Artigo sobre Flecha Declividade Equação da linha elástica Resmat II

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Artigo de 
Resistência dos 
Materiais II 
Flecha 
Declividade 
Equação da linha elástica 
 
 
 
Ano 
2020 
Danilo Alves Aguena 
Faculdade de Tecnologia de São Paulo 
04/08/2020 
∫ 
Resistência dos Materiais II Flecha, Declividade e Equação da Linha Elástica 
 
2. Para a barra dada, pelo Método da dupla integração, 
determinar: 
a. A equação da linha elástica 
b. A flecha e a declividade no ponto x = 1 
Dados: L = 2m ; q = 30kN/m 
Rigidez Flexional EIZ = 8MNm² 
 
 
 
EIZ . d²y = MZ 1 
 d x² 
 
MZ = - q . x² 2 
 2 
 
 
 
 
 
 
Com 2 em 1 
 
 EIZ . d²y = - q . x² 3 
 d x² 2 
 
 
Integrando 3 
 
EIZ . d y = - q . x² 
 d x 2 
 
EIZ . d y = - q . 1 x² dx 
 d x 2 
 
EIZ . d y = - q . 1 . x³ + C1 
 d x 2 3 
 
EIZ . d y = - q . x³ + C1 4 
 d x 6 
 
Integrando 4 
 
EIZ . y = - q . x³ + C1 dx 
 6 
 
EIZ . y = - q . x³ dx + C1 dx 
 6 
EIZ . y = - q . 1 x³ dx + C1 dx 
 6 
 
EIZ . y = - q . 1 . x4 + C1 . x + C2 
 6 4 
 
EIZ . y = - q . x4 + C1 . x + C2 5 
 24 
 
Condições de contorno 
 
 x B = L ; y B = 0 ; θ B = 0 6 
 
Com 6 em 4 
 
EIZ . d y = - q . x³ + C1 
 d x 6 
 
EIZ . θ B = - q . L³ + C1 
 6 
 
 0 = - q . L³ + C1 
 6 
 
 - C1 = - q . L³ .(-1) 
 6 
 C1 = q . L³ 7 
 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com 6 e 7 em 5 
 
EIZ . y = - q . x4 + C1 . x + C2 
 24 
 
EIZ . 0 = - q . L4 + q . L³. L + C2 
 24 6 
 
 
 0 = - q . L4 + q . L4 + C2 
 24 6 
 
 - C2 = - q . L4 + q . L4 (-1) 
 24 6 
 
 C2 = + q . L4 - q . L4 
 24 6 
 
 C2 = q . L4 1 – 1 
 24 6 
 
 C2 = q . L4 1 – 4 
 24 
 
 C2 = q . L4 - 3 
 24 
 
 C2 = - q . L4 8 
 8 
 
 Com 7 em 4 
 
EIZ . d y = - q . x³ + C1 
 d x 6 
 
EIZ . θ X = - q . x³ + C1 
 6 
 
EIZ . θ X = - q . x³ + q . L³ 
 6 6 
 
EIZ . θ X = q . (- x³ + L³) 
 6 
 
θ X = q .(- x³ + L³) 9 
 EIZ . 6 
 
 
 
Com 7 e 8 em 5 
 
 EIZ . y = - q . x4 + C1 . x + C2 
 24 
 
 EIZ . y = - q . x4 + q . L³ . x – q . L4 
 24 6 8 
 
 EIZ . y = - 1 . q . x4 + 4 . q . L³ . x – 3 . q . L4 
 24 
 
 y = - 1 . q . x4 + 4 . q . L³ . x – 3 . q . L4 
 EIZ . 24 
 
 y = q .(- x4 + 4.L³.x – 3.L4 ) 10 
 EIZ . 24 
A salvação está em Jesus Cristo! 04.Agosto.2020 
q = 30kN/m 
A B 
X 
Y 
L = 2m 
∫ 
∫ 
∫ 
∫ 
∫ 
∫ 
 
Resistência dos Materiais II Flecha, Declividade e Equação da Linha Elástica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x = 1m 11 
 
 
Com 11 em 9 
 
θ X = q . [- x³ + L³] 
 EIZ . 6 
 
θ X = q . [- 1³+ L³] 
 EIZ . 6 
 
θ X = q . [- 1 + L³] 
 EIZ . 6 
 
Com 11 em 10 
 
y = q . (- x4 + 4.L³ . x – 3.L4 ) 
 EIZ . 24 
 
y = q . [- 14 + 4.L³ . 1 – 3.L4 ] 
 EIZ . 24 
 
y = q . [- 1 + 4.L³ – 3.L4 ] 
 EIZ . 24 
 
Equação da linha elástica 
 
y = q .(- x4 + 4.L³.x – 3.L4 ) 
 EIZ . 24 
Declividade 
 
 
 
θ (x = 1) = q . [- x³ + L³] 
 EIZ . 6 
 
θ (x = 1) = 30 x 10³ . [- 1³ + 2³] 
 8 . 106 . 6 
 
θ (x = 1) = 30 x 10³ . [- 1 + 8 ] 
 8 . 106 . 6 
 
θ (x = 1) = 30 x 10³ . [ 7 ] 
 48 x 106 
 
θ (x = 1) = 0,000625 . [ 7 ] 
 
 
 
θ (x = 1) = 0,004375 rad 
Flecha 
 
Y(x = 1) = q .[- x4 + 4.L³ . x – 3.L4 ] 
 EIZ . 24 
 
Y(x = 1) = 30 x 103 . [- 14 + 4 . 2³. 1 – 3 . 24 ] 
 8 . 106 . 24 
c 
Y(x = 1) = 30 x 103 . [ - 1 + 4 . 8 – 3 . 16 ] 
 192 x 106 
 
Y(x = 1) = 30 x 103 . [ - 1 + 32 – 48 ] 
 192 x 106 
 
Y(x = 1) = 30 x 103 . [ - 17 ] 
 192 x 106 
 
Y(x = 1) = 0,00015625 . [ - 17 ] 
 
Y(x = 1) = - 0,002656m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ 
 
A salvação está em Jesus Cristo! 04.Agosto.2020