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Livro Eletrônico
Aula 11
Raciocínio Lógico p/ PC-PA (Investigador, Escrivão e Papiloscopista) -
2019
Brunno Lima, Guilherme Neves
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1.! Matrizes ...................................................................................................................... 3!
1.1! Classificação das matrizes ................................................................................................... 5!
1.2! Igualdade de matrizes .......................................................................................................... 9!
1.3! Adição de matrizes ............................................................................................................. 10!
1.3.1! Matriz oposta .................................................................................................................. 11!
1.4! Multiplicação de um número real por uma matriz ............................................................ 12!
1.5! Multiplicação de matrizes .................................................................................................. 13!
1.5.1! Propriedades da multiplicação de matrizes .................................................................... 22!
1.6! Potenciação de matrizes .................................................................................................... 23!
1.7! Matriz transposta .............................................................................................................. 23!
1.8! Matriz inversa .................................................................................................................... 25!
1.8.1! Propriedades da matriz inversa ...................................................................................... 27!
1.9! Traço de uma matriz .......................................................................................................... 28!
2.! Determinantes .......................................................................................................... 30!
1.1! Menor complementar ........................................................................................................ 33!
1.2! Cofator ............................................................................................................................... 34!
1.3! Teorema de Laplace ........................................................................................................... 38!
1.4! Propriedades dos determinantes ....................................................................................... 40!
1.5! Adição de determinantes ................................................................................................... 45!
1.6! Teorema de Binet ............................................................................................................... 47!
1.6.1! Corolário do Teorema de Binet ....................................................................................... 47!
1.7! Teorema de Jacobi ............................................................................................................. 49!
1.8! Matriz Inversa .................................................................................................................... 51!
1.8.1! Matriz dos cofatores ....................................................................................................... 52!
1.8.2! Matriz Adjunta ................................................................................................................ 53!
1.8.3! Cálculo da inversa de uma matriz quadrada .................................................................. 54!
3.! Equações e sistemas linerares ................................................................................... 55!
1.1! Solução de um sistema linear ............................................................................................ 56!
1.2! Classificação dos sistemas lineaeres .................................................................................. 57!
1.3! Sistema Linear Homogêneo ............................................................................................... 61!
1.4! Matrizes de um sistema linear ........................................................................................... 62!
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1.5! Teorema de Cramer ........................................................................................................... 63!
4.! Lista de Questões de Concursos Anteriores ............................................................... 68!
5.! Gabaritos .................................................................................................................. 99!
6.! Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ................................. 102!
7.! Considerações Finais ............................................................................................... 203!
 
 
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre Matrizes? 
1. MATRIZES 
 
A ideia de matriz do tipo �× � é a de uma tabela retangular formada por números reais 
distribuídos em � linhas e � colunas. 
 
Adotamos a convenção que linha é horizontal, coluna é vertical e fila se refere à linha ou coluna 
(horizontal ou vertical). 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
∃1 −47 √30 2 − 	é	���	������	��	����	3 × 2	(3	���ℎ��	�	2	�������) 
 [1 0 −2]	é	���	������	��	����	1 × 3	(1	���ℎ�	�	3	�������) 
 D1 00 1Ε 	é	���	������	��	����	2 × 2	(2	���ℎ��	�	2	�������) 
 [3]	é	���	������	��	����	1 × 1	(1	���ℎ�	�	1	������) 
 
Φ 120−5Η 	é	���	������	��	����	4 × 1	(4	���ℎ��	�	1	������) 
 
 
Em uma matriz qualquer, cada elemento é indicado por �Ιϑ. Este elemento �Ιϑ é o cruzamento da 
linha i com a coluna j. Por exemplo, o elemento �ΚΛ é elemento que fica no cruzamento da 
segunda linha com a terceira coluna. 
 
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Convencionamos que as linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a 
direita. Além disso, podemos utilizar colchetes, parênteses ou barras duplas para representar 
matrizes. Por exemplo: 
 
∃�ΜΜ �ΜΚ�ΚΜ �ΚΚ�ΛΜ �ΛΚ− = Ο
�ΜΜ �ΜΚ�ΚΜ �ΚΚ�ΛΜ �ΛΚΠ = Θ
�ΜΜ �ΜΚ�ΚΜ �ΚΚ�ΛΜ �ΛΚΘ 
 
Uma matriz M do tipo m x n (m linhas e n colunas) pode ser indicada por � = (���)��. 
 
 
Exemplo: Construa a matriz � = (�Ιϑ)Λ×Λ definida por �Ιϑ = �Κ + 2� 
 
Resolução 
 
Tem-se uma matriz quadrada de terceira ordem. A matriz tem a seguinte representação: 
 
� = Ο�ΜΜ �ΜΚ �ΜΛ�ΚΜ �ΚΚ �ΚΛ�ΛΜ �ΛΚ �ΛΛΠ 
 
Sabemos que �Ιϑ = �Κ + 2�. 
 �ΜΜ = 1Κ + 2 ∙ 1 = 3, �ΜΚ = 1Κ + 2 ∙ 2 = 5,					�ΜΛ = 1Κ + 2 ∙ 3 = 7 �ΚΜ = 2Κ + 2 ∙ 1 = 6, �ΚΚ = 2Κ + 2 ∙ 2 = 8,					�ΚΛ = 2Κ + 2 ∙ 3 = 10 �ΛΜ = 3Κ + 2 ∙ 1 = 11, �ΛΚ = 3Κ + 2 ∙ 2 = 13,					�ΜΛ = 3Κ + 2 ∙ 3 = 15 
 
Portanto, 
 
� = Ο 3 5 76 8 1011 13 15Π 
 
 
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1.1 CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES 
 
Existem diversas classificações das matrizes. Veremos as principais e mais conhecidas. 
 
i) Matriz Retangular é aquela cujo número de linhas é diferente do número de colunas. 
 
∃1 −47 √30 2 − 
 
ii) Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Quando uma 
matriz quadrada é formada por � linhas e � colunas dizemos que ela é uma matriz quadrada de 
ordem �. 
 D5 30 2Ε 	é	���	������	��������	��	�����	2	��	��	2ª	����� 
 
Os elementos 5 e 2 forma a diagonal principal e os elementos 3 e 0 formam a diagonal secundária. 
 
Ο1 3 57 4 −26 2 1 Π 	é	���	������	��������	��	�����	3	��	��	3ª	����� 
 
Os números 1, 4 e 1 formam a diagonal principal e os números 5,4 e 6 formam a diagonal 
secundária. 
 
A soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada é o traço da matriz. 
 
Assim, no último exemplo acima, o traço da matriz é 1 + 4 + 1 = 6. 
 
iii) Matriz Linha é a matriz que possui apenas uma linha. 
 [1 0 −2] 
 
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iv) Matriz Coluna é a matriz que possui apenas uma coluna. 
 
Φ 120−5Η 
 
v) Matriz diagonal é a matriz quadrada cujos elementos que não pertencem à diagonal principal 
são iguais a 0. 
 
∃1 0 00 5 00 0 √�− 
 
 
vi) Matriz identidade (ou matriz unidade) é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal 
principal são todos iguais a 1. Denotamos por �� a matriz identidade de ordem n. 
 
Perceba as condições para que uma matriz seja denominada de identidade: deve ser uma matriz 
quadrada, todos os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais a 0 e todos os elementos 
da diagonal principal são iguais a 1. 
 
 
�Λ = ∃1 0 00 1 00 0 1− 
 �Κ = β1 00 1χ 
 
�δ = Φ1 0 0 00 1 0 000 00 1 00 1Η 
 
 
 
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vii) Matriz escalar é a matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são 
iguais. 
 
Exemplo: 
 
Φ−3 0 0 00 −3 0 000 00 −3 00 −3Η 
 
viii) Matriz Nula é aquela que tem todos os elementos iguais a 0. 
 β0 0 00 0 0χ 
 
ix) Matriz simétrica é uma matriz quadrada de ordem n tal que ��� = ��� para todo i e para todo 
j. 
 
A diagonal principal atua com o um “eixo de simetria”. Observe o seguinte exemplo de matriz 
simétrica: 
 
∃2 3 �3 5 −√2� −√2 4 − 
 
Observe que não há restrição aos elementos da diagonal principal. Entretanto, perceba a simetria 
em relação à diagonal principal. 
 
 
Perceba também que a primeira linha é igual à primeira coluna, a segunda linha é igual à segunda 
coluna, e assim por diante. 
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x) Matriz antissimétrica é a matriz quadrada tal que ��� = −��� para todo i e para todo j. 
 
Observe que esta definição implica no fato de que os elementos da diagonal principal de uma 
matriz antissimétrica são todos iguais a zero. Por exemplo, o elemento �ΚΚ pertence à diagonal 
principal e, portanto: 
 �ΚΚ = −�ΚΚ 
 �ΚΚ + �ΚΚ = 0 
 2 ∙ �ΚΚ = 0 
 �ΚΚ = 0 
 
Além disso, os elementos que estão em posições simétricas em relação à diagonal principal são 
simétricos. 
 
