as1 2 fundamentos de analise

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA 
AS I 
Considere novamente o conjunto dos números reais. 
Considere a afirmação “o oposto de todo número real é único”. 
Veja agora a seguinte demonstração: 
1) Dado x, existem dois opostos de x a e b, sendo que a ≠ b, isto é, dado x, a e b, e a ≠ b 
x + a = 0 
x + b = 0 
2) a = a + 0 
3) a = a + x + b 
4) a = x + a + b 
5) a = 0 + b 
6) a = b 
à x só tem 1 oposto. 
É CORRETO afirmar que a demonstração acima 
 
a. é uma demonstração por exaustão, pois se pode argumentar que a afirmação se refere a apenas um 
número finito de casos. 
b. é uma demonstração pela contrapositiva, parte da negação da tese e desenvolve-a até chegar à 
negação da hipótese. 
c. é uma demonstração por redução ao absurdo, pois partindo da negação da tese, chega-se a uma 
afirmação que contradiz essa negação. 
d. é uma demonstração pelo princípio de indução matemática, pois é uma afirmação que depende de um 
número natural n. 
e. é uma demonstração direta, pois se desenvolve a hipótese até chegar à tese. 
 
Para a adição de dois números reais, são definidos os seguintes axiomas: 
A.1 A adição de dois números reais é comutativa: x + y = y + x 
A.2 A adição de dois números reais é associativa: (x + y) + z = x + (y + z) 
A.3 A adição de dois números reais tem um elemento neutro, chamado zero. 
x + 0 = x 
A.4 Todo número real x tem um oposto, -x. Quando um número é somado a seu oposto, o resultado é o 
elemento neutro da adição. 
x + (-x) = 0 
Considere agora a seguinte afirmação: “No conjunto dos números reais só existe um elemento neutro da 
adição”. 
 
Veja agora a seguinte demonstração por redução ao absurdo: 
 
1) Existem dois zeros: 0 1 e 0 2, sendo que 0 1 ≠ 0 2 
2) 0 1 = 0 1 + 0 2 
3) 0 1 = 0 2 + 0 1 
4) 0 1 = 0 2 
à só há 1 zero. 
As justificativas para cada um dos passos são as seguintes. Assinale a alternativa CORRETA: 
 
a. 1: hipótese de trabalho (negação da tese da afirmação); 2: axioma A2; 3: axioma A1; 4: axioma A3. 
b. 1: hipótese de trabalho (negação da tese da afirmação); 2: axioma A2; 3: axioma A3; 4: axioma A1 
c. 1: hipótese de trabalho (negação da tese da afirmação); 2: axioma A1; 3: axioma A2; 4: axioma A3. 
d. 1: hipótese de trabalho (negação da tese da afirmação); 2: axioma A3; 3: axioma A1; 4: axioma A2. 
e. 1: hipótese de trabalho (negação da tese da afirmação); 2: axioma A3; 3: axioma A1; 4: axioma A3. 
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA 
Considere a seguinte afirmação: a média aritmética de dois números reais x e y distintos é diferente dos 
dois. 
Considere agora a seguinte demonstração incompleta: 
 
1) y > x 
2) y + x > x + x 
3) (y+x)/2 > (x + x)/2 
4) (y + x)/2 > x 
É CORRETO afirmar que: 
 
a. Essa demonstração incompleta é uma demonstração direta, na qual a tese é desenvolvida diretamente 
a partir da premissa. Falta provar que a média é diferente de y. 
b. A demonstração é uma demonstração por exaustão, pois o raciocínio apresentando coloca em evidência 
que quaisquer que sejam x e y, a média aritmética dos dois é diferente de x e y. 
c. Nessa demonstração, a tese é de que a média aritmética é diferente de x e de y. Partindo da negação da 
tese, e considerando a premissa como verdadeira, chegamos ao absurdo do passo 4. 
d. Nessa demonstração, a tese é que y > x. Partindo da negação da tese, provamos que a média é maior do 
que x, isto é, demonstramos a contrapositiva. Logo a afirmação está demonstrada. 
e. A demonstração precisa ser completada. Foi apresentado apenas o passo indutivo da demonstração por 
indução matemática. Falta o passo inicial, em que a afirmação é verificada para n = 1. 
 
