comprimento do cabo será:
BA LLLL Δ+Δ+= 12
Dilatação linear
Deformação elástica
SE
TTL
ttLLL t ⋅
−⋅
+−⋅⋅+=
)(
)( 0102112112 α
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 11
Equação de Mudança de Estado (1)
SE
TTL
ttLLL t ⋅
−⋅
+−⋅⋅+=
)(
)( 0102112112 α
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
−
−−=−
⋅
−⋅
−−=−⋅⋅
SE
TT
L
Ltt
SE
TTL
LLttL
t
t
)(
11)(
)(
)(
0102
1
2
12
01021
12121
α
α
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 12
Equação de Mudança de Estado (2)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅=
2
22
1
11
2
2
2
2
C
AsenhCL
C
AsenhCL
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
−
−−=−
SE
TT
L
Ltt
t
)(
11)( 0102
1
2
12 α
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
p
T
C
p
T
C
02
2
01
1
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 13
Equação de Mudança de Estado (3)
• A equação permite o cálculo da tração à temperatura t2
• É necessário um processo iterativo para solucioná-la
• Vale para um vão isolado
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
−
−−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=−
SE
TT
C
AsenhC
C
AsenhC
tt
t
)(
1
2
21)( 0102
1
1
2
2
12 α
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 14
Exemplo (1)
• O cabo de um vão isolado de 350 m está tracionado 
com 1545 kgf (tração horizontal) a uma temperatura de 
20oC. Qual será o valor da tração se a temperatura do 
cabo for reduzida de 25oC?
• Dados do cabo:
– Peso unitário: 0,7816 kgf
– Seção transversal: 210,3 mm2
– Módulo de elasticidade: 8086 kgf/mm2
– Coeficiente de dilatação térmica linear: 18 x 10-6 oC-1
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 15
Exemplo (2)
• Tentativa e erro
• Tentativa inicial: 1800 kgf
• ΔT = -25oC
--25,00125,00117791779
-25,0951780
-25,6371785
-26,0301790
-26,9551800
ΔT [oC]T02 [kgf]
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 16
Exemplo (3)
• Métodos numéricos
– Newton Raphson
– Bissecção
– ...
• Exemplos de implementações computacionais
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Transmissão de Energia 
Elétrica II
Profa Tatiana M. Lessa de Assis
1/2007
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Aula 11
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Influência do Vento
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia ElétricaII – 1/2007 3
Influência do Vento
• NBR 182/72
– A pressão exercida pelo vento atuando 
perpendicularmente ao eixo longitudinal do 
condutor pode ser calculada como:
α⋅⋅= 20045,0 vPv
α ⇒ Coeficiente de efetividade da pressão do vento 
(NBR 5422 → redutor em função da rugosidade)
v ⇒ Velocidade do vento [km/h]
[kgf/m2]
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Força Exercida pelo Vento
• O resultado é uma força perpendicular ao eixo 
do condutor:
d
vP
vf
dPf vv ⋅= [kgf/m]
• Força exercida pelo vento por unidade de 
comprimento (cálculo simplificado):
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
Resultado
• A ação do vento, em conjunto com a força peso, faz 
com que a catenária (originalmente em um plano 
vertical) fique em um plano inclinado
• Peso virtual do condutor:
22
vr fpP += [kgf/m]
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
Ação do Vento
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 7
Conseqüências
• Aumento das trações
• Aparecimento de uma força horizontal, transversal ao condutor, 
que deverá ser absorvida pelas estruturas
vv f
AF ⋅=
2
• No caso de vãos contínuos
[kgf]
( )
v
ji
v f
aa
F ⋅
+
=
2
[kgf]
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 8
Exemplo (1)
• O cabo utilizado na linha abaixo tem diâmetro de 0,01883 m e peso 
unitário de 0,7816 kgf/m. Considerando que a velocidade do vento é
de 110 km/h com coeficiente de efetividade de 0,8, determine:
– A pressão e a força do vento sobre o cabo
– Os esforços horizontais transmitidos às estruturas “A” e “B” devido à
força do vento
300 m
A B
280 m 420 m
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 9
Exemplo (2)
• Pressão do vento:
8,01100045,0P 2v ⋅⋅=
300 m
A B
280 m 420 m
α⋅⋅= 2v v0045,0P
2
v m/kgf 56,43P =
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 10
Exemplo (3)
• Força do vento:
300 m
A B
280 m 420 m
m/kgf 8202,0fv =
dPf vv ⋅= 01883,056,43fv ⋅=
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Exemplo (4)
• Força horizontal – Estrutura “A”:
vv f2
AF ⋅=
300 m
A B
280 m 420 m
kgf 03,123Fv =
8202,0
2
300Fv ⋅=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 12