Por exemplo, a seguinte matriz é antissimétrica. 
 
∃ 0 −3 �3 0 −√2−� √2 0 − 
 
Esta matriz é antissimétrica porque ela é quadrada e �Ιϑ = −�ϑΙ para todo i e para todo j. 
Observe que a diagonal principal é formada por zeros e os elementos que estão em posições 
simétricas em relação à diagonal principal são simétricos. 
 
 
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xi) Matriz triangular superior é a matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal 
principal são nulos, ou seja, ��� = � para � > �. 
 
Exemplo: 
 
γ2 −1 � √7η0 5 � 2000 00 7 40 8 ι 
 
 
xii) Matriz triangular inferior é a matriz quadrada em que todos os elementos acima da diagonal 
principal são nulos, ou seja, ��� = � para � < �. 
 
Exemplo: 
 
Φ1 0 0 06 2 0 043 06 3 07 4Η 
 
1.2 IGUALDADE DE MATRIZES 
 
Duas matrizes � = (���)�×� e � = (���)�×� são iguais quando todos os ��� forem iguais aos ��� 
para todo i e para todo j. 
 
 Ou seja, para que duas matrizes sejam iguais, elas devem ser do mesmo tipo (ter o mesmo 
número linhas e o mesmo número de colunas) e todos os elementos correspondentes (com 
mesmo índice) devem ser iguais. 
 
Exemplo: 
ν1 √4 −(−3)0 4Κ √25 ο = β1 2 30 16 5χ 
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β1 00 1χ ≠ Ο1 0 00 1 00 0 1Π 
 β1 −23 4 χ ≠ β1 23 4χ 
 
 
1.3 ADIÇÃO DE MATRIZES 
 
Só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, para que seja possível somar matrizes, elas 
devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Esta é a condição de 
existência da soma de duas ou mais matrizes. 
 
Então vamos considerar duas matrizes A e B do mesmo tipo: m x n. 
 
Sejam � = (�Ιϑ)θ×ρ e � = (�Ιϑ)θ×ρ, chama-se soma � + � a matriz C do tipo m x n tal que �Ιϑ =�Ιϑ + �Ιϑ. 
 
 
 
Só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, as matrizes obrigatoriamente 
devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. 
 
O resultado (a soma) será uma matriz do mesmo tipo das matrizes originais. 
 
Para determinar os elementos da matriz soma, devemos somar os elementos 
correspondentes das matrizes originais. 
 
 
 
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Exemplos: 
 β 1 0 2−3 5 3χ + β2 4 74 6 9χ = β 1 + 2 0 + 4 2 + 7−3 + 4 5 + 6 3 + 9χ = β3 4 91 11 12χ 
 
∃ 3 −2−4 15 6 − + ∃
−3 24 −1−5 −6− = ∃
0 00 00 0− 
 
Observe que, assim como os números reais, a adição entre matrizes também é associativa e 
comutativa. Isto quer dizer que, se A,B e C são matrizes do mesmo tipo, então: 
 (� + �) + � = � + (� + �) 
 � + � = � + � 
 
1.3.1 MATRIZ OPOSTA 
 
Observe novamente o exemplo que foi feito acima: 
 
∃ 3 −2−4 15 6 − + ∃
−3 24 −1−5 −6− = ∃
0 00 00 0− 
 
A matriz ∃ 3 −2−4 15 6 − é a matriz oposta da matriz ∃
−3 24 −1−5 −6− e reciprocamente, a matriz ∃
−3 24 −1−5 −6− 
é a matriz oposta da matriz ∃ 3 −2−4 15 6 − porque a soma das duas matrizes é uma matriz nula, ou 
seja, com todos os elementos iguais a 0. 
 
Dada uma matriz A, sua matriz oposta é indicada por –�. 
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Se é dada a matriz A, para determinar a sua oposta deve-se multiplicar todos os elementos por −1, 
ou seja, trocar os sinais de todos os elementos. 
 
Desta forma, a matriz oposta da matriz � = D−5 01 2Ε é a matriz −� = D 5 0−1 −2Ε. 
 
Para subtrair, por exemplo, matrizes A e B de mesma ordem, basta fazer: 
 � − � = � + (−�) 
 
 
 
Em outras palavras, a diferença A – B é igual à soma da matriz A com a oposta da 
matriz B. 
 
 
1.4 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ 
 
Para multiplicar uma matriz � por um número real � basta multiplicar todos os elementos de A 
por �. 
 
Exemplos: 
 
� ∙ ∃1 −2 45 3 80 2 6− = ∃
3 −6 1215 9 240 6 18− 
 
 
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 −� ∙ D−5 4 10 −3 2Ε = D10 −8 −20 6 −4Ε 
 
 
 
1.5 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
 
 
Nem sempre é possível multiplicar duas matrizes. 
 
Para que exista o produto de uma matriz A por uma matriz B é necessário e suficiente que o 
número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. 
 
Desta maneira, se a primeira matriz do produto é do tipo m x n, então a segunda matriz deve ser 
do tipo n x p. 
 
Pois bem, considere então uma matriz �θ×ρ e uma matriz �ρ×|. Ao efetuar o produto da matriz A 
pela matriz B, o resultado será uma matriz do tipo m x p, ou seja, o produto é uma matriz que tem 
o número de linhas de A e o número de colunas de B. 
 
 
Para verificar se é possível multiplicar duas matrizes, coloque o tipo da primeira matriz à 
esquerda e o tipo da segunda matriz à direita. O produto existirá se os “números do 
meio” coincidirem e o resultado será uma matriz do tipo m x p, onde m e p são os 
números das extremidades. 
 
 
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Por exemplo, será que é possível multiplicar uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1? 
 1º	���� − 2º	����	2 × 4										4 × 1 
 
Os números do meio coincidiram? Sim. 
 
Então o produto existe. E o resultado é uma matriz de que tipo? Basta olhar os números das 
extremidades: será uma matriz do tipo 2 x 1. 
 
Vejamos outro exemplo: será que é possível multiplicar uma matriz 4 x 1 por uma matriz 2 x 4? 
 1º	���� − 2º	����	4 × 1										2 × 4 
 
Os números do meio coincidiram? Não. 
 
Portanto, o produto entre essas duas matrizes não existe. 
 
Observe que existe o produto de uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1, mas não existe o 
produto de uma matriz do tipo 4 x 1 por uma matriz do tipo 2 x 4. 
 
Já sabemos verificar se podemos ou não multiplicar duas matrizes e já sabemos identificar o tipo 
da matriz produto. 
 
Falta ainda o principal: aprender a multiplicar. 
 
Existe um processo muito fácil para multiplicar matrizes. Comecemos desenhando uma cruz bem 
grande. 
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É óbvio que você só vai desenhar esta cruz depois de verificar se é possível multiplicar as matrizes, 
pois se não for possível, nem perca o seu tempo. 
 
E o que fazer com esta cruz? No “terceiro quadrante” (lembra dos quadrantes do plano 
cartesiano?) você escreverá a primeira matriz e o no primeiro quadrante você escreverá a segunda 
matriz. 
 
 
 
Vamos introduzir um exemplo para verificar na prática o procedimento para multiplicar as 
matrizes, quando o produto existe. 
Tomemos como exemplo as matrizes � = β1 3 −2 54 2 −1 0χ e � = ∼
1 2 30 5 634 −31 −42 �. 
 
Determinaremos, se existirem, as matrizes � ∙ � e � ∙ �. 
 
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A matriz A possui 2 linhas e 4 colunas, portanto é do tipo 2 x 4. 
 
A matriz B possui 4 linhas e 3 colunas, portanto é do tipo 4 x 3. 
 
Será que existe o produto � ∙ �? 
 1º	���� − 2º	����	2 × 4										4 × 3 
 
Os números do meio coincidem. É possível multiplicar. O resultado será uma matriz do tipo 2 × 3. 
 
Será que existe o produto � ∙ �? 
 1º	���� − 2º	����	4 × 3										2 × 4 
 
Os números do meio não coincidem, portanto não existe a matriz � ∙ �. 
 
Vamos agora calcular a matriz � ∙ � que já sabemos ser do tipo 2 x 3.Vamos desenhar a cruz e 
colocar a matriz A no terceiro quadrante e a matriz B no primeiro quadrante. 
 
O resultado do produto das matrizes ficará localizado no quarto quadrante. 
 
 
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Sabemos que o resultado é uma matriz do tipo 2 x 3, ou seja, terá 2 linhas e três colunas. 
 
 
 
 
 
Como descobrimos cada uma destes números? 
 
