Aula 26 - Oscilações

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19/06/2016
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Oscilações e 
movimento 
harmônico simples
(M.H.S)
https://web2.ph.utexas.edu/~coker2/index.files/sho3.html
Na física chamamos de oscilação qualquer movimento de
vai-e-vem em torno de uma posição de equilíbrio e que se repete
periodicamente.
Grandezas importantes no estudo das oscilações são
o período T, tempo necessário para completar uma oscilação,
e a frequência f, número de oscilações por unidade de tempo.
Como vocês já sabem, a relação entre as duas grandezas é:
Oscilações:
� =
�
�
[s] [(1/s)=Hz]� =
�
�
Posição
Posição
Posição
A oscilação ocorre em torno 
da posição de equilíbrio
Um ciclo dura um 
tempo T
Essa oscilação é
SENOIDAL
Oscilações:
Movimento oscilatório 
é sempre em torno de 
uma posição de 
equilíbrio
Movimento 
oscilatório é 
periódico
Movimento de balanço 
e vibrações são formas 
do movimento 
oscilatório
Objetos que executam o 
movimento oscilatório são 
chamados de 
OSCILADORES
Movimento Harmônico Simples (MHS) :
Nos concentraremos no
estudo de sistemas oscilantes
que executam um movimento
harmônico simples. Nesse
tipo de oscilação a posição é
uma função senoidal do tempo
e sempre há uma força
restauradora que aponta para
o ponto de equilíbrio do
sistema e tem sinal oposto ao
da posição.
Oscilação
O ponto de 
medida
x é medido a 
partir da 
posição de 
equilíbrio
o movimento é simétrico em torno da 
posição de equilíbrio. A máxima distância 
para a esquerda e para a direita é A.
o movimento é 
senoidal, 
indicando MHS
Movimento Harmônico Simples (MHS) :
Oscilação
O ponto de 
medida
x é medido a 
partir da 
posição de 
equilíbrio
o movimento é simétrico em torno da 
posição de equilíbrio. A máxima distância 
para a esquerda e para a direita é A.
o movimento é 
senoidal, 
indicando MHS
O deslocamento máximo do 
objeto em relação a sua posição
de equilíbrio é chamado de 
AMPLITUDE (A) do movimento.
deslocamento
período
tempo
amplitude
Movimento Harmônico Simples (MHS) :
Posição no MHS :
A posição em função do tempo para qualquer sistema que
oscile em MHS (seja bloco-mola, pêndulo simples, etc.) será
dada pela “equação do MHS”:
� � = � ∙ ��� � ∙ �+�
Termo de amplitude Termo de fase
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� � = � ∙ ��� � ∙ �+�
� � Posição em função do tempo, dada em [m]
� Amplitude de oscilação (distância máxima atingida
em relação ao ponto de equilíbrio), dada em [m]
� Frequência angular de oscilação (taxa de variação
do ângulo da função cosseno com o tempo, é o
equivalente angular da frequência f do movimento),
dada em [rad/s]
� = 	 ∙ 
 ∙ � =
	 ∙ 
�
� Constante de fase do movimento (indica a posição
inicial do sistema), dada em [rad]
Posição no MHS : MHS e MCU
MCU projetado em
uma dimensão é 
um MHS ! 
Projetor de LUZ 
Mov. 
Circular 
da bola
Disco girante
Bola
Sombra
Tela
Oscilação da sombra da bola
MHS de um sist. Massa-mola 
Amplitude quando a 
função cos tem seus 
valores máximos
1 e -1
+�−�
A figura abaixo ilustra uma sequência temporal (cada linha é um 
instante de tempo) do movimento de uma partícula que oscila em 
torno da posição de equilíbrio x = 0.
A sequencia de
posições da partícula
em função do tempo
forma uma cossenóide.
Num período completo
(de t = 0 a t = T) a
partícula vai do valor
positivo da amplitude
para o valor negativo
da amplitude e então
retorna ao valor
positivo da amplitude,
fechando uma
oscilação completa.
x
Gráfico da posição em função do tempo (x vs t) :
Amplitude determina a altura da onda
Período/frequência angular determina
o espaçamento entre as cristas.
Constante de fase determina a posição inicial da
curva, ou seja, onde ela corta o eixo dos x em t=0
( Em metros )
( Em segundos )
Convenção de valores para a constante de fase:
� = � quando o 
sistema parte de +A
� = � quando o 
sistema parte de -A
� = � �⁄ quando o sistema parte da origem, indo para -A
� = �� �⁄ quando o sistema parte da origem, indo para +A
Constante de fase � :
A velocidade em função do tempo para um sistema em MHS será
a derivada da posição em relação ao tempo:
Velocidade no MHS :

