Aula 24 - Equilíbrio

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14/06/2016
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Equilíbrio
estático
Dizemos que um sistema ou corpo está em EQUILÍBRIO quando
o seu estado de movimento não varia com o passar do tempo.
Isso implica em:
Note que um corpo em MRU ou em MCU estará em equilíbrio,
pois seu momento linear ou angular não varia com o tempo.
Nesse capítulo estamos interessados mais especificamente no
EQUILÍBRIO ESTÁTICO, onde não só a variação
temporal do momento linear e/ou angular é nula, mas o
momento linear e o momento angular do sistema são sempre
nulos. Isso implica em:
EE
EE
Note que as relações são vetoriais e é
necessário considerar a direção e o sentido
de todas as forças e torques em questão:
τanti-horário = positivo
τhorário = negativo
Exemplo:– Equilibrando uma barra em duas balanças
Uma barra homogênea de comprimento L e massa m = 1,8 kg é
colocada sobre duas balanças, de forma que o sistema fica em
equilíbrio estático.
a) Qual a leitura em cada balança se elas forem colocadas sob
as extremidades da barra?
b) Qual a leitura em cada balança se a balança da esquerda for
mantida sob a extremidade esquerda da barra mas a balança da
direita for deslocada de L/3 em direção ao CM da barra?
c) Considere novamente que cada balança está sob uma
extremidade da barra, mas agora alguém também coloca um
bloco de massa M = 2,7 kg sobre a barra, à uma distância L/4
da extremidade esquerda da barra. Qual a leitura em cada
balança agora, se o sistema está em equilíbrio estático ?
a) Qual a leitura em cada balança se elas forem colocadas sob
as extremidades da barra?
Resolução Geral:
1 – Escolha o objeto que vai analisar (aquele no qual atuam
mais forças de interesse)
2 – Desenhe todas as forças que atuam SOBRE aquele objeto e
sobre ele apenas, colocando-as no ponto exato em que agem.
3 – Escolha um ponto no objeto para colocar a origem em
relação à qual você irá calcular os torques. Faça essa escolha
estrategicamente, pois anular o torque de uma força que não é
conhecida pode ser a chave para resolver um problema.
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Aplicando primeiro o equilíbrio de forças:
referencial
Note que essa relação diz que a soma das forças normais é
igual ao peso, mas ela não diz nada sobre cada normal ser
metade do peso. E essa relação por si só não permite resolver
o problema.
Aplicando agora o equilíbrio dos torques, com a origem na
extremidade esquerda da barra:
Agora sim, a relação dos torques prova que cada normal
deve valer a metade do peso. Note que nem precisaríamos ter
feito o equilíbrio de forças para responder essa questão, a
relação dos torques por si só já permite resolver o problema
quando a origem é escolhida adequadamente.
Obviamente, se N
d
vale metade do peso então:
b) Qual a leitura em cada balança se a balança da esquerda for
mantida sob a extremidade esquerda da barra mas a balança da
direita for deslocada de L/3 em direção ao CM da barra?
Se você prestou um mínimo de atenção na letra a), vai querer
começar calculando o equilíbrio dos torques... E colocando a
origem na extremidade da esquerda, mais uma vez.
Logicamente,
E a relação dos torques já mostra diretamente que as leituras
das balanças têm valores diferentes, sendo que a balança
mais próxima do CM da barra sustenta uma fração maior do
peso da barra.
Note que a mesma resposta deve ser obtida independentemente
de onde você escolhe a origem!! Verifique isso você mesmo
resolvendo esse ítem com a origem colocada no CM da barra.
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c) Considere novamente que cada balança está sob uma
extremidade da barra, mas agora alguém também coloca um
bloco de massa M = 2,7 kg sobre a barra, à uma distância L/4
da extremidade esquerda da barra. Qual a leitura em cada
balança agora, se o sistema está em equilíbrio estático ?
Aplicando primeiro o equilíbrio de forças:
referencial
E agora o equilíbrio de torques, com a origem na extremidade
direita da barra:
Ou seja, a balança da esquerda suporta metade do peso
da barra e três quartos do peso do bloco.
