Difusión con reacción química heterogénea

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1. Difusión con reacción química heterogénea 
 
Construir un modelo de distribución de concentraciones en un sistema gaseoso en el 
cual el reactivo es la especie química A y el producto la especie química A​2,​, 
difundiendo A en A​2​ y la reacción en la superficie del catalizador es instantánea de 
acuerdo al siguiente esquema 
 
La reacción química es: 
 
2A ​→​ A​2 
Considerando una película gaseosa sobre la superficie del catalizador, la zona 
donde se produce la difusión de A y A2 en la superficie del catalizador la reacción 
instantánea, el elemento de control para el balance de materia, puede considerarse 
en el siguiente esquema. 
 
 
 
La reacción en Z = 𝞭 Es instantánea y por lo tanto la fracción molar de A en este 
punto vale cero (X​A​ = 0) 
El balance de materia para A sobre el elemento de control 𝝙z es el siguiente: 
 
N​A​│​Z ​ x S - N​A​│​Z+𝝙Z​ x S = 0 
 
Dónde S, es el área por donde difunde A y por la geometría del sistema es 
constante 
Por lo tanto la ecuación queda como: 
:​N​A​│​Z ​ - N​A​│​Z+𝝙Z​ = 0 
 
Reordenando, multiplicando por (-1); dividiendo entre 𝝙Z y Sacando el límite 
cuando 𝝙Z → 0, se obtiene la ecuación diferencial de primer orden: 
 
 ​ (1)dz
dNA = 0 
 
 
Analizando al ley de Fick 
 
(N N ) NA = xA A + B − CDAB dz
dxA 
 
El reactivo A difunde en el producto A​2 ​ y la ecuación de Fick se expresa como: 
 
(N N ) NA = xA A + A2 − CDAB dz
dxA 
 
 
N​A2​ se mueve en sentido contrario y 2A ------ A2 
 
 
N​A2​ = -½ N​A 
 
En la ecuación de Fick 
 
(N N ) NA = xA A − ½ A − CDAB dz
dxA
 
 
(½ N ) NA = xA A − CDAB dz
dxA 
 
 (2)−NA = 
C DAB
1 − x2
1
A dz
dxA 
 
 
reemplazando en la ecuación de balance (2) en (1) 
 
 ddz −( C DAB1 − x21 A dz
dxA ) = 0 
 
A P y T constantes: 
 
 (3) ddz ( 11 − x21 A dz
dxA ) = 0 
 
Ecuación diferencial de segundo orden, que requiere dos condiciones límite para determinar 
el modelo buscado, las mismas son: 
 
z = 0 x​A​ = x​A0 
 z = x​A​ = x​A = 0 ​(reacción instantánea) 
 
Resolviendo 
 
 
 11 − x21 A dz
dxA = c1 
z ∫
 
 
dxA
1 − x2
1
A
= c1∫
 
 
d + c2 
Integrando: 
 
ln c z c − 2 1 x( − 21 A) = 1 + 2 
 
Generando las siguientes ecuaciones a partir de las condiciones límite del sistema 
 
z = 0 x​A​ = x​A0 
 
 (4)ln c c − 2 1 x( − 21 A0) = 1 * 0 + 2 
 
La constante C​2 
 
 ln c2 = − 2 1 x( − 21 A0) 
 
Para la segunda condición límite: 
 
z = x​A​ = 0 ​(reacción instantánea) 
 
ln c c − 2 1 ( − 21 * 0) = 1 + 2 
y 
 
− ln c1 = δ
c2 = δ
2 1 x( − 21 A0) 
 
que nos permite obtener el siguiente modelo 
 
 
 1 x( − 21 A) = 1 x( − 21 A0)
(1 − )zδ 
 
 
Si la reacción química en e; reactor heterogéneo, no es instantánea, el balance de materia, 
el análisis de Fick y la ecuación diferencial de segundo orden, siguen siendo las mismas 
 ​(1)dz
dNA = 0 
 
 
 (2)−NA = 
C DAB
1 − x2
1
A dz
dxA 
 
 
 
 (3) ddz ( 11 − x21 A dz
dxA ) = 0 
 
 
Cuando la reacción no es instantánea en la superficie del catalizador y se regula por una 
velocidad de reacción, por ejemplo una cinetica de primer orden 
 
 C C x (− )rA = k A = k A 
 
 
las condiciones límite serán: 
 
z = 0 x​A​ = x​A0 
z = x​𝜹A​ = k C
(−r )A 
 
La solución general: 
 
ln c z c − 2 1 x( − 21 A) = 1 + 2 
 
Generando las siguientes ecuaciones a partir de las condiciones límite indicadas para este 
sistema 
 
z = 0 x​A​ = x​A0 
 
 (4)ln c c − 2 1 x( − 21 A0) = 1 * 0 + 2 
 
La constante C​2 
 
 ln c2 = − 2 1 x( − 21 A0) 
 
Para la segunda condición límite: 
 
z = x​𝜹A​ = ​(reacción ​NO​ instantánea)k C
(−r )A 
 
ln c c − 2 1 ( − 21 k C(−r )A ) = 1 + 2 
y 
 
 ln ln c1 = δ
c2 1 x( − 21 A0) − δ2 1 ( − 21 k C(−r )A ) 
 
que nos permite obtener la solución particular, el modelo de distribución de concentraciones 
o el perfil de concentraciones 
 
 1 x( − 21 A) = 1 ( − 21 k C(−r )A )
( )zδ
1 x( − 21 A0)
(1 − )zδ
 
 
 
Para ambos modelos, de igual manera que en los anteriores modelos desarrollados en el 
curso, se evaluá la densidad de Flujo molar (Fick) y el flujo molar NA * S 
 
NOTA 
 
Es importante reconocer que para ​régimen estacionario​,y transferencia de materia en ​una 
sola dirección,​ las características de las ecuaciones de los balances de materia, o 
ecuaciones de continuidad, se presentan como: 
 
Coordenadas rectangulares: 
 
= 0dz
dNA 
 
 
Para transferencia radial en un cilindro (coordenadas cilíndricas) 
 
= 0dr
dN rA 
 
y para transferencia radial en esferas: 
 
= 0dr
dN rA
2
 
 
Las anteriores ecuaciones, son las ecuaciones que resultan del balance de materia 
sobre un elemento de control, en diferentes tipos de coordenadas. también reciben el 
nombre de ”ECUACION DE CONTINUIDAD”