 � =
�� �
��
=
� � ∙ ��� � ∙ �+�
��

 � = −� ∙ � ∙ ��� � ∙ �+�
Portanto, a velocidade máxima �
���
para um sistema em MHS
ocorrerá para o valor máximo do seno (1) e será:

��� = � ∙ �
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A aceleração em função do tempo para um sistema em MHS será
a derivada da velocidade em relação ao tempo:
� � =
�
 �
��
=
� −� ∙ � ∙ ��� � ∙ �+�
��
� � = −�� ∙ � ∙ ��� � ∙ �+�
Portanto, a aceleração máxima �
���
para um sistema em MHS
ocorrerá para o valor máximo do cosseno (1) e será:
���� = �
�
∙ �
� � = −�� ∙ � � Marca registrada do MHS
Aceleração no MHS : Relações entre x(t), v(t) e 
a(t) no MHS :
+�
−�
�
+��
−��
�
�
Sempre que x(t) atinge um
valor máximo, v(t) é zero e
a(t) atinge um valor máximo
de sinal oposto ao de x(t)
+���
−���
A curva de v(t) está sempre
deslocada de T/4 para a esquerda
em relação à curva de x(t). Assim
como a curva de a(t) está sempre
deslocada de T/4 para a esquerda
em relação à curva de v(t). Essa
DEFASAGEM de π/2 vem da
diferença entre seno e cosseno.
� � = −�� ∙ � ∙ ��� � ∙ � +	
 � = −� ∙ � ∙ ��� � ∙ � +	

 � = � ∙ ��� � ∙ � +	
Força resultante no MHS :
���� � = � ∙ � � = −� ∙�
�
∙ � �
A boa e velha 2ª lei de Newton também vale para o MHS,
levando-se em conta que a força resultante não é constante mas
varia com o tempo:
Ou seja, o módulo de F
res
é uma função linear da posição e o
sinal (sentido) de F
res
é sempre oposto ao da posição.
Por isso a força atuando em um MHS é chamada de força
restauradora, já que sempre tende a trazer o sistema de volta à
posição de equilíbrio.
Exemplos de sistemas que executam um MHS :
Vários sistemas executam na prática um movimento muito
semelhante à um MHS. Para facilitar o tratamento matemático,
nessa seção analisaremos sistemas idealizados, na medida em
que os efeitos de atrito e resistência do ar serão desprezados.
O oscilador linear ou sistema massa-mola:
+�−� �
O oscilador linear é um
sistema formado por uma
mola ideal de constante k
e um corpo de massa m
preso à mola, que oscila
livremente quando
retirado da sua posição
de equilíbrio .
A figura ao lado ilustra a variação
de x(t), v(t) e a(t) em função do
tempo para um oscilador linear
formado por uma mola ideal e um
corpo preso à mola, que oscila
livremente sobre um trilho de ar.
Note que x(t), v(t) e a(t) seguem as
equações do MHS descritas nos
slides anteriores; quando x(t) é
zero, v(t) é máxima e a(t) também é
zero.
Como estamos desprezando o atrito, a única força agindo durante
a oscilação é a força da mola. Então temos que:
���� � = ���	� � � ∙ � � = −� ∙ � �
−� ∙�� ∙ � � = −� ∙ � � �� = � ��
� =
�
�
E como ω=2π/T : � = 	 ∙ 
 ∙
�
�
O período do oscilador linear é diretamente proporcional à massa
do corpo (maior m � maior inércia) e inversamente proporcional
à constante da mola (maior k � maior força � maior aceleração).
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O efeito de k e m no gráfico da posição é ilustrado abaixo:
� = � ∙ � ∙
�
�
x(t) = Acos ωt + φ
0( )
� =
�
�
Um bloco preso em uma mola é puxado 20cm 
para a direita e solto em t=0s. Ele faz 15 
oscilações em 10 segundos
Qual é o período de oscilação?
Qual é o módulo velocidade máxima do objeto?
Quais são a posição e a velocidade em t=0.8s?
Um bloco preso em uma mola é puxado 20cm 
para a direita e solto em t=0s. Ele faz 15 
oscilações em 10 segundos
Qual é o período de oscilação?
15
10sec
1
1.5
oscilationsf Hz
T
= = =
1 1
0.67
1.5
T s
f Hz
= = =
Um bloco preso em uma mola é puxado 20cm 
para a direita e solto em t=0s. Ele faz 15 
oscilações em 10 segundos
Qual é o módulo da velocidade máxima do objeto?
max
2A
v A
T
π
ω= =
( )
( )
max
0.2 2
1.88 /
0.67
m
v m s
s
π
= =
( )
( )( )d x t
v t
dt
=	 
 = � ∙ �
� � ∙ 
 + �
v � = −� ∙ ω ��� � ∙ �+�
V (t) é máxima quando ��� � ∙ �+� = 	
Um bloco preso em uma mola é puxado 20cm 
para a direita e solto em t=0s. Ele faz 15 
oscilaçõesem 10 segundos
Quais são a posição e a velocidade em t=0.8s?
	 
