Equação-da-Linha-Elástica1

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Equação da Linha Elástica –
Método da Integração 
Direta
Prof.ª Amanda Jarek
amanda@ufpr.br
Deflexão – Viga Deformada
Fonte: TCC Taia Marinho Pimenta - UFPB
Fonte: Profª Maria Fernanda Figueiredo de Oliveira (UERJ)
Linha Elástica
 Diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide da 
seção transversal.
x
v
x
v
qv
v
q
Linha Elástica
Rotação ou inclinação q(x)
Sentido anti-horário da linha horizontal à 
linha elástica
x
v q
(+)
x
v
q(-)
Deslocamento v(x)
x
v
v
(-)
x
v
v(+)
 Convenção de sinais
Linha Elástica
 A linha elástica pode ser esboçada a partir do diagrama de momento 
fletor e dos apoios da viga
Linha Elástica
 A linha elástica pode ser esboçada a partir do diagrama de momento 
fletor e dos apoios da viga
Relação momento-curvatura
raio de curvatura =
 
ds
dsds 

'

qddxds 
  q dyds '
 
q
qq

y
d
ddy





 

y


 
1
Relacionando a 
curvatura tem-se:
Relação momento-curvatura
y



1
 E
I
My

Lei de Hooke
Fórmula da flexão
EI
M


1  = raio de curvatura
M = Momento fletor
E = Módulo de elasticidade
I = Momento de inércia
EI = Rigidez à flexão
Fórmula da linha elástica
EI
M



1
• A maior parte da deformação é provocada pela flexão
• Os pontos na viga se deslocam apenas verticalmente
• A inclinação da curva elástica (dv/dx) é muito pequena
Hipóteses
EI
M
dx
vd

2
2
dx
dv
q
Equação diferencial
Resolução: Integração direta
2
2
2/3
2
2
2
1
1
dx
vd
dx
dv
dx
vd


















Fórmula da linha elástica
EI
M
dx
vd

2
2
dx
dv
q (rad)
)(xw
dx
dV

)(xV
dx
dM

(+)
V
M
Convenção de sinais
M
V
(+)
EI
M
dx
vd

2
2
dx
dv
q
EI
V
dx
vd

3
3
EI
w
dx
vd 

4
4
Fórmula da linha elástica
EI
M
dx
vd

2
2
dx
dv
q (rad)
(+)
V
M
Convenção de sinais
M
V
(+)
Fórmula da linha elástica
EI
M
dx
vd

2
2
dx
dv
q (rad)
(+)
V
M
Convenção de sinais
M
V
(+)
Revisão: E. D. por integração direta
Dada uma equação diferencial ordinária do tipo
)()( xfx
dx
yd
n
n

sendo n a ordem da derivada em y, pode-se achar y(x) integrando 
sucessivamente ambos os lados e aplicar condições de contorno para a 
resolução das constantes de integração.
54
2
2
 x
dx
yd
Exemplo:
  dxxdxdx
yd
)54(
2
2
1
2 52 cxx
dx
dy

  dxcxxdxdx
dy
)52( 1
2
21
23
2
5
3
2
cxc
xx
y 
2 incógnitas
2 condições de contorno
00 xy
20 x
dx
dy
02 c
21 c
x
xx
y 2
2
5
3
2 23

Equação da linha elástica 
 Condições de Contorno: em relação às deflexões e rotações nos apoios.
Segundo gênero
Primeiro gênero
Terceiro gênero
0)0( xv
0)0('')0(  xEIvxM
0)0( xv
0)0('')0(  xEIvxM
0)0( xv
0)0(')0(  xEIvxq
Exemplos: Condições de apoio
A
B
 Ex.1: Viga engastada e livre com uma carga pontual:
0)0(0/
0)0(0/


A
A
xxp
vxvxp
qq
 Ex.2: Viga biapoiada com carga distribuída:
0)0(/
0)0(0/


B
A
vxvLxp
vxvxp
qq
x
L
Exemplos: Condições de continuidade da 
LE e da tangente à LE
 Ex.3: Viga biapoiada com carga pontual:
 Trecho AC:
v1(x1) e q1(x1) C1 , C2 
qq CA B
x2
1
 Trecho CB:
v2(x2) e q2(x2) C3 , C4
 Condições de Continuidade:
Para x1=a e x2=b v1(a) = v2(b)
Para x1=a e x2=b q1(a) = - q2(b)