1º Teste (RESOLVIDO) de Álgebra Linear semipresencial

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Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
1o Teste de Álgebra Linear Semipresencial - 1oSem/2019
Questão 1. Considere o sistema  2x + y = 52y + z = 33x + 2y + z = 7
O valor de x + y − z + 2
3
é:
a) 6
b) 12
c) 18
d) 4/3
Solução: Escrevendo o sistema na forma matricial e escalonando pelo método de Gauss temos:
AX = B →
 2 1 0 50 2 1 3
3 2 1 7
 L3− 32L1 → L3
 2 1 0 50 2 1 3
0 1/2 1 −1/2
 L3− 14L2 → L3
 2 1 0 50 2 1 3
0 0 3/4 −5/4

 2x + y = 52y + z = 33
4
z = −5
4
z = −5
3
⇒ 2y − 5
3
= 3⇒ 2y = 3 + 5
3
⇒ y = 7
3
. E 2x + y = 5⇒ 2x = 5− 7
3
⇒ x = 4
3
Portanto
x + y − z + 2
3
=
4
3
+
7
3
+
5
3
+
2
3
=
18
3
= 6.
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1o Teste de Álgebra Linear Semipresencial - 1oSem/2019
Questão 2. Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu bairro.
La encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a
60kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
• Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
• Carlos e Andréia pesam 123 kg
• Andréia e Bidu pesam 66 kg.
Podemos afirmar que:
a) Cada um deles pesa menos que 60kg
b) Dois deles pesam mais que 60kg
c) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.
d) O peso de Andréia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu
Solução: Vamos estabelecer inicialmente que:
• Carlos: x
• Andréa: y
• Bidu: z
Segundo as informações dadas no sistema temos que:
 x + z = 87x + y = 123y + z = 66
Passando para a matriz ampliada do sistema e utilizando o método de Gauss obtemos: 1 0 1 871 1 0 123
0 1 1 66
 L2 − L1 → L2
 1 0 1 870 1 −1 36
0 1 1 66
 L3 − L2 → L3
 1 0 1 870 1 −1 36
0 0 2 30

 x + z = 87y − z = 362z = 30
2z = 30⇒ z = 15. Em seguida y − z = 36⇒ y = 36 + 15⇒ y = 51. E finalmente x + z = 87⇒
x = 87 − 15 ⇒ x = 72. Assim Carlos pesa 72kg, Andréa 51kg e Bidu 15kg. Portanto Carlos é
mais pesado que Andréa e Bidu juntos.
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Questão 3. O sistema  x + y = 2my + z = 1x− y = m
a) É incompat́ıvel se m = 0
b) É indeterminado se m = −1
c) Apresenta infinitas soluções para algum valor de m
d) Apresenta uma única solução, qualquer que seja o valor de m
Solução:
Passando para a matriz ampliada do sistema e utilizando o método de Gauss obtemos: 1 1 0 20 m 1 1
1 −1 0 m
 L3 ↔ L2
 1 1 0 21 −1 0 m
0 m 1 1
 L2 − L1 → L2
 1 1 0 20 −2 0 m
0 m 1 1

L2
(
−1
2
)
→ L2
 1 1 0 20 1 0 −m
2
0 m 1 1
 L3 −mL2 → L3

1 1 0 2
0 1 0 1− m
2
0 m 1 1 +
m2
2

Como 1 +
m2
2
> 0 então o sistema apresenta solução única qualquer que seja o valor de m.
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Questão 4. Ao resolver a equação(
x −4
x2 y
)
·
(
x 2
y 1
)
=
(
13 2x− 4
x3 + y2 8
)
obtem-se para x e y, respectivamente, os seguintes valores:
a) 5 e 3
b) ±
√
5 e −2
c) 3 e 5
d) −2 e ±
√
5
Solução:(
x −4
x2 y
)
·
(
x 2
y 1
)
=
(
x2 − 4y 2x− 4
x3 + y2 2x2 + y
)
=
(
13 2x− 4
x3 + y2 8
)
{
x2 − 4y = 13
2x2 + y = 8
⇒
{
x2 − 4y = 13
8x2 + 4y = 32
⇒ 9x2 = 45⇒ x2 = 45
9
= 5⇒ x = ±
√
5.
E x2 − 4y = 13⇒ 5− 4y = 13⇒ 4y = 5− 13⇒ y = −8
4
= −2.
Portanto o valor de x = ±
√
5 e y = −2
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Questão 5. Assinale a alternativa verdadeira
As matrizes A =
(
1 2
0 1
)
e B =
(
x y
0 1
)
comutam se:
a) x = 1 e y = 0. apenas
b) x = 2 e y = 0. apenas
c) x = 1 e para todo y ∈ R
d) x = 2 e para todo y ∈ R
Solução:
AB = BA⇔
(
1 2
0 1
)
·
(
x y
0 1
)
=
(
x y
0 1
)
·
(
1 2
0 1
)
⇔
(
x y + 2
0 1
)
=
(
x 2x + y
0 1
)
y + 2 = 2x + y ⇒ 2x = 2⇒ x = 1. Portanto as matrizes A e B comutam para x = 1 e para todo
y ∈ R.