 = � ∙ �
� � ∙ 
 + � v 
 = −� ∙ ω ��� � ∙ 
 + �
Mas quem é φ ? É a constante de fase, que é determinada a partir das condições
iniciais do movimento oscilatório, que no caso é : x(t=0) = 0,2 m
Então : 	 � = �,� ∙ �
� � ∙ � + � = �,� �
Logo o valor de φ tem que ser tal que essa igualdade seja válida, 
ou seja, a constante de fase , NESSE CASO, é zero.
Um bloco preso em uma mola é puxado 20cm 
para a direita e solto em t=0s. Ele faz 15 
oscilações em 10 segundos
Quais são a posição e a velocidade em t=0.8s?
( ) ( ) ( ) ( )( )cos 0.2 cos 0.8 0.0625x t A t m s mω= = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )sin 0.2 sin 0.8 1.79 /v t A t m s m sω ω ω ω= − = − = −
Então , agora sabendo a constante de fase, podemos determinar a 
posição, velocidade e aceleração do oscilador em QUALQUER INSTANTE, 
uma vez que conheço a equação de movimento do oscilador desse 
problema especificamente : 	 
 = �,� ∙ �
� � ∙ 
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Uma massa oscilando em MHS inicia em x=A e 
tem período de oscilação T. Em que tempo 
(como fração de T) o objeto passa a primeira
vez por 0.5A?
( )
2
cos
( ) 0.5
t
x t A
T
x t A
π 
=  
 
=
2
0.5 cos
t
A A
T
π 
=  
 
( )1cos 0.5
2
T
t
π
−
=
2 3
T
t
π
π
 
= 
  6
T
t =
Um objeto preso a uma mola oscila com periodo de 0,8s e 
amplitude de 10cm. Em t=0s, ele está 5 cm a esquerda do 
equilíbrio e movendo-se para a esquerda. Qual é a posição e 
o sentido do movimento em t=2s?
x(t) = Acos ωt + φ
0( )
( )
0
cos05,0)0( φAmx =−=Condições Iniciais (t=0):
rad
m
m
A
x
 
3
2
120
1,0
05,0
coscos
101
0
πφ =°=




 −
=





= −−
Do período:
srad
sT
/85,7
8,0
22
===
ππ
ω
rad 
3
2
0
πφ =
( ) 





+= π
3
2
285,7cos1,0)2(x
mx 05,0)2( =
srad /85.7=ω
Um objeto preso a uma mola oscila com periodo de 0.8s e 
amplitude de 10cm. Em t=0s, ele está 5 cm a esquerda do 
equilíbrio e movendo-se para a esquerda. Qual é a posição e 
o sentido do movimento em t=2s?
mA 1,0=
Sabendo agora : 
Substituo em : ( )0cos)( φω += tAtx
?)2( stx =
Atenção unidades !
rad 
3
2
0
πφ =
( ) 





