27 1 Nyquist Estabilidade UTFPR

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Introdução
Critério de Estabilidade de Nyquist
Análise da estabilidade Relativa
Margem de Fase e Margem de Ganho 
Aula 15 
Carlos Amaral
Fonte: Cristiano Quevedo Andrea
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica 
Curitiba, Maio de 2012. 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Introdução
Critério de Estabilidade de Nyquist
Análise da estabilidade Relativa
Margem de Fase e Margem de Ganho 
Resumo
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Introdução
Critério de Estabilidade de Nyquist
Análise da estabilidade Relativa
Margem de Fase e Margem de Ganho 
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Introdução
Critério de Estabilidade de Nyquist
Análise da estabilidade Relativa
Margem de Fase e Margem de Ganho 
Estabilidade Relativa
Em um sistema de controle exige-se que o sistema seja 
estável, e adicionalmente o sistema de controle em malha 
fechada deve possui uma adequada estabilidade relativa. 
Neste contexto, geralmente é um problema determinar 
todos os pólos de malha fechada e ainda aquelas mais 
próximos do eixo jω (os pólos dominantes). 
Ainda, pode-se determinar o diagrama de Nyquist do 
sistema de forma experimental, objetivando-se analisar a 
estabilidade em malha fechada. 
A análise de estabilidade descrita nesta aula abordará
sistemas com realimentação unitária. 
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Análise da estabilidade Relativa
Margem de Fase e Margem de Ganho 
considere o seguinte sistema em malha fechada: 
C(s) 
R(s) = 
G(s) (1)
1+G(s)H(s) 
Para a estabilidade todas as raízes do polinômio característico, 
1+G(s)H(s) = 0 (2)
devem ter parte real negativa. 
A estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência a malha 
aberta G(jω)H(jω) ao número de zeros e pólos de 1 + G(s)H(s) que 
estão no semiplano direito do semiplano s. 
Este critério é muito útil em engenharia de controle, pois podemos 
analisar a estabilidade absoluta de sistemas de controle apenas 
analisando a resposta em frequência do sistema de malha aberta. E 
neste caso, não é necessário calcular os pólos de malha fechada. 
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ESTUDO PRELIMINAR 
Considere a equação característica do sistema descrito 
anteriormente, 
F (s) = 1 + G(s)H(s) = 0 (3)
queremos mostrar que um dado percurso fechado e 
contínuo no plano s que não passe em quaisquer ponto de 
singularidade corresponde a uma curva fechada no plano 
F (s). 
Considere o seguinte sistema em malha aberta: 
G(s)H(s) = 6 
(s + 1)(s + 2) 
(4) 
assim a equação característica pode ser escrita como:
F (s) = (s + 1, 5 + j2, 4)(s + 1, 5 − j2, 4)
(s + 1)(s + 2) 
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= 0 (5) 
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Margem de Fase e Margem de Ganho 
A função F (s) é analítica em todos os pontos do plano s, exceto nos 
pontos de singularidade. Neste contexto, cada ponto do plano s é
mapeado no plano F (s). 
Considere s = 1 + j2, então F (s) torna-se: 
F (s) = 1, 115 − j0, 577 (6)
Portanto, um dado percurso fechado contínuo no plano s, que não 
passe por pontos de singularidades, corresponderá a uma curva 
fechada no plano F (s). 
Exemplos de Mapeamento de percursos fechado no plano s em F (s). 
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Na Figura (c) ilustrado anteriormente podemos verificar a 
seguinte característica: quando o contorno no plano s 
envolve dois pólos de F (s), o lugar geométrico de F (s) 
envolve a origem do plano F (s) duas vezes no sentido 
anti-horário. 
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Entretanto se for envolvido dois pólos e dois zeros, 
conforme ilustrado na Figura (b), o contorno em F (s) não 
engloba a origem no plano F (s). 
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Se o contorno no plano s envolver apenas um zero, no 
plano F (s) a origem é envolvida uma vez no sentido 
horário, vide Figura (e). 
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Por fim, se o contorno no plano s não envolver pólos e 
zeros então o contorno no plano F (s) não envolve a 
origem. 
O número N de envolvimentos na origem do plano F (s) no 
sentido horário corresponde ao número Z − P. 