Exemplo (5)
• Força horizontal – Estrutura “B”:
300 m
A B
280 m 420 m
kgf 07,287Fv =
( )
v
ji
v f2
aa
F ⋅
+
=
( ) 8202,0
2
420280Fv ⋅
+
=
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Influência dos Agentes Externos (1)
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Influência dos Agentes Externos (2)
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Influência dos Agentes Externos (3)
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Influência dos Agentes Externos (4)
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Influência dos Agentes Externos (5)
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Influência dos Agentes Externos (6)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 19
Influência dos Agentes Externos (7)
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Influência dos Agentes Externos (8)
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Influência dos Agentes Externos (9)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 22
Influência dos Agentes Externos (10)
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Influência dos Agentes Externos (11)
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Montagem/Manutenção (1)
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Montagem/Manutenção (2)
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Montagem/Manutenção (3)
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Aula 12
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Influência Simultânea da 
Temperatura e do Vento
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 3
Influência Simultânea da Temperatura 
e do Vento
• Estado 1: temperatura 1, sem vento → T01
• Estado 2: temperatura 2, com vento → T02
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
−
−−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=−
SE
TT
C
AsenhC
C
AsenhC
tt
t
)(
1
2
21)( 0102
1
1
2
2
12 α
• Equação de mudança de estado
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
r
02
2
01
1
p
T
C
p
TC
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Exemplo
• O cabo de um vão isolado de 350 m está tracionado 
com 1545 kgf (tração horizontal) a uma temperatura de 
20oC, sem vento. Qual será o valor da tração se a 
temperatura do cabo for 10oC com vento de 110 km/h 
(α=0,8)?
• Dados do cabo:
– Peso unitário: 0,7816 kgf
– Seção transversal: 210,3 mm2
– Módulo de elasticidade: 8086 kgf/mm2
– Coeficiente de dilatação térmica linear: 18 x 10-6 oC-1
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Vão Básico ou Vão Regulador
• Equação de mudança de estado: vão 
isolado
• Linhas de transmissão reais
– Sucessão de vãos
– Conceito de vão regulador
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Estruturas de Suspensão e Ancoragem 
ou Amarração (1)
Suspensão Ancoragem
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Estruturas de Suspensão e Ancoragem 
ou Amarração (2)
Suspensão
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Estruturas de Suspensão e Ancoragem 
ou Amarração (2)
Ancoragem
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Estruturas de Suspensão e Ancoragem 
ou Amarração (3)
• As estruturas de ancoragem são estruturas especiais
• Maior rigidez mecânica
• Mais caras
• Não transmitem os esforços mecânicos entre os vãos 
adjacentes
• Descontinuidades mecânicas
• Usadas de trechos em trechos
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Estruturas de Suspensão e Ancoragem 
ou Amarração (4)
• A distância entre duas estruturas de ancoragem 
é chamada de seção de tensionamento
• Em geral, quanto maior a tensão da linha, 
maiores são as seções de tensionamento
• Ex: 230 kV → 5 km
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 11
Aplicação da Equação de Mudança de 
Estado
• É possível mostrar que a equação 
de mudança de estado pode ser 
aplicada ao vão básico de uma 
seção de tensionamento, definido 
como:
∑
∑
=
== N
1i
i
N
1i
3
i
B
a
a
A
N ⇒ Número total de vão da seção de tensionamento
ai ⇒ i-ésimo vão da seção de tensionamento
AB ⇒ Vão básico ou vão regulador
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 12
Exemplo 1 (1)
• Duas estruturas de ancoragem estão afastadas 
de 2,5 km. Os vãos intermediários têm as 
seguintes dimensões:
– a1 = 230 m
– a2 = 247 m
– a3 = 308 m
– a4 = 256 m
– a5 = 208 m
– a6 = 212 m
– a7 = 257 m
– a8 = 262 m
– a9 = 248 m
– a10 = 272 m
Quanto vale o vão Quanto vale o vão 
bbáásico da sesico da seçção de ão de 
tensionamentotensionamento??