 
Entre as múltiplas formas de raciocinar, identificamos três: o raciocínio dedutivo, o raciocínio indutivo e o 
raciocínio abdutivo. Nos três casos, a partir de um conjunto de premissas, tira-se uma conclusão. A diferença 
está na natureza dessa conclusão. Admitindo sempre que as premissas são verdadeiras, assinale a afirmativa 
INTEGRALMENTE CORRETA: 
 
a. No raciocínio dedutivo, você faz uma generalização da qual decorre a conclusão. No raciocínio indutivo, a 
conclusão é uma nova ideia diferente das premissas. No raciocínio abdutivo, a conclusão nada mais é que 
uma generalização das premissas. 
b. No raciocínio dedutivo, a conclusão é uma generalização das premissas. No raciocínio indutivo, você deve 
aceitar a conclusão se você aceita as hipóteses. E no raciocínio abdutivo, você deve aceitar a conclusão se 
você aceita as hipóteses. 
c. No raciocínio dedutivo, você deve aceitar a conclusão se você aceita as hipóteses. No raciocínio indutivo, 
a conclusão é uma nova ideia, uma nova hipótese antes ausente. No raciocínio abdutivo, a conclusão é 
uma generalização das premissas. 
d. No raciocínio dedutivo, você deve aceitar a conclusão se você aceita as hipóteses. No raciocínio indutivo, 
a conclusão é uma generalização das premissas. E no raciocínio abdutivo, a conclusão é uma nova ideia 
formulada a partir das premissas. 
e. No raciocínio dedutivo, a conclusão é uma nova ideia formulada a partir das premissas. No raciocínio 
indutivo, a conclusão é uma generalização das premissas. E no raciocínio abdutivo, você deve aceitar a 
conclusão se você aceita as hipóteses. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA 
2 
 
Considere a seguinte afirmação sobre os números naturais: “ 
para todo n ≥ 1, 1 + 4 + 7 + ⋯ + (3k − 2) = n (3n − 1).” 
2 
Considere agora a seguinte demonstração por indução matemática: 
 
Verificando o passo inicial 
Para n = 1, do lado direito temos 
1 
((3 ∗ 1) − 1) = 0,5 ∗ (3 − 1) = 0,5 ∗ 2 = 
2 
 
Do lado esquerdo temos 
((3 ∗ 1) − 2) = 3 − 2 = 1 
 
Fazendo o passo indutivo I - Hipótese 
indutiva: 
1 + 4 + 7 + ⋯ + (3k − 2) = 
k 
(3k − 1), k ≥ 1. 
2 
II - Deve-se mostrar a partir de I que: 
1 + 4 + 7 + ⋯ + (3k − 2) + (3(k + 1) − 2) = 
(k+1) 
(3k + 2), k ≥ 1. 
 
III - Sabe-se que no lado esquerdo de II a soma até o penúltimo termo é igual à soma de I. 
Substituindo essas parcelas pelo lado direito de 1, temos: 
1 + 4 + 7 + ⋯ + (3k − 2) + (3(k + 1) − 2) = 
k 
(3k − 1) + (3(k + 1) − 2) 
2 
 
Deve-se provar agora que o lado direito de II (nossa meta) pode ser deduzido do lado direito de 
III. 
Isso pode ser feito do seguinte modo 
1) 
k 
(3k − 1) + [3(k + 1) − 2] = 1 [k(3k − 1) + 2(3k + 3 − 2)] = 
2 2 
2) = 1 [k(3k − 1) + 2(3k + 1)] = 
2 
3) = 1 [k(3k − 1) + 6k + 2] 
2 
4) = 1 [3k(k + 1) − 4k + 6k + 2] = 
2 
1 
= 
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA 
5) = 1 [3k(k + 1) + 2k + 2] 
2 
6) = 1 [3k(k + 1) + 2(k + 1)] = 
2 
7) = (k+1) [3k + 2] 
2 
 
 
E está provado o passo indutivo e, por conseguinte, a afirmação. 
 