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http://www.youtube.com/watch?v=gUjGvQbESps&feature=related . 
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No processo de análise de estabilidade consideraremos todos os 
contornos no semiplano s direito, conforme a figura abaixo: 
Este contorno é denominado percurso de Nyquist (sentido horário). O 
percurso de Nyquist envolve todo o semiplano se todos os pólos e 
zeros de 1 + G(s)H(s) que possuam parte real positiva. 
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Se não houver zeros no semiplano s direito, então lá
também não haverá pólos a malha fechada, e o sistema é
estável. 
Portanto, se o contorno envolver o semiplano s direito, 
então o número de zeros da função F (s) = 1 + G(s)H(s) 
no semiplano direito é igual ao número de pólos da função 
F (s) no semiplano direito do plano s mais o número de 
envolvimentos na origem de 1 + G(s)H(s) no sentido 
horário para a curva fechada. 
Vamos considerar a seguinte condição, 
lim [1 + G(s)H(s)] = constante (7)
s→∞
assim, não existe zero quando s→ ∞.
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A relação de mapeamento entre 1 + G(s)H(s) e G(s)H(s) 
é ilustrado na figura abaixo: 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST 
O critério de estabilidade de Nyquist (para sistema sem pólos 
ou zeros no eixo jω) afirma que se a função de transferência 
G(s)H(s) possuir k pólos no semiplano direito do plano s e 
lim G(s)H(s) = constante (8)
s→0 
então, para se ter estabilidade, o lugar G(jω)H(jω), a medida 
que ω varia de −∞ a ∞ deve envolver o ponto −1 + j0 k vezes 
no sentido anti-horário. 
Este critério pode ser expresso como: 
Z = N − P (9)
sendo, 
- Z: o número de zeros de 1 + G(s)H(s) no semiplano direito do plano s 
- N: o número de envolvimentos do ponto −1 + j0 no sentido horário 
- P: o número de zeros de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s 
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Se P for diferente de zero, para um sistema de controle 
estável, deve-se ter Z = 0 e N = −P, o que significa que 
deve-se ter P envolvimentos em −1 + j0 no sentido 
horário. 
SeP for igual a zero, temos Z=N. Neste caso não pode 
existir nenhuma envolvimento em torno de −1 + j0. 
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No caso de pólo e/ou zeros no eixo jω utiliza-se o seguinte 
contorno no plano s. 
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N. de polós
instavés da 
malha fechda
N. de 
contornos em 
-1 (horário)
N. de polós
instavés da 
malha 
ABERTA
Exemplo 1 http://www.youtube.com/watch?v=gUjGvQbESps&feature=related . 
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No caso de pólo e/ou zeros no eixo jω utiliza-se o seguinte 
contorno no plano s. 
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N. de polós
instavés da 
malha fechda
N. de 
contornos em 
-1 (horário)
N. de polós
instavés da 
malha 
ABERTA
Tenho 1 Pólo Instável na malha fechada!
Exemplo 2 http://www.youtube.com/watch?v=gUjGvQbESps&feature=related . 
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N. de polós
instavés da 
malha fechda
N. de 
contornos em 
-1 (horário)
N. de polós
instavés da 
malha 
ABERTA
http://www.youtube.com/watch?v=gUjGvQbESps&feature=related . Exemplo 3
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Aumentando o ganho... http://www.youtube.com/watch?v=gUjGvQbESps&feature=related . 
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ANÁLISE DE ESTABILIDADE 
Se o percurso de Nyquist no plano s envolver Z zeros e P pólos de 
1+G(s)H(s) e não passar por nenhum pólo ou zero e 1+G(s)H(s) 
no sentido horário, então o contorno correspondente no plano 
G(s)H(s) envolve o ponto −1 + j0 N = Z − P vezes no sentido horário. 
Valores negativos de N implica no sentido anti-horário. 
Geralmente ocorre 3 possibilidades: 
Não há envolvimento do ponto −1 + j0. Isto implica que o 
sistema é estável se não houver pólos de G(s)H(s) no 
semiplano direito do plano s, caso contrário o sistema é
instável. 