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Exemplo 1 (2)
272248262257212208256308247230
272248262257212208256308247230A
3333333333
B +++++++++
+++++++++
=
∑
∑
=
== N
1i
i
N
1i
3
i
B
a
a
A
m 254AB =
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 14
Exemplo 2 (1)
• O cabo da seção de tensionamento indicada está
tracionado com 1545 kgf (tração horizontal). Qual será o 
valor da tração se a temperatura do cabo variar de:
– -25oC ?
– +30oC ?
250 m 450 m
ANCORAGEMANCORAGEM ANCORAGEMANCORAGEM
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Exemplo 2 (2)
• Dados do cabo:
– Peso unitário: 0,7816 kgf
– Seção transversal: 210,3 mm2
– Módulo de elasticidade: 8086 kgf/mm2
– Coeficiente de dilatação térmica linear: 18 x 10-6 oC-1
250 m 450 m
ANCORAGEMANCORAGEM ANCORAGEMANCORAGEM
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Exemplo2 (3)
• Vão básico:
• To2 = 1736 kgf
• To2 = 1371 kgf
250 m 450 m
ANCORAGEMANCORAGEM ANCORAGEMANCORAGEM
m 5,390
450250
450250A
33
B =+
+
=
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Lembrando!
• Prova dia 26/04/2007
• Local: Auditório
• É proibido o uso de calculadoras gráficas ou 
com capacidade de armazenamento
• Dia 24/04/2007: aula de dúvidas (opcional)
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Hipóteses de Carregamento
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Introdução (1)
• Projeto mecânico: inúmeras soluções
• Solução ótima:
– Mínimo custo
– Tecnicamente viável
– Garantia de segurança
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Introdução (2)
• Ao longo de sua vida útil, a linha de transmissão é
submetida a uma infinidade de solicitainfinidade de solicitaççõesões, 
envolvendo diferentes esfordiferentes esforçços mecânicosos mecânicos
• O projeto mecânico deve ser elaborado de forma a 
garantir adequada suportabilidade para as diversas 
solicitações
• Conhecer os esforços atuantes
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
Esforços Atuantes
• Quais esforços devem ser considerados?
–– EsforEsforçços permanentesos permanentes ⇒ perfeitamente conhecidos 
e determinados
–– EsforEsforçços transitos transitóóriosrios
• Montagem e manutenção ⇒ ok
• Vento?
• Temperatura?
• São utilizadas hiphipóóteses de carregamentoteses de carregamento
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
Hipóteses de Carregamento
• As hipóteses são estabelecidas de forma conveniente para garantir 
o bom desempenho mecânicobom desempenho mecânico
• As hipóteses de carregamento são definidas com base nas 
diferentes condicondiçções meteorolões meteorolóógicasgicas as quais a linha de 
transmissão estará sujeita
• No BrasilBrasil, as hipóteses de carregamento se limitam, basicamente, 
a diferentes condições de temperaturatemperatura e intensidade dos ventosventos
• O projeto da linha deve atender plenamente as hipóteses de 
carregamento
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 7
Condições Problemáticas
• EDS (everyday stress) ⇒ condição de trabalho de maior 
duração
• Vento máximo
• Temperatura mínima
• Temperatura máxima
– Altura de segurança
– Estruturas mais altas ou vãos menores (maior número de 
estruturas)
– Elevação dos custos
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 8
Hipótese Adotadas (1)
• Brasil: hipóteses mínimas
–– NBR 5422/1985NBR 5422/1985: “Projeto de linhas aéreas de 
transmissão de energia elétrica”
• Na prática, outras hipoutras hipóótesesteses podem ser 
adotadas com base na experiênciaexperiência e no 
conhecimento da região e das características da 
linha
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 9
Hipótese Adotadas (2)
• São consideradas três hipóteses:
–– 11aa hiphipóótesetese
• Condição de trabalho de maior duração
–– 22aa hiphipóótesetese
• Condição de máximo carregamento
–– 33aa hiphipóótesetese
• Condição de flecha mínima
• Para cada hipótese, é especificado um valor de 
temperaturatemperatura, um valor de velocidade de ventovelocidade de vento e um 
valor de tratraçção mão mááxima admitidaxima admitida
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 10