+−= π
3
2
285,7.85,7.1,0)2( senv
mx 05,0)2( =
srad /85.7=ω
Um objeto preso a uma mola oscila com periodo de 0.8s e 
amplitude de 10cm. Em t=0s, ele está 5 cm a esquerda do 
equilíbrio e movendo-se para a esquerda. Qual é a posição e 
o sentido do movimento em t=2s?
mA 1,0=Sabendo agora : 
Atenção unidades !
qual o sentido do movimento?
v � = −� ∙ ω ��� � ∙ �+�
-0,87
Como v vai dar +, o sentido do movimento vai ser ...
mx 05,0)2( =
t=2s
t=0,1s
t=0,3s t=0,4s t=0,5s
t=0,7s t=0,6st=0,8s
-0,1 0,10 0,05-0,05
t=0
(m)
Um objeto preso a uma mola oscila com periodo de 0,8s e 
amplitude de 10cm. Em t=0s, ele está 5 cm a esquerda do 
equilíbrio e movendo-se para a esquerda. Qual é a posição e 
o sentido do movimento em t=2s?
t=0,2s
Sentido positivo !
A energia mecânica no oscilador linear :
A energia mecânica sempre é dada pela soma da
energia cinética com as energias potenciais:
�� = 	+
� +
�
Considerando um sistema bloco-mola na horizontal, a
altura do sistema não varia e podemos considerar que ele
está sempre em y = 0, de forma que Ug será sempre igual a
zero.
Energia Mecânica do oscilador 
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Como a mola é ideal, desprezamos sua massa, de forma
que toda energia cinética do oscilador está relacionada ao
bloco:
	 � =
�
�
∙
 ∙ � � �
	 � =
�
�
∙
 ∙ −� ∙ � ∙ ��� � ∙ �+� �
	 � =
�
�
∙
 ∙�� ∙ �� ∙ ��� � ∙ �+� �
E podemos ver que a energia cinética do oscilador
varia em função do tempo.
Já a energia potencial do oscilador está relacionada à mola, que
é o único corpo que se deforma elasticamente:
� � =
�
�
∙ � ∙ � � �
� � =
�
�
∙ � ∙ � ∙ ��� � ∙ �+� �
� � =
�
�
∙ � ∙ �� ∙ ��� � ∙ �+� �
E podemos ver que a energia potencial elástica do oscilador
varia em função do tempo.
�� =
�
�
∙
 ∙�� ∙ �� ∙ ��� � ∙ �+� �
+
�
�
∙ � ∙ �� ∙ ��� � ∙ �+� �
Portanto teremos para a energia mecânica do oscilador :
�� = � 
�Lembrando que deduzimos anteriormente:
�� =
�
�
∙
 ∙ � 
� ∙ �
�
∙ ��� � ∙ �+� �
+
�
�
∙ � ∙ �� ∙ ��� � ∙ �+� �
�� =
�
�
∙ � ∙ �� ∙ ��� 	 ∙ 
 +� � + �
� 	 ∙ 
 +� �
Colocando os termos comuns em evidência:
Lembrando da matemática básica, [sen(α)]2 + [cos(α)]2 = 1 :
�� =
�
�
∙ � ∙ ��
E podemos ver que a energia mecânica do oscilador NÃO
varia em função do tempo!! Embora K e Ue variem
continuamente, a sua soma tem sempre o mesmo valor para um
mesmo oscilador. Como estamos desprezando a resistência do ar
e o atrito, em todos os casos a EM se conservará.
Representando graficamente a evolução de EM, K e Ue em função
do tempo, para um caso onde o bloco parte de +A ou –A, temos:
OBS: o fato de EM ser constante no tempo e depender do
quadrado da amplitude não é uma característica particular do
oscilador linear mas sim uma propriedade verificada em
qualquer sistema oscilando em MHS, embora a forma de
EM possa ser diferente (não teremos k para um pêndulo
simples, por exemplo).
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Um bloco de 500 g preso em uma mola é a puxado a uma distância de 
20 cm e solto. As oscilações geradas tem um periodo de 0,8 s. Em qual
posição ou posições a velocidade do bloco tem módulo de 1,0m/s?
Um bloco de 500 g preso em uma mola é a puxado a uma distância de 
20 cm e solto. As oscilações geradas tem um periodo de 0,8 s. Em qual
posição ou posições a velocidade do bloco tem módulo de 1,0m/s?
O movimento é MHS e a Energia é conservada.O movimento é MHS e a Energia é conservada.
1
2
mv
2
+
1
2
kx
2
=
1
2
kA
2
kx
2
= kA
2
−mv
2
x = A
2
−
m
k
v
2
x = A
2
−
v
2
ω
2
ω =
2π
T
=
2π
0.8s
= 7.85rad /s
x = ±0.15m
E
F
=E
I
... OSCILAÇÕES
PÊNDULOS... 
Oscilações
O oscilador angular ou pêndulo de torção:
O oscilador angular é um
sistema formado por um fio
/cabo/corda inextensível e de
massa desprezível que pode ser
torcido, tendo uma constante de
torção κ, e um corpo de massa
m preso à uma extremidade do
fio, que pode girar livremente
quando o fio é torcido.
Nesse caso, ao invés de termos
uma força restauradora temos
um torque restaurador, já que o
objeto executa uma oscilação
angular.���� � = −� ∙ � �
� ∙ � � = −� ∙ � �
−� ∙�� ∙ � � = −� ∙ � � �� = � ��
� =
�
�
E comoω=2π/T : � = � ∙ � ∙
�
�
���	 � = ���� �
Como esse movimento também é umMHS, lembre que:
� � = �
�� ∙ ��� � ∙ �+�
� � = −�� ∙ �
�� ∙ ��� � ∙ �+�
O pêndulo simples é um sistema
idealizado, formado por um fio/cabo/corda
inextensível, de massa desprezível e de
comprimento L, e um corpo puntiforme de
massa m preso à uma extremidade do fio,
que descreve um arco de círculo em torno
de um eixo que passa pelo pivô (ponto
onde a outra extremidade da corda está
presa).
O pêndulo simples: Enquanto Py (= m.g.cos(θ)) e T se equilibram, Px (= m.g.sen(θ))
atua como força restauradora.
Interpretando o movimento
em termos do torque
restaurador gerado por Px,
teremos:
� ∙ � �
= −
 ∙ � ∙ � ∙ ���� �
���	 � = �
� �
−� ∙�� ∙ � �
= −
 ∙ � ∙ � ∙ ���� �
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E na verdade não podemos resolver essa relação, porque o
torque de Px depende do seno de θ e não de θ, de forma que a
rigor esse movimento não é umMHS.
−� ∙�� ∙ � � = −
 ∙ � ∙ � ∙ ���� �
Mas quando o pêndulo oscila com pequenas amplitudes, o
ângulo θ entre a corda e a vertical é pequeno e podemos
fazer uma aproximação e igualar sen(θ) = θ. Assim ficaremos
com:
−� ∙�� ∙ � � = −
 ∙ � ∙ � ∙ � �
�� =
 ∙ � ∙ � ��
� =