Há um ou mais envolvimento do ponto −1 + j0 no sentido 
anti-horário. Neste caso, o sistema é estável se N for igual 
ao número de pólos de G(s)H(s) no semiplano direito do 
plano s, caso contrário o sistema é instável. 
Há um ou mais envolvimento no sentido horário em 
−1 + j0, neste caso o sistema é instável. 
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Considere o mapeamento de Nyquist para s = σ + jω em 
G(s). Neste contexto é ilustrado o mapeamento para σ
constante e para ω constante. Assim, temos: 
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A maneira da aproximação de G(jω) do ponto −1 + j0 é
uma indicação da estabilidade relativa de um sistema 
estável. 
Em geral, pode-se esperar que quanto mais próximo o 
lugar geométrico estiver de G(jω) estiver de −1 + j0, maior 
será o overshoot e o tempo de estabelecimento para uma 
entrada do tipo degrau. 
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Considere a figura seguinte com a ilustração do diagrama 
polar de G(jω) para três valores de ganho. 
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Para o sistema anterior para grandes valores de K o 
sistema é instável, e para o valor intermediário de K o 
sistema é oscilante e posteriormente para pequenos 
valores de K o sistema é estável. 
Em geral quanto mais próximos o lugar geométrico de 
G(jω) estiver de −1 + j0 mais oscilatório será a resposta. 
Deste modo podemos utilizar esta característica para 
medir a margem de estabilidade. 
Constitui uma prática comum representar esta proximidade 
em termos de margem de fase e margem de ganho. 
Margem de Fase
A margem de fase é o atraso de fase adicional na frequência 
de cruzamento do ganho, necessário para levar o sistema ao 
limiar de instabilidade. 
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Margem de Fase e Margem de Ganho 
Característica da Margem de Fase 
A frequência de cruzamento ocorre quando o |G(jω)| é
unitário. A margem de fase é 180◦ mais o ângulo de fase φ
da função de G(jω), assim, 
γ =180+φ (10)
Margem de Ganho
A margem de ganho é recíproca de |G(jω)| na frequência onde 
o ângulo de fase é −180◦. Considere a frequência de corte 
igual a ω1 no qual o ângulo de fase é −180◦ resulta em uma 
margem de ganho igual a: 
Kg = 
1 
|G(jω1)| (11) 
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Margem de Fase e Margem de Ganho 
A margem de fase e de ganho constituem uma medida da proximidade
do gráfico polar ao ponto −1 + j0. Portanto estas margens podem ser 
utilizadas com o critério de desempenho. 
A margem de fase e de ganho não fornecem informação de 
desempenho se forem analisadas separadamente. 
Para que um sistema de fase mínima seja estável, tanto margem de 
fase quando margem de ganho deve ser positivas. Neste contexto 
margem negativa indicam instabilidade. 
Margem de fase e margem de ganho apropriado previnem contra 
variações de componentes no sistema e são especificados para valores 
definidos de frequência. Os dois fatores limitam o comportamento de 
malha fechada próximo a frequência de ressonância. 
Para desempenho satisfatório, a margem de fase deve estar entre 30◦
e 60◦, e a margem de ganho deve ser maior que 6 dB. 
Com estes valores, o sistema de fase mínima tem estabilidade 
garantida. 
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Exercício
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Exercício
>> s = tf('s');
>> gs = 1/(s+2)
Transfer function:
1
-----
s + 2
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Exercício >> hs = 1/((s+4)*(s+6))
Transfer function:
1
---------------
s^2 + 10 s + 24
>> gs*hs
Transfer function:
1
------------------------
s^3 + 12 s^2 + 44 s + 48 
>> nyquist(gs*hs)
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Exercício
Zoom proximoao eixo real em -1
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Exercício
O sistema sera estavel enquanto o nyquist não crusar o ponto “-
1”, logo…
-1 <= k * 2.10-3 portanto:
k <= 500
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Exercício 2
Utilize o critério de Nyquist para 
verificar a faixa do ganho K que 
forneça a estabilidade.
Resp:
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Exercício
http://www.youtube.com/watch?v=vzVU7TUY-EM&feature=relmfu
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Exercício (Petrobras 2012)
Resposta
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Exercício (Petrobras 2012)