1a Hipótese
•• CondiCondiçção de Trabalho de Maior Duraão de Trabalho de Maior Duraççãoão
• São considerados:
– Temperatura média
– Sem vento
• A tração máxima admitida é função da carga nominal de 
ruptura do cabo. Pode variar entre 15% e 30% 
dependendo:
– Do tipo de esquema de amortecimento utilizado (vibrações 
eólicas)
– Do tipo de cabo empregado
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 11
2a Hipótese
•• CondiCondiçção de Mão de Mááximo Carregamentoximo Carregamento
• São considerados:
– Máxima intensidade do vento associada ao vento de projeto
– Temperatura mais provável para o vento máximo (se 
desconhecida, adota-se a temperatura mínima)
• A tração máxima admitida deve ser inferior a 50% da 
carga nominal de ruptura do cabo
– O percentual aceitável pode variar com o tipo de cabo (ver NBR 
5422)
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3a Hipótese
•• CondiCondiçção de Flecha Mão de Flecha Míínimanima
• São considerados:
– Temperatura mínima
– Sem vento
• A tração máxima admitida deve ser inferior a 33% da 
carga nominal de ruptura do cabo
– O percentual aceitável pode variar com o tipo de cabo (ver NBR 
5422)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 13
Observação
•• CondiCondiçção de Flecha Mão de Flecha Mááxima (xima (““44ªª hiphipóótesetese””))
• Não é restritiva do ponto de vista de tração
• São considerados:
– Temperatura máxima (temperatura média máxima acrescida do 
efeito térmico da corrente)
– Sem vento
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Exemplo (1)
• Para os dados indicados abaixo, 
determine as hipóteses de carregamento
– Carga de ruptura do condutor: 9000 kgf
– Vento de projeto: 60 km/h
– Temperatura média: 17oC
– Temperatura mínima: 5oC
– Temperatura máxima: 32oC
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Exemplo (2)
• 1a Hipótese
– Temperatura: 17oC
– Velocidade do vento: 0 km/h
– Tração máxima admitida: 1350 a 2700 kgf
(depende do tipo de condutor e do esquema 
de amortecimento empregado)
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Exemplo (3)
• 2a Hipótese
– Temperatura: 5oC
– Velocidade do vento: 60 km/h
– Tração máxima admitida: 4500 kgf (poderá
ser inferior, dependendo do tipo de condutor 
empregado)
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Exemplo (4)
• 3a Hipótese
– Temperatura: 5oC
– Velocidade do vento: 0 km/h
– Tração máxima admitida: 2970 kgf (poderá
ser inferior, dependendo do tipo de condutor 
empregado)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 18
Exemplo (5)
• Condição de flecha máxima - “4a Hipótese”
– Temperatura: 32oC
– Velocidade do vento: 0 km/h
– Não há restrições quanto à tração
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Dados Meteorológicos (1)
• Para determinação das hipóteses de carregamento, 
devem ser considerados os dados meteorológicos 
associados à região de implantação da linha
• Problema: eventos meteorológicos ⇒ natureza aleatória
– Tratamento estatístico
– Maior número de registros possível
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Dados Meteorológicos (2)
• Ideal ⇒ Medição contínua e automática
• Na ausência de dados precisos, deve-se fazer uso das 
cartas meteorolcartas meteorolóógicasgicas (NBR 5422)
• Mapeamento dos dados de vento e temperatura no 
território brasileiro
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Temperatura Média Anual
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Temperatura Mínima Absoluta
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Método Estatístico – NBR 5422
• Baseado em um histórico de dados
• Determinação dos dados de vento e de 
temperatura que deverão ser adotados em 
cada hipótese de carregamento
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Método Estatístico – Temperatura (1)
•• 11aa hiphipóótese tese –– Maior DuraMaior Duraççãoão
• Média das temperaturas médias anuais
∑
=
⋅=
n
1i
itn
1t
→ número total de anosn
it → temperatura média no i-ésimo ano
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Método Estatístico – Temperatura (2)