 
Vejamos por exemplo o elemento que está na primeira linha e segunda coluna (a bolinha vermelha 
abaixo). 
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Observe que esta bolinha vermelha é fruto do “cruzamento” entre a primeira linha da matriz da 
esquerda com a segunda coluna da matriz de cima. 
 
Então faremos o seguinte. Multiplicaremos os elementos correspondentes destas duas filas e 
somaremos os resultados. 
 
Assim: 
 
O primeiro elemento fila da esquerda é 1 e o primeiro elemento da fila de cima é 2. Multiplicamos 1 × 2 = 2. 
 
O segundo elemento da fila da esquerda é 3 e o segundo elemento da fila de cima é 5. 
Multiplicamos 3 × 5 = 15. 
 
O terceiro elemento da fila da esquerda é −2 e o terceiro elemento da fila de cima é −3. 
Multiplicamos −2 × (−3) = +6 
 
O quarto elemento da fila da esquerda é 5 e o quarto elemento da fila de cima é 1. Multiplicamos 5 × 1 = 5. 
 
Devemos somar estes resultados obtidos: 2 + 15 + 6 + 5 = 28. 
 
O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é 28. 
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Será sempre assim: multiplicando linha por coluna. 
 
Vamos descobrir agora o elemento que está na primeira linha e na primeira coluna. 
 
 
 
Devemos multiplicar os elementos correspondentes e somar os resultados. Vamos fazer um 
pouquinho mais rápido. Será assim: 1º x 1º+ 2º x 2º + 3º x 3º + 4º x 4º. 
 1 × 1 + 3 × 0 + (−2) × 3 + 5 × 4 = 1 + 0 − 6 + 20 = 15 
 
Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é igual a 15. 
 
 
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Vamos calcular o elemento da primeira linha e terceira coluna. Vamos então multiplicar a fila da 
esquerda pela fila de cima. Lembre-se: multiplicamos os elementos correspondentes (primeiro 
com primeiro, segundo com segundo, ...) e somamos os resultados. 
 1 × 3 + 3 × 6 + (−2) × (−4) + 5 × 2 = 3 + 18 + 8 + 10 = 39 
 
 
 
Vamos agora determinar o elemento que está na segunda linha e na primeira coluna. Efetue o 
mesmo processo. Multiplicamos os elementos correspondentes das duas filas e somamos os 
resultados. 
 4 × 1 + 2 × 0 + (−1) × 3 + 0 × 4 = 4 + 0 − 3 + 0 = 1 
 
 
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Vamos calcular o número que está na segunda linha e na segunda coluna (bolinha vermelha). 
Multiplicando a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento. 
 4 × 2 + 2 × 5 + (−1) × (−3) + 0 × 1 = 8 + 10 + 3 + 0 = 21 
 
Vamos calcular o número que está na segunda linha e terceira coluna (bolinha azul). Multiplicamos 
a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento. 
 4 × 3 + 2 × 6 + (−1) × (−4) + 0 × 2 = 12 + 12 + 4 + 0 = 28 
 
Terminamos. 
O resultado é o seguinte: 
 
 
 
Desta forma, o produto da matriz � = β1 3 −2 54 2 −1 0χ pela � = ∼
1 2 30 5 634 −31 −42 � é a matriz � =β15 28 391 21 28χ. 
 
Este mecanismo é bom porque faz com que você não confunda quais as linhas e quais as colunas 
que devem ser multiplicadas. 
 
É importante notar que a multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa, ou seja, para 
duas matrizes quaisquer A e B é falso dizer que necessariamente � ∙ � = � ∙ �. 
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Há casos em que � ∙ � = � ∙ �, mas isso não é uma regra geral. 
 
Note também que, se estivermos trabalhando com números reais, é sempre verdade que se � ∙� = �, ���ã�	� = �	��	� = �. Isto não é verdade quando estivermos trabalhando com matrizes. 
Ou seja, é possível encontrar matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula. 
 
Experimente multiplicar, por exemplo, a matriz β� �� �χ pela matriz β� �� �χ e verifique que o 
resultado é a matriz β� �� �χ. 
 
Observação: Dizemos que uma matriz A é idempotente quando � × � = �. 
 
Por exemplo, a matriz identidade é uma matriz idempotente porque � × � = �. 
 
1.5.1 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
 
A multiplicação de matrizes é uma operação associativa. Assim, se temos as matrizes �θ×ρ, �ρ×| e �|×�, então (��)� = �(��). 
 
A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição. Se A, B e C são matrizes 
com ordens convenientes (para que os produtos existam), então (� + �)� = �� + �� 
e �(� + �) = �� + ��. 
 
Se � é um número real qualquer e existe o produto AB, então (��)� = �(��) =�(��). 
 
A matriz identidade �� é o elemento neutro da multiplicação de matrizes quadradas. 
Assim, se A é uma matriz quadrada, então � ∙ � = � ∙ � = �. 
 
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1.6 POTENCIAÇÃO DE MATRIZES 
 
Se A é uma matriz quadrada qualquer e n é um número natural não-nulo, definimos: 
 �� = � ∙ � ∙ … ∙ ���������	������� 
 
Particularmente, definimos �� = �	�	�Μ = �. 
 
 
Assim, para calcular �Λ, primeiro calculamos �Κ = � × � e, em seguida, calculamos �Λ = �Κ × �. 
 
Analogamente, para calcularmos �δ devemos fazer �δ = �Λ × �. 
 
1.7 MATRIZ TRANSPOSTA 
 
Considere uma matriz qualquer � = (�Ιϑ)θ×ρ. 
 
Chama-se transposta da matriz A a matriz �� do tipo n x m que se obtém trocando as linhas pelas 
colunas. Ou seja, as colunas da transposta são ordenadamente iguais às linhas de da matriz 
original. 
 
Exemplos: 
� = β� � �� � �χ ⇒ �� = Ο� �� �� �Π 
 
� = Ο� � �� � �� � �Π ⇒ �� = Ο
� � �� � �� � �Р
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Propriedades 
 
i) (��)� = � 
 
Assim, a transposta da matriz transposta de A é a própria matriz A. 
 
� = Ο� � �� � �� � �Π ⇒ �� = Ο
� � �� � �� � �Π ⇒ (��)� = Ο
� � �� � �� � �Р
 
ii) Se A e B são matrizes do mesmo tipo, ou seja, com o mesmo número de linhas e o mesmo 
número de colunas, então (� + �)� = �� + ��. 
 
Isto quer dizer que tanto faz: 
 
à Somar duas matrizes e depois calcular a transposta do resultado. 
 
à Calcular as transpostas das matrizes e depois somar o resultado. 
 
iii) Se � é um número real qualquer e � é uma matriz, então (� ∙ �)� = � ∙ �� 
 
Isto quer dizer que tanto faz: 
 
à Multiplicar uma matriz por um número real e depois calcular a transposta do resultado. 
 
à Calcular a transposta da matriz e, em seguida, multiplicar por um número real. 
 
iv) Se A e B são matrizes que podem ser multiplicadas, então �� e �� também podem ser 
multiplicadas e (��)� = ���� 
 
Isto quer dizer que tanto faz: 
 
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à Multiplicar a matriz A pela matriz B e, em seguida, calcular a transposta. 
 
à Calcular a transposta de B, calcular a transposta de A e multiplicar (nesta ordem). 
 
v) Podemos definir uma matriz simétrica como uma matriz quadrada A tal que �� = �. 
 
vi) Podemos definir uma matriz antissimétrica como uma matriz quadrada tal que �� = −�. 
 
 
 
1.8 MATRIZ INVERSA 
 
 
Considere uma matriz quadrada de ordem n. Vamos chamar esta matriz de A. 
 
 
Dizemos que a matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que � ∙ � = � ∙ � = ��. 
 
 
Lembre-se que �ρ é a matriz identidade de ordem n. 
 
Se a matriz A não é inversível, dizemos que a matriz A é uma matriz singular. 
 
É possível demonstrar que se A é inversível, então existe uma e apenas uma matriz B tal que � ∙� = � ∙ � = ��. 
 
A matriz B, inversa de A, é representada por ��Μ. Estudaremos a condição para que uma matriz 
seja inversível no capítulo sobre determinantes. 
 
 
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Exemplo: A inversa da matriz � = D5 64 5Ε é a matriz ��Μ = D 5 −6−4 5 Ε porque D5 64 5Ε ∙D 5 −6−4 5 Ε = D1 00 1Ε. 
 
Paraverificar basta fazer: 
 
 
 � = 5 ∙ 5 + 6 ∙ (−4) = 25 − 24 = 1 
 � = 5 ∙ (−6) + 6 ∙ 5 = −30 + 30 = 0 
 � = 4 ∙ 5 + 5 ∙ (−4) = 20 − 20 = 0 
 � = 4 ∙ (−6) + 5 ∙ 5 = −24 + 25 = 1 
 
Portanto, 
 D5 64 5Ε ∙ D 5 −6−4 5 Ε = D1 00 1Ε 
 
Estudaremos com detalhes o procedimento para determinar a inversa de uma matriz no 
capítulo sobre determinantes. 
 