 ∙ � ∙ �
�
� = � ∙ � ∙
�

 ∙ � ∙ �
Como no pêndulo simples sempre consideramos a massa como
uma partícula na extremidade da corda, teremos I = m.r2 = m.L2 :
� = � ∙ � ∙
�
�
� =
�
�
Então o período do pêndulo simples NÃO depende da massa m
do corpo, apenas da aceleração da gravidade g e do
comprimento da corda L.
Pequenas amplitudes ? Relógio de pêndulo
Para qual comprimento o pêndulo terá um período de exatamente 1 s?
ω =
g
L
T = 2π
L
g
g
T
2π
 
 
 
 
 
 
2
=L
L = 9.8m/s2
1s
2π
 
 
 
 
 
 
2= 0.248m
( Considerando ele como um pêndulo simples )
O pêndulo físico:
Um pêndulo físico consiste em
um objeto de forma e tamanho
quaisquer que está preso em
um ponto, que não seja o seu
centro de gravidade cg, à um
pivô/eixo fixo em torno do qual
o corpo pode girar livremente.
Quando o corpo é afastado de
sua posição de equilíbrio e
liberado, ele passa a oscilar de
forma que cada ponto do corpo
descreve um arco de círculo em
torno do eixo fixo.
Assim como no caso do pêndulo simples, aqui Px (= m.g.sen(θ)) é
quem atua como força restauradora.
Como Px, atua no centro de gravidade
do objeto, a distância que entra no
torque de Px é a distância h do eixo de
rotação ao centro de gravidade.
Note também que como o eixo
nunca estará no centro de
gravidade, o momento de
inércia terá que ser
calculado pelo teorema dos
eixos paralelos, onde entrará
a mesma distância h.
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� ∙ � � = −
 ∙ � ∙ ∙ ���� �
���	 � = �
� �
−� ∙�� ∙ � � = −
 ∙ � ∙ ∙ ���� �
E aqui novamente temos que fazer uma aproximação de chamar
sen(θ) = θ. Então nossas equações para o pêndulo físico, assim
como as equações para o pêndulo simples, só valem para
pequenas amplitudes de oscilação onde o ângulo θ não
excede ~ 10°
−� ∙�� ∙ � � = −
 ∙ � ∙ ∙ � �
�� =
 ∙ � ∙ ��
� =

 ∙ � ∙ 
�
� = � ∙ � ∙
�

 ∙ � ∙ 
E analogamente, eis as expressões para ω e T :
THE END ! 
ACABOU O CONTEÚDO
TEÓRICO !
MHS e MCU
MCU projetado em
uma dimensão é 
um MHS ! 
Projetor de LUZ 
Mov. 
Circular 
da bola
Disco girante
Bola
Sombra
Tela
Oscilação da sombra da bola
MHS de um sist. Massa-mola