•• 22aa hiphipóótese tese –– MMááximo Carregamentoximo Carregamento
• Temperatura coincidente com o vento máximo
• Caso este valor não esteja disponível, utilizar a 
média das temperaturas mínimasanuais
∑
=
⋅=
n
1i
min
itn
1t
→ número total de anosn
min
it → temperatura mínima no i-ésimo ano
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 26
Método Estatístico – Temperatura (3)
•• 33aa hiphipóótese tese –– Flecha MFlecha Míínimanima
• Temperatura mínima calculada para um período 
de retorno de 50 anos
• Período de retorno: intervalo médio entre duas 
ocorrências de um mesmo evento
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 27
Método Estatístico – Temperatura (4)
• A temperatura mínima para um período de retorno de 50 
anos é obtida por (NBR-5422):
∑
=
σ⋅−⋅=
n
1i
min
min
i 59,2tn
1t
→ número total de anosn
min
it
→ temperatura mínima no 
i-ésimo ano
minmin 59,2tt σ⋅−=
minσ → desvio padrão da distribuição 
de temperaturas mínimas anuais
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 28
•• CondiCondiçção de Flecha Mão de Flecha Mááxima (xima (““44aa hiphipóótesetese””))
• Temperatura máxima calculada para um período de 
retorno de 50 anos
∑
=
σ⋅+⋅=
n
1i
max
max
i 59,2tn
1t
→ número total de anosn
max
it → temperatura máxima no i-ésimo ano
maxmax 59,2tt σ⋅+=
maxσ → desvio padrão da distribuição 
de temperaturas máximas 
anuais
Método Estatístico – Temperatura (5)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 29
Observação
• Média
• Variância
( )
1n
xx
n
1i
2
i
2
−
−
=σ
∑
=
∑
=
⋅=
n
1i
ixn
1x
2σ=σ
• Desvio padrão
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 30
Exemplo (1)
• Para a distribuição de temperaturas indicada, determine 
os valores de temperatura a serem considerados em 
cada uma das hipóteses de carregamento
• Os dados foram obtidos de um posto de medição na 
região de implantação da linha
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 31
Série de Temperaturas Mínimas
9,95
10,02
11,56
12,89
15,85
14,36
12,87
8,36
10,90
10,30
Temperaturas mínimas [oC]
9,851960
197010,221959
196911,451958
196812,521957
196712,451956
196611,831955
19658,301954
196410,451953
196315,321952
196212,851951
196113,781950
AnoTemperaturas mínimas [oC]Ano
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Série de Temperaturas Médias
18,89
19,58
19,45
19,97
22,88
23,08
22,45
16,53
17,98
18,98
Temperaturas médias [oC]
18,091960
197020,851959
196920,501958
196822,031957
196722,471956
196618,881955
196519,031954
196419,361953
196320,321952
196218,451951
196119,311950
AnoTemperaturas médias [oC]Ano
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 33
Série de Temperaturas Máximas
30,20
30,30
29,02
27,08
27,85
28,93
26,98
28,03
28,88
29,03
Temperaturas máximas [oC]
27,931960
197026,831959
196926,031958
196825,881957
196726,781956
196630,011955
196529,321954
196427,651953
196326,801952
196227,851951
196128,041950
AnoTemperaturas máximas [oC]Ano
Universidade Federal Fluminense
Centro Tecnológico
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia 
Elétrica II
Profa Tatiana M. Lessa de Assis
1/2007
TEE-04080
Aula 14
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 2
Exemplo
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 3
Exemplo (1)
• Para a distribuição de temperaturas indicada, determine 
os valores de temperatura a serem considerados em 
cada uma das hipóteses de carregamento
• Os dados foram obtidos de um posto de medição na 
região de implantação da linha
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 4
Série de Temperaturas Mínimas
9,95
10,02
11,56
12,89
15,85
14,36
12,87
8,36
10,90
10,30
Temperaturas mínimas [oC]
9,851960
197010,221959
196911,451958
196812,521957
196712,451956
196611,831955
19658,301954
196410,451953
196315,321952
196212,851951
196113,781950
AnoTemperaturas mínimas [oC]Ano
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 5
Série de Temperaturas Médias
18,89
19,58
19,45
19,97
22,88
23,08
22,45
16,53
17,98
18,98
Temperaturas médias [oC]
18,091960
197020,851959
196920,501958
196822,031957