Por lógica ou usando a equação do equilíbrio das forças,
chegamos então a:
(A) Somente o 2
(B) Somente o 3
(C) Somente o 1 e o 2
(D) Todos os três
(E) Somente o 1
Três bastões de composição uniforme, estão sendo alvo
de duas ou mais forças aplicadas, conforme as figuras.
Todas forças tem mesmo módulo e são aplicadas
perpendiculares ao bastão. Qual (quais) dos bastões
pode ficar em equilíbrio estático se uma (1) força
adicional é aplicada no centro de massa do bastão?
Então qual a resposta correta ???
Três bastões de composição uniforme, estão sendo alvo
de duas ou mais forças aplicadas, conforme as figuras.
Todas forças tem mesmo módulo e são aplicadas
perpendiculares ao bastão. Qual (quais) dos bastões
pode ficar em equilíbrio estático se uma (1) força
adicional é aplicada no centro de massa do bastão?
(A) Somente o 2
(B) Somente o 3
(C) Somente o 1 e o 2
(D) Todos os três
(E) Somente o 1
Então qual a resposta correta ???
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Escada – Problema Clássico de Equilíbrio
P
a
re
d
e
s
e
m
a
tr
it
o
Chão com atrito
Um homem sobe uma escada para pegar uma
nota de 100 dólares presa à um dardo. A escada
é homogênea, tendo L = 12 m de comprimento
e massa m = 45 kg. Ela está apoiada numa
parede lisa e no chão áspero. O homem tem
M = 72 kg e para, momentaneamente, quando
seu centro de gravidade está a L/3 ao longo da
escada. Nesse instante o sistema está em
equilíbrio estático. Sabendo que a distância
vertical (h) entre o topo da escada e o chão é
9,0 m
Calcule o módulo, direção e
sentido das forças exercidas
sobre a escada:
a) pela parede
b) pelo o chão.
P
a
re
d
e
s
e
m
a
tr
it
o
Chão com atrito
OBS 2: o ângulo α que F
chão
forma
com a horizontal não tem nada a ver
com o ângulo θ que a escada forma
com a horizontal!!
Calcule o módulo, direção e sentido das
forças exercidas sobre a escada:
a) pela parede
b) pelo o chão. OBS: como ilustrado na figura, tanto N
c
quanto f
e
são exercidas pelo chão sobre
a escada. Sendo assim, a força exercida
pelo chão sobre a escada, chamada de
força de reação, é a soma vetorial de
N
c
e f
e
.
P
a
re
d
e
s
e
m
a
tr
it
o
Chão com atrito
referencial
Aplicando primeiro o equilíbrio de forças:
?
Aplicando agora o equilíbrio dos
torques, com a origem no ponto
de contato entre o chão e a
escada (por que foi escolhida essa
origem?) :
P
a
re
d
e
s
e
m
a
tr
it
o
Chão com atrito
Calcule o módulo, direção e
sentido das forças exercidas sobre
a escada:
a) pela parede
b) pelo o chão.
Semelhança
de triângulos:
Importante: IDENTIFICAR 
ÂNGULOS entre r e a F 
CORRETAMENTE !
Torque do Peso da Escada:
Torque da Normal da Parede
ou
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Torque do Peso da Escada:
Voltando ao equilíbrio 
dos torques: 
Torque do Peso do homem ??
Torque do Peso do Homem
Voltando ao 
equilíbrio dos 
torques: 
P
a
re
d
e
s
e
m
a
tr
it
o
Chão com atrito
Lá do Equilíbrio das forças : 
do Equilíbrio dos Torques: 
Calcule o módulo, direção e sentido das
forças exercidas sobre a escada:
a) pela parede
b) pelo o chão.
P
a
re
d
e
s
e
m
a
tr
it
o
Chão com atrito
a) força exercida sobre a escada pela parede:
x
y
Calcule o módulo, direção e sentido das
forças exercidas sobre a escada:
a) pela parede
b) pelo o chão.
Calcule o módulo, direção e sentido das
forças exercidas sobre a escada:
a) pela parede
b) pelo o chão.
b) força exercida sobre a escada pelo chão:
x
y
Isso prova o que foi dito no início do
problema: o ângulo α = 71° que
F
chão
forma com a horizontal não
tem nada a ver com o ângulo θ =
49° que a escada forma com a
horizontal!!