 
Sobre os passos 1, 2, 3 e 4 dessa dedução final, é CORRETO afirmar que: 
 
 
a. Colocou-se inicialmente ½ em evidência e se abriram os parênteses mais internos, reduzindo os 
termos semelhantes. Em seguida aplicou-se a distributiva em 2(3k + 1) e fatorou-se (k – 1), 
substituindo (k – 1) por 3(k + 1) – 4. 
b. Colocou-se inicialmente ½ em evidência e se abriram todos os parênteses, reduzindo os termos 
semelhantes. Em seguida aplicou-se a distributiva em 2(3k + 1) e fatorou-se (k +1), substituindo (k – 
1) por 3(k + 1) – 4. 
c. Colocou-se inicialmente ½ em evidência e se abriram os parênteses mais internos, reduzindo os 
termos semelhantes. Em seguida aplicou-se a distributiva em k(3k - 1) e fatorou-se (k – 1), 
substituindo (k – 1) por 3(k + 1) – 4. 
d. Colocou-se inicialmente ½ em evidência e se abriram os parênteses mais internos, reduzindo os 
termos semelhantes. Em seguida aplicou-se a distributiva em 2(3k + 1) e fatorou-se (6 k+ 2), 
substituindo (6k +2) por 6(k + 1) – 4. 
e. Colocou-se inicialmente k em evidência e se abriram os parênteses mais internos, reduzindo os 
termos semelhantes. Em seguida aplicou-se a distributiva em k(3k + 1) e fatorou-se (k – 1), 
substituindo (k – 1) por 3(k + 1) – 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA 
Um professor, ao trabalhar com triângulos retângulos, produz com cartolinae EVA uma grande variedade 
de triângulos retângulos para que os alunos os manipulem. Ele distribui as peças aos alunos, assim como 
réguas milimetradas e pede que meçam os lados de cada triângulo e anotem seus valores. Em seguida, 
pede que usem uma planilha eletrônica para verificar se em todos os casos o teorema de Pitágoras é 
verificado. 
Considere agora as seguintes afirmações: 
I. O professor está cumprindo sua função docente, procurando inicialmente dar sentido por meio de uma 
experiência à afirmação do teorema de Pitágoras. 
II. Faz parte da atividade docente o trabalho de recontextualização e personalização para permitir que o 
aluno dê sentido ao que está sendo estudado. 
III. A realização da atividade cumpre uma das funções da demonstração, que é a de verificação. 
IV. A realização da atividade constitui uma demonstração por exaustão. 
Considerando as afirmativas I, II, III e IV, assinale a alternativa CORRETA: 
 
a. Apenas as afirmativas I, II e III são corretas. 
b. Apenas as afirmativas I, II e IV são corretas. 
c. As afirmativas I, II, III e IV são corretas. 
d. Apenas as afirmativas I, III e IV são corretas. 
e. Apenas as afirmativas II, III e IV são corretas. 
 