196722,471956
196618,881955
196519,031954
196419,361953
196320,321952
196218,451951
196119,311950
AnoTemperaturas médias [oC]Ano
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 6
Série de Temperaturas Máximas
30,20
30,30
29,02
27,08
27,85
28,93
26,98
28,03
28,88
29,03
Temperaturas máximas [oC]
27,931960
197026,831959
196926,031958
196825,881957
196726,781956
196630,011955
196529,321954
196427,651953
196326,801952
196227,851951
196128,041950
AnoTemperaturas máximas [oC]Ano
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 7
Exemplo (2)
• 1a Hipótese
– Média das temperaturas médias anuais
– t = 19,96oC
• 2a Hipótese
– Média das temperaturas mínimas anuais
– t = 11,44oC
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 8
Exemplo (3)
• 3a Hipótese
– Temperatura mínima calculada para um 
período de retorno de 50 anos
– t = 6oC
• Condição de flecha máxima
– Temperatura máxima calculada para um 
período de retorno de 50 anos
– t = 31,5oC
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 9
Cálculo do Vento de Projeto
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 10
Cálculo da Velocidade do Vento (1)
• Determinação do vento de projetovento de projeto
• Hipótese de máximo carregamento (22aa hiphipóótesetese)
• A velocidade do vento é obtida através de 
instrumentos denominados anemômetrosanemômetros
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 11
Cálculo da Velocidade do Vento (2)
• Os anemômetros fazem a medição de forma contínua
• Em geral, o instrumento indica a velocidade média a partir da 
integração das medições em um determinado período de tempo
Vento [m/s]
Tempo [s]T 2T 3T
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 12
Fatores de Influência (1)
• Alguns fatores têm influência direta na medida da 
velocidade do vento
• Pontos principais:
– Período de integração utilizado
– Rugosidade do terreno de instalação do medidor
– Altura de realização da medida
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 13
Fatores de Influência (2)
• A ABNT estabelece valores de referênciavalores de referência para cada 
fator de influência
• A velocidade do vento determinada nas condições de 
referência é denominada Velocidade Básica do Vento
• Se a região de implantação da linha têm condições 
diferentes das condições de referência, aplica-se fatores 
de correção a fim de se obter a Velocidade de Vento de 
Projeto
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 14
Vento de Projeto
• A velocidade do vento de projeto é determinada 
através da expressão:
bhrdp VkkkV ⋅⋅⋅=
Vento básico
Correção relativa à altura
Correção relativa à rugosidade
Correção relativa ao período de 
integração
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 15
Efeito da Rugosidade (1)
• A rugosidade do terreno tem influência direta na 
velocidade do vento
• A ABNT faz seguinte classificação:
– CATEGORIA A: Vastas extensões de água, desertos planos e 
áreas costeiras planas
– CATEGORIA B: Terrenos abertos com poucos obstáculos
– CATEGORIA C: Terrenos com obstáculos numerosos e 
pequenos (árvores e edificações)
– CATEGORIA D: Áreas urbanizadas e terrenos com muitas 
árvores altas
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 16
Efeito da Rugosidade (2)
• O fator de correção de rugosidade pode assumir 
diferentes valores
• Influência no vento de projeto
• Referência para o vento básico
– Categoria B
• Definições muito subjetivas
• Experiência do projetista
0,67D
0,85C
1,00B
1,08A
krCategoria
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 17
Efeito do Intervalo de Integração (1)
• O intervalo de integração influencia no valor da 
velocidade do vento?
Vento [m/s]
Tempo [s]T 2T 3T
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 18
Efeito do Intervalo de Integração (2)
• Exemplo: Calcular a velocidade máxima medida para 
períodos de integração de 2s, 3s e 30s
Vento[m/s]
Tempo [s]
30
20 60
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 19
Efeito do Intervalo de Integração (3)
• Funções do vento ao longo do tempo
– Entre 0s e 20s
• v(t) = ?