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1.8.1 PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA 
 
 
Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis, são válidas as seguintes 
propriedades: 
 
 
 
i) (���)�� = � 
 
ii) (��)�� = ������ 
 
iii) (��)�� = (���)� 
 
 
 
A primeira propriedade afirma que a inversa da matriz inversa de A é a própria matriz 
A. 
 
A segunda propriedade afirma que a inversa do produto AB é o produto da inversa de 
B pela inversa de A. 
 
A terceira propriedade afirma que a inversa da matriz transposta de A é igual à 
transposta da matriz inversa de A. 
 
 
Observação: Quando a inversa de uma matriz é igual à sua transposta, dizemos que a matriz é 
ortogonal. 
 
 
 
 
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1.9 TRAÇO DE UMA MATRIZ 
 
Vimos que o traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da sua diagonal principal. 
Indicamos o traço de uma matriz A por tr(A). 
 
 
 
As seguintes propriedades são válidas, sendo A e B matrizes quadradas de mesma 
ordem. 
 ��(� + �) = ��(�) + ��(�) 
 ��(��) = ��(��) 
 ��(�) = ��(��) 
 ��(��) = � ∙ ��(�), � ∈ ℝ 
 
 
Vejamos exemplos numéricos. 
 
Considere as matrizes � = Ο1 −1 23 4 15 2 6Π e � = Ο
2 0 43 1 2−1 0 6Π. Assim, temos: 
 
 ��(�) = 1 + 4 + 6 = 11 
 ��(�) = 2 + 1 + 6 = 9 
 
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Vamos analisar a primeira propriedade: 
 
� + � = Ο3 −1 66 5 34 2 12Π → ��(� + �) = 3 + 5 + 12 = 20 
 
Portanto, ��(� + �)��������� = ��(�)����� + ��(�)���� . 
 
Vamos analisar a segunda propriedade. 
 
�� = Ο−3 −1 1417 4 2610 2 60Π → ��(��) = −3 + 4 + 60 = 61 
 
�� = Ο22 6 2816 5 1929 13 34Π → ��(��) = 22 + 5 + 34 = 61 
 
Portanto, ��(��) = ��(��). 
 
Vamos verificar a terceira propriedade. Observe a transposta de A. 
 
�� = Ο 1 3 5−1 4 22 1 6Π → ��(��) = 1 + 4 + 6 = 11 
 
Portanto, ��(�) = ��(��). 
 
Finalmente, vamos verificar a última propriedade para k = 4. 
 
4� = Ο 4 −4 812 16 420 8 24Π → ��(4�) = 4 + 16 + 24 = 44 
 
Portanto, ��(��) = � ∙ ��(�) = � ∙ �� = ��. 
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2. DETERMINANTES 
 
Livros universitários de Álgebra Linear, como o de Bernard Kolman, definem determinantes 
genericamente sem fazer referência à ordem da matriz utilizando conceitos de permutações pares 
e ímpares, etc. 
 
Não seguiremos esta linha. 
 
Definiremos determinantes de matrizes quadradas de ordens 1, 2 e 3. Em seguida, aprenderemos 
alguns teoremas que nos permitirão calcular determinantes de matrizes de ordem maior que 3. 
 
Para começar, devemos frisar que apenas matrizes quadradas admitem o cálculo de 
determinantes. O determinante da matriz A é denotado por: 
 ����. 
 
O determinante é um número associado a uma matriz. 
 
Se a matriz quadrada é de ordem 1, então o determinante da matriz é o único elemento da matriz. 
 
Exemplo: Considere a matriz � = [2]. O determinante da matriz A é o número 2. 
 det � = 2 
 
Se a matriz quadrada é de ordem 2, então o determinante é o produto dos elementos da diagonal 
principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 
 � = D� �� �Ε ⇒ det � = ♣� �� �♣ = �� − �� 
 
 
Observe que indicamos o determinante de uma matriz A com barras verticais ao lado dos 
elementos da matriz. 
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Exemplo: Calcule o determinante da matriz � = D2 −35 4 Ε. 
 
Resolução 
 ♣2 −35 4 ♣ = 2 ∙ 4 − (−3) ∙ 5 = 8 + 15 = 23 
 
 
Se a matriz é de ordem 3, o determinante é calculado com o auxílio da regra de Sarrus. 
 
� = ∃�ΜΜ �ΜΚ �ΜΛ�ΚΜ �ΚΚ �ΚΛ�ΛΜ �ΛΚ �ΛΛ− 
 
Devemos repetir as duas primeiras colunas. 
 
 
 
Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as flechas e somamos 
os 3 resultados. 
 
 
 
 
Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os sinais dos produto e 
somamos os resultados. 
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Em seguida somamos os dois resultados obtidos. 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Calcule o determinante da matriz � = ∃−2 1 05 2 31 4 −1−. 
 
Resolução 
 
det � = ♦−2 1 05 2 31 4 −1♦ 
 
Devemos repetir as duas primeiras colunas. 
 
 
det � = ♦−2 1 05 2 31 4 −1♦
−2 15 21 4 
 
Multiplicamos os elementos no sentido da diagonal principal. 
 
 
 −2 ∙ 2 ∙ (−1) + 1 ∙ 3 ∙ 1 + 0 ∙ 5 ∙ 4 = 7 
 
 
Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os sinais dos 
produtos e somamos os resultados. 
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 −(1) ∙ (5) ∙ (−1) − (−2) ∙ (3) ∙ (4) − (0) ∙ (2) ∙ (1) = 5 + 24 − 0 = 29 
 
Devemos somar os dois resultados obtidos. 
 det � = 7 + 29 = 36 
 
1.1 MENOR COMPLEMENTAR 
 
Considere uma matriz M de ordem maior que 1. Definimos o menor complementar do elemento ���, e indicamos por ���, o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j 
da matriz M. 
 
Exemplo: Calcule o menor complementar do elemento �ΜΛ da matriz � = ∃ 1 4 −10 3 2−2 2 � −. 
 
O elemento �ΜΛ está localizado na primeira linha e terceira coluna. Vamos suprimir, portanto, a 
primeira linha e a terceira coluna. 
 
 
Portanto, o menor complementar do elemento �ΜΛ é 
 
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�ΜΛ = ♣ 0 3−2 2♣ = 0 × 2 − 3 × (−2) = 6 
 
 
Exemplo: Calcule o menor complementar do elemento �ΚΜ da matriz � = ∃ 2 3 2−1 4 −33 0 7 −. 
 
O elemento �ΚΜ está localizado na segunda linha e primeira coluna.Vamos suprimir, portanto, a 
segunda linha e a primeira coluna. 
 
 
 
Portanto, o menor complementar do elemento �ΚΜ é 
 �ΚΜ = ♣3 20 7♣ = 3 × 7 − 2 × 0 = 21 
 
1.2 COFATOR 
 
Considere uma matriz M de ordem maior que 1. Definimos cofator (ou complemento algébrico) 
do elemento ��� o número ��� definido como o produto do menor complementar pelo número (−�)�↔�. 
 ��� = (−�)�↔� ∙ ��� 
 
 
 
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Em suma, o cofator de um elemento é o seu menor complementar multiplicado por 1 
ou por -1, a depender se o expoente i + j é par ou ímpar. 
 
Se i + j é par, multiplicaremos o menor complementar por 1, ou seja, o cofator é igual ao 
menor complementar. 
 
Se i + j é ímpar, multiplicaremos o menor complementar por -1, ou seja, o cofator é o 
oposto do menor complementar. 
 
Observe, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3. 
 
� = Ο�ΜΜ �ΜΚ �ΜΛ�ΚΜ �ΚΚ �ΚΛ�ΛΜ �ΛΚ �ΛΛΠ 
 
Observe o elemento �ΜΜ. A soma dos seus índices é 1 + 1 = 2, que é par. Neste caso, (−1)Ι↔ϑ =(−1)Κ = +1. 
 
Ο + �ΜΚ �ΜΛ�ΚΜ �ΚΚ �ΚΛ�ΛΜ �ΛΚ �ΛΛΠ 
 
Partindo do elemento �ΜΜ, se você caminha para a direita ou para baixo, você encontrará números 
tais que a soma dos índices é um número ímpar. Portanto, (−1)Ι↔ϑ = −1. 
 
Ο + − �ΜΛ− �ΚΚ �ΚΛ�ΛΜ �ΛΚ �ΛΛΠ 
 
Este processo se repete e os sinais vão se alternando. 
 
