Aula 25 - Oscilações Início

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15/06/2016
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Oscilações e 
movimento 
harmônico simples
(M.H.S)
https://web2.ph.utexas.edu/~coker2/index.files/sho3.html
Na física chamamos de oscilação qualquer movimento de
vai-e-vem em torno de uma posição de equilíbrio e que se repete
periodicamente.
Grandezas importantes no estudo das oscilações são
o período T, tempo necessário para completar uma oscilação,
e a frequência f, número de oscilações por unidade de tempo.
Como vocês já sabem, a relação entre as duas grandezas é:
Oscilações:
� =
�
�
[s] [(1/s)=Hz]� =
�
�
Posição
Posição
Posição
A oscilação ocorre em torno 
da posição de equilíbrio
Um ciclo dura um 
tempo T
Essa oscilação é
SENOIDAL
Oscilações:
Movimento oscilatório 
é sempre em torno de 
uma posição de 
equilíbrio
Movimento 
oscilatório é 
periódico
Movimento de balanço 
e vibrações são formas 
do movimento 
oscilatório
Objetos que executam o 
movimento oscilatório são 
chamados de 
OSCILADORES
Movimento Harmônico Simples (MHS) :
Nos concentraremos no
estudo de sistemas oscilantes
que executam um movimento
harmônico simples. Nesse
tipo de oscilação a posição é
uma função senoidal do tempo
e sempre há uma força
restauradora que aponta para
o ponto de equilíbrio do
sistema e tem sinal oposto ao
da posição.
Oscilação
O ponto de 
medida
x é medido a 
partir da 
posição de 
equilíbrio
o movimento é simétrico em torno da 
posição de equilíbrio. A máxima distância 
para a esquerda e para a direita é A.
o movimento é 
senoidal, 
indicando MHS
Movimento Harmônico Simples (MHS) :
Oscilação
O ponto de 
medida
x é medido a 
partir da 
posição de 
equilíbrio
o movimento é simétrico em torno da 
posição de equilíbrio. A máxima distância 
para a esquerda e para a direita é A.
o movimento é 
senoidal, 
indicando MHS
O deslocamento máximo do 
objeto em relação a sua posição
de equilíbrio é chamado de 
AMPLITUDE (A) do movimento.
deslocamento
período
tempo
amplitude
Movimento Harmônico Simples (MHS) :
Posição no MHS :
A posição em função do tempo para qualquer sistema que
oscile em MHS (seja bloco-mola, pêndulo simples, etc.) será
dada pela “equação do MHS”:
� � = � ∙ ��� � ∙ �+�
Termo de amplitude Termo de fase
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� � = � ∙ ��� � ∙ �+�
� � Posição em função do tempo, dada em [m]
� Amplitude de oscilação (distância máxima atingida
em relação ao ponto de equilíbrio), dada em [m]
� Frequência angular de oscilação (taxa de variação
do ângulo da função cosseno com o tempo, é o
equivalente angular da frequência f do movimento),
dada em [rad/s]
� = 	 ∙ 
 ∙ � =
	 ∙ 
�
� Constante de fase do movimento (indica a posição
inicial do sistema), dada em [rad]
Posição no MHS : MHS e MCU
MCU projetado em
uma dimensão é 
um MHS ! 
Projetor de LUZ 
Mov. 
Circular 
da bola
Disco girante
Bola
Sombra
Tela
Oscilação da sombra da bola
MHS de um sist. Massa-mola 
Amplitude quando a 
função cos tem seus 
valores máximos
1 e -1
+�−�
A figura abaixo ilustra uma sequência temporal (cada linha é um 
instante de tempo) do movimento de uma partícula que oscila em 
torno da posição de equilíbrio x = 0.
A sequencia de
posições da partícula
em função do tempo
forma uma cossenóide.
Num período completo
(de t = 0 a t = T) a
partícula vai do valor
positivo da amplitude
para o valor negativo
da amplitude e então
retorna ao valor
positivo da amplitude,
fechando uma
oscilação completa.
x
Gráfico da posição em função do tempo (x vs t) :
Amplitude determina a altura da onda
Período/frequência angular determina
o espaçamento entre as cristas.
Constante de fase determina a posição inicial da
curva, ou seja, onde ela corta o eixo dos x em t=0
( Em metros )
( Em segundos )
Convenção de valores para a constante de fase:
� = � quando o 
sistema parte de +A
� = � quando o 
sistema parte de -A
� = � �⁄ quando o sistema parte da origem, indo para -A
� = �� �⁄ quando o sistema parte da origem, indo para +A
Constante de fase � :
A velocidade em função do tempo para um sistema em MHS será
a derivada da posição em relação ao tempo:
Velocidade no MHS :

 � =
�� �
��
=
� � ∙ ��� � ∙ �+�
��

 � = −� ∙ � ∙ ��� � ∙ �+�
Portanto, a velocidade máxima �
���
para um sistema em MHS
ocorrerá para o valor máximo do seno (1) e será:

��� = � ∙ �
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A aceleração em função do tempo para um sistema em MHS será
a derivada da velocidade em relação ao tempo:
� � =
�
 �
��
=
� −� ∙ � ∙ ��� � ∙ �+�
��
� � = −�� ∙ � ∙ ��� � ∙ �+�
Portanto, a aceleração máxima �
���
para um sistema em MHS
ocorrerá para o valor máximo do cosseno (1) e será:
���� = �
�
∙ �
� � = −�� ∙ � � Marca registrada do MHS
Aceleração no MHS : Relações entre x(t), v(t) e 
a(t) no MHS :
+�
−�
�
+��
−��
�
�
Sempre que x(t) atinge um
valor máximo, v(t) é zero e
a(t) atinge um valor máximo
de sinal oposto ao de x(t)
+���
−���
A curva de v(t) está sempre
deslocada de T/4 para a esquerda
em relação à curva de x(t). Assim
como a curva de a(t) está sempre
deslocada de T/4 para a esquerda
em relação à curva de v(t). Essa
DEFASAGEM de π/2 vem da
diferença entre seno e cosseno.
� � = −�� ∙ � ∙ ��� � ∙ � +	
 � = −� ∙ � ∙ ��� � ∙ � +	

 � = � ∙ ��� � ∙ � +	
Força resultante no MHS :
���� � = � ∙ � � = −� ∙�
�
∙ � �
A boa e velha 2ª lei de Newton também vale para o MHS,
levando-se em conta que a força resultante não é constante mas
varia com o tempo:
Ou seja, o módulo de F
res
é uma função linear da posição e o
sinal (sentido) de F
res
é sempre oposto ao da posição.
Por isso a força atuando em um MHS é chamada de força
restauradora, já que sempre tende a trazer o sistema de volta à
posição de equilíbrio.
Exemplos de sistemas que executam um MHS :
Vários sistemas executam na prática um movimento muito
semelhante à um MHS. Para facilitar o tratamento matemático,
nessa seção analisaremos sistemas idealizados, na medida em
que os efeitos de atrito e resistência do ar serão desprezados.
O oscilador linear ou sistema massa-mola:
+�−� �
O oscilador linear é um
sistema formado por uma
mola ideal de constante k
e um corpo de massa m
preso à mola, que oscila
livremente quando
retirado da sua posição
de equilíbrio .
A figura ao lado ilustra a variação
de x(t), v(t) e a(t) em função do
tempo para um oscilador linear
formado por uma mola ideal e um
corpo preso à mola, que oscila
livremente sobre um trilho de ar.
Note que x(t), v(t) e a(t) seguem as
equações do MHS descritas nos
slides anteriores; quando x(t) é
zero, v(t) é máxima e a(t) também é
zero.
Como estamos desprezando o atrito, a única força agindo durante
a oscilação é a força da mola. Então temos que:
���� � = ���	� � � ∙ � � = −� ∙ � �
−� ∙�� ∙ � � = −� ∙ � � �� = � ��
� =
�
�
E como ω=2π/T : � = 	 ∙ 
 ∙
�
�
O período do oscilador linear é diretamente proporcional à massa
do corpo (maior m � maior inércia) e inversamente proporcional
à constante da mola (maior k � maior força � maior aceleração).
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O efeito de k e m no gráfico da posição é ilustrado abaixo:
� = � ∙ � ∙
�
�
x(t) = Acos ωt + φ
0( )
� =
�
�
Um bloco preso em uma mola é puxado 20cm 
para a direita e solto em t=0s. Ele faz 15 
oscilações em 10 segundos
Qual é o período de oscilação?
Qual é o módulo velocidade máxima do objeto?
Quais são a posição e a velocidade em t=0.8s?
Um bloco preso em uma mola é puxado 20cm 
para a direita e solto em t=0s. Ele faz 15 
oscilações em 10 segundos
Qual é o período de oscilação?
15
10sec
1
1.5
oscilationsf Hz
T
= = =
1 1
0.67
1.5
T s
f Hz
= = =
Um bloco preso em uma mola é puxado 20cm 
para a direita e solto em t=0s. Ele faz 15 
oscilações em 10 segundos
Qual é o módulo da velocidade máxima do objeto?
max
2A
v A
T
π
ω= =
( )
( )
max
0.2 2
1.88 /
0.67
m
v m s
s
π
= =
( )
( )( )d x t
v t
dt
=� � = � ∙ ��� � ∙ � + �
v � = −� ∙ ω ��� � ∙ �+�
V (t) é máxima quando ��� � ∙ �+� = �
Um bloco preso em uma mola é puxado 20cm 
para a direita e solto em t=0s. Ele faz 15 
oscilaçõesem 10 segundos
Quais são a posição e a velocidade em t=0.8s?
� � = � ∙ ��� � ∙ � + � v � = −� ∙ ω 	
� � ∙ � + �
Mas quem é φ ? É a constante de fase, que é determinada a partir das condições
iniciais do movimento oscilatório, que no caso é : x(t=0) = 0,2 m
Então : � � = �,
 ∙ ��� � ∙ � + � = �,
 �
Logo o valor de φ tem que ser tal que essa igualdade seja válida, 
ou seja, a constante de fase , NESSE CASO, é zero.
Um bloco preso em uma mola é puxado 20cm 
para a direita e solto em t=0s. Ele faz 15 
oscilações em 10 segundos
Quais são a posição e a velocidade em t=0.8s?
( ) ( ) ( ) ( )( )cos 0.2 cos 0.8 0.0625x t A t m s mω= = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )sin 0.2 sin 0.8 1.79 /v t A t m s m sω ω ω ω= − = − = −
Então , agora sabendo a constante de fase, podemos determinar a 
posição, velocidade e aceleração do oscilador em QUALQUER INSTANTE, 
uma vez que conheço a equação de movimento do oscilador desse 
problema especificamente : � � = �,
 ∙ ��� � ∙ �