– Entre 20s e 60s
• v(t) = ? Vento [m/s]
Tempo [s]
30
20 60
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 20
Efeito do Intervalo de Integração (4)
• Equação da reta:
)xx(m)yy( 00 −⋅=−
Vento [m/s]
Tempo [s]
30
20 60
t
2
3)t(v ⋅=
t
4
345)t(v ⋅−=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 21
Efeito do Intervalo de Integração (5)
• Para um intervalo de integração de 2 segundos2 segundos
• No tempo amostrado tem-se 30 medidas
s/m 5,1dtt
2
3
2
1v
2
0
1 =⋅⋅⋅= ∫
s/m 5,4dtt
2
3
2
1v
4
2
2 =⋅⋅⋅= ∫
s/m 5,7dtt
2
3
2
1v
6
4
3 =⋅⋅⋅= ∫
...
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 22
Efeito do Intervalo de Integração (6)
• Lembrando que a partir 
do intervalo 20-22 a 
função muda, chega-se 
aos seguintes valores 
medidos (2 segundos2 segundos):
0,7515,7528,5
2,2517,2525,5
3,7518,7522,5
5,2520,2519,5
6,7521,7516,5
8,2523,2513,5
9,7524,7510,5
11,2526,257,5
12,7527,754,5
14,2529,251,5
Vento [m/s]Vento [m/s]Vento [m/s]
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 23
Efeito do Intervalo de Integração (7)
• Intervalo de integração 
de 2 segundos2 segundos
• Valor mínimo
– 0,75 m/s
• Valor máximo
– 29,25 m/s 0,7515,7528,5
2,2517,2525,5
3,7518,7522,5
5,2520,2519,5
6,7521,7516,5
8,2523,2513,5
9,7524,7510,5
11,2526,257,5
12,7527,754,5
14,2529,251,5
Vento [m/s]Vento [m/s]Vento [m/s]
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 24
Efeito do Intervalo de Integração (8)
• Para um intervalo de integração de 3 segundos3 segundos
• No tempo amostrado tem-se 20 medidas
s/m 25,2dtt
2
3
3
1v
3
0
1 =⋅⋅⋅= ∫
s/m 75,6dtt
2
3
3
1v
6
3
2 =⋅⋅⋅= ∫
s/m 25,11dtt
2
3
3
1v
9
6
3 =⋅⋅⋅= ∫
...
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 25
Efeito do Intervalo de Integração (9)
• Lembrando que no 
intervalo de 18-21 a 
função muda, chega-se 
aos seguintes valores 
medidos (3 segundos3 segundos):
1,12523,625
3,37525,875
5,62528,125
7,87528,875
10,12524,75
12,37520,25
14,62515,75
16,87511,25
19,1256,75
21,3752,25
Vento [m/s]Vento [m/s]
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 26
Efeito do Intervalo de Integração (10)
• Intervalo de integração 
de 3 segundos3 segundos
• Valor mínimo
– 1,125 m/s
• Valor máximo
– 28,875 m/s 1,12523,625
3,37525,875
5,62528,125
7,87528,875
10,12524,75
12,37520,25
14,62515,75
16,87511,25
19,1256,75
21,3752,25
Vento [m/s]Vento [m/s]
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 27
Efeito do Intervalo de Integração (11)
• Para um intervalo de integração de 30 segundos30 segundos
• No tempo amostrado tem-se 2 medidas
s/m 75,18dtt
4
345dtt
2
3
30
1v
20
0
30
20
1 =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅−+⋅⋅⋅= ∫ ∫
s/m 25,11dtt
4
345
30
1v
60
30
2 =⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅−⋅= ∫
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 28
Efeito do Intervalo de Integração (10)
• Intervalo de integração 
de 30 segundos30 segundos
• Valor mínimo
– 11,25 m/s
• Valor máximo
– 18,75 m/s
18,75
11,25
Vento [m/s]
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 29
Efeito do Intervalo de Integração (11)
• Qual intervalo de integração deve ser utilizado?
•• Tempo de respostaTempo de resposta do componente
– Intervalo de tempo necessário para que um determinado 
obstáculo responda à ação do vento
– Associado à inércia, à forma, ao peso,...