 
 
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Ο+ − +− + −+ − +Π 
 
Essa tabela de sinais é apenas para facilitar e você não precisar ficar se preocupando com o fator (−1)Ι↔ϑ. 
 
Assim, para calcular o cofator, você deve: 
 
1) Calcular o menor complementar, calculando o determinante da matriz que se 
obtém ao suprimir a linha e a coluna do elemento em questão. 
 
2) Multiplicar por 1 ou por -1 (manter ou trocar o sinal do resultado) a depender do 
sinal encontrado na matriz de sinais. 
 
O procedimento para construir a matriz de sinais é o mesmo para qualquer ordem. Por exemplo, 
os sinais de (−1)Ι↔ϑ em uma matriz quadrada de quarta ordem seria: 
 
∼+ − + −− + − ++− −+ +− −+� 
 
Exemplo: Calcular o cofator do elemento �ΚΛ da matriz � = Ο 1 0 −34 2 1−2 3 1 Π. 
O elemento �ΚΛ está localizado na segunda linha e terceira coluna. Vamos suprimir, portanto, a 
segunda linha e a terceira coluna. 
 
 
 
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Vamos calcular o menor complementar. 
 
 �ΚΛ = ♣ 1 0−2 3♣ = 1 × 3 − (−2) × 0 = 3 
 
 
 
Para calcular o cofator, devemos multiplicar �ΚΛ por (−1)Ι↔ϑ = (−1)Κ↔Λ = (−1)← = −1. 
 
 
Assim, o cofator do elemento �ΚΛ é 
 
 �ΚΛ = −1 ∙ 3 = −3 
 
 
Para saber se vamos multiplicar o menor complementar por 1 ou -1, poderíamos construir a matriz 
de sinais. 
 
 
Ο+ − +− + −+ − +Π 
 
 
O sinal associado ao elemento �ΚΛ é negativo. Portanto, devemos multiplicar o menor 
complementar por -1. 
 
 
 
 
 
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1.3 TEOREMA DE LAPLACE 
 
O determinante de uma matriz M de ordem maior que 1 é a soma dos produtos dos elementos 
de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. 
 
 
Assim, para calcular o determinante de uma matriz utilizando o teorema de Laplace, 
devemos: 
 
1) Escolher uma fila qualquer (linha ou coluna). 
2) Calcular os cofatores dos elementos desta linha. 
3) Multiplicar cada elemento pelo seu cofator 
4) Somar os resultados. 
 
O teorema de Laplace é um caminho para calcular determinantes de matrizes de ordem maior que 
3. 
 
Entretanto, não se preocupe muito com isso, pois é muito raro precisar calcular o determinante de 
uma matriz de ordem maior que 3. 
 
Exemplo: Calcular o determinante da matriz � = ∼2 1 −1 11 4 0 303 21 02 20 �. 
Observe o passo a passo do teorema de Laplace. 
i) Escolher uma fila qualquer (linha ou coluna). 
ii) Calcular os cofatores dos elementos desta linha. 
iii) Multiplicar cada elemento pelo seu cofator 
iv) Somar os resultados. 
 
 
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Como vamos multiplicar cada elemento pelo seu cofator, então vamos escolher a fila que tiver 
mais zeros. 
 
Observe que a terceira coluna possui 2 zeros. A terceira linha também possui 2 zeros. Assim, tanto 
faz a sua escolha. 
 
Vamos calcular utilizando a terceira coluna. 
 
det � = ↑2 1 −� 11 4 � 303 21 �� 20 ↑ 
 
Pelo teorema de Laplace, temos: 
 det � = −1 ∙ �ΜΛ + 0 ∙ �ΚΛ + 0 ∙ �ΛΛ + 2 ∙ �δΛ 
 det � = −1 ∙ �ΜΛ + 2 ∙ �δΛ 
 
 
Precisamos, portanto, calcular os cofatores dos elementos �ΜΛ e �δΛ. 
 
Observe a tabela de sinais que aprendemos a construir. 
 
∼+ − + −− + − ++− −+ +− −+� 
 
Para calcular �ΜΛ, devemos suprimir a primeira linha e a terceira coluna. Devemos também colocar 
o sinal + ao lado do determinante. 
 
�ΜΛ = + ♦1 4 30 2 23 1 0♦ = 4 
 
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Para calcular �δΛ, devemos suprimir a quarta linha e a terceira coluna. Devemos também colocar o 
sinal (-) ao lado do determinante. 
 
�δΛ = − ♦2 1 11 4 30 2 2♦ = −4 
 
Portanto, 
 det � = −1 ∙ �ΜΛ + 2 ∙ �δΛ 
 det � = −1 ∙ 4 + 2 ∙ (−4) = −12 
 
 
1.4 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
 
Vejamos algumas propriedades dos determinantes: 
 
i) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem 
todos nulos, então det M = 0. 
 
Exemplo. 
 
� = Φ 2 √37 2�0 0 0cos 57″ −1,37 15Η 
 
 
O determinante da matriz M é igual a 0, pois a matriz possui uma fila composta por zeros. 
 
 
 
 
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ii) Se uma Matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por 
elementos respectivamente iguais, então det M = 0. 
 
Exemplo: 
 
� = Φ2� √37 2�1 2 115 −1,37 15Η 
 
Como a primeira coluna é igual à terceira coluna, então o determinante da matriz é igual a 0. 
 
iii) Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por 
elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0. 
 
Exemplo: 
 
� = Φ4 √37 123 2 91 −1,37 3 Η 
 
 
Observe a primeira e a terceira coluna. Elas são proporcionais e a constante de proporcionalidadeé igual a 3 (ou seja, a terceira coluna foi produzida multiplicando a primeira coluna por 3). 
 
Assim, o determinante da matriz é igual a 0. 
 
iv) Se uma matriz quadrada M tem uma linha (ou coluna) que é combinação linear de outras 
linhas (ou colunas), então det M = 0. 
 
Vamos falar em uma linguagem bem coloquial para explicar o que é combinação linear. 
 
Imagine que você vai “construir” uma matriz de terceira ordem. 
 
 
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� = ∃2 53 21 7 − 
 
Você construiu a primeira coluna e a segunda coluna. E você resolveu ser um pouco mais criativo 
para construir a última coluna. O que você fez? Você multiplicou a primeira coluna por 2 e 
multiplicou a segunda coluna por 3 e somou os dois resultados. 
 
O que você obteve? 
 
� = ∃2 5 2 ∙ 2 + 5 ∙ 33 2 3 ∙ 2 + 2 ∙ 31 7 1 ∙ 2 + 7 ∙ 3− = ∃
2 5 193 2 121 7 23− 
 
 
Pronto. A terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras colunas. 
 
 
 Você deve multiplicar uma fila por um certo número A e outra fila por qualquer outro 
número B. 
 
 Somando os dois resultados, você obtém uma combinação linear das duas filas. 
 
Pense bem: uma coisa é criar a matriz e saber que uma fila é combinação linear das outras duas; 
outra coisa é olhar uma matriz e perceber que uma fila é combinação linear de outras duas. 
 
Exemplo: Calcule o determinante da matriz 
 
� = ∃2 5 193 2 121 7 23− 
 
 
 
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Obviamente a pessoa que criou a questão sabe que a terceira coluna é combinação linear das 
outras duas e, portanto, o determinante é zero. 
 
A dificuldade é “perceber” na hora da prova isso. Não será você o criador das questões. Assim, se 
você não percebe rapidamente, não perca tempo e calcule o determinante utilizando a regra de 
Sarrus. 
 
Veja só outro exemplo. 
 
Calcule o determinante da matriz: 
 
� = ∃16 3 224 2 415 5 1− 
 
Se você tiver um excelente olho e perceber que 
 
Primeira coluna = (Segunda coluna) x 2 + (Terceira coluna) x 5, 
 
você poderá concluir que o determinante é zero. Caso contrário, terás que usar a regra de Sarrus 
(O que é bem provável que aconteça. Não perca seu tempo tentando achar alguma regra. Faça as 
contas para ganhar tempo.) 
 
v) Se � é uma matriz quadrada de ordem n e �� é a sua transposta, então ���� = �����. 
 
vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n por um número real �, o 
determinante da nova matriz será o produto do determinante de A pelo número �. 
 
 
Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz � = ∃−2 1 05 2 31 4 −1− é igual a 36. Vamos 
multiplicar uma fila qualquer por −2, digamos a segunda coluna. 
 
 
 
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�Μ = ∃−2 −2 05 −4 31 −8 −1− 
 
Para calcular o determinante desta nova matriz, basta multiplicar o determinante da matriz 
original por −2. 
 
Desta forma, det �Μ = −2 ∙ det � = −2 ∙ 36 = −72. 
 
 
vii) Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu 
determinante será ���(� ∙ �) = �� ∙ ���	(�) 
 
Na verdade, esta propriedade vii é uma decorrência da propriedade vi. 
 