 
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AS II 
 
 
Considere a seguinte fórmula: ¬Q ∧ (P ∨ Q) → P. 
Sua demonstração é a seguinte: 
1) ¬Q 
2) (P∨Q) 
3) (¬¬P∨Q) 
4) (¬P→Q) 
5) ¬¬P 
6) P 
 
As justificativas para cada etapa da dedução são: 
a. premissa 1; premissa 2; dupla negação em (2); De Morgan em (3); modus tollens em (1) e (4); dupla 
negação em (5). 
b. premissa 1; premissa 2; De Morgan em (2); regra do condicional em (3); modus tollens em (1) e (4); 
dupla negação em (5). 
c. premissa 1; premissa 2; dupla negação em (2); regra do condicional em (3); modus tollens em (2) e (4); 
dupla negação em (5). 
d. premissa 1; premissa 2; dupla negação em (2); regra do condicional em (3); modus tollens em (1) e (4); 
dupla negação em (5). 
e. premissa 1; premissa 2; dupla negação em (2); regra do condicional em (3); modus ponens em (1) e (4); 
dupla negação em (5). 
 
Considere o seguinte trecho: “Não é necessário – nem de muita conveniência – que o legislativo esteja 
sempre em atividade; mas é absolutamente necessário que o poder executivo esteja, pois não há uma 
necessidade permanente de elaboração de novas leis, mas é sempre imprescindível a execução das leis 
promulgadas.” (LOCKE, John, Concerning civil government, apud COPI, 1978, p. 26). 
Sejam as seguintes traduções: 
 
A: É necessário que o poder legislativo esteja sempre em atividade. 
B: É necessário que o poder executivo esteja sempre em atividade. 
C: Há uma necessidade permanente de elaboração de novas leis. 
D: Há uma necessidade permanente de execução das leis promulgadas. 
O trecho acima pode ser descrito simbolicamente da seguinte forma: 
 
a. Se não C, então não A. Se D, então B. 
b. Se não C, então não B. Se D, então A. 
c. Se C, então A. Se não D, então não B. 
d. Se não C, então A. Se não D, então B. 
e. Se C, então A. Se D, então B. 
 
 
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Considere o seguinte argumento: “Se a pessoa é chefe de empresa, então ela é contra o aumento de 
impostos, porque todos os que são contra o aumento de impostos são membros de câmaras de comércio, 
e todos os membros de câmaras de comércio são chefes de empresa”. 
Considere a seguinte legenda: 
 
A: a pessoa é chefe de empresa. 
B: Todos são contra o aumento de imposto. 
C: Todos são membros de uma câmara de comércio. 
Com base nessa legenda, o argumento pode ser traduzido para: 
 
a. (A→B)∧(B→C)→(C→A) 
b. (B→A)∧(B→C)→(A→B) 
c. (A→C)∧(C→A)→(A→B) 
d. (B→C)∧(C→A)→(A→B) 
e. (C→B)∧(C→A)→(A→B) 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
 
I) A proposição “ se x é par então x² é par” é a negação de “x não é par ou x² é par”. 
II) A negação lógica da proposição “ se chover, a rua inunda” é a proposição “ se não chover, a rua não 
inunda”. 
III) A negação lógica da proposição “x > 0 ou x < -3 ” é a proposição “x < 0 e x > -3”. 
 
É CORRETO afirmar que: 
 
a. As três afirmações estão corretas. 
b. Apenas a afirmação I está correta. 
c. Apenas a afirmação II está correta. 
d. Apenas a afirmação III está correta. 
e. As três afirmações não são corretas. 
 
 
 
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a. F, V, F, V, F. 
b. V, F, F, F, V. 
c. V, F, V, F, V. 
d. F, V, V, V, F. 
e. V, V, V, V, V. 
 
 
Suponha que, para demonstrar que a fórmula a seguir representa um argumento válido, você construa 
uma tabela-verdade. A fórmula é a seguinte: (B→C)∧(C→A)→(B→A). 
Sobre a tabela-verdade construída, é CORRETO afirmar que: 
 
I) Ela tem 8 linhas. 
II) Ela tem 8 colunas. 
III) Se em todas as linhas em que A, B e C forem verdadeiras, a coluna final for verdadeira, então o 
argumento é válido. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
a. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
b. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. 
c. Nenhuma das afirmações é verdadeira. 
d. As três afirmações são verdadeiras. 
e. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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