• Exemplo:
– Cabos das linhas de transmissão: 30 s
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 30
Efeito do Intervalo de Integração (12)
• O gráfico indica o 
valor de kd para 
diferentes intervalos 
de integração
• Referência para o 
vento básico
– 10 minutos
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 31
Efeito da Altura (1)
• Devido à maior turbulência junto à superfície do solo, a 
velocidade do vento aumenta com a altura
• Fator de correção (ABNT):
n
1
m
h 10
Hk ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=
→ Altura média sobre o solo [m]mH
n → Fator dependente da rugosidade e 
do período de integração
• Referência para o vento básico
– 10 metros
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 32
Efeito da Altura (2)
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 33
Altura Média Sobre o Solo (1)
• Em todos os vãos das linhas, os cabos 
descrevem catenárias dadas por:
2x
To2
py ⋅
⋅
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅= 1
p
To
xcosh
p
Toy
Exata:
Aproximada:
a b
o x
y
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 34
Altura Média Sobre o Solo (2)
• Qual altura deve ser considerada no cálculo do 
fator de correção?
•• Altura mAltura méédia sobre o solodia sobre o solo
a b
o x
y
A
H
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 35
Altura Média Sobre o Solo (3)
• Valor médio da ordenada 
(posição do cabo) ( )∫
−
⋅⋅=
2A
2A
m dxxyA
1y
a b
o x
y
A
H
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 36
Altura Média Sobre o Solo (4)
• Utilizando a aproximação parabólica:
∫
−
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
⋅
⋅=
2A
2A
2
m dxxTo2
p
A
1y
2x
To2
p)x(y ⋅
⋅
=
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 37
Altura Média Sobre o Solo (5)
2A
2A
3
m 3
x
To2
p
A
1y
−
⋅
⋅
⋅=
To24
Apy
2
m ⋅
⋅
=
∫
−
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
⋅
⋅=
2A
2A
2
m dxxTo2
p
A
1y
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅
⋅⋅
=
33
m 2
A
2
A
ATo6
py
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 38
Altura Média Sobre o Solo (6)
• Lembrando que:
To8
Apf
2
⋅
⋅
=
To24
Apy
2
m ⋅
⋅
=
3
fym =
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 39
Altura Média Sobre o Solo (7)
3
fym =
a b
o x
y
f
f/3
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 40
Altura Média Sobre o Solo (8)
• A altura média dos condutores sobre o solo 
será:
f
3
2HHm ⋅−=
a b
o x
y
H
f
3
2
⋅
Hm
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 41
Exercício (1)
• Para um vento básico de 20 m/s, determine o 
vento de projeto para uma linha com as 
seguintes características:
– Terreno: categoria C
– Altura média sobre o solo: 18 m
– Período de integração adotado: 30 s
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 42
Exercício (2)
•• SoluSoluççãoão:
– O vento básico é definido para as condições de 
referência
• Terreno categoria B
• Altura média sobre o solo: 10 m
• Período de integração: 10 minutos
– Para determinar o vento de projeto, basta aplicar os 
respectivos fatores de correção
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 43
Exercício (3)
•• Fator de correFator de correçção da rugosidadeão da rugosidade
– Categoria C
– kr = 0,85
•• Fator de correFator de correçção da alturaão da altura
0,67D
0,85C
1,00B
1,08A
krCategoria
0,67D
0,85C
1,00B
1,08A
krCategoria
n
1
m
h 10
Hk ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=
Hm = 18 m
n = ?
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 44
Exercício (4)
0,850,85
1/n = 0,105
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 45
Exercício (5)
•• Fator de correFator de correçção da alturaão da altura
105,0n
1
m
h 10
18
10
Hk ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=
m 064,1kh =
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 46
Exercício (6)
•• Fator do perFator do perííodo de odo de 
integraintegraççãoão
kd = 1,30
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 47
Exercício (7)
• Cálculo do vento de projeto
bhrdp VkkkV ⋅⋅⋅=
20064,185,030,1Vp ⋅⋅⋅=
s/m 51,23Vp =
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 48
Determinação do Vento 
Básico
CTC/EE/TEE – Transmissão de Energia Elétrica II – 1/2007 49
Vento de Projeto
• A velocidade do vento de projeto é determinada 
através da expressão:
bhrdp VkkkV ⋅⋅⋅=
Vento básico
Correção relativa à altura
Correção relativa à rugosidade
Correção relativa ao período de 
integração