Isto porque multiplicar uma matriz de ordem n por uma constante k é o mesmo que multiplicar as 
n linhas por k (ou as n colunas). 
 
Ao multiplicar a primeira linha por k, multiplicamos o determinante por k. 
 
Ao multiplicar a segunda linha por k, multiplicamos o determinante por k. 
 
Ao multiplicar a terceira linha por k, multiplicamos o determinante por k. 
 
Se a matriz é de ordem n, então terá n linhas. 
 
Então, 
 det(� ∙ �) = � ∙ � ∙ � ∙ ⋯ ∙ ����������ρ	×∝�″∂•÷ ∙ det � = �ρ ∙ det	 � 
 
 
 
 
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viii) Considere uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 2. Se trocarmos a posição de 
duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o determinante da matriz troca de 
sinal. 
 
Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz � = ∃−2 1 05 2 31 4 −1− é igual a 36. Se trocarmos a 
posição da primeira linha com a terceira linha, o determinante da matriz troca de sinal. 
 
�Κ = ∃ 1 4 −15 2 3−2 1 0 − 
 
O determinante desta matriz é igual a −36. 
 
ix) O determinante de qualquer matriz identidade é igual a 1. 
 
x) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. O 
mesmo ocorre com o determinante de uma matriz diagonal. 
 
♦� 0 00 � 00 0 �♦ = ��� 
 
♦� � �0 � �0 0 �♦ = ��� 
 
♦� 0 0� � 0� � �♦ = ��� 
 
 
 
1.5 ADIÇÃO DE DETERMINANTES 
 
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Se uma fila (linha ou coluna) pode ser decomposta em uma soma, então podemos decompor o 
determinante em uma soma de determinantes. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo: Decomponha o determinante ♦� � + � �� � + � ℎ� � + � � ♦ em uma soma de determinantes. 
 
Observe que a segunda coluna é decomposta em uma soma. No primeiro determinante 
colocaremos uma coluna com os elementos (b,f,j) e no segundo determinante colocaremos uma 
coluna com os elementos (c,g,k). 
 
Portanto, 
 
♦� � + � �� � + � ℎ� � + � � ♦ = ♦
� � �� � ℎ� � � ♦ + ♦
� � �� � ℎ� � � ♦ 
 
 
Exemplo: Decomponha o determinante ♦ 1 2 −32 + � 3 + � 4 + �4 5 1 ♦ em uma soma de determinantes. 
 
 
Observe que a segunda linha é decomposta em uma soma. Podemos fazer: 
 
♦ 1 2 −3� + � � + � � + �4 5 1 ♦ = ♦
1 2 −3� � �4 5 1 ♦ + ♦
1 2 −3� � �4 5 1 ♦ 
 
 
 
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1.6 TEOREMA DE BINET 
 
Se � e � são matrizes quadradas de ordem n, então: 
 ���(��) = ���� ∙ ���� 
 
 
Isto quer dizer que tanto faz: 
 
Calcular o produto AB e calcular o determinante do produto. 
 
Calcular o determinante de A, calcular o determinante de B e multiplicar os resultados. 
 
1.6.1 COROLÁRIO DO TEOREMA DE BINET 
 
Sabemos que a inversa de uma matriz � é a matriz ��Μ tal que � ∙ ��Μ = �ρ. 
 
Vamos aplicar o teorema de Binet. 
 det(� ∙ ��Μ) = ���	�ρ	 
 det � ∙ det ��Μ = ���	�ρ 
 
Lembre-se que o determinante da matriz identidade é igual a 1, portanto: 
 ���� ∙ ��� ��� = � 
 
 
 
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Este fato é muito importante. Se for dado o determinante de uma matriz, podemos 
automaticamente calcular o determinante da sua inversa e reciprocamente. 
 
Observe ainda que a expressão acima pode ser reescrita como: 
 
������ = ����� 
 
O determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz. 
 
O denominador de uma fração não pode ser zero. Assim, concluímos que uma matriz quadrada A 
de ordem n é inversível se e somente se ���� ≠ �. 
 
Podemos também dizer que uma matriz é singular (não admite inversa) se e somente se ���� =�. 
 
Por exemplo, a matriz D 5 210 4Ε é uma matriz singular, isto é, não admite inversa. Isto pode ser 
verificado calculando o seu determinante. 
 ♣ 5 210 4♣ = 5 ∙ 4 − 2 ∙ 10 = 20 − 20 = 0 
 
 
Exemplo: A inversa da matriz � = D5 64 5Ε é a matriz ��Μ = D 5 −6−4 5 Ε porque D5 64 5Ε ∙D 5 −6−4 5 Ε = D1 00 1Ε. Verifique que det � ∙ det ��Μ = 1. 
 
Primeiro vamos verificar que realmente D 5 −6−4 5 Ε é a inversa da matriz D5 64 5Ε. 
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 � = 5 ∙ 5 + 6 ∙ (−4) = 25 − 24 = 1 
 � = 5 ∙ (−6) + 6 ∙ 5 = −30 + 30 = 0 
 � = 4 ∙ 5 + 5 ∙ (−4) = 20 − 20 = 0 
 � = 4 ∙ (−6) + 5 ∙ 5 = −24 + 25 = 1 
 
 
Agora vamos verificar a relação entre os determinantes. 
 det � = ♣5 64 5♣ = 5 × 5 − 6 × 4 = 1 
 det ��Μ = ♣ 5 −6−4 5 ♣ = 5 × 5 − (−6) × (−4) = 1 
 
Portanto, det � ∙ det ��Μ = 1. 
 
1.7 TEOREMA DE JACOBI 
 
Adicionar a uma fila de uma matriz quadrada M uma outra fila paralela, previamente 
multiplicada por uma constante, não altera o valor do determinante. 
 
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Tomemos como exemplo a matriz � = Ο1 −2 32 1 43 −1 3Π. 
 
Você já deve ter percebido que os determinantes são mais facilmente calculados quando há mais 
zeros nas matrizes. Podemos utilizar o teorema de Jacobi para introduzir zeros nas matrizes sem 
alterar o valor do determinante. 
 
Observe, por exemplo, a primeira linha. Se multiplicarmos a primeira coluna por 2 e adicionarmos 
à segunda coluna, teremos: 
 
♦1 −2 32 1 43 −1 3♦ = ♦
1 2 × 1 − 2 32 2 × 2 + 1 43 2 × 3 − 1 3♦ = ♦
1 0 32 5 43 5 3♦ 
 
Podemos introduzir mais zeros. Vamos multiplicar a primeira coluna por -3 e somar à terceira 
coluna. 
 
♦1 0 32 5 43 5 3♦ = ↑
1 0 (−3) × 1 + 32 5 (−3) × 2 + 43 5 (−3) × 3 + 3↑ = ♦
1 0 02 5 −23 5 −6♦ 
 
 
Calcule, para conferir, o determinante da matriz � = Ο1 −2 32 1 43 −1 3Π e o determinante da matriz Ο1 0 02 5 −23 5 −6Π e perceba que os dois resultados são iguais a -20. 
 
 
Este procedimento para “introduzir zeros” é muito comum no cálculo de determinantes 
de ordem superior a 3. Primeiro, introduzimos zeros utilizando o teorema de Jacobi e, 
em seguida, calculamos o determinante da matriz utilizando o teorema de Laplace. 
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1.8 MATRIZ INVERSA 
 
Dificilmente você precisará calcular a matriz inversa de uma matriz em uma prova. 
 
Vamos mostrar algumas maneiras de como calcular a inversa de uma matriz mais a título de 
curiosidade. 
 
No caso de matrizes quadradas de ordem 2, o procedimento é muito fácil. Observe. 
 
Considere uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante diferente de 0. 
 � = D� �� �Š
 
A inversa da matriz A é calculada da seguinte forma: 
 
��Μ = 1det � ∙ D � −�−� � Ε 
 
Em outras palavras, trocamos de posição os elementos da diagonal principal e mudamos o sinais 
dos elementos da diagonal secundária. Depois dividimos todos os elementos pelo determinante da 
matriz original. 
 
Exemplo: Determine, se existir, a inversa da matriz � = D4 65 8Ε. 
 
Resolução 
 
O primeiro passo é calcular o determinante da matriz A. 
 det � = 4 ∙ 8 − 5 ∙ 6 = 2 
 
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Vamos trocar a posição dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos elementos da 
diagonal secundária. 
 D 8 −6−5 4 Ε 
 
O próximo passo é dividir todos os elementos pelo determinante da matriz original que é igual a 2. 
 
��Μ =  4 −3−5/2	 2 ℵ 
 
Vamos aprender dois conceitos antes de aprendermos o procedimento para o cálculo da inversa 
de matrizes de ordem superior a 2. 
 
1.8.1 MATRIZ DOS COFATORES 
 
Considere uma matriz quadrada A. 
 
Chamamos de matriz dos cofatores de A a matriz �′ que se obtém ao substituir cada elemento de 
A pelo seu respectivo cofator. 
 
Tomemos como exemplo a matriz � = ∃0 1 45 6 02 4 6−. 
 
A matriz dos cofatores será a seguinte: 
 
�′ = ∃�ΜΜ �ΜΚ �ΜΛ�ΚΜ �ΚΚ �ΚΛ�ΛΜ �ΛΚ �ΛΛ− 
 
Observe os sinais correspondentes a cada elemento para o cálculo do cofator. 
 
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Ο+ − +− + −+ − +Π 
 
Para calcular �ΜΜ, vamos calcular o determinante da matriz que obtemos ao suprimir a primeira 
linha e a primeira coluna. 
 
Lembrando de acompanhar o determinante do respectivo sinal correspondente à tabela acima. 
 
O procedimento é análogo para todos os outros cofatores. 
 �ΜΜ = + ♣6 04 6♣ = 36 �ΜΚ = − ♣5 02 6♣ = −30 �ΜΛ = + ♣5 62 4♣ = 8 �ΚΜ = − ♣1 44 6♣ = 10 �ΚΚ = + ♣0 42 6♣ = −8 �ΚΛ = − ♣0 12 4♣ = 2 �ΛΜ = + ♣1 46 0♣ = −24 �ΛΚ = − ♣0 45 0♣ = 20 �ΛΛ = + ♣0 15 6♣ = −5 
 
Assim, a matriz dos cofatores é a que segue: 
 
�′ = ∃ 36 −30 810 −8 2−24 20 −5− 
 
1.8.2 MATRIZ ADJUNTA 
 
Matriz adjunta de uma matriz A é a matriz transposta da matriz dos cofatores. 
 
Assim, a matriz adjunta da matriz � = ∃0 1 45 6 02 4 6− do exemplo anterior é: 
 
(�′)� = ∃ 36 10 −24−30 −8 208 2 −5 − 
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1.8.3 CÁLCULO DA INVERSA DE UMA MATRIZ QUADRADA 
 
Se A é uma matriz quadrada de ordem n e det � ≠ 0, então a inversa de A é dada por: 
 
��� = ����� ∙ (�′)� 
 
No nosso exemplo, vamos calcular o determinante de A. 
 
� = ∃0 1 45 6 02 4 6− 
 
det � = ♦0 1 45 6 02 4 6♦
0 15 62 4 
 det � = 0 + 0 + 80 − 30 − 0 − 48 = 2 
 
Assim, ficamos com: 
 
��Μ = 1det � ∙ (�′)� 
 
��Μ = 12 ∙ ∃ 36 10 −24−30 −8 208 2 −5 − = ∃
18 5 −12−15 −4 104 1 −5/2− 
 
��Μ = ∃ 18 5 −12−15 −4 104 1 −5/2− 
 
Existem outros métodos para obter a inversa de uma matriz, mas ficam além dos nossos objetivos. 
 
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3. EQUAÇÕES E SISTEMAS LINERARES 
 
Equação linear nas incógnitas �, �, �, … é toda equação do tipo 
 �� + �� + �� +⋯ = �. 
 
Os números reais �, �, �, … (os números que multiplicam as incógnitas) são chamados de 
coeficientes e o número real � é o termo independente da equação. 
 
É importante notar que os expoentes das incógnitas devem ser todos iguais a 1 para que a 
equação seja considerada linear. 
 
São equações lineares: 
 2� + 3� = −5 
 −4� + 6� + 7� = 0 
 
Não são equações lineares: 
 2�Λ − 5�Κ = 8 
 √� + 6� = 0 
 2� + 3�� = 7 
 
É importante também notar que não é permitido o produto de duas incógnitas em algum dos 
termos da equação para que a equação seja classificada como equação linear. 
 
 
 
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1.1 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
Uma sentença do tipo 3� + 2� = 12 não é uma proposição lógica. Isto porque não podemos 
determinar o seu valor lógico (verdadeiro ou falso) sem que sejam fornecidos os valores das 
incógnitas. 
 
Se alguém nos disser que � = 2	�	� = 3, então a sentença 3� + 2� = 12 tornar-se-á verdadeira 
porque 3 ∙ 2 + 2 ∙ 3 = 12; ao passo que se � = 3	�	� = 0, a sentença 3� + 2� = 12 será 
classificada como falsa porque 3 ∙ 3 + 2 ∙ 0 ≠ 12. 
 
Pois bem, já que � = 2	�	� = 3 torna a sentença 3� + 2� = 12 verdadeira, dizemos que a 
sequência (2,3) é uma solução da equação linear. 
 
Já definimos o que são equações lineares. E o que vem a ser um sistema linear? 
 
Sistema linear é um conjunto de equações lineares. 
 
Por exemplo: 
 
℘2� + 5� = 9� − 3� = −1 
 
Aqui, dizemos que uma sequência de números é uma solução do sistema linear, se a sequência for 
solução de todas as equações lineares que compõem o sistema. 
 
Por exemplo: A sequência (2,1) é solução do sistema linear acima, porque: 
 ⊗2 ∙ 2 + 5 ∙ 1 = 92 − 3 ∙ 1 = −1 
 
 
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1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEAERES 
 
Se um sistema linear admitir pelo menos uma solução, diremos que o sistema é possível (o 
sistema é compatível). Se o sistema não admitir soluções, ou seja, não existir uma sequência que 
satisfaça todas as equações do sistema, diremos que o sistema é impossível ou incompatível. 
 
Se o sistema é possível, ainda podemos fazer uma subclassificação: se o sistema admitir apenas 
uma solução, dizemos que o sistema é possível e determinado; se o sistema admitir infinitas 
soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado. 
 
 
 
Para quem nunca estudou este assunto, parece um pouco estranho que um sistema linear não 
possua soluções (impossível) ou que possua infinitas soluções (possível e indeterminado). 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear ℘ � − 2� = 53� + � = 29 
 
Resolução 
 
Vamos isolar a incógnita � na primeira equação. 
 
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 � = 2� + 5 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação 
 3� + � = 29 
 3 ∙ (2� + 5) + � = 29 
 6� + 15 + � = 29 
 7� = 14 
 � = 2 
 
Como � = 2� + 5, então: 
 � = 2 ∙ 2 + 5 = 9 
 
 
Portanto, o sistema admite apenas uma solução: � = 9	�	� = 2. O sistema é possível e 
determinado e o conjunto solução é � = {(9,2)} 
 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear ℘ � − 2� = 53� − 6� = 10 
 
Resolução 
 
Vamos isolar a incógnita � na primeira equação. 
 � = 2� + 5 
 
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Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 
 3� − 6� = 10 
 3 ∙ (2� + 5) − 6� = 10 
 6� + 15 − 6� = 10 
 0� = −5 
 
Ora, devemos encontrar um número que multiplicado por zero seja igual a −5. Mas sabemos que 
qualquer número multiplicado por 0 obrigatoriamente tem como resultado o número 0. Desta 
forma, não existe um número � tal que 0� = −5. 
 
O sistema é impossível e o conjunto solução é � = �. 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear ℘ � − 2� = 53� − 6� = 15 
 
Resolução 
 
Vamos isolar a incógnita � na primeira equação. 
 � = 2� + 5 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 
 3� − 6� = 15 
 3 ∙ (2� + 5) − 6� = 15 
 
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 6� + 15 − 6� = 15 
 6� − 6� = 15 − 15 
 0� = 0 
 
Devemos pensar em um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora, qualquer número real 
serve!! Pense em um número qualquer, digamos � = 1. Neste caso, 0 ∙ 1 = 0. 
 
E já que � = 2� + 5, então 
 � = 2 ∙ 1 + 5 
 � = 7 
 
Portanto � = 7	�	� = 1 é uma solução do sistema. 
 
Vamos colocar � = 5. Já que � = 2� + 5, então 
 � = 2 ∙ 5 + 5 
 � = 15 
 
Portanto, � = 15	�	� = 5 é outra solução do sistema. Na verdade, você pode escolher o valor que 
quiser para a incógnita �, substituir o valor na equação � = 2� + 5 e calcular o valor 
correspondente de �. 
 
O sistema admite infinitas soluções e, portanto, é possível e indeterminado. 
 
Fazendo � = �, o valor correspondente de x será � = 2� + 5. 
 
Assim, o conjunto solução possui infinitos elementos e é dado por: 
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� = {(�, 2� + 5)} 
 
Em que � ∈ ℝ. 
 
 
 
1.3 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO 
 
Um sistema linear é dito homogêneo se o termo independente de cada equação do sistema é 
igual a 0. 
 
Exemplos: 
 
℘2� + 5� = 0� − 3� = 0 
 
⊃� + 2� − 3� = 02� − 5� + � = 0� − 6� + 8� = 0 
 
 
 
É fácil perceber que todo sistema linear é possível. Basta substituir todas as incógnitas por 0. 
 
Esta solução em que todas as incógnitas são iguais a 0 é chamada de solução trivial. 
 
Se existirem, as outras soluções são chamadas de não-triviais. 
 
Desta forma, todo sistema linear homogêneo é possível. Em breve aprenderemos a classificá-lo em 
determinado ou indeterminado. 
 
 
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1.4 MATRIZES DE UM SISTEMA LINEAR 
 
 
Considere, por exemplo, o seguinte sistema linear.⊃�ΜΜ� + �ΜΚ� + �ΜΛ� = �Μ�ΚΜ� + �ΚΚ� + �ΚΛ� = �Κ�ΛΜ� + �ΛΚ� + �ΛΛ� = �Λ 
 
 
Esse sistema pode ser escrito na forma de um produto matricial. 
 
 
∃�ΜΜ �ΜΚ �ΜΛ�ΚΜ �ΚΚ �ΚΛ�ΛΜ �ΛΚ �ΛΛ− ∙ ⊇
���⊄ = ∃
�Μ�Κ�Λ− 
 
 
A matriz ∃�ΜΜ �ΜΚ �ΜΛ�ΚΜ �ΚΚ �ΚΛ�ΛΜ �ΛΚ �ΛΛ− é chamada de matriz incompleta do sistema. É a matriz formada pelos 
coeficientes das incógnitas. 
 
 
Se acrescentarmos à matriz incompleta uma coluna com os termos independentes, teremos a 
matriz completa do sistema. 
 
 
Φ�ΜΜ �ΜΚ �ΜΛ �Μ�ΚΜ �ΚΚ �ΚΛ �Κ�ΛΜ �ΛΚ �ΛΛ �ΛΗ → ������	��������	��	������� 
 
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1.5 TEOREMA DE CRAMER 
 
O bem conhecido teorema de Cramer, publicado em 1750 por Gabriel Cramer (1704-1752) 
provavelmente era conhecido por Maclaurin desde 1729. Isso ocorre com muita frequência na 
Matemática. Uma pessoa descobre algum fato e outra, vários anos depois, leva o crédito. Bom, 
deixemos a História da Matemática de lado (quem se interessar, depois de passar no concurso, 
pode comprar o livro História da Matemática de Carl B. Boyer). 
 
Considere um sistema linear em que o número de incógnitas é igual ao número de equações. 
 
Neste caso, a matriz incompleta é uma matriz quadrada. 
 
Vamos nos restringir aos sistemas com 2 equações e 2 incógnitas e aos sistemas com 3 equações e 
3 incógnitas. 
 
℘�ΜΜ� + �ΜΚ� = �Μ�ΚΜ� + �ΚΚ� = �Κ 									⊃�ΜΜ� + �ΜΚ� + �ΜΛ� = �Μ�ΚΜ� + �ΚΚ� + �ΚΛ� = �Κ�ΛΜ� + �ΛΚ� + �ΛΛ� = �Λ 
 
Estamos considerando que as incógnitas são as letras �, �, �. 
 
Vamos considerar alguns determinantes especiais que podem ser calculados com os coeficientes e 
com os termos independentes. 
 
Chamaremos de � o determinante da matriz incompleta, formada pelos coeficientes das 
incógnitas. 
 
No caso do sistema de segunda ordem: 
 � = ♣�ΜΜ �ΜΚ�ΚΜ �ΚΚ♣ 
 
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No caso do sistema de terceira ordem: 
 
� = ♦�ΜΜ �ΜΚ �ΜΛ�ΚΜ �ΚΚ �ΚΛ�ΛΜ �ΛΚ �ΛΛ♦ 
 
Chamaremos de �∈ o determinante da matriz obtida da matriz incompleta, substituindo a coluna 
do � pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do �) pelos termos 
independentes (�Μ, �Κ, …). 
 
Chamaremos de �∉ o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a 
coluna do � pelos termos independentes. No caso, substituiremos a segunda coluna (a do �) pelos 
termos independentes (�Μ, �Κ, …). 
 
Chamaremos de �∠ o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a 
coluna do � pelos termos independentes. No caso, substituiremos a terceira coluna (a do �) pelos 
termos independentes (�Μ, �Κ, …). É óbvio que �∠ só existe em sistemas de terceira ordem. 
 
No caso de sistemas de segunda ordem, temos: 
 
�∈ = ∇�Μ �ΜΚ�Κ �ΚΚ∇ 		�			�∉ = ∇�ΜΜ �Μ�ΚΜ �Κ∇ 
 
No caso de sistemas de terceira ordem, temos: 
 
�∈ = ♦�Μ �ΜΚ �ΜΛ�Κ �ΚΚ �ΚΛ�Λ �ΛΚ �ΛΛ♦ 	 , 		�∉ = ♦
�ΜΜ �Μ �ΜΛ�ΚΜ �Κ �ΚΛ�ΛΜ �Λ �ΛΛ♦ 	�			�∠ = ♦
�ΜΜ �ΜΚ �Μ�ΚΜ �ΚΚ �Κ�ΛΜ �ΛΚ �Λ♦	 
 
Vejamos alguns exemplos numéricos. 
 
Considere o sistema ℘ � − 2� = 53� + � = 29 
 
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Temos os seguintes determinantes relacionados a este sistema: 
 � é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. 
 � = ♣1 −23 1 ♣ = 1 ∙ 1 − (−2) ∙ 3 = 1 + 6 
 � = 7 
 �∈ é o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do � pelos 
termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do �) pelos termos 
independentes. 
 �∈ = ♣ 5 −229 1 ♣ = 5 ∙ 1 − (−2) ∙ 29 = 5 + 58 
 �∈ = 63 
 
Analogamente, temos: 
 �∉ = ♣1 53 29♣ = 1 ∙ 29 − 5 ∙ 3 = 29 − 15 
 �∉ = 14 
 
O Teorema de Cramer afirma que se um sistema linear tem o número de equações igual ao de 
incógnitas e se � ≠ � o sistema será possível e determinado (apresenta solução única) e: 
 
� = �∈� 		 , � = �∉� 			,				… 
 
No nosso exemplo: 
 
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� = �∈� = 637 = 9 
 
� = �∉� = 147 = 2 
 
Já tínhamos resolvido este sistema pelo método da substituição anteriormente. 
 
Obviamente, o Teorema de Cramer tem mais valor teórico que valor prático. Principalmente ao 
trabalhar com sistemas de ordem maior ou igual a 3. 
 
O que nos interessa é que o Teorema de Cramer afirma que se � ≠ �, então o sistema é possível e 
determinado. 
 
E o que acontece se � = 0	? Há duas possibilidades. Se todos os outros determinantes associados 
ao sistema forem iguais a 0, ou seja, 
 �∈ = �∉ = ⋯ = 0 
 
então o sistema é possível e indeterminado, se houver pelo menos uma solução. 
 
Se pelo menos um dos outros determinantes associados ao sistema for diferente de 0, então o 
sistema é impossível. 
 
 
Se você estiver trabalhando em um sistema de equações com número de equações igual 
ao de incógnitas, então ele pode ser: 
 
Possível e determinado, se � ≠ �. 
Possível e indeterminado, se � = �� = �� = ⋯ = � 
Impossível, se � = 0 e existir algum �Ι ≠ 0. 
 
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Lembre-se que estamos trabalhando apenas com casos em que o número de equações é igual ao 
número de incógnitas. 
 
 
 
E se o sistema for homogêneo? 
 
Ora, já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução. 
 
Portanto temos duas possibilidades: ser possível e determinado ou ser possível e indeterminado. 
 
Basta calcular o valor de �. 
 
O sistema é possível e determinado se � ≠ 0. 
 
O sistema é possível e indeterminado se � = 0. 
 
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4. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
 
1. (IBFC 2017/Polícia Científica – PR) 
 
 
Dadas as matrizes � = D2 3 00 1 −1Ε e a matriz � = D3 1 11 −1 2Ε, assinale a alternativa que 
apresenta a matriz C que representa a soma da matriz A e B, ou seja, C = A + B. 
 
a) � = D2 3 00 1 −1Ε 
b) � = D3 1 11 −1 2Ε 
c) � = D2 3 01 1 −1Ε 
d) � = D3 1 11 3 2Ε 
e) � = D5 4 11 0 1Ε 
 
 
2. (IBFC 2017/Polícia Científica – PR) 
 
Dadas a matriz � = D3 04 −7Ε e a matriz � = D1 20 −2Ε, assinale a alternativa que apresenta a 
matriz C que representa a subtração da matriz A e B, ou seja, C = A – B. 
 
a) � = D3 04 −7Ε 
b) � = D1 20 −2Ε 
c) � = D3 04